专题06 全等三角形的常考模型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题06 全等三角形的常考模型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平移模型 题型二、翻折(轴对称)模型 题型三、手拉手模型 题型四、半角模型 题型五、一线三等角模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形常考模型是初中几何的核心重难点，所有题型均围绕平移、翻折、手拉手、半角、一线三等角五大模型的“对应边相等、对应角相等”核心特征展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有全等判定必须严格满足SSS、SAS、ASA、AAS、HL的判定条件，严禁用SSA、AAA等无效条件判定全等；二是所有模型应用必须先确认对应顶点、对应边、对应角的匹配关系，不得混淆对应关系导致推导错误，所有结论最终均需结合三角形三边关系、内角和定理合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平移模型 典例1 如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 题型模版 模型解读 沿同一直线平移的两个三角形重合 常见模型 解题思路 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 变式1-1如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 变式1-2如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式1-3 如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 类型二、翻折(轴对称)模型 典例2 如图，，，求证：平分． 题型模版 模型解读 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 常见模型 解题思路 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 变式2-1如图，，．求证：． 变式2-2如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 变式2-3如图，，．求证：． 类型三、手拉手模型 典例3 已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型模版 模型解读 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 常见模型 解题思路 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 变式3-1如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD． （1）求证：△EBD≌△ABC； （2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数． 变式3-2两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 类型四、半角模型 典例4如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 题型模版 变式4-1如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 变式4-2如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． (1)如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； (2)如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 变式4-3【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 类型五、一线三等角模型 典例5 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． (1)已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； (2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 题型模版 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 变式5-1 如图，已知，于点，，射线于点，点从点向点运动，每秒走，点从点向点运动，每秒走，若，同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，求的值． 变式5-2 解决问题 (1)如图1，已知中，，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点．求证：． (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 变式5-3 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，求t的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 4．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 5．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 6．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 7．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 8．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 9．等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 10．沪教版七年级下册数学教材第17章《三角形》中，我们证明了一个结论：如图1，如果、分别是的内角、的平分线，那么． 数学学习小组的同学们利用以上结论继续开展问题研究： (1)问题1：如图1，已知、分别是的内角、的平分线，设，那么的度数为（     ） A．；B．；C．；D． (2)问题2：如图2，在中，平分交于点，，垂足为，如果，，，求的面积． 小红：这道题也有角平分线，是否可以用以上的结论呢？ 小胜：我们研究的问题是两条内角平分线所成的角和第三个内角的关系，但是这里只有一条角平分线． 小聪：可以通过添加辅助线，使得图形中出现两条角平分线！ 如果你是该学习小组的一员，以上讨论对你是否有启发？请继续完成问题2． 11．求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 12．如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 13．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 14．探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形的常考模型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平移模型 题型二、翻折(轴对称)模型 题型三、手拉手模型 题型四、半角模型 题型五、一线三等角模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 全等三角形常考模型是初中几何的核心重难点，所有题型均围绕平移、翻折、手拉手、半角、一线三等角五大模型的“对应边相等、对应角相等”核心特征展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有全等判定必须严格满足SSS、SAS、ASA、AAS、HL的判定条件，严禁用SSA、AAA等无效条件判定全等；二是所有模型应用必须先确认对应顶点、对应边、对应角的匹配关系，不得混淆对应关系导致推导错误，所有结论最终均需结合三角形三边关系、内角和定理合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平移模型 典例1 如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】略． 题型模版 模型解读 沿同一直线平移的两个三角形重合 常见模型 解题思路 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 变式1-1如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 变式1-2如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 变式1-3 如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】略 类型二、翻折(轴对称)模型 典例2 如图，，，求证：平分． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 【详解】略 题型模版 模型解读 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 常见模型 解题思路 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 变式2-1如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】直接使用“边角边”的判定定理证明全等即可． 【详解】略 变式2-2如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 【答案】解：和全等，理由如下， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，则，所以，然后通过“”即可证明． 【详解】略． 变式2-3如图，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 【分析】由平角的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】略． 类型三、手拉手模型 典例3 已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，本选项正确； ②∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确； ③∵∠ABD+∠DBC＝45°， ∴∠ACE+∠DBC＝45°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°， 则BD⊥CE，本选项正确； ④∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确， 故选：D． 题型模版 模型解读 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 常见模型 解题思路 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 变式3-1如图，已知：∠A＝∠E，AB＝EB，点D在AC边上，且∠ABE＝∠CBD． （1）求证：△EBD≌△ABC； （2）如果O为CD中点，∠BDE＝65°，求∠OBD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠CBD， ∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD， 即∠EBD＝∠ABC． 在△EBD和△ABC中， ， ∴△EBD≌△ABC（ASA）； （2）解：∵△EBD≌△ABC， ∴BD＝BC，∠BDE＝∠C， ∵∠BDE＝65°， ∴∠BDC＝∠BDE＝65°， ∵∠CBD＝50°， ∵O点为CD中点， ∴∠OBDCBD＝25°． 变式3-2两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 类型四、半角模型 典例4如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见解析 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解 题型模版 变式4-1如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 变式4-2如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． (1)如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； (2)如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 【答案】(1) ①证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ② (2) 猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 【分析】（1）①利用旋转的性质，证明，②根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． 【详解】（1）①略； ②解： 由①得， ， ， ； （2）略． 变式4-3【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1) ．证明如下： 由旋转，可知： ∴点共线 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ (2) ．证明如下：    在上取．连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 【分析】（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论； （2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键． 类型五、一线三等角模型 典例5 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． (1)已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； (2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3)证明：如图所示，过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴； ∵在中，是边上的高， ∴，即， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中点． 【分析】（1）由垂线的定义得到，证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （3）过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，同理证明，，推出，再证明，得到，即可证明是的中点． 【详解】（1）解：∵直线，直线，垂足分别为点、， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 题型模版 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 变式5-1 如图，已知，于点，，射线于点，点从点向点运动，每秒走，点从点向点运动，每秒走，若，同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，求的值． 【答案】秒 【分析】根据题意得：，，，再根据全等三角形性质得：①，；②，，再列出方程求出即可． 【详解】解：∵出发秒，点从点向点运动，每秒走，点从点向点运动，每秒走，，， ∴，，， ∵，， ∴， 要使与全等，有两种情况： ①当时， ∴，， ∴， 解得：； ②当时， ∴，， ∴， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， 综上所述，， 即的值为秒． 变式5-2 解决问题 (1)如图1，已知中，，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点．求证：． (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵直线直线， ∴, ∵,, ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴ (2) 证明：∵,, ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）根据三角形的外角定理以及角度的转化可知，进而证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据三角形的外角定理以及角度的转化可知，进而证明，再根据全等三角形的性质即可求解 【详解】（1）略 （2）略 变式5-3 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，求t的值． 【答案】1秒或3.5秒或12秒 【分析】由已知可得与都是直角三角形，则当与全等时，，分当P在上，Q在上时；当P、Q在上重合时；当Q到达A点后，点P运动到上时三种情况分别求解即可． 【详解】解：∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴，解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴，解得； 当Q到达A点后，点P运动到上时，，， ∴，解得． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒或3.5秒或12秒． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线的距离、两直线平行同旁内角互补、角平分线的性质定理 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得出，，从而得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 2．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 4．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题需要先读懂尺规作图的痕迹，得到三组对应相等的条件，再根据全等三角形的判定定理得到作图依据． 【详解】解：由作图痕迹可知，，，， 在和中， ， ， 因此作图的依据为． 5．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 6．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 7．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 8．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可； （2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ，， ， ， （2）解：， ，， 与的周长和为． 9．等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 (1)如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 (2)如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； (3)在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)． 证明： ，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． (2) (3)所有满足条件的的长为或或． 【分析】（1）由垂直定义得到，由同角的余角相等得到，即可证明，得出，，因此； （2）根据，求出，则．过点作交延长线于点，同（1）思路证明，得到，根据求解即可； （3）根据得到，，根据的面积求出，根据同角的余角相等得到，若以点、、为顶点的三角形与全等，分点、均在点上方，和点、均在点下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 与均为等腰直角三角形，， ，， ，， ， ． 如图，过点作交延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：，， ，， ，， ， 即， ． ， ， ， ， ． 若以点、、为顶点的三角形与全等，分以下情况讨论： ①若点、均在点上方， , 或， 若，如图， 则, . 若，如图， 则, . ②若点、均在点下方， ， 或, 若，如图， 则， . 若，如图， 则， ． 综上所述，所有满足条件的的长为或或． 10．沪教版七年级下册数学教材第17章《三角形》中，我们证明了一个结论：如图1，如果、分别是的内角、的平分线，那么． 数学学习小组的同学们利用以上结论继续开展问题研究： (1)问题1：如图1，已知、分别是的内角、的平分线，设，那么的度数为（     ） A．；B．；C．；D． (2)问题2：如图2，在中，平分交于点，，垂足为，如果，，，求的面积． 小红：这道题也有角平分线，是否可以用以上的结论呢？ 小胜：我们研究的问题是两条内角平分线所成的角和第三个内角的关系，但是这里只有一条角平分线． 小聪：可以通过添加辅助线，使得图形中出现两条角平分线！ 如果你是该学习小组的一员，以上讨论对你是否有启发？请继续完成问题2． 【答案】(1)D (2)15 【分析】（1）直接根据材料的结论推导即可； （2）在的延长线上取点，使得，根据题意即可推出，然后证明，由全等三角形的性质可知，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴； （2）解：如图2，在的延长线上取点，使得， 则、分别是的内角、的平分线， ∴； ∵， ∴， 由（1）可知，，即为的边上的高， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴． 11．求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由： ，， ， 又 ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【答案】(1)证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； (3)当时，仍然成立． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先证明，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，仍然成立， 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． 13．根据题目条件，解答下列各题： (1)观察理解：如图①，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，试说明：． (2)理解应用：如图②，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积____________； (3)类比探究：如图③，中，，，过点作于点，，连接，求的面积． 【答案】(1)证明：，，垂足分别为D，E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ； (2)50 (3)32 【分析】（1）先证明，，进而可依据“”判定； （2）同（1）证明，，得出，，，，再根据三角形的面积公式分别求出，，，，再求出，进而可求出梯形的面积为80，由此即可得出图中实线所围成的图形的面积S； （3）过点作于点H，先证明，进而依据“”判定得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）同理可得，， ，，，， ，， ，， ， ，，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 ； （3）解：过点作于点H，如图所示： ， 中，，， ， ， 于点A，， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为： 14．探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ∴． (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作于，过作的延长线于．结合由（1）和（2）的结论可知，证明，设未知数从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 过作于，过作的延长线于， ， 由（1）和（2）的结论可知，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $