3.2.1 第2课时 双曲线的定义与标准方程的应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 聚焦双曲线定义与方程应用，通过分层训练构建“定义转化-几何性质-实际建模”的解题体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|3-4、9|定义转化求距离（|PF₁|-|PF₂|=2a）|从定义到焦点三角形周长/面积计算| |位置关系|1、7|方程联立判公共点（讨论k与渐近线斜率）|直线与双曲线位置关系的代数化| |焦点三角形|6、12|勾股/余弦定理结合定义|定义与平面几何性质的综合应用| |实际建模|5、14|距离差建模双曲线（如爆炸点轨迹）|数学语言表达现实世界的数量关系|

第2课时　双曲线的定义与标准方程的应用 1.直线y=x与双曲线－y2=1公共点的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.4 2.如图，已知双曲线的方程为－=1（a＞0，b＞0），点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB=m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为（　　） A．2a＋2m　 　B．4a＋2m C．a＋m　 　D．2a＋4m 3.设双曲线－=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，PF1=3PF2，则∠F1PF2的大小为（　　） A.30°　 　B.45°　 　C.60°　 　D.90° 4.（2026•泰州月考）已知F1，F2分别为双曲线－=1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则AP＋AF2的最小值为（　　） A．＋4　 　B．－4 C．－2　 　D．＋2 5.〔多选〕已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的是（　　） A．爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上 B．爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上 C．若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为米 D．若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米 6.〔多选〕（2026•南京质检）双曲线C：－=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上．若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为（　　） A．　 　B． C.4　 　D.2 7.已知直线l：y=kx－1与双曲线C：－=1有且只有一个公共点，则k=　　　　． 8.已知F是双曲线C：－=1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若OP=OF，则△OPF的面积为　　　　． 9.P为双曲线x2－=1右支上一点，M，N分别是圆（x＋4）2＋y2=4和（x－4）2＋y2=1上的点，则PM－PN的最大值为　　　　． 10.已知双曲线3x2－y2=3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？ 11.（2026•淮安质检）双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：－=1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P（8，y0）后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（　　） A．　 　B．－ C．　 　D．－ 12.〔多选〕已知点P在双曲线C：－=1上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是（　　） A．点P到x轴的距离为4 B．PF1＋PF2= C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2=60° 13.已知F1，F2是双曲线C：－y2=1的两个焦点，点M在直线x－y＋3=0上，则MF1＋MF2的最小值为　　　　． 14.如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们与城市中心O的距离均为8 km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且与城市中心O的距离为4 km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M—N—P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6 km，道路NP段上的任意一点到O的距离都相等．以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy． （1）求道路M—N—P的曲线方程； （2）现要在M—N—P上建一站点Q，使得点Q到景点C的距离最近，问：如何设置站点Q的位置？（即确定点Q的坐标） 答案 第2课时　双曲线的定义与标准方程的应用 1.C　2.B　3.C 4.C　由双曲线的定义，得AP＋AF2＝AP＋AF1－2，所以要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0，当点A位于点A0处时，AP＋AF1最小，最小值为PF1＝＝.故AP＋AF2的最小值为－2. 5.BD　依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设爆炸点为C，则CA－CB＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以＝4，即CA＝2CB，结合CA－CB＝680，可得CB＝680.所以C选项错误，D选项正确.故选B、D. 6.AC　由双曲线C：－＝1可得c＝＝＝4.根据双曲线的对称性只需考虑PF1⊥F1F2或PF1⊥PF2.当PF1⊥F1F2时，将x＝－4代入－＝1可得y＝±，所以△PF1F2的面积为F1F2·PF1＝.当PF1⊥PF2时，由双曲线的定义可知，｜PF1－PF2｜＝2a＝4，由勾股定理可得P＋P＝F1＝（2c）2＝64.因为P＋P＝＋2PF1·PF2＝64，所以PF1·PF2＝8，此时△PF1F2的面积为PF1·PF2＝4.综上所述，△PF1F2的面积为4或.故选A、C. 7.±或±　解析：由得（9－4k2）x2＋8kx－40＝0（*），当9－4k2＝0，即k＝±时，方程（*）有唯一解符合题意；当9－4k2≠0时，需Δ＝64k2＋160（9－4k2）＝0，解得k＝±，故k＝±或±. 8.　解析：因为c2＝a2＋b2＝9，所以OP＝OF＝3.设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入双曲线方程得｜y｜＝，所以＝OF·｜y｜＝. 9.5　解析：双曲线的两个焦点F1（－4，0），F2（4，0）分别为两圆的圆心，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知PMmax＝PF1＋2，PNmin＝PF2－1，故PM－PN的最大值为PF1＋2－（PF2－1）＝PF1－PF2＋3＝2＋3＝5. 10.解：双曲线方程可化为x2－＝1， 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， ∴c＝2.∴F2（2，0），又直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1·x2＝－＜0， ∴A，B两点不位于双曲线的同一支上. 11.C　设P（8，y0）在第一象限，则－＝1⇒y0＝3，PF2＝＝6，PF1＝6＋8＝14，F1F2＝10，cos∠F1PF2＝＝. 12.AC　由双曲线的方程可得a＝4，b＝3，则c＝5，不妨设点P在第一象限，由△PF1F2的面积为20，得×2c×yP＝×10×yP＝20，解得yP＝4，即点P到x轴的距离为4，故A选项正确；将yP＝4代入双曲线方程可得xP＝，故P（，4），则PF2＝＝，由双曲线的定义知PF1－PF2＝2a＝8，则PF1＝8＋＝，则PF1＋PF2＝＋＝，故B选项错误；在△PF1F2中，PF1＝＞2c＝10＞PF2＝，则＝＝＞0，∠PF2F1为钝角，则△PF1F2为钝角三角形，故C选项正确；cos∠F1PF2＝＝＝＝1－≠，则∠F1PF2≠60°，故D选项错误.故选A、C. 13.　解析：由双曲线C：－y2＝1可得a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，可得c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0）.如图，设点F2（2，0）关于直线x－y＋3＝0对称的点为P（m，n），由可得所以P（－3，5），所以MF1＋MF2＝MF1＋MP≥PF1，当且仅当P，M，F1三点共线时等号成立，PF1＝＝，所以MF1＋MF2的最小值为. 14.解：（1）根据题意，道路MN所在的曲线是以定点A，B为左、右焦点的双曲线的右支，其方程为x2－y2＝64（8≤x≤10，0≤y≤6）. 道路NP所在的曲线是以O为圆心，ON为半径的圆，其方程为x2＋y2＝64（－8≤y≤0）. 故道路M—N—P的曲线方程为MN段：x2－y2＝64（8≤x≤10，0≤y≤6），NP段：x2＋y2＝64（－8≤y≤0）. （2）当点Q在道路MN上时，设Q（x0，y0）， 又C（0，4），则CQ＝. 由（1）可得x2－y2＝64，则CQ＝＝， 可得当y0＝2时，CQ有最小值，且CQmin＝6. 当点Q在道路NP上时，设Q（x0，y0）， 又C（0，4），则CQ＝. 由（1）可得＋＝64，则CQ＝，可得当y0＝0时，CQ有最小值，且CQmin＝4. 综上，CQ的最小值为6，此时y0＝2，则x0＝2，则点Q的坐标为（2，2），此时点Q到点C的距离最小. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $