第13章 三角形中的边角关系、命题与证明全章高频重点题型突破（专项训练)数学新教材沪科版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第13章三角形中的边角关系、 命题与证明 全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1三角形三边关系判断能否构成三角形 1.A 2.D 3.B 4.D ◆题型2利用三边关系求边长取值范围 1.D 2.4 3.10 4.9 5.4<x<10 ◆题型3与平行线有关的三角形内角和求值 1.A 2.D 3.80° 4.39° 5. 【答案】(1)证明：AB∥DE, 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BFD=∠2， ∠BFD=∠I, ∴∠1=∠2， .DF∥AC: (2)解：DF平分∠BDE, ∠BDF=∠2， ∠1=65°， 结合(1)可知∠BDF=∠2=∠I=65°， ∴∠EDC=180°-2×65°=50°， ∴.∠C=180°-∠1-∠EDC=65° ◆题型4直角三角形两锐角互余求角 1.A 2.C 3.60 4.35 ◆题型5三角形外角性质基础角度计算 1.A 2.A 3.∠PCD=∠P+180°-∠A 4.70° 5. 【详解】(1)解：：∠BDC是△ADC的外角， .∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°， 即LBDC=97°： (2)解：∠EFC=∠DFB=180°-∠ABE-∠BDC 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =180°-20°-97° =63°， 即∠EFC=63° ◆题型6命题、真命题、假命题识别 1.B 2.D 3.C 4.真 5.②③ ◆题型命题改写：如果…那么…形式 1.D 2.B 3.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 4.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 5.如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 ◆题型8举反例判断假命题 1.C 2.B 3.D 4.a=-3,b=2 5.a=2.b=-2 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1角平分线十内角和/外角综合角度推导 1.A 2.B 3.130° 40° 4.100° 5. 【详解】(1)解：：∠BAC=60°，∠ABC=70°， .∠C=180°-60°-70°=50°， ,AD⊥BC .∠ADC=90°， .∠DAC=180°-90°-50°=40°： (2)解：∠BAC=60°，∠ABC=70° 又：BF是∠ABC的角平分线，AE是∠BAC的角平分线， :2A80-ABc=35,0=ac-30. 2 .∠AOB=180°-∠AB0-∠BAO=115°， .∠BOE=180°-∠AOB=65° ◆题型2三角形折叠中的角度问题 1.C 2.B 3.80° 4.75o 5. 【详解】(1)解：：点C沿DE折叠落在点C, 4111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.ACDE =AC'DE, 在△CDE中， ∠CED+∠CDE=180°-∠C=135° ∠1=180°-2∠CED,∠2=180°-2∠CDE, :.∠1+∠2=360°-2（∠CED+∠CDE)=360°-2x135°=90° (2)解：由(1)可得：∠1+∠2=360°-2（∠CED+∠CDE). ∠C=a, ∴∠C'=a, ∴∠CED+∠CDE=180°-a. ÷.∠1+∠2=360°-2(180°-a)=2a ◆题型3利用网格求三角形面积 1.3.5 2.5.5平方厘米 3.10 ◆题型4中线分割三角形面积问题 1.c 2.A 3.2 4.20 5. (1)证明：：∠BDC+∠ADC=180°，∠BDC+∠EFC=180°， .∠ADC=∠EFC, EF∥AB, ·∠DEF=∠ADE, ,∠DEF=∠B, .∠ADE=∠B, 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE∥BC, ,∠AED=∠ACB: (2)解：设S△Cr=x, :D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点， SADEF =S.CEF =X,SADE=S.CDE=SDEF+S.CEF=2x,S.AnC=2S.4DC=8x, ,S四边形ADrE=SADE+SADF=3x=6, x=2, .SMC=8×2=16 ◆题型5判断是否为互逆命题 1.C 2.A 3.B ◆题型6写命题的证明过程 1. 【详解】(1)解：己知：如图，EF分别交AB,CD于G,H,GI平分∠AGH,H平分∠DHE, IG∥H.求证：ABCD (2) 证明：：G平分∠AGH ∴.∠AGH=2∠IGH HW平分∠DHE, ∴.∠DHE=2∠JHG .1G∥JH, ∴.∠IGH=∠JHG, ∴.∠AGH=∠DHE 6111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB∥CD: (3)通过(2)的推理证明，此命题是真命题， 2. 【答案】邻补角定义：同角的补角相等：EF:内错角相等，两直线平行；∠3；等量代换；DE:两直线 平行，同位角相等 3. 【详解】(1)解：条件①②结论③时，理由如下： :DE∥BC, ∴.∠B=∠ADE, ∠I=∠B, ∠I=∠ADE, .AB∥EF 条件①③结论②时，理由如下： AB∥EF, ∴.∠1=∠ADE. ∠1=∠B, ∠B=∠ADE, .DE∥BC. 条件②③结论①时，理由如下： DE∥BC, .∠B=∠ADE, :AB∥EF, ∴.∠1=∠ADE, ∴.∠I=∠B (2)解：情况1：在①②的条件下， DE∥BC, ∴∠B=∠ADE, :∠1=∠B ∴.∠I=∠ADE=∠B DE平分∠ADC, 7111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠ADE=∠EDF ∴.∠I=∠ADE=∠B=∠EDF, DE∥BC, ∴.∠EDF=∠DCB ∴.I=∠ADE=∠B=∠EDF=∠DCB :∠ACB=2∠B,∠ACB=∠DCB+∠ECD,∠B=∠DCB=∠I ∴.∠ECD=∠B=∠I :∠DFE=∠ECD+∠FEC,∠DEC=∠I+∠FEC,∠ECD=∠I ∴.∠DEC=∠DFE=108° 情况2：在①③的条件下， AB∥EF, .∠I=∠ADE, ∠1=∠B, ∠B=∠ADE=∠I, ∴.DE∥BC, .∠EDF=∠DCB, DE平分∠ADC, .∠ADE=∠EDF, ∴.∠I=∠ADE=∠B=∠EDF, ·∠EDF=∠DCB ∴.∠I=∠ADE=∠B=∠EDF=∠DCB. ·∠ACB=2∠B,∠ACB=∠DCB+∠ECD,∠B=∠DCB=∠I .∠ECD=∠B=∠I. :∠DFE=∠ECD+∠FEC,∠DEC=∠I+∠FEC,∠ECD=∠I ∴.∠DEC=∠DFE=108」 情况3：在②③条件下， DE∥BC, ∴.∠B=∠ADE,∠EDF=∠DCB. AB∥EF, ∴.∠1=∠ADE, .∠I=∠B=∠ADE 8111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DE平分∠ADC, .∠ADE=∠EDF, ∴.I=∠ADE=∠B=∠EDF, ∠EDF=∠DCB ∴.∠I=∠ADE=∠B=∠EDF=∠DCB. :∠ACB=2∠B,∠ACB=∠DCB+∠ECD,∠B=∠DCB=∠I .∠ECD=∠B=∠I :∠DFE=∠ECD+∠FEC,∠DEC=∠I+∠FEC,∠ECD=∠I ∴.∠DEC=∠DFE=108° 题型专练 高频重难特训 1.B 2.D 3.C 4.A 5.c 6.A 7.x=2,y=1(答案不唯一) 8.102° 9.14或16 10.8 11. 【答案】∠APO: 两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行；∠BPO:两直线平行，内错角相等；∠A+LB: 12. 【详解】解：：AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°， :∠BAD=∠B4C=)x60°=30， 2 9111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE是AB边上的高， ∴CE⊥AB, 即∠CEB=90°. 在RIABEC中，∠BCE=40°」 ∴.∠B=90°-∠BCE=90°-40°=50° 在△ABD中，根据三角形内角和为180°， 则∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°， ∠BAD=30°，∠ADB=100° 13. 证明：AB⊥CD ∴.∠CBF=90°， ∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∠C+∠CFB+∠CBF=180°， .∠AEF=180°-∠A-∠AFE,∠CBF=180°-∠C-∠CFB, :∠A=∠C,∠AFE=∠CFB ∴.∠AEF=∠CBF=90°， ∴△CED是直角三角形 14. 【详解】(1)解：~∠BAC=76°，∠B=32°， ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠B=72°， :CE是∠ACB的平分线， ∠4CE=，∠ACB=36°， 2 :CD是高线， ∠ADC=90°， .∠ACD=90°-∠BAC=14° ∴.∠DCE=∠ACE-∠ACD=22°： (2)解：∠BAC=a,∠B=B ∴.∠ACB=180°-（∠BAC+∠B)=180°-(a+B). :CE是∠ACB的平分线， 4CE-4c8-8o-a+例=90.“ 2 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CD是高线， .∠ADC=90°， .∠ACD=90°-∠BAC=90°-a, :∠DCE=∠ACE-∠ACD=90°-a+E-90°+a=a-E 2 2 15. 【详解】(1)解：：AF是△ABC的高， ,AF⊥BC. .∠AFC=90°， :∠CAF=56°. ÷.∠ACD=180°-∠AFC-∠CAF=34°， :CE平分∠ACD, :∠DCE=)∠4CD=I7, ,∠CED=49°， ：.∠ADC=180°-（∠DCE+∠CED)=180°-(17°+49）=114° (2)解：，AD是△ABC的中线，△ABD的面积是42， ∴S4n=SAD=42, ,△DCE的DE边上的高与△ACE的AE边上的高相等，且DE:AE=3:4, S.DCE:S.ACE=3:4 又Ss+S4s=S4m=42, 4 :.S4E=3+4 ×42=24 即△ACE的面积为24. 11/11 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 三角形三边关系判断能否构成三角形 题型2 利用三边关系求边长取值范围 题型3 与平行线有关的三角形内角和求值 题型4 直角三角形两锐角互余求角 题型5 三角形外角性质基础角度计算 题型6 命题、真命题、假命题识别 题型7 命题改写：如果… 那么… 形式 题型8 举反例判断假命题 核心提升：重难题型归纳 题型1 角平分线 + 内角和 / 外角综合角度推导 题型2 三角形折叠中的角度问题 题型3 利用网格求三角形面积 题型4 中线分割三角形面积问题 题型5 判断是否为互逆命题 题型6 写命题的证明过程 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 三角形三边关系判断能否构成三角形 1．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（     ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，6，12 D．5，6，13 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系，只需判断每组三个数中，较小的两个数的和是否大于较大数，若大于，则可组成一个三角形． 【详解】解：A．，能组成三角形，符合题意． B．，不能组成三角形，不符合题意． C．，不能组成三角形，不符合题意． D．，不能组成三角形，不符合题意． 2．钉一个三角形木框，现有和长的两根木棒，下面四根木棒中，只能选的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系确定第三根木棒的长度范围，再对照选项筛选． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 由三角形三边关系，得 ， 即 ， 故四个选项中只有符合该范围． 3．小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：由题意，，即， 故a的值可能是6． 4．如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求解． 【详解】解：由题意知，点组成为角形， ∴， ∵， ∴， 只有不在范围内． ◆题型2 利用三边关系求边长取值范围 1．已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 2．如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 3．小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三根木棒长度的取值范围，选取范围内任意一个值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系可得：， 计算得， 在范围内选取，符合要求．（答案不唯一，满足即可） 4．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 5．已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 【答案】/ 【详解】解：根据三角形三边关系，可得，即． ◆题型3 与平行线有关的三角形内角和求值 1．如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 【详解】解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， ∴． 3．如图所示，在中，，，，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，直线，则的度数是_______． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 5．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． ◆题型4 直角三角形两锐角互余求角 1．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 2．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 3．中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 4．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． ◆题型5 三角形外角性质基础角度计算 1．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 2．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．如图，已知，则，，的数量关系为_____． 【答案】 【分析】延长交于点，利用平行线的性质得出内错角相等，再结合三角形外角的性质即可得出三个角之间的数量关系. 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ， 是的外角， ， . 4．如图，在中，，若，，的度数为_____． 【答案】 【分析】由是的外角，得出，根据三角形的内角和定理得出，再根据是的外角，可得出． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， 在中，，， ， 是的外角， ， ． 5．如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求解； （2）利用对顶角相等及三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是的外角, ∴， 即； （2）解： ， 即． ◆题型6 命题、真命题、假命题识别 1．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 2．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】D 【详解】解：对于选项A：两直线平行，同位角相等，为真命题，故A不符合题意； 对于选项B：同旁内角互补，两直线平行，为真命题，故B不符合题意； 对于选项C：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为真命题，故C不符合题意； 对于选项D：只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，原命题缺少两直线平行的前提，为假命题，故D符合题意． 3．下列命题中真命题是（   ） A．同位角相等 B．是无理数 C．北纬，东经能定位甘肃省博物馆 D．若点的坐标为，则点在第四象限 【答案】C 【详解】解：∵两直线不平行时同位角不相等，∴A是假命题． ∵是有理数，∴B是假命题． ∵经纬度可确定地球表面内唯一位置，∴北纬，东经能定位甘肃省博物馆，C是真命题． ∵点横坐标为负且纵坐标为正，位于第二象限，∴D是假命题． 4．如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【详解】解：∵，， ∴由等量代换可得， ∴该命题成立，是真命题． 5．下列命题中，是假命题的是________（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行；②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③相等的角是对顶角． 【答案】 ②③ 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行，是平行线的判定定理，是真命题； ②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不是互相垂直，因此是假命题； ③相等的角不一定是对顶角，例如两个位置不相对的直角相等，但不是对顶角，因此是假命题， 因此假命题为②③． ◆题型 命题改写：如果… 那么… 形式 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 2．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 3．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 4．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 ◆题型8 举反例判断假命题 1．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 2．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． 3．要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要证明命题是假命题，只需举出一个满足命题条件，但不满足命题结论的反例，本题只需找到使得，计算各选项即可判断． 【详解】∵原命题结论为“任何数的平方都大于”， ∴反例需要满足， 对各选项逐一计算： 选项A：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项B：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项C：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项D：当时，，不满足，可作为该命题的反例． 4．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组即可． 【详解】解：取，， 计算得，． ，即满足条件， 而，即不满足结论， 这组数可以说明原命题是假命题． 5．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】题中条件为，结论为，则只需找出满足且的一组即可． 【详解】解：当，时，，， 满足，但，不满足， ∴，可作为该命题的反例 ◆题型1 角平分线 + 内角和 / 外角综合角度推导 1．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 3．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平角的定义、三角形内角和定理． 根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数；根据角平分线的定义得到，，继而得到，再利用平角的定义得到，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵点在延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵，在射线上， ∴， ∴． 4．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 5．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得，再利用垂直的定义结合三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． ◆题型2 三角形折叠中的角度问题 1．将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用平行线性质和折叠性质证得，结合直角三角形两锐角互余构建方程求解． 【详解】解：设． ， ． 由折叠性质知，． ． ． ． ， ． 在中，， ，即， 解得． ，故C正确． ，故B错误．． ． ，故D错误． ，故A错误． 2．如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 3．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 4．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质得出，从而得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 由折叠的性质可知，，． ∴在中，． 5．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 利用网格求三角形面积 1．如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，已知，，则三角形的面积为__________． 【答案】 【分析】通过构造包含的直角三角形，利用面积割补法，将的面积转化为大直角三角形面积减去两个小三角形面积即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两垂线交于点， ，， 点的坐标为， ，， ， 点到的距离为，点到的距离为， ，， ∴． 2．如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 3．如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为________．    【答案】10 【解析】略 ◆题型4 中线分割三角形面积问题 1．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 2．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 3．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 4．如图，中，点是的中点，点是的中点，连接，．若阴影部分的面积之和是10，则的面积是____________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识，建立阴影部分面积与总面积的数量关系即可． 【详解】解：点是的中点， ， 点是的中点， 在中，， 在中，， ， 阴影部分的面积之和是10， ， ． 5．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． ◆题型5 判断是否为互逆命题 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 2．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 3．下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据性质定理进行判断，即可得出答案． 【详解】①若x=y，则|x|=|yt|的逆命题是如果|x|=|y|，则x=y，错误； ②两直线平行,内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确； ③对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误. 故选B. 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． ◆题型6 写命题的证明过程 1．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2) 证明：平分 平分， ， ， ； (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）略 （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 2．补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （                    ）， （                    ）． ________（                    ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （                    ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （                    ）． 【答案】邻补角定义；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；；等量代换；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的性质和判定方法求解即可． 【详解】略． 3．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 【答案】(1)条件①②结论③；条件①③结论②；条件②③结论① (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质（内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等或同位角相等），利用等量代换即可求出． （2）根据角平分线的定义推出，在①②的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在①③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数；在②③的条件下推出和，通过等量代换求出，结合已知条件以及等量代换求出，最后根据外角的定理和角度计算以及度数即可求出度数． 【详解】（1）解：条件①②结论③时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件①③结论②时，理由如下： ， ， ， ， ． 条件②③结论①时，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：情况1：在①②的条件下， ， ， ， ． 平分， ， ， ， ． ，， ． ，， ． 情况2：在①③的条件下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 情况3：在②③条件下， ， ，， ， ， ． 平分， ， ， ， ， ，， ． ，， ． 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．算术平方根等于它本身的数是0和1 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．若，则 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定，算术平方根的定义，绝对值的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项命题未限定点在已知直线外，是假命题； B．算术平方根等于本身的数是和，是真命题； C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，本选项命题未说明两条被截直线平行， 是假命题； D．取，，满足，但，本选项命题是假命题． 2．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查命题的题设与结论的区分，命题可写为“如果……那么……”的形式，“如果”之后是题设，“那么”之后是结论，根据该规则判断即可． 【详解】解：∵本题中命题“如果，那么或”里，“那么”之后的内容是或， ∴该命题的结论是或． 3．下列各组线段长度，能构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度即可． 【详解】解：A选项：，不能构成三角形． B选项：，不能构成三角形． C选项：，能构成三角形． D选项：，不能构成三角形． 4．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 【答案】A 【分析】设的边上的高为，求出的面积为，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：设的边上的高为， ∵的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴是的中线． 5．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：∵，分别平分和，，， ∴， ∴. 6．如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出，，利用平角的定义推导出，从而求出的度数，最后根据三角形内角和定理及求解即可. 【详解】解：∵把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部点处， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， ∴． 7．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】要证明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的实例即可，本题只需找到满足，且不全为的一组值即可． 【详解】解：当，时，满足，但此时不满足，， 故反例可以是，． 8．如图，直线，，，则的度数为_____． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 【详解】 如图： 故答案为：． 9．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 【答案】14或16 【分析】先根据非负数的性质求出m和n的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 当腰长为6，底边长为4时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为； 当腰长为4，底边长为6时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为； ∴的周长是14或16． 10．如图，点A，B，C的横、纵坐标均为整数，则三角形的面积为_________． 【答案】8 【分析】根据网格结构确定点，，的坐标，利用割补法即可求解 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ， ∴． 11．构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位置，可以通过“过一点作已知直线的平行线”实现： 已知：如图1，直线，点在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点作的平行线．可以实现“移角”的功能． 解答过程： 解：过点作， ________．（依据是____________________________________） ， （依据是____________________________________）． _______．（依据是__________________________________） 又， _________． 【答案】；两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ；两直线平行，内错角相等；； 【分析】根据平行线的性质得到，再推得，由此，据此可得； 【详解】略 12．如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 【答案】 【分析】先利用角平分线定义求出，再由高的定义得到直角，求出，最后利用三角形内角和定理求． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是边上的高， ， 即， 在中，， ， 在中，根据三角形内角和为， 则， ． 13．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 14．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，． (1)若，，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义以及角的和差关系进行求解即可； （2）同（1）法进行求解即可. 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是高线， ， ， ； （2）解：，， ， 是的平分线， ． 是高线， ， ， . 15．如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 三角形三边关系判断能否构成三角形 题型2 利用三边关系求边长取值范围 题型3 与平行线有关的三角形内角和求值 题型4 直角三角形两锐角互余求角 题型5 三角形外角性质基础角度计算 题型6 命题、真命题、假命题识别 题型7 命题改写：如果… 那么… 形式 题型8 举反例判断假命题 核心提升：重难题型归纳 题型1 角平分线 + 内角和 / 外角综合角度推导 题型2 三角形折叠中的角度问题 题型3 利用网格求三角形面积 题型4 中线分割三角形面积问题 题型5 判断是否为互逆命题 题型6 写命题的证明过程 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 三角形三边关系判断能否构成三角形 1．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（     ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，6，12 D．5，6，13 2．钉一个三角形木框，现有和长的两根木棒，下面四根木棒中，只能选的是（     ） A． B． C． D． 3．小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 4．如图，为估计池塘两岸间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么之间的距离不可能是（     ） A． B． C． D． ◆题型2 利用三边关系求边长取值范围 1．已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 3．小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 4．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 5．已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． ◆题型3 与平行线有关的三角形内角和求值 1．如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，，，，则的度数是________． 4．如图，直线，则的度数是_______． 5．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． ◆题型4 直角三角形两锐角互余求角 1．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．中，，，则______． 4．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． ◆题型5 三角形外角性质基础角度计算 1．如图，在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则，，的数量关系为_____． 4．如图，在中，，若，，的度数为_____． 5．如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. ◆题型6 命题、真命题、假命题识别 1．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 2．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 3．下列命题中真命题是（   ） A．同位角相等 B．是无理数 C．北纬，东经能定位甘肃省博物馆 D．若点的坐标为，则点在第四象限 4．如果，，那么．此命题是______命题（填“真”或“假”）． 5．下列命题中，是假命题的是________（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行；②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③相等的角是对顶角． ◆题型 命题改写：如果… 那么… 形式 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 2．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 3．把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 4．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． ◆题型8 举反例判断假命题 1．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 2．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 3．要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 4．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 5．判定命题“如果，那么”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是________． ◆题型1 角平分线 + 内角和 / 外角综合角度推导 1．如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 3．如图所示，在中，点在延长线上，平分，平分，在射线上，平分，若，则_______；_______． 4．如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 5．如图所示，在中，是高，是角平分线且交于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． ◆题型2 三角形折叠中的角度问题 1．将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 4．如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 5．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） ◆题型3 利用网格求三角形面积 1．如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，已知，，则三角形的面积为__________． 2．如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 3．如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为________．    ◆题型4 中线分割三角形面积问题 1．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 3．在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 4．如图，中，点是的中点，点是的中点，连接，．若阴影部分的面积之和是10，则的面积是____________． 5．如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． ◆题型5 判断是否为互逆命题 1．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 2．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 3．下列命题：①若，则；②两直线平行，内错角相等；③对顶角相等.它们的逆命题一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ◆题型6 写命题的证明过程 1．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 2．补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （                    ）， （                    ）． ________（                    ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （                    ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （                    ）． 3．如图，点，分别在的边，上，连接，为上一点． (1)从①，②，③这三个信息中，选择两个作为条件、剩余的一个作为结论．组成一个真命题并说明理由； 你选择的条件是________、________，结论是________；（填写序号即可） (2)在（1）的题设下（选出任意两个条件），若平分，，°，求的度数． 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．算术平方根等于它本身的数是0和1 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．若，则 2．命题“如果，那么或”的结论是（   ） A． B． C． D．或 3．下列各组线段长度，能构成三角形的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 5．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．举一个证明命题“如果，那么，”为假命题的反例是________________． 8．如图，直线，，，则的度数为_____． 9．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 10．如图，点A，B，C的横、纵坐标均为整数，则三角形的面积为_________． 11．构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位置，可以通过“过一点作已知直线的平行线”实现： 已知：如图1，直线，点在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点作的平行线．可以实现“移角”的功能． 解答过程： 解：过点作， ________．（依据是____________________________________） ， （依据是____________________________________）． _______．（依据是__________________________________） 又， _________． 12．如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 13．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 14．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，． (1)若，，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数． 15．如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $