3.1 椭圆（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

分层作业 3.1 椭圆 目 录 A组 巩固过关 题型01 椭圆上点到焦点、坐标轴上的点的距离及最值 题型02椭圆上焦点三角形问题 题型03根据方程表示椭圆求参数的范围 题型04 根据椭圆过的点求标准方程 题型05 轨迹问题－椭圆 题型06 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型07 椭圆的对称性 题型08 求椭圆顶点坐标、长轴、短轴 题型09 由椭圆的离心率求参数的取值范围 题型10 椭圆中直线过定点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )椭圆上点到焦点、坐标轴上的点的距离及最值 1．已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． ( 题型0 2 )椭圆上焦点三角形问题 4．已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 5．已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 6．（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． ( 题型0 3 )根据方程表示椭圆求参数的范围 7．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 9．（多选）若方程表示椭圆，则m的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 ( 题型0 4 )根据椭圆过的点求标准方程 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 11．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； (3)焦距等于，且椭圆经过点． 12．已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的点到定点（）的最短距离． ( 题型0 5 )轨迹问题－椭圆 13．在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)设P为曲线E上一点，且，求 （ⅰ）的周长； （ⅱ）的面积． 14．（多选）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C．平面内满足的动点P的轨迹为圆 D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 15．（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． ( 题型0 6 )根据椭圆的有界性求范围或最值 16．如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M、当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 17．已知实数满足：，则的最大值为__________. 18．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. ( 题型0 7 )椭圆的对称性 19．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 20．已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． 21．已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. ( 题型0 8 )求椭圆顶点坐标、长轴、短轴 22．已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 23．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 24．（多选）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（    ） A．椭圆C长轴长为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 ( 题型0 9 )由椭圆的离心率求参数的取值范围 25．已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 26．已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 27．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． ( 题型 10 )椭圆中直线过定点问题 28．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在，且直线的方程为：，其中，满足如下关系式：，过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 29．已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 30．已知椭圆：的焦距为2且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)、是椭圆长轴的两个端点，动点与、的连线分别与椭圆交于点、，为椭圆的左焦点，试判断的周长是否与有关，若是，用表示的周长；若不是，说明理由． 1．已知为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则下列结论错误的是（      ） A．点坐标为 B． C．右焦点坐标为 D．椭圆的方程为 2．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 4．除了我们学习过的圆锥曲线，平面内还有很多形状优美的曲线，例如方程所表示的曲线被称为“四叶玫瑰线”，下列关于曲线的4个命题： ①曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②曲线上两点之间的最大距离为； ③将横纵坐标都是整数的点称为整点，则曲线上有且只有5个整点； ④若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条． 其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法正确的是 A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 6．年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（   ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 7．椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点． (1)若椭圆和椭圆共焦点，且点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，面积为，且椭圆的离心率为，求椭圆的长轴长． 9．设椭圆的左，右焦点是，，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求的面积． 10．已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 1．已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大面积为3 B．若，则点的纵坐标为 C．存在点，使得 D．的取值范围为 3．设椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点P是椭圆C上异于，的任意一点，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则的内切圆半径 ②的最小值为3 ③ ④的取值范围为 ⑤使为直角三角形的点有4个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 5．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 6．焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 7．直线被椭圆所截得的弦长为，则实数t＝______． 8．定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 9．已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 10．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.1椭圆 参考答案 A组 巩固过关 题型01 椭圆上点到焦点、坐标轴上的点的距离及最值 1.A 2.A 3.D 题型02 椭圆上焦点三角形问题 4.6 5.2 6.ACD 题迅型03 根据方程表示椭圆求参数的范围 7.A 8.BCD 9.ACD 颗型04 根据椭圆过的点求标准方程 y2,x2 10. (山)已知椭圆中心在原点、焦点在y轴上，设其标准方程为。+存=1a>h>0), 22 02 =1 b2 将点 分别代入方程，得方程组： 02,1P,解得a2=4, (0,2)(1,0) 621 b2=1 因此所求椭圆标准方程为4+r=1。 (2)由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为mx2+my2=1(m>0,n>0,m≠m), 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4m=1 将点 B13 分别代入方程，得方程组： 3 A(2,0) m+4n= 1 m= 解得 4,代入 得椭圆的标准方程为x2 n=1 mx2+y2=1 +y2=1 4 x2 y2 1.（1):椭圆焦点在x轴上，∴可设其方程为。+户L,其中a>b>0:半焦距为。 :椭圆经过点(0,4)，b=4,又c=3,d=b2+c2=25, xy-1. :椭圆的标准方程为25+16 (2):椭圆经过点(0，-)和(5,0)，这两点分别为椭圆在y轴和x轴上的顶点，且1<5， x2.y2 ∴椭圆的长轴在x轴上，可设其方程为。+尔=1，其中a>b>0 代入两点坐标，得b2=1,a2=5, 一椭圆的标准方程为5+少=1. (3):椭圆的焦距为2V3,半焦距c=V3,由ad2=2+c2得b2=a2-3>0,即d2>3, y2 x2 点可能在、抽上，也可能在上，散设瘦方庭为+，名，吸，。？ 5=1, 22 :椭圆经过点P5,-V2),两种情形均有+。一31，即。-7a+6=0:解得。-1或d=6 由a2>3,舍去a2=1,得a2=6,b2=3, “椭圆的标准方程为6 3 12.由题意知g=2c故=d2-c2=0, 4 椭圆经过点 a2 +尔=即3+3 61,解得 a2=4b2=3 故椭圆的方程为4 y2 =1 3 (2设糕四上的点为M红功则>广=3子， 又点P(,0)(1>0), 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以wm=-+y--+3-子=-4+3-2≤≤2到 4 者0<和<2·即0<1时，MP的最小值为、5： 若41≥2即≥2时，当x=2时，MP取最小值为、2-)=2-小， 综上所述，当0<1<2时，最短距离为、3-3；当122时，最短距离为2-小 题型05 轨迹问题-椭国 18d)圆G:+y+2r-5-0即e++y49 所以周C(10:单行-子， 题G:+y-2x+}-0,即-+y=4,所以因心C,（0,半径5= 7 设动圆圆心P(x,),半径，动圆p与C内切：PG=-r=2 动p与C外：PG=5+r=r,两式相加海IrGhircl-(仔小r合r)4, CC=2,4>2,由椭圆定义得P轨迹是以C,C为焦点的椭圆， 且2a=4→a=2,2c=2→c=1,b2=a2-c2=3, 威锁迹6的方程起号号-1， (2)i)由P为曲线E上的点和椭圆的定义得PC+PC=2a=4, 故△CPC2的周长L=PC+PC+CC=4+2=6: (i)在△CPC中，∠CPC,=60,由余弦定理CC,PPCP+PC,P-2 PCPCcos60°， 得4=(PC+PC22-3 PGPC,代入PC+PC=4,得4=16-3PCPC,l, 得PCPC=4, 3116 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故△GPC的面积S=GIPGsine60=)x4x5-5 2 2 14.ACD 15.(1)由题意得k+5>0且3-k>0,解得-5<k<3. ①当k+5>3-k,即-l<k<3时，焦点在x轴上， ad2=k+5,b2=3-k,c2=a2-b2=(k+5-(3-k)=2k+2. 又焦距2C=2,得c=1,即2k+2=1,解得k=-) 2,符合-1<k<3 ②当3-k>k+5,即-5<k<-1时，焦点在y轴上， a2=3-k,b2=k+5,c2=a2-b2=(3-k)-(k+5)=-2k-2. 由e=1得-2k-2=,解得=，符合-5k<-1 当k=-1时，方程为4+41，表示圆，不合题意 综，k或4=} 2 (2)圆A:x2+y2+6x+5=0,配方得(x+3+y2=4, 所以圆心A(-3,0),半径5=2， 圆B:x2+y2-6x-91=0,配方得(x-3)}+y2=100, 所以圆心B(3,0),半径5=10， 设动圆圆心为P(x,y),半径为r, 动圆与圆A外切，则PA=r+2, 动圆与圆B内切，则PB=I0-r, 两式相加，得PA+PB=12, 又AB=6<12」 所以点P的轨迹是以A(-3,0),B(3,0)为焦点，长轴长为12的椭圆， x2.y2 设椭圆方程为为。+仔 =1, 则由2a=12得a=6,半焦距为3，所以b2=36-9=27, 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故动圆圆心的轨迹方程为3627 OB 题型06 根据椭圆的有界性求范围或最值 16. 9 51 [4,10] 17 11.2 +62 18.-1 题型07 椭圆的对称性 19.B 20.26 21.(1)由椭圆焦距为4，可得2c=4,即c=2, 由椭圆定义可得2a=2V6,故a=V6, 故b=√2-c=6-4=V2, 即精圆c的标准方程为。+之=1： (2)由题意可得F(2,0),设1：x=my+2,A(x,y)、B(x,乃2)， 3 M x=my+2 联立 +上-1消去可得 恒成立， 62 x m2+3)y2+4my-2=0△>0 m+3,s2 -4m 则出+y2= m2+3, 5/16 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则兰4梦年 6-2m】 2 m2+3'm2+3 则xy=写，令x=3解得y=-m即M很-川 若T(s,)在以MN为直径的圆上，则MT⊥NT, 由听--3+a7-(g0 即有近-6-或0-t++】 =2-3s+18-6++m+2m+2 m2+3 m2+3 0 即(2-3s++mt(m2+3）+18-6s+2mt+2m2=0 即m3+(s2-3s+i2+2）m2+5im+3s2+32+18-15s=0, [t=0 s2-3s+t2+2=0 令15t=0 解得(s=2' 3s2+312+18-15s=0 t=0 故以MN为直径的圆恒过定点(2,0). 丽型风 求椭圆顶点坐标、长轴、短轴 22.B 23.C 24.BD 题别09 由椭圆的离心率求参数的取值范围 25.C 26.B 27.D 颗型10 椭圆中直线过定点问题 28.(1) 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设圆P的圆心坐标为(xy),半径为r(>0), 由能可得圆E的阻a坐标为-5.0小半径为55。 园p的圆心中标小小半轻为5。 E为-5-同-2,5-9-26>2a, 所以圆F内含于圆E, 因为圆P与圆E相切且与圆F内切， 则时恒p5里g内5.咽=56.m=9 P阳+m=56-rt,6-26. 2 2 所以圆心P的轨迹为椭圆，焦点为E(5,0,F(V5,0, 有a=6,c=5,b=a-e=6-(3=5. 所以c的方为+号-1 ②0已如e04侧t-2(}-25=0, 化简整理得，42+8m+3m2-2m-1=(2k+m-1)(2k+3m+)=0, m=12k或m=2水+1 3 当m=1-2k时，y=c-2k+1,过定点A(2,1),不符合题意，舍去： 当网=24，y=,过定点作》 (i)存在理由如下： 7/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 ADLMN A(2.) -写-9 ∴.点D的轨迹是以AB为直径的圆的一部分， 故当点为AB的中点，即点为以AB为直径的圆的圆心， 即e3'3时，Dg=2 41 3 2,为定值， 41 所以，存在定点33： 2W2 使得Dg为定值，且该定值为 29.(1)由题意得2a=4,所以a=2, 又因为e=e-1 =a2,所以c=1'b2=a2-c2=3 所似c的为云+苦-1 (2)①当直线MN与y轴垂直时，此时O,F,M,N四点共线，不合题意： 当直线MN与y轴不垂直时，设MN:x=my+1,M(x,),N(x,), 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即乃>0，<0， x2,y2 联立 4 ,消去x并整理得 x=my+l (3m2+4)y2+6my-9=0 6m 9 直线过椭圆的焦点，必有A>0:片+片= 3m2+4,h5=- 3m2+41 因为5m28a即时0F()=20rX,所以号=-2 8/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6m 6m 所以为+y=一y= 3m2+4,片=3m2+4, 9 yy2=-2= 9片= 3m2+4 2(3m2+4: 6m2 所以m42+利解得m-手m=士2行 9 5 所以MN:x= y+1或x=25 2V5 y+1, 即直线MN的方程为V5x-2y-V5=0或V5x+2y-V5=0.」 ②若直线EN过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为H(x,O), X- 设M(,h),N(x,),所以E(4,), 所以如安4.所wy方=名44列， 令y-0雨=4-5利4-m1-4到-4四5-3数 y2-乃 y2- y2-y 9m 3 因为myy2=-,24,+y2=一3m2+4,所以ny5=3（ 2(y+5), 所以x二42-3y4之(+%)-分3 33 =4-24-2 2=4-35 y2-y y2-4 y2-y 22 所以4（0)为直线BN所过定点 26, 0会E为2即2-2解将。1所以。--R入号+拉-106>0同： 26 3 12 =1 6 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-b2=1 2 2√6 联立 3 得：8 ,解得 ,所以 12 b2-1 3 +16P=1 b2=3 a2=b2+1=4 x2,y2 椭圆c的标准方程： =1 43 (2) T B 的周长与无关 F △FPQ 明：设70≠0：则x-2, t 同理可钧克，公：子+2， t .2 6 x='y-2 t 联立方程 4+ -=1 3 y)8’ 5422, 27+t2 54-2218t 则P 27+12’27+2 2 x=二y+2 t 同理联立方程 2y’可得 4 =1 3 2’ 22-6-61 则 3+2’3+☑ 又因为椭圆的右焦点为(1,0)， 所以EP 27-312 -6t18tt2-9 因为27+2×3+7 27+P*3+7=0, 说明P,Q,F三点共线，即直线P恒过B点 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为直线PO恒过B点，根据椭圆的定义，所以△PF2的周长为4a=8. B组 能力进阶 1.】B 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D 7.C 8少投椭国c饰准方行为后茶-1e>60叭.半E。 y2 由椭圆c和椭圆)+5=1共焦点，则设其长半轴长为4，短半轴长为，半焦距为c, 则4=9，=5，则c2=4-=4,则a2-b=4①， 又Pk5同)为椭c上点，则3+总-1@ 联立①和②，得-10b-24=(6-120+2=0,解得62=12，或B=-2(舍去)： 则-分+4：16所以痛医C的标准方为花+长=1. (2)设椭圆C的长半轴长为a,半焦距为c, 由椭圆C的两个焦点分别是，E,P为椭圆上一点， 则FF=2c,PF+PF=2a, 又∠PK-于，APF面积为6： 则Sm52 in弩5，即PR-Psl=4, 则由余弦定理得lFE-PR+PE-2 co-(PF+PE-3 PRl-IPE, 即4c2=4a2-12③， 11/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又柄圆c的离心率为。，即e=:-5 3 a2,即4c2=3a④， 联立③和④，得ad2=12,得a=2V3, 所以椭圆C的长轴长为2a=4V3. b=√6 9.(1)由题意知c_√-b5,解得 a 0 3 a=3 x2,y2 故椭圆的方程为9+6 =1 (2)由(1)知c=V2-b-V3,所以FF引=2c=25. 又p为E题亏+若=1上-点所以p所P-2a=6 在aFPF中，由余弦定理，得FEP-PEP+|PRP-2 PF-PFIcos60°， IPEP+IPFP-IPFI-IPEE120. 将PEI+PE=6平方，得PRP+1PEP+2 IPRL-IPE上36②. ①-②，整理得PFPF=8, 所u5a-听H%m0-8x号-26 2 a2,因此可得c=2。 10.(1)由离心率定义可知，e=S=2 又2=d-6,即2=a-,即d-26,又因为点22)在椭圆上， 2222 4.2 所以子+左=1，即办+存1，解得公=4从而得到。：268 所以椭圆的标准方程为8+4 (2)如图： 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 因为椭圆上的两点A,B关于直线2x-y-1=0对称， 所以直线AB与直线2x-y-1=0垂直，又直线2x-y-1=0的斜率为2， 1 k8三一2 设，小化，小两点都在新回后+苦=1上，印在新园F+2y=8上 ∫x+2y=8 因此巧+2巧=8两式作差，整理得(<-)+2(0-)=0， 即(x-x)x+x)+2(y-)出+2)=0. 设弦AB的中点为M(x,%),故有x+=2x,片+2=2%， 所以(5-5Jx2+2×0-为)×2%=0：即6+2%二=0， X-x2 又因为水加专分：教有5-为=0@， 又因为弦AB的中点为M()也在直线2x-y-1=0上， 所以2x-%-1=0②， 由①②可得：x=1,%=1. 因此弦AB的中点为M(,). C组 思维拔高 1.A 2.B 3.B 4.B ses 3 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.[0,4] 7.±1 8.9 4 ))医C手+若-1的焦点年指上所议分<4 2,1 11 将点(2，)代入方程得4+存1即F2所以=2 +y 因此椭圆c的方程为4+2 =1. (2)当直线1的斜率不存在时，1：x=0与椭圆交于(Q,V2)(0,V2),此时O,M,N共线，S.ow=0,不合题意 设1：y=a-2,交点为M(x,y,N(3,). 格y--2代入苦号-1袋年0：2必2-版+4-0 8k 4 由韦达定理得+3=1+2k2x1+2k 又%%=c-2-5-2到=26-)所以8m-5x5- 由Soww=V2得-x=V2,于是(x+x)》2-4xx2=2. 代入韦达定理的特果得，经2广-计5=2.s2-)=0+2x 令1=2次得8-刂小=0+6-3y=0所以1=3-号 或k6 因此k=6 此时A=16(2k2-)>0, 直线，的方程为y=y6 -2或y=-6 -2 2 装长w=Fk-4x5-5 10.(1)因为椭圆过点 所+-10 562 又因为耳(-1,0)是椭圆的焦点，所以d-b2-1② 由①②，解得a2=5,b2=4, 14/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以圆C的标术方：苦号- (2)直线P9为水平直线时，P,Q,三点共线，不符合题意， 设直线P方程为x=my+1, 4x2+5y2=20 联立x=my+1，得(4m+5列y+8m-16=0: △=64m2+64(4m2+5）=320(m2+1>0, -8m -16 设P(x,y）(x,)+h=4m2+5:4m+5 则5-=0+-4-85m+ 4m2+5 白于5在线段p0上，及心号R快-小-碧其中FR=2, 因此4+5=2)整理得44m+41=80m+20425 所以80m-241m2-316=(80m2+79)(m-4)=0,解得m=4(负值舍)， 因此直线P方程为x=+2y+1,即x+2y-1=0或x-2y-1=0 (3)设T(,0)则 当P阳不是水平直线时，，+r5上+凸=乃 y2 ‘x-t'x2-1my,-1+1my2-t+1 2myy2+(1-t)(+2) (my-t+1)(my2-t+1) +6-0,得2+-0+为小=0：所做205+0-小n写0 得m(5-)=0对一切m∈R恒成立，故t=5, 所以定点为T(5,0): 当P是水平直线时，T(5,0),km=kgr=0,有kr+kr=0成立 所以存在定点T(5,O),使得km+kr=0恒成立 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 珠 F2 ⊙ 16/16 分层作业 3.1 椭圆 目 录 A组 巩固过关 题型01 椭圆上点到焦点、坐标轴上的点的距离及最值 题型02椭圆上焦点三角形问题 题型03根据方程表示椭圆求参数的范围 题型04 根据椭圆过的点求标准方程 题型05 轨迹问题－椭圆 题型06 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型07 椭圆的对称性 题型08 求椭圆顶点坐标、长轴、短轴 题型09 由椭圆的离心率求参数的取值范围 题型10 椭圆中直线过定点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型0 1 )椭圆上点到焦点、坐标轴上的点的距离及最值 1．已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由椭圆，得， 而椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6， 则点到另一个焦点的距离为. 2．已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则 ， 所以时，． 3．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D ( 题型0 2 )椭圆上焦点三角形问题 4．已知椭圆：，其左右焦点分别为，．点是椭圆上任意一点，则的周长为__________． 【答案】6 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 5．已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 【答案】 【详解】由于，且、在原点处互相平分，因此四边形为矩形， 因此，即， 又，因此，故， 又四边形的面积为，因此，故，即. 6．（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（   ） A．的面积有最大值但无最小值 B．的周长为5 C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距. 的面积公式，其中为点的纵坐标， 由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确. 选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误. 选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，， 由余弦定理，因此最大，因此C选项正确. 选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确. ( 题型0 3 )根据方程表示椭圆求参数的范围 7．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，. 8．（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得. 故BCD满足. 9．（多选）若方程表示椭圆，则m的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ACD 【详解】方程表示椭圆， ，解得且， 结合选项，故m的值可以为ACD． ( 题型0 4 )根据椭圆过的点求标准方程 10．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知椭圆中心在原点、焦点在轴上，设其标准方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：，解得， 因此所求椭圆标准方程为。 （2）由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：， 解得，代入，得椭圆的标准方程为. 11．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； (3)焦距等于，且椭圆经过点． 【答案】(1)​ (2)​ (3)或 【详解】（1）∵椭圆焦点在轴上，∴可设其方程为，其中，半焦距为， ∵椭圆经过点，∴，又，∴， ∴椭圆的标准方程为． （2）∵椭圆经过点和，这两点分别为椭圆在轴和轴上的顶点，且， ∴椭圆的长轴在轴上，可设其方程为，其中， 代入两点坐标，得，， ∴椭圆的标准方程为． （3）∵椭圆的焦距为，∴半焦距，由得，即， 焦点可能在轴上，也可能在轴上，故设椭圆方程为或， ∵椭圆经过点，两种情形均有，即，解得或． 由，舍去，得，， ∴椭圆的标准方程为或． 12．已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 【答案】(1) (2)当时，最短距离为；当时，最短距离为 【详解】（1）由题意知，故， 椭圆经过点，则，即，解得，. 故椭圆的方程为. （2）设椭圆上的点为，则， 又点（）， 所以 若，即时，的最小值为； 若，即时，当时，取最小值为， 综上所述，当时，最短距离为；当时，最短距离为. ( 题型0 5 )轨迹问题－椭圆 13．在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)设P为曲线E上一点，且，求 （ⅰ）的周长； （ⅱ）的面积． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）圆：,即，所以圆心，半径， 圆：，即，所以圆心，半径， 设动圆圆心，半径，动圆与内切：， 动圆与外切：，两式相加得， ，，由椭圆定义得轨迹是以为焦点的椭圆， 且，，， 故轨迹的方程是； （2）（i）由为曲线上的点和椭圆的定义得， 故的周长； （ii）在中，，由余弦定理， 得，代入，得， 得， 故的面积. 14．（多选）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C．平面内满足的动点P的轨迹为圆 D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 【答案】ACD 【详解】选项：平面内到、两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，在轴上，中点为原点，垂直平分线为直线，是一条直线，正确； 选项：椭圆的定义：平面内到两定点距离之和大于两定点间距离的点的轨迹.本题中，满足的动点的轨迹是线段，不是椭圆，错误； 选项：设，由得，两边平方整理得，是圆心为、半径为的圆，正确； 选项：设，由斜率之积为得，整理得，即轨迹为椭圆除去、两点，正确. 15．（1）已知曲线方程，，若方程表示焦距为的椭圆，求的值． （2）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，求该动圆圆心的轨迹方程． 【答案】（1）或； （2） 【详解】（1）由题意得且，解得. ① 当，即时，焦点在轴上， ，，. 又焦距，得，即，解得，符合. ② 当，即时，焦点在轴上， ，，. 由得，解得，符合. 当时，方程为，表示圆，不合题意. 综上，或. （2）圆：，配方得 ， 所以圆心 ，半径 ， 圆：，配方得， 所以圆心，半径， 设动圆圆心为，半径为， 动圆与圆外切，则， 动圆与圆内切，则， 两式相加，得， 又， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为为， 则由得，半焦距为，所以， 故动圆圆心的轨迹方程为. ( 题型0 6 )根据椭圆的有界性求范围或最值 16．如图，已知，，.动点P到A点的距离为6，线段的垂直平分线交直线于点M、当点P在运动时，记点M的轨迹为，则的方程为_____，的取值范围为_____. 【答案】 【详解】如图，连接， 因点是线段的中垂线上一点，故， 则，且，即， 可知点M的轨迹为以点A，B为两焦点的椭圆， 则，，即，，则， 所以轨迹的方程为； 因点M是椭圆上的一点，则 设， 则， ， 令， 则， 设， 则时 所以在上单调递增， 则最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 17．已知实数满足：，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】设，， 因为，所以点在以为圆心，2为半径的圆上； 因为，所以点在焦点在轴的椭圆上. 表示. 如图：   . 又. 所以当时，取得最大值，所以. 所以. 故答案为： 18．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】设，因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，此时， 故答案为：. ( 题型0 7 )椭圆的对称性 19．已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足， ，则的最大值为（ ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 20．已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆和的对称性可知， 该圆的圆心为原点，因此有，即， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，得代入椭圆中， 得，解得. 21．已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，且定点坐标为 【详解】（1）由椭圆焦距为，可得，即， 由椭圆定义可得，故， 故， 即椭圆的标准方程为； （2）由题意可得，设，、， 联立，消去可得，恒成立， 则，， 则，，即， 则，令，解得，即， 若在以为直径的圆上，则， 由，， 即有 ， 即 即， 令，解得， 故以为直径的圆恒过定点. ( 题型0 8 )求椭圆顶点坐标、长轴、短轴 22．已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则， 令，得，故，令，得，故， 又的中点坐标为，所以，解得， 所以椭圆方程为，所以，则， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：B. 23．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 24．（多选）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，点P为C上的动点，以下正确的是（    ） A．椭圆C长轴长为2 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】BD 【详解】由椭圆的标准方程可知：，因此. A：椭圆C长轴长为，因此本选项说法不正确； B：的周长为，因此本选项说法正确； C：由椭圆的性质可知：的最小值为，因此本选项说法不正确； D：设点，因此有. 因为， 所以面积的最大值为，因此本选项说法正确. ( 题型0 9 )由椭圆的离心率求参数的取值范围 25．已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即， 当，椭圆焦点在轴上时， 由可得，则， 所以离心率，解得， 此时，所以椭圆两个焦点为. 26．已知椭圆的离心率，则实数的值为（    ） A．3 B．3或 C． D．或 【答案】B 【详解】①当焦点在轴上时，，，，则，解得； ②当焦点在轴上时，，，， ，解之得. 综合①②知，适合条件的实数或. 27．设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    ( 题型 10 )椭圆中直线过定点问题 28．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在，且直线的方程为：，其中，满足如下关系式：，过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 【答案】(1) (2)（i）已知， 化简整理得，， 或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点. （ii）存在定点，使得为定值，且该定值为 【详解】（1） 设圆的圆心坐标为，半径为， 由题可得圆的圆心坐标为，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 因为，， 所以圆内含于圆， 因为圆与圆相切且与圆内切， 则此时圆与圆内切，且，，， ， 所以圆心的轨迹为椭圆，焦点为，， 有，，， 所以的方程为. （2）（i）略. （ii）存在.理由如下： ，，， 所以， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分， 故当点为的中点，即点为以为直径的圆的圆心， 即时，，为定值， 所以，存在定点，使得为定值，且该定值为. 29．已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 【答案】(1)； (2)①或； ②若直线过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为， 设，，所以， 所以，所以， 令得，   因为，，所以， 所以， 所以为直线所过定点． 【详解】（1）由题意得，所以， 又因为，所以，， 所以C的方程为． （2）①当直线与y轴垂直时，此时O，F，M，N四点共线，不合题意； 当直线与y轴不垂直时，设，，， 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即，， 联立，消去x并整理得， 直线过椭圆的焦点，必有，，， 因为，即，所以， 所以，， ，， 所以，解得，， 所以或， 即直线的方程为或．   ②略 30．已知椭圆：的焦距为2且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)、是椭圆长轴的两个端点，动点与、的连线分别与椭圆交于点、，为椭圆的左焦点，试判断的周长是否与有关，若是，用表示的周长；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)的周长为定值8，与无关， 【详解】（1）焦距为2，即，解得，所以，将代入得：， 联立，得：，解得，所以， 椭圆的标准方程：. （2）   的周长与无关. 证明：设，则，， 同理可得，， 联立方程，得，， 则． 同理联立方程，可得，， 则. 又因为椭圆的右焦点为， 所以，， 因为， 说明P，Q，三点共线， 即直线PQ恒过点． 因为直线PQ恒过点，根据椭圆的定义，所以的周长为. 1．已知为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则下列结论错误的是（      ） A．点坐标为 B． C．右焦点坐标为 D．椭圆的方程为 【答案】B 【详解】由题意知，是直角在点的直角三角形，是中点，由直角三角形的性质得， ， 直线倾斜角为，故点， 则，解得， 故，故A正确； 把代入椭圆方程得，解得， 故，故B错误； 右焦点坐标为，故C正确； 椭圆方程为，故D正确． 2．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为： ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 3．方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】表示动点到定点的距离，表示动点到定点的距离， 所以，原方程等价于，因为两定点间距，符合椭圆的定义， 所以，的轨迹为椭圆，其中焦点为、，即焦点在轴上，焦距，得；长轴长，得. 所以，，焦点在轴上的椭圆标准方程为， 所以，方程表示的曲线的标准方程为. 4．除了我们学习过的圆锥曲线，平面内还有很多形状优美的曲线，例如方程所表示的曲线被称为“四叶玫瑰线”，下列关于曲线的4个命题： ①曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②曲线上两点之间的最大距离为； ③将横纵坐标都是整数的点称为整点，则曲线上有且只有5个整点； ④若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条． 其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对于①，由方程， 将方程中的替换为，可得，即为， 所以曲线的图形关于轴对称； 将方程中的替换为，可得，即为， 所以曲线的图形关于轴对称； 将方程中的分别替换为，可得， 即为，所以曲线的图形关于原点对称， 所以曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以①是真命题； 对于②，设是曲线上的任意一点，则， 由，所以， 所以，即， 可得，所以，即，则 根据曲线的对称性，可得曲线上两点之间的最大距离为，所以②是真命题； 对于③，因为，由，可得， 所以，即， 当时，只有，，，，满足， 即只有满足条件， 所以曲线上有且只有5个整点，所以③是真命题； 对于④，联立方程组，可得， 整理得， 当时，等式恒成立，所以是交点； 当时，可得，即， 当时，可得，此时，直线与曲线仅有1个交点； 当时，此时有解，对应两个交点，所以直线与曲线有3个交点， 所以若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条， 所以④为真命题， 综上可得，①②③④都是真命题，，所以真命题的个数为4个. 5．下列说法正确的是 A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】D 【详解】平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹是椭圆， 对于A，； 对于B，，故AB均错； 对于C，方程表示椭圆，则有，故C错误； 若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且，，故焦点坐标为，故D正确. 6．年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的是（   ） ①椭圆的长轴长为；②线段长度的取值范围是；③的面积最小值是；④的周长恒为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】对于①，由题意，半圆半径，则椭圆短半轴长，焦距，所以长半轴长， 则椭圆长轴长，故①正确； 对于②，因为三点共线，且在圆上，所以， 则， 设，则， 又在椭圆 上，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，故②正确； 对于③，设直线的方程为， 联立，得， 联立，得， 所以 ， 当时，；当时，， 所以的面积取值范围是，最小值不是，故③错误； 对于④，由，可知为椭圆的下焦点， 由椭圆的定义可知， 又， 所以的周长为，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④，故D正确. 7．椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示； 是内心，是的角平分线，. 又，. 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，. ，，. 由椭圆的定义得，，，. 在中，由余弦定理得, ，化简得. 该椭圆的离心率为. 8．已知椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点． (1)若椭圆和椭圆共焦点，且点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，面积为，且椭圆的离心率为，求椭圆的长轴长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆和椭圆共焦点，则设其长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，则，则①， 又为椭圆上一点，则②， 联立①和②，得，解得，或（舍去）； 则，所以椭圆的标准方程为． （2）设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点， 则，， 又，面积为， 则，即， 则由余弦定理得， 即③， 又椭圆的离心率为，即，即④， 联立③和④，得，得， 所以椭圆的长轴长为． 9．设椭圆的左，右焦点是，，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，解得. 故椭圆的方程为 （2）由（1）知，所以 . 又为椭圆上一点，所以， 在中，由余弦定理，得， 即①. 将平方，得 ②. ①—②，整理得， 所以. 10．已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由离心率定义可知，，因此可得，即， 又，即，即，又因为点在椭圆上， 所以，即，解得，从而得到. 所以椭圆的标准方程为 （2）如图： 因为椭圆上的两点，关于直线对称， 所以直线与直线垂直，又直线的斜率为2， ； 设，，两点都在椭圆上，即在椭圆上， 因此，两式作差，整理得， 即. 设弦的中点为，故有，， 所以，即， 又因为，故有  ①， 又因为弦的中点为也在直线上， 所以  ②， 由①②可得：，. 因此弦的中点为. 1．已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】椭圆的焦距，即， 当焦点在轴上时，其短半轴长， 则长半轴长，离心率； 当焦点在轴上时，其长半轴长，则离心率， 所以椭圆的离心率为或. 2．已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大面积为3 B．若，则点的纵坐标为 C．存在点，使得 D．的取值范围为 【答案】B 【详解】对于椭圆C：，，，， 对于A，当位于椭圆的上、下顶点时，的面积最大， 所以的面积最大值为，故A错误； 对于B，设，则， 在中，， 即，解得或， 根据对称性，不妨设，则，， ， 又， 所以，解得，故B正确； 对于C，以为直径的圆方程为， 若存在点，使得，则点在以线段为直径的圆上， 联立，方程组无解， 故不存在点，使得，故C错误； 对于D，设点， ， 因为，所以，故D错误. 3．设椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点P是椭圆C上异于，的任意一点，则下列说法正确的个数是（   ） ①若，则的内切圆半径 ②的最小值为3 ③ ④的取值范围为 ⑤使为直角三角形的点有4个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】对于C：，，， 则， 设，，则， 对于①，在中，由余弦定理得，， 即，即，解得， 的面积，的周长， 所以内切圆半径，故①正确； 对于②， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故②错误； 设，则，即， 对于③，，故③正确； 对于④，，， 所以， 因为，所以，故④错误； 对于⑤，当时，易知点有两个； 当时，易知点有两个； 当时，则点在以线段为直径的圆上， 以线段为直径的圆的方程为， 联立，方程组无解， 即不存在点使得， 综上所述，使为直角三角形的点有4个，故⑤正确. 综上，正确的个数为个. 4．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 5．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【详解】设，由椭圆定义可得， 设，则，所以，即， 因为，所以， 即， 两式相除得：， 所以，因为，所以， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. 6．焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】由椭圆的焦点在x轴上，得， 由，解得， 所以椭圆的方程为，则. 设， 则 ， 由可得， 则的取值范围为. 7．直线被椭圆所截得的弦长为，则实数t＝______． 【答案】 【详解】由，得， ， 所以. 设直线与椭圆的交点为， 则， 所以弦长， 整理得，， 解得. 8．定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 【答案】9 【详解】对于椭圆，由题意得其离心率，，，所以， 进而，解得， 对于椭圆，由题意得其离心率，进而， 且，进而有， 因为直线过原点，所以是线段的中点， 因为以线段为直径的圆过点，所以， 即以线段为直径的圆的方程为， 设点，则有，，， 将代入后两式得，联立整理得， 将与代入得，即， 结合，解得. 9．已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【答案】(1). (2)直线的方程为或,弦长. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上,所以. 将点代入方程,得,即,所以. 因此椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时,与椭圆交于,此时共线,,不合题意. 设,交点为. 将代入,整理得. 由韦达定理得. 又,所以. 由得,于是. 代入韦达定理的结果,得,即. 令,得,即,所以,即. 因此或,此时， 直线的方程为或. 弦长. 10．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【详解】（1）因为椭圆过点，所以① 又因为是椭圆的焦点，所以② 由①②，解得，， 所以椭圆的标准方程： （2）直线为水平直线时，三点共线，不符合题意， 设直线方程为， 联立，得， ， 设，，， 则 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）设则 当不是水平直线时， ，得，所以 得对一切恒成立，故， 所以定点为； 当是水平直线时，，，有成立 所以存在定点，使得恒成立    1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $