专题10 命题与证明（专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题10 命题与证明 常考题型·精准突破 题型1 判断是否为命题（重） 题型2 命题改写为“如果……，那么……”的形式（重） 题型3 判断命题的真假（高频） 题型4 互逆命题 题型5 举反例（高频） 题型6 用反证法证明命题（难） 题型7 定理与证明（难） 题型8 互逆定理 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 判断是否为命题 1．下列句子中，是命题的为（     ） A．整数一定大于零吗？ B．作一个角的角平分线 C．三角形的中线平分对边 D．将开立方 2．下列语句中，不属于命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么，互为相反数 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．探究三角形的外角和 ◆题型2 命题改写为“如果……，那么……”的形式 3．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 4．把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 5．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 6．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是___________，结论是____________． ◆题型3 判断命题的真假 7．下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．过一点有无数条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 8．下列命题是假命题的是（     ） A．等角的补角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 9．下列命题中，是真命题的是（     ） A．负数没有立方根 B．同位角相等 C．若，，则 D．有公共顶点的两个角是对顶角 ◆题型4 互逆命题 10．命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是（     ） A．三个角相等的是等边三角形 B．三个角不相等的三角形不是等边三角形 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．不是等边三角形的三个角不相等 11．写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)能被4整除的整数一定能被8整除． ◆题型5 举反例 12．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 13．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． ◆题型6 用反证法证明命题 15．用反证法证明“三角形中，至少有一个内角不大于”应首先假设：（     ） A．每个内角都小于 B．每个内角都大于 C．每个内角都不小于 D．每个内角都不大于 16．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．完成下列证明过程． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设中没有一个内角小于或等于， 则_____， _____，_____， _________． 这与_________________________矛盾，假设不成立． ______________________________________________． 17．完成下面的证明过程： 用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 已知：如图，直线，，求证： 证明：假设____________________，则与相交， 设与相交于点， 由已知条件_________________，________________，得过点有两条直线_________与____________都平行于直线， 这与“__________”矛盾． 所以，假设“_____________________”不成立 故____________． 18．用反证法证明命题：“若，且，则”． ◆题型7 定理与证明 19．如图，中，，是的一条角平分线．求的度数． 20．如图，已知，，，，若点E，A，C在同一直线上，点B，F，A在同一直线上，求的度数． 21．如图，在中，和的平分线和相交于点G，的延长线与外角的平分线交于点H．若． (1)求的度数； (2)求的度数． 22．数学小组在学习了三角形的内角与外角后，对其进行了深入探究． (1)如图①，点与点分别在直线的两侧，连接，直线与分别交于点，求的度数； (2)如图②，这是由线段组成的一个“风筝”形状．若，求的度数． ◆题型8 互逆定理 23．定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 24．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 25．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 26．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 综合攻坚·知能拔高 1．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 2．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 3．给出下列命题： ①实数与数轴上的点是一一对应的； ②对顶角相等； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列命题：①若，则；②若，则或；③两直线平行，内错角相等．其逆命题是真命题的个数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 6．用反证法证明（填空）：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于． 已知：如图，，． 求证：，至少有一个不大于． 证明：假设所求证的结论不成立，即_______________． …… 横线处应填入（     ） A．， B．， C．， D．， 7．下列定理有逆定理的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．等角对等边 8．把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式：_______． 9．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 10．用反证法证明“在同一平面内，两条不重合的直线a、b最多有一个交点”时，应假设____________． 11．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 12．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)三角形的内角和等于； (2)互为相反数的两个数的绝对值相等； (3)若，则； (4)钝角三角形有两个锐角． 13．完成下面的证明过程： 已知：如图，直线，，在同一平面内，且，．求证： 证明：假设_______________，则与相交， 设与交于点， 由已知条件______________，______________得知， 过点有两条直线与直线垂直， 这与“___________________________”相矛盾， 所以，“假设____________”不成立． 故_____________ 14．如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点，点在上，连接． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． (3)若，试说明平分． 15．阅读理解 材料阅读：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为． 即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：① ． ②如果，求x的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 命题与证明 常考题型·精准突破 题型1 判断是否为命题（重） 题型2 命题改写为“如果……，那么……”的形式（重） 题型3 判断命题的真假（高频） 题型4 互逆命题 题型5 举反例（高频） 题型6 用反证法证明命题（难） 题型7 定理与证明（难） 题型8 互逆定理 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 判断是否为命题 1．【答案】C 2．【答案】D ◆题型2 命题改写为“如果……，那么……”的形式 3．【答案】A 4．【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 5．【答案】 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形 6．【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角 ◆题型3 判断命题的真假 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C ◆题型4 互逆命题 10．【答案】C 11．【答案】(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角；该逆命题是假命题 (2)逆命题：能被8整除的整数一定能被4整除；该逆命题是真命题 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再通过举反例或倍数关系判断逆命题的真假． 【详解】（1）解：原命题的题设为“两个角都是直角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论，得逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，例如两个的角相等，但它们不是直角， ∴该逆命题是假命题； （2）解：原命题的题设为“一个整数能被4整除”，结论为“这个整数一定能被8整除”， 交换题设与结论，得逆命题：能被8整除的整数一定能被4整除， ∵8是4的倍数，能被8整除的整数一定含有因数4， ∴该逆命题是真命题． ◆题型5 举反例 12．【答案】D 13．【答案】A 14．【答案】D ◆题型6 用反证法证明命题 15．【答案】B 16．【答案】；；；；三角形的内角和为；中至少有一个内角小于或等于 【分析】先对原命题结论进行否定，假设三角形三个内角全都大于，由此推出三个内角相加大于，该结果和三角形内角和定理互相矛盾，即可判定假设错误，故原来的命题成立． 【详解】略 17．【答案】与不平行；；；；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；与不平行； 【分析】利用反证法和平行线的性质证明即可． 【详解】略 18．【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【分析】假设，分两种情况分析，当时，当时，分别验证即可． 【详解】略 ◆题型7 定理与证明 19．【答案】 【详解】解：设，则 在中， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵是的角平分线， ∴； ∴ . 20．【答案】 【分析】先求出，由得出，，即可求出结论． 【详解】解：，，， ． ， ， ， ． 21．【答案】(1)125度 (2)35度 【分析】（1）由角平分线定义得出，代入求出结论即可； （2）由角平分线定义得出，再结合外角性质代入计算即可； 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴． ∴ ； （2）解：平分，平分， ∴． ∴ ． 22．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的外角及三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形的外角及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴ ， 在中，， ∴； （2）解：连接，如图所示： 根据图象得：，， ∵， ∴，即， ∴． ◆题型8 互逆定理 23．【答案】C 24．【答案】C 25．【答案】C 26．【答案】同位角相等，两直线平行 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0 9．【答案】 10．【答案】两条不重合的直线、至少有两个交点 11．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 12．【答案】(1)逆命题：内角和等于的多边形是三角形，成立； (2)逆命题：绝对值相等的两个数互为相反数，不成立； (3)逆命题：若，则，成立； (4)逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形，不成立． 【分析】先得出命题的逆命题，判断逆命题是否成立即可． 【详解】（1）原命题结构：原命题的题设为“一个多边形是三角形”，结论为“它的内角和等于”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“内角和等于的多边形是三角形”； 判断命题：根据多边形内角和规律，仅三角形的内角和是，故该逆命题成立． （2）原命题结构：原命题的题设为“互为相反数的两个数”，结论为“这两个数绝对值相等”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“绝对值相等的两个数互为相反数”； 判断命题：绝对值相等的两个正数，绝对值相等但不互为相反数，如1和1，故该逆命题不成立． （3）原命题结构：原命题的题设为“”，结论为“”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“若，则”； 判断命题：对于任意一个实数，它仅有一个立方根与之对应，故该逆命题成立． （4）原命题结构：原命题的题设为“一个三角形为钝角三角形”，结论为“它有两个锐角”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“有两个锐角的三角形是钝角三角形”； 判断命题：直角三角形有两个锐角，但直角三角形不是钝角三角形，故该逆命题不成立． 13．【答案】证明：假设不平行，则与相交，设与交于点， 由已知条件，得知，过点有两条直线与直线垂直， 这与“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾， 所以，“假设与不平行”不成立，故． 【分析】假设不平行，则与相交，再利用反证法证明即可． 【详解】略 14．【答案】(1) (2) (3)说明如下： ， ， 平分， ， 又， ， ， 平分． 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求出； （2）根据角平分线的定义可知，再根据三角形内角和定理求出的度数； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可证，由等量代换可知，所以可以说明平分． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，平分， ， 在中，， 又， ， ； （3）略 15．【答案】(1)①3；② (2)不成立． 如，，则， ， ， 不成立． 【分析】（1）①根据新定义计算即可； ②根据新定义列不等式组求解即可； （2）取具体数据代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②， ， 解得：； （2）略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 命题与证明 常考题型·精准突破 题型1 判断是否为命题（重） 题型2 命题改写为“如果……，那么……”的形式（重） 题型3 判断命题的真假（高频） 题型4 互逆命题 题型5 举反例（高频） 题型6 用反证法证明命题（难） 题型7 定理与证明（难） 题型8 互逆定理 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 判断是否为命题 1．下列句子中，是命题的为（     ） A．整数一定大于零吗？ B．作一个角的角平分线 C．三角形的中线平分对边 D．将开立方 【答案】C 【详解】解：命题是判断一件事情的陈述句． A、是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题； B、是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题； C、是陈述句，对三角形中线平分对边作出了判断，是命题； D、是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题． 2．下列语句中，不属于命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么，互为相反数 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．探究三角形的外角和 【答案】D 【分析】根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此对各选项进行判断即可得到答案. 【详解】解：A. “两直线平行，内错角相等”，对位置关系和角的关系做出判断，属于命题； B. “如果，那么，互为相反数”，对，的关系做出判断，属于命题； C. “平行于同一条直线的两条直线互相平行”，对两条直线的位置关系做出判断，属于命题； D. “探究三角形的外角和”只是描述操作，没有对任何事情做出判断，不属于命题． ◆题型2 命题改写为“如果……，那么……”的形式 3．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 4．把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【分析】先分清命题“的倍数是奇数”的题设与结论，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分，即可完成改写． 【详解】解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 5．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 【答案】 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，本题中，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”可得， 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”， 故答案为：一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形． 6．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是___________，结论是____________． 【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角 【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论． 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．该命题可以改写成“如果…那么…”的形式，从而确定题设和结论． 【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们是平行线的内错角”， 所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角”． 故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角． ◆题型3 判断命题的真假 7．下列命题中，是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．过一点有无数条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据对顶角的概念，平行线的性质与判定，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A，∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等， ∴A是假命题，不符合题意； 对于选项B，∵相等的角不一定是对顶角， ∴B是假命题，不符合题意． 对于选项C，∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，过直线上一点不存在与已知直线平行的直线， ∴C是假命题，不符合题意； 对于选项D，∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行是平行线的判定定理， ∴D是真命题，符合题意. 8．下列命题是假命题的是（     ） A．等角的补角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【详解】解：A、等角的补角相等，为真命题； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题； C、对顶角相等，为真命题； D、两直线平行，同位角相等，为真命题． 9．下列命题中，是真命题的是（     ） A．负数没有立方根 B．同位角相等 C．若，，则 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】C 【详解】解：对于选项A：负数有立方根，如的立方根为，本选项的命题是假命题； 对于选项B：只有两直线平行时同位角才相等，缺少前提，本选项的命题是假命题； 对于选项C：若，，则，本选项的命题是真命题； 对于选项D：对顶角需有公共顶点且两边互为反向延长线，仅有公共顶点不能判定，本选项的命题是假命题． ◆题型4 互逆命题 10．命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是（     ） A．三个角相等的是等边三角形 B．三个角不相等的三角形不是等边三角形 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．不是等边三角形的三个角不相等 【答案】C 【详解】解：“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是：三个角都相等的三角形是等边三角形. 11．写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)能被4整除的整数一定能被8整除． 【答案】(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角；该逆命题是假命题 (2)逆命题：能被8整除的整数一定能被4整除；该逆命题是真命题 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再通过举反例或倍数关系判断逆命题的真假． 【详解】（1）解：原命题的题设为“两个角都是直角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论，得逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，例如两个的角相等，但它们不是直角， ∴该逆命题是假命题； （2）解：原命题的题设为“一个整数能被4整除”，结论为“这个整数一定能被8整除”， 交换题设与结论，得逆命题：能被8整除的整数一定能被4整除， ∵8是4的倍数，能被8整除的整数一定含有因数4， ∴该逆命题是真命题． ◆题型5 举反例 12．对于命题“若，则”的逆命题是假命题，举一个反例，则符合要求的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且． 选项A中，选项B中，均不满足，排除； 选项C中，，满足逆命题结论，不是反例，排除； 选项D中，，不满足逆命题结论，是反例． 13．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一组相等的角，但不是对顶角，能作为一个反例； B、是一组相等的角，也是对顶角，不能作为一个反例； C、不是一组相等的角，不能作为一个反例； D、不是一组相等的角，不能作为一个反例． 14．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵与有公共边，它们不是对顶角， ∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例； 对于B选项，与是对顶角，不能作为反例； 对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设． ◆题型6 用反证法证明命题 15．用反证法证明“三角形中，至少有一个内角不大于”应首先假设：（     ） A．每个内角都小于 B．每个内角都大于 C．每个内角都不小于 D．每个内角都不大于 【答案】B 【分析】根据命题“三角形中，至少有一个内角不大于”的否定为“每个内角都大于”，即可得到答案． 【详解】解：∵命题“三角形中，至少有一个内角不大于”的否定为“每个内角都大于”， ∴反证法证明“三角形中，至少有一个内角不大于”应首先假设“每个内角都大于”． 16．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．完成下列证明过程． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设中没有一个内角小于或等于， 则_____， _____，_____， _________． 这与_________________________矛盾，假设不成立． ______________________________________________． 【答案】；；；；三角形的内角和为；中至少有一个内角小于或等于 【分析】先对原命题结论进行否定，假设三角形三个内角全都大于，由此推出三个内角相加大于，该结果和三角形内角和定理互相矛盾，即可判定假设错误，故原来的命题成立． 【详解】略 17．完成下面的证明过程： 用反证法证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 已知：如图，直线，，求证： 证明：假设____________________，则与相交， 设与相交于点， 由已知条件_________________，________________，得过点有两条直线_________与____________都平行于直线， 这与“__________”矛盾． 所以，假设“_____________________”不成立 故____________． 【答案】与不平行；；；；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；与不平行； 【分析】利用反证法和平行线的性质证明即可． 【详解】略 18．用反证法证明命题：“若，且，则”． 【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【分析】假设，分两种情况分析，当时，当时，分别验证即可． 【详解】略 ◆题型7 定理与证明 19．如图，中，，是的一条角平分线．求的度数． 【答案】 【详解】解：设，则 在中， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵是的角平分线， ∴； ∴ . 20．如图，已知，，，，若点E，A，C在同一直线上，点B，F，A在同一直线上，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，由得出，，即可求出结论． 【详解】解：，，， ． ， ， ， ． 21．如图，在中，和的平分线和相交于点G，的延长线与外角的平分线交于点H．若． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)125度 (2)35度 【分析】（1）由角平分线定义得出，代入求出结论即可； （2）由角平分线定义得出，再结合外角性质代入计算即可； 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴． ∴ ； （2）解：平分，平分， ∴． ∴ ． 22．数学小组在学习了三角形的内角与外角后，对其进行了深入探究． (1)如图①，点与点分别在直线的两侧，连接，直线与分别交于点，求的度数； (2)如图②，这是由线段组成的一个“风筝”形状．若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的外角及三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形的外角及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴ ， 在中，， ∴； （2）解：连接，如图所示： 根据图象得：，， ∵， ∴，即， ∴． ◆题型8 互逆定理 23．定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆定理需将条件与结论互换，但互换后的命题不成立． 【详解】解：∵原定理“三角形的三条中线交于一点”的逆命题为“如果三条线段交于一点，那么它们是三角形的中线”，但此逆命题为假， 例如三角形的三条角平分线交于一点，但对于非等边三角形，角平分线不是中线， ∴该定理没有逆定理， 故选：C． 24．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理的定义，掌握判断定理是否有逆定理的方法是解题的关键． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆命题为假的定理没有逆定理． 【详解】解：∵A的逆命题内错角相等，两直线平行为真命题， ∴A有逆定理，不符合题意； ∵B的逆命题对应边相等的三角形全等为真命题， ∴B有逆定理，不符合题意； ∵C的逆命题相等的角是对顶角为假命题， ∴C没有逆定理，符合题意； ∵D的逆命题两个锐角互余的三角形是直角三角形为真命题， ∴ D有逆定理，不符合题意． 故选：C． 25．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 26．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 综合攻坚·知能拔高 1．下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 【答案】B 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项、“作的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； B选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意； C选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； D选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意． 2．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 3．给出下列命题： ①实数与数轴上的点是一一对应的； ②对顶角相等； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题； ②对顶角相等，是真命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；原说法缺少前提，是假命题； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法缺少前提，是假命题； 即真命题有2个． 4．下列命题：①若，则；②若，则或；③两直线平行，内错角相等．其逆命题是真命题的个数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】明确逆命题改写规则：将原命题的题设和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题，再结合相关性质定理判断逆命题的真假． 【详解】解：①原命题的逆命题为：若，则． 举反例：取，，满足，但， 故该逆命题为假命题． ②原命题的逆命题为：若或，则． ∵当时，；当时，， ∴该逆命题为真命题． ③原命题的逆命题为：内错角相等，两直线平行． 该逆命题为真命题． 综上，逆命题为真命题的有2个． 5．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 6．用反证法证明（填空）：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于． 已知：如图，，． 求证：，至少有一个不大于． 证明：假设所求证的结论不成立，即_______________． …… 横线处应填入（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：横线处应填入，． 7．下列定理有逆定理的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．等角对等边 【答案】D 【分析】本题考查了互逆定理，判断定理是否有逆定理，需考虑原定理的逆命题是否成立． 先判断各选项语句是否为命题，再写出其逆命题，判断逆命题是否成立即可． 【详解】解：∵ 定理有逆定理需逆命题成立． A、“两点之间，线段最短” 非条件语句，无逆定理； B、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，故“对顶角相等”没有逆定理； C、“同旁内角互补”本身不是定理，故没有逆定理； D、逆命题为：等边对等角，且是真命题，故为“等角对等边”的逆定理， 故选：D． 8．把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式：_______． 【答案】如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0 【分析】本题主要考查了命题，原命题可分解为条件部分“一个数是正数”和结论部分“它的绝对值大于0”，然后套用“如果…，那么…”的结构进行改写． 【详解】解：命题“正数的绝对值大于0”中，“正数”是条件，“绝对值大于0”是结论，因此改写为“如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0”． 故答案为：如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0． 9．用一组，的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是________，________． 【答案】 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例即可. 【详解】解：当，时，满足， 计算得，， ∵， ∴， 不满足，因此可以说明命题“如果，那么”是假命题． 故，时，命题“如果，那么”是假命题．（答案不唯一） 10．用反证法证明“在同一平面内，两条不重合的直线a、b最多有一个交点”时，应假设____________． 【答案】两条不重合的直线、至少有两个交点 【分析】反证法的核心步骤是在原命题的条件下否定结论，本题需准确推导“两条直线最多有一个交点”的矛盾表述． 【详解】解：反证法的第一步是在原命题的条件下，假设原结论不成立，即写出原结论的反面． 原命题的前提为“在同一平面内，两条不重合的直线、”，原结论“最多有一个交点”指两条直线的交点个数为0或1． 否定该结论，即交点个数大于或等于2，对应表述为“两条不重合的直线、至少有两个交点”，这就是反证法需要作出的假设． 11．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 12．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)三角形的内角和等于； (2)互为相反数的两个数的绝对值相等； (3)若，则； (4)钝角三角形有两个锐角． 【答案】(1)逆命题：内角和等于的多边形是三角形，成立； (2)逆命题：绝对值相等的两个数互为相反数，不成立； (3)逆命题：若，则，成立； (4)逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形，不成立． 【分析】先得出命题的逆命题，判断逆命题是否成立即可． 【详解】（1）原命题结构：原命题的题设为“一个多边形是三角形”，结论为“它的内角和等于”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“内角和等于的多边形是三角形”； 判断命题：根据多边形内角和规律，仅三角形的内角和是，故该逆命题成立． （2）原命题结构：原命题的题设为“互为相反数的两个数”，结论为“这两个数绝对值相等”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“绝对值相等的两个数互为相反数”； 判断命题：绝对值相等的两个正数，绝对值相等但不互为相反数，如1和1，故该逆命题不成立． （3）原命题结构：原命题的题设为“”，结论为“”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“若，则”； 判断命题：对于任意一个实数，它仅有一个立方根与之对应，故该逆命题成立． （4）原命题结构：原命题的题设为“一个三角形为钝角三角形”，结论为“它有两个锐角”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“有两个锐角的三角形是钝角三角形”； 判断命题：直角三角形有两个锐角，但直角三角形不是钝角三角形，故该逆命题不成立． 13．完成下面的证明过程： 已知：如图，直线，，在同一平面内，且，．求证： 证明：假设_______________，则与相交， 设与交于点， 由已知条件______________，______________得知， 过点有两条直线与直线垂直， 这与“___________________________”相矛盾， 所以，“假设____________”不成立． 故_____________ 【答案】证明：假设不平行，则与相交，设与交于点， 由已知条件，得知，过点有两条直线与直线垂直， 这与“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾， 所以，“假设与不平行”不成立，故． 【分析】假设不平行，则与相交，再利用反证法证明即可． 【详解】略 14．如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点，点在上，连接． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． (3)若，试说明平分． 【答案】(1) (2) (3)说明如下： ， ， 平分， ， 又， ， ， 平分． 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求出； （2）根据角平分线的定义可知，再根据三角形内角和定理求出的度数； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可证，由等量代换可知，所以可以说明平分． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，平分， ， 在中，， 又， ， ； （3）略 15．阅读理解 材料阅读：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为． 即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：① ． ②如果，求x的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． 【答案】(1)①3；② (2)不成立． 如，，则， ， ， 不成立． 【分析】（1）①根据新定义计算即可； ②根据新定义列不等式组求解即可； （2）取具体数据代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②， ， 解得：； （2）略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $