专题16 椭圆、双曲线中离心率问题十二种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题16 椭圆、双曲线中离心率问题十二种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双焦点三角形模型求离心率 题型二、构造齐次式方程求离心率 题型三、利用对称构造平行四边形求离心率 题型四、利用椭圆双曲线共焦点求离心率 题型五、利用点差法求离心率 题型六、利用渐近线的垂线模型求离心率 题型七、根据有界性求离心率的取值范围 题型八、利用数形结合求离心率的取值范围 题型九、两次余弦定理求离心率 题型十、离心率与正、余弦定理的融合 题型十一、离心率与基本不等式的融合 题型十二、离心率与函数的融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 离心率问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕双焦点三角形模型求离心率、构造齐次式方程求离心率、利用对称构造平行四边形求离心率、利用椭圆双曲线共焦点求离心率、利用点差法求离心率、利用渐近线的垂线模型求离心率、根据有界性求离心率的取值范围、利用数形结合求离心率的取值范围、两次余弦定理求离心率、离心率与正、余弦定理的融合、离心率与基本不等式的融合、离心率与函数的融合十二大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是范围不能越界；二是端点必须验证，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双焦点三角形模型求离心率 典例1已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，即， 令，得到，， 由双曲线定义得，， 因为以AB为直径的圆过，所以， 故，得到， 整理得，解得， 则，， 在中，由余弦定理得， 得， 整理得，则，故A正确. 故选：A 题型模版 1.特征：椭圆或者双曲线上两个点与两焦点相连构成双焦点三角形。 2.方法：．抓住条件找出顶角为直角的焦点三角形应用勾股定理或者余弦定理等求解 变式1-1已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合椭圆的定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解. 【解析】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， 所以，所以， 在中，，即，所以. 变式1-2双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意知：，，. 设，则，，则，， ，. 在中，，，， ，代入数据解得，， 所以. 变式1-3已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】 的面积是面积的两倍，， 设，则， 由双曲线定义知：，， ，， 即，解得：或（舍），，， ，即，， 双曲线的离心率. 故答案为：. 类型二、构造齐次式方程求离心率 典例2如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】    连接，依题意可得，所以， 所以， 所以， 所以， 则的坐标为，所以，即， 可得，化简得，解得，即． 故选：A 题型模版 1.特征：这是解决离心率问题最通用且高效的方法。通过已知条件列出包含 、 、 的齐次方程（或不等式），利用关系式 （椭圆）或 （双曲线）消去 ，再将方程两边同除以 ，将其转化为关于 的一元二次方程求解。 2.方法：齐次式法求圆锥曲线离心率的技巧 （1）列方程：根据题目给出的几何条件（如垂直、角度、斜率等），列出包含 的等式。 （2）消 b 项：利用 （椭圆）或 （双曲线），将方程中的 全部消去，只保留 和 。 （3）构齐次：将方程两边同时除以 的最高次幂（通常是 ），构造出关于 的齐次方程。 （4）解方程：求解关于 的一元方程，并结合离心率的取值范围（椭圆 ，双曲线 ）得出最终结果. 变式2-1是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：轴，， 而由得 ，即， 解得舍或. 故选：D. 变式2-2已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，，，则，， 由得．设点坐标为，如图所示． 将代入椭圆方程可得，解得， 可得，直线PA方程为， 联立解得，即， 易知的角平分线倾斜角为，斜率为， 直线方程为，联立解得， 所以的面积为， 面积为， 依题意有，即，所以离心率． 故选：D. 变式2-3是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为________ 【答案】 【解析】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线 因为是双曲线的左、右焦点 所以（-c，0），（c，0） 因为关于直线l的对称点为，设为（x，y） 则 解得 所以为（） 因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为 将以的（）代入圆的方程得 化简整理得 ，所以 故答案为： 题型三、利用对称构造平行四边形求离心率 典例3已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】结合双曲线的对称性可知，，， 所以为等边三角形，则，则. 由双曲线的定义，得， 所以，， 则. 故选：A 题型模版 1.特征：利用椭圆、双曲线对称性可作出过焦点或者顶点的平行四边形。 2.方法：作出符合题意的平行四边形，结合题意利用对称性、双曲线的定义、余弦定理等知识求解离心率即可。 变式3-1已知是双曲线的左焦点，过原点的直线与相交于两点，若，则的离心率为（  ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】如图，设双曲线右焦点为，连接. 因，又，则为直角三角形，又由双曲线对称性可知四边形为平行四边形， 结合为直角三角形，则四边形为矩形，则为直角三角形. 因，又，则， 设，则. 则. 故选：A 变式3-2已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出符合题意的图形，结合题意以及双曲线的定义得到，最后利用余弦定理建立齐次方程，求解离心率即可. 【解析】如图，设C的左焦点为，则为平行四边形，， 因为，所以， 而，可得， 因为，所以， 所以， 化简得，故离心率． 变式3-3双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】联立圆与双曲线渐近线方程得出，知，又由确定得，最后根据求得离心率 . 【解析】如图所示： 以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线为， 联立圆的方程与渐近线方程得， 化简得，解得，所以轴， 又因为与相互平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以，即， 所以，所以，从而 题型四、利用椭圆双曲线共焦点求离心率 典例4中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点、，P为与在第一象限的交点，且，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由于P为与在第一象限的交点，，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【解析】设椭圆：与双曲线：， 因为P为与在第一象限的交点，，所以焦点三角形是以为底边的等腰三角形， 即在椭圆中有①；同理，在双曲线中有②， 由①②可知，， 因为，且， 由不等式的性质可知，. 故答案为： 题型模版 1.特征：椭圆与双曲线有相同的焦点 2.方法：分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质、基本不等式、余弦定理等知识求得答案. 变式4-1已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 与 在第一象限的交点为 ，且 ，若双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的半焦距为，则双曲线的半焦距也为， 设，， 在中，；在中，， 所以，； 由于P在第一象限，且， 由对称性得，点Q为曲线和在第三象限的交点， 所以四边形为平行四边形； 由于，所以， 在中，由余弦定理得，， 化简得，，即， 则，即，由于，即， 所以解得，即椭圆的离心率为. 故选：A 变式4-2（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（  ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 变式4-3已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，__________ 【答案】 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【解析】设为第一象限内的交点，，，焦距为.    椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故答案为： 题型五、利用点差法求离心率 典例5 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（  ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】由已知直线的方程为，即， 设， 由得， 则即， 则，， 线段的中点是，则，， 整理得，即， 故选：A. 题型模版 1.特征：中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 2.方法：下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 变式5-1过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 变式5-2已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【解析】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以. 变式5-3已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】 【解析】因为，，过作轴交于， 则，， 所以的横坐标为，即的横坐标为，且， 即， 设，，，，则的中点，， 即，， 所以，又，所以， 将，的坐标代入椭圆的方程可得， 作差整理可得， 即， 所以则. 故答案为：. 题型六、利用渐近线的垂线模型求离心率 典例6已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上， 则， 在直角中，， 所以， 故， 在中，， 所以， 所以， 故双曲线的离心率. 故选：C. 题型模版 1.特征：已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线； 2.方法：利用几何法转化。 变式6-1已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设双曲线：的右焦点， 双曲线的一条渐近线方程设为， 可得，， 的面积为，即有， 化为，，解得. 故选：A. 变式6-2已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设在第二象限，在第三象限，如下图所示： 因为，，所以， 所以，， 又，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 变式6-3如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．    【答案】/ 【解析】已知直线，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 又直线过点，可得直线的方程为， 联立直线与直线的方程， 解得，则，所以点的坐标为. 在直线的方程中，令，可得， 所以点的坐标为. 因为，所以为的中点， 设点的坐标为， 可得，解得. 因为点在另一条渐近线上， 所以将代入可得：. 化简可得，即， 又因为，所以，则. 所以. 故答案为：. 题型七、根据有界性求离心率的取值范围 典例7已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意有， 所以有，即， 整理可得，解得或. 又因为在双曲线中，，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选:C. 题型模版 1.特征：若椭圆或者双曲线上存在一点满足相应条件。 2.方法：利用椭圆或双曲线上点的坐标有界性（如 ）建立不等关系。 变式7-1已知椭圆的左焦点为，离心率为，是上的任意一点，到直线的距离为，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，； ，整理可得：，即， 又，，则，，又， 的取值范围为. 故选：B. 变式7-2已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如下图所示，根据题意可得， 设，则直线的方程为， 所以直线与轴的交点， 由可得，即， 整理得，即； 又因为P为双曲线右支上一点，所以， 当时，共线与题意不符，即； 可得，整理得，即， 解得或（舍）； 即双曲线E的离心率的取值范围为. 故答案为： 变式7-3已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图，    的面积最大值为存在直线使到直线的距离为， 设，则为， 到的距离为有解， 平方整理得，即①， 又② 两式相减得，所以有解， 又，即， 所以， . 故答案为： 题型八、利用数形结合求离心率的取值范围 典例8已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 . 【答案】 【解析】 因为，所以是的中点，又为的中点， 所以，因为，所以，所以， 设，则，，且在双曲线上， 则，即，又，即， 所以. 故答案为：. 题型模版 1.特征：需要结合题设条件画出图形分析 2.方法：利用利用数形结合法寻找带点、线、角度的关系求解。 变式8-1已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【解析】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 变式8-2已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与双曲线的左、右两支分别相交，得到直线的斜率与双曲线渐近线斜率的关系，进而求出离心率的取值范围. 【解析】设点的坐标为.由题可知， 整理可得，即，所以， 则，即，则离心率. 故选：C 变式8-3已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为 【答案】 【解析】 依题意有 所以， 设又 所以、 在中， 所以， 故有：即 解得：即 在中，有 即， 所以 故答案为：. 题型九、两次余弦定理求离心率 典例9如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【解析】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 题型模版 1.特征：圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1.焦点四边形具有中心对称性质。 2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解； 2.方法：焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解。 变式9-1已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，，，则该椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 连接，，由题及椭圆的定义得，，，. 设， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 所以该椭圆的离心率. 故选：D. 变式9-2已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【解析】做出图像，如图所示，则， 在中，由得，， 设，则， 所以，解得，即， 在中，由得，， 设，则， 所以，解得，即， 因为， 所以， 则，即， 所以，解得， 所以， 由可得，，则， 所以，整理得，解得， 故答案为：． 变式9-3已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 题型十、离心率与正、余弦定理的融合 典例10设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，再根据余弦定理和三角形的面积公式可得，根据，可求椭圆的离心率. 【解析】如图： 设，，则① 在中，，由余弦定理可得：， 即② 得：. 所以. 又. 又. 因为. 所以. 又，所以. 故选：B 题型模版 1.特征：涉及圆锥曲线焦点三角形的问题 2.方法：首先要考虑圆锥曲线定义的应用，其次要考虑正弦、余弦定理的应用。 变式10-1已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 变式10-2为双曲线（，）上一点，，分别为其左、右焦点，为坐标原点.若，且，则的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由，以及正弦定理可得， 因为，所以，， 因为，，所以，所以， 在中，. 化简可得，所以的离心率. 故选：B 变式10-3已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为____________ 【答案】 【分析】根据为等腰三角形利用正弦定理可求得，再由二倍角公式可得点坐标为，代入双曲线方程整理可得，可得结果. 【解析】不妨设在第二象限，则在等腰中，，如下图所示： 设，则为锐角． 外接圆周长为， 则其半径为，由正弦定理可得， 因此， 设点坐标为，则， 即点坐标为， 由点在双曲线上，得， 整理得， 所以离心率， 故答案为： 题型十一、离心率与基本不等式的融合 典例11如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，由椭圆的对称性，得到为平行四边形，且，设，在中，利用余弦定理，分别求得和，列出关系式，化简得到，结合基本不等式和离心率的定义，即可求解. 【解析】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 题型模版 1.特征：椭圆、双曲线离心率的表达式与基本不等式融合； 2.方法：利用基本不等式解决离心率最值范围问题。 变式11-1从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，椭圆方程：，椭圆方程：，则有① 由极线的定义得直线的方程为， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，则有， 所以. 当且仅当，即时取等，此时. 故选：D. 变式11-2已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，当取最大值时，的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用双曲线的定义求出代入所求，利用基本不等式计算可得. 【解析】由双曲线的定义可知，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 又，解得，所以，即离心率的取值范围为. 故选：A. 变式11-3已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 【答案】 【解析】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故答案为： 题型十二、离心率与函数、三角函数的融合 典例12（多选）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 【答案】ABD 【分析】由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D. 【解析】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线， 可知点在椭圆的外部， 所以，A项正确； 椭圆（）对应的蒙日圆方程为， 由已知可得圆与直线有2个交点， 设圆心到直线的距离为， 则，则. 由题意可知直线与椭圆没有交点， 将与联立， 得没有实根， 所以，则有， 综上，B项正确； ， 由B知， 则，C项错误； 线段为蒙日圆的一条弦， 则， 所以, 令， 则, 易知单调递增， 所以，D项正确. 题型模版 1.特征：椭圆、双曲线与函数、三角恒等变换、三角函数图像与性质等章节融合； 2.方法：利用函数、三角恒等变换、三角函数图像与性质等章节的知识解决问题。 变式12-1已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解. 【解析】设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 变式12-2设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【解析】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是， 故选：A 变式12-3已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在以为直径的圆上，， ，，，， 由双曲线定义知：，即， ； ，，， 则，， 即双曲线离心率的取值范围为. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为，则的值为（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】先将双曲线转化为标准方程以求其离心率，结合条件椭圆的离心率即可求解. 【解析】双曲线的标准方程为 则双曲线的离心率，而椭圆的离心率， 所以，解得 故选：D 2．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D. 3．已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 故选：B. 4．已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，而，则有，又点A，B关于原点O对称， 即四边形为平行四边形，且是矩形，于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故选：D 5．已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题直接计算的话，计算量比较大，由题意，可利用点取特殊位置（点在双曲线右支上且在第一象限且使得直线垂直于轴），进一步求出各点坐标，根据已知条件，结合双曲线的基本性质和离心率公式，建立关于和的方程，解得，即离心率. 【解析】由题意得，、、，. 因为点是双曲线右支上异于点B的任意一点， 当点在第一象限且直线垂直于轴时，有. ，直线的方程为：. 将代入直线的方程，得，即. 所以，，. ， ， ， 由得， ， ， ， ，化简得，，因为，所以，，即. 故选：B. 6．已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中由正弦定理得外接圆半径，再用三角形面积两种表达式联立求出内切圆半径，把代入化简，约去sin得到含的等式，再利用椭圆焦半径乘积的取值范围构造不等式，转化为离心率的关系式，由二次式恒成立只需解右侧不等式，最终求得椭圆离心率范围为. 【解析】设，则，所以， 又， 所以，代入条件得， 设， 因为， 所以， 即，又，所以且， 所以． 故选：C. 7．（多选））设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（  ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】将双曲线与直线联立，根据交点分布在双曲线两侧列不等式，得出的关系，然后对选项依次分析即可. 【解析】将双曲线与直线联立得， 因为直线与双曲线的交点分布在左右两支， 所以， 又，所以，故A正确，B错误； ，， ， 所以， 又，所以，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 8．（多选）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（  ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【答案】ACD 【解析】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（  ） A．与有且只有两个公共点 B． C．若，则 D．使成立的值不存在 【答案】ACD 【分析】先由写出椭圆、双曲线的基本量与离心率，联立两曲线方程得仅有两个横轴交点判定A正确；代入离心率表达式化简验证不等于1知B错误；由平方求解得，算出判定C正确；再联立双曲线渐近线与椭圆求得交点，利用向量运算表示并与列方程，解得与矛盾，故满足条件的不存在，D正确. 【解析】已知椭圆，双曲线. 椭圆参数：，，，离心率. 双曲线参数：，，，离心率 选项A:联立与方程：， 两式相加得，代入得，公共点为，，共2个，故A正确. 选项B:，故B错误. 选项C,， 平方得，，故C正确. 选项D:双曲线的渐近线：，第一象限渐近线. 联立椭圆：，，即. 椭圆顶点，，， ，， ，, 由，平方得，与矛盾，故不存在，D正确. 故选：ACD. 10．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（  ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【解析】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A正确； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 故选：ABD. 11.已知椭圆的左右焦点分别为为，过的直线与交于两点.若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【解析】如图， 由已知可设，则， 由椭圆的定义有，故． ，故点A为椭圆的上顶点或下顶点. 在中，由余弦定理推论得． 在中，设， 故，得， 故． 故答案为：． 12．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【解析】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.    因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 13．已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则 则 同理可得 由，可得 ，又 所以，即，即 所以，即，即，即 所以，即 故答案为： 14.已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【解析】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 椭圆、双曲线中离心率问题十二种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双焦点三角形模型求离心率 题型二、构造齐次式方程求离心率 题型三、利用对称构造平行四边形求离心率 题型四、利用椭圆双曲线共焦点求离心率 题型五、利用点差法求离心率 题型六、利用渐近线的垂线模型求离心率 题型七、根据有界性求离心率的取值范围 题型八、利用数形结合求离心率的取值范围 题型九、两次余弦定理求离心率 题型十、离心率与正、余弦定理的融合 题型十一、离心率与基本不等式的融合 题型十二、离心率与函数的融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 离心率问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕双焦点三角形模型求离心率、构造齐次式方程求离心率、利用对称构造平行四边形求离心率、利用椭圆双曲线共焦点求离心率、利用点差法求离心率、利用渐近线的垂线模型求离心率、根据有界性求离心率的取值范围、利用数形结合求离心率的取值范围、两次余弦定理求离心率、离心率与正、余弦定理的融合、离心率与基本不等式的融合、离心率与函数的融合十二大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是范围不能越界；二是端点必须验证，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双焦点三角形模型求离心率 典例1已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（  ）    A． B． C． D． 题型模版 1.特征：椭圆或者双曲线上两个点与两焦点相连构成双焦点三角形。 2.方法：．抓住条件找出顶角为直角的焦点三角形应用勾股定理或者余弦定理等求解 变式1-1已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式1-2双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（  ） A． B． C． D． 变式1-3已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为 ． 类型二、构造齐次式方程求离心率 典例2如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（  ）    A． B． C． D． 题型模版 1.特征：这是解决离心率问题最通用且高效的方法。通过已知条件列出包含 、 、 的齐次方程（或不等式），利用关系式 （椭圆）或 （双曲线）消去 ，再将方程两边同除以 ，将其转化为关于 的一元二次方程求解。 2.方法：齐次式法求圆锥曲线离心率的技巧 （1）列方程：根据题目给出的几何条件（如垂直、角度、斜率等），列出包含 的等式。 （2）消 b 项：利用（椭圆）或（双曲线），将方程中的全部消去，只保留 和 。 （3）构齐次：将方程两边同时除以 的最高次幂（通常是 ），构造出关于 的齐次方程。 （4）解方程：求解关于 的一元方程，并结合离心率的取值范围（椭圆 ，双曲线 ）得出最终结果. 变式2-1是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式2-2已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（  ） A． B． C． D． 变式2-3是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为________ 题型三、利用对称构造平行四边形求离心率 典例3已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C． D．1 题型模版 1.特征：利用椭圆、双曲线对称性可作出过焦点或者顶点的平行四边形。 2.方法：作出符合题意的平行四边形，结合题意利用对称性、双曲线的定义、余弦定理等知识求解离心率即可。 变式3-1已知是双曲线的左焦点，过原点的直线与相交于两点，若，则的离心率为（  ） A． B．2 C． D． 变式3-2已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式3-3双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 题型四、利用椭圆双曲线共焦点求离心率 典例4中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点、，P为与在第一象限的交点，且，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的取值范围是__________. 题型模版 1.特征：椭圆与双曲线有相同的焦点 2.方法：分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质、基本不等式、余弦定理等知识求得答案. 变式4-1已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 与 在第一象限的交点为 ，且 ，若双曲线 的离心率为 ，则椭圆 的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式4-2（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（  ） A． B． C． D．的最小值为 变式4-3已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，__________ 题型五、利用点差法求离心率 典例5 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（  ） A． B． C．2 D．3 题型模版 1.特征：中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 2.方法：下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 变式5-1过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式5-2已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式5-3已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为 . 题型六、利用渐近线的垂线模型求离心率 典例6已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 题型模版 1.特征：已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线； 2.方法：利用几何法转化。 变式6-1已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 变式6-2已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（  ） A． B． C． D． 变式6-3如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．    题型七、根据有界性求离心率的取值范围 典例7已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若上存在一点使得，则的离心率的取值范围是(  ) A． B． C． D． 题型模版 1.特征：若椭圆或者双曲线上存在一点满足相应条件。 2.方法：利用椭圆或双曲线上点的坐标有界性（如 ）建立不等关系。 变式7-1已知椭圆的左焦点为，离心率为，是上的任意一点，到直线的距离为，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式7-2已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ． 变式7-3已知为坐标原点，动直线与椭圆相切，与圆相交于两点，若的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 . 题型八、利用数形结合求离心率的取值范围 典例8已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 . 题型模版 1.特征：需要结合题设条件画出图形分析 2.方法：利用利用数形结合法寻找带点、线、角度的关系求解。 变式8-1已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（  ） A． B． C． D． 变式8-2已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式8-3已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为 题型九、两次余弦定理求离心率 典例9如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1.焦点四边形具有中心对称性质。 2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解； 2.方法：焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解。 变式9-1已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，，，则该椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式9-2已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是 ． 变式9-3已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 题型十、离心率与正、余弦定理的融合 典例10设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：涉及圆锥曲线焦点三角形的问题 2.方法：首先要考虑圆锥曲线定义的应用，其次要考虑正弦、余弦定理的应用。 变式10-1已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 变式10-2为双曲线（，）上一点，，分别为其左、右焦点，为坐标原点.若，且，则的离心率为（  ） A． B． C．2 D． 变式10-3已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为____________ 题型十一、离心率与基本不等式的融合 典例11如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 题型模版 1.特征：椭圆、双曲线离心率的表达式与基本不等式融合； 2.方法：利用基本不等式解决离心率最值范围问题。 变式11-1从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（  ）    A． B． C． D． 变式11-2已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，当取最大值时，的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 变式11-3已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 题型十二、离心率与函数、三角函数的融合 典例12（多选）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 题型模版 1.特征：椭圆、双曲线与函数、三角恒等变换、三角函数图像与性质等章节融合； 2.方法：利用函数、三角恒等变换、三角函数图像与性质等章节的知识解决问题。 变式12-1已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式12-2设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式12-3已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（  ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为，则的值为（  ） A． B． C．2 D．4 2．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 4．已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是、的中点，若，则椭圆离心率的最小值为（  ） A． B． C． D． 5．已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（  ） A． B．2 C． D．3 6．已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（  ） A． B． C． D． 7．（多选））设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（  ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 8．（多选）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（  ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 9．（多选）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（  ） A．与有且只有两个公共点 B． C．若，则 D．使成立的值不存在 10．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（  ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 11.已知椭圆的左右焦点分别为为，过的直线与交于两点.若，，则椭圆的离心率为 . 12．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 13．已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 . 14.已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $