第二十八章 旋转《易错点讲义》单元复习2026-2027学年人教版九年级数学上册
|
2份
|
76页
|
181人阅读
|
6人下载
精品
内容正文：
第二十八章 旋转《易错点讲义》单元复习
资料板块目录表
知识梳理
针对训练
题型01利用旋转的性质求角的度数
题型02利用旋转的性质求线段的长度
题型03利用旋转的性质求面积
题型04平面直角坐标系中的旋转变换
题型05与旋转有关的探究性问题
题型06识别中心对称图形
题型07中心对称的性质的运用
题型08与中心对称有关的探究问题
A组 基础巩固
B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
考点一 图形的旋转
旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。三者缺一不可，确定一次旋转必须同时指明中心、方向与角度。
旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如。
旋转的三条性质：
① 对应点到旋转中心的距离相等，即、；
② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即；
③ 旋转前后的图形全等，即。
上述性质可概括为“保距离、保夹角、保全等”，即旋转只改变图形的位置，不改变其形状与大小。
⚠️概念辨析
辨析1：旋转与平移、轴对称一样，都是“保距变换”，变换前后图形全等；区别在于旋转围绕一个定点转动，平移沿方向移动，轴对称沿直线翻折。
辨析2：旋转中心可以位于图形内部、外部或图形上（如绕顶点旋转）。旋转中心不同，旋转效果不同。
辨析3：旋转角不一定是特殊角。旋转角只取决于“对应点与旋转中心连线”的夹角，与图形边的大小无关。
⚠️记忆口诀
旋转三要素：中心方向角度齐，缺一不可别忘记。
旋转性质：对应点连中心，距离相等有保证；夹角就是旋转角，前后图形全等牢。
⚠️易混易错
易错1：漏写旋转方向。写“绕点O旋转60°”不严谨，应写“绕点O顺时针（或逆时针）旋转60°”。
易错2：旋转角与图形内角混淆。图形内角是图形自身的角，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，两者含义不同。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：找旋转角时，必须连接“对应点与旋转中心”，取两条连线的夹角，不能误把图形任意两条边的夹角当旋转角。
❌ 避坑2：描述旋转必须“三要素齐全”，漏说旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转角都算表述不完整。
❌ 避坑3：旋转中心不一定是图形上的点，作图和证明时先在图中标出旋转中心，再连对应点。
【针对训练】
【例1】如图，在中，，将绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（ ）
A．25° B．45° C．35° D．30°
【答案】D
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，根据题意可知，，从而可知，进而求得．
【详解】
如图所示，根据题意可知，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故选：D
【变式训练1】如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转和全等的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据旋转和全等的性质可得，，再根据勾股定理可得．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
考点二 旋转作图
作图步骤（四步）：
第一步（连）：连接图形的关键点与旋转中心；
第二步（定）：确定旋转方向与旋转角；
第三步（转截）：把每个关键点绕旋转中心按方向转动指定角，并截取与旋转中心距离相等的对应点；
第四步（连）：按原图形的顺序连接各对应点，标注字母，得到旋转后的图形。
作图依据是旋转的性质：对应点到旋转中心距离相等、对应点连线夹角等于旋转角。
⚠️概念辨析
辨析：旋转中心在图形内部、外部或顶点上时，作图方法相同，只是旋转中心位置不同。若旋转中心在顶点上，该顶点对应的对应点即它本身（不动点）。
⚠️记忆口诀
旋转作图：一连二定三转截，最后顺序连成图；关键点找全，方向角度不糊涂。
⚠️易混易错
易错1：把旋转中心当旋转后图形的一个顶点，导致图形位置偏移。
易错2：只旋转一个关键点而漏掉其余顶点，得到的图形不完整。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：关键点要找全，尤其要包含图形的所有顶点；漏一个点，作图就错。
❌ 避坑2：用圆规或量角器保证“等距+定角”，不能用目测估画。
❌ 避坑3：旋转方向反了，图形位置就错，作完要检验对应点与旋转中心连线夹角是否等于旋转角。
【针对训练】
【例2】如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置.
【详解】解：首先分析圆的位置：
原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合；
其次，分析阴影三角形的位置变化：
原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合.
故选：C．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律．
（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A，B，C三点关于原点的对称点的坐标，再顺次连接各点；
（2）先根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出A，B，C三点旋转后的对应点的坐标，再顺次连接各点．
【详解】（1）解： 点关于原点对称的点的坐标为，
关于原点对称的点，
关于原点对称的点，
关于原点对称的点．
顺次连接，得到，即为所求（见下图）．
（2）解： 点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为，
旋转后的对应点，
旋转后的对应点，
旋转后的对应点．
顺次连接，得到，即为所求（见上图）．
考点三 中心对称
中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（或中心对称），这个点叫做对称中心。
中心对称的性质：
① 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分，即、点O为；
② 成中心对称的两个图形全等。
中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，因此旋转的性质对中心对称同样成立。
⚠️概念辨析
辨析1：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系——一个图形绕点旋转180°后能与另一个图形重合
辨析2：中心对称的对称中心是“对应点连线的中点”，这一性质是证明某点为对称中心、或找对称中心的关键。
⚠️记忆口诀
中心对称：绕点转半圈（180°），两图形能重合；对应点连成线，对称中心在中间（中点）。
⚠️易混易错
易错1：误把旋转180°写成旋转90°或其它角。
易错2：说“两个图形中心对称”时，忘记指出对称中心或对应点。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：中心对称必须旋转180°，不是任意角度。
❌ 避坑2：找对称中心时，连接一对对应点，取线段中点即可，不必找出所有对应点。
❌ 避坑3：中心对称强调“两个图形”，叙述时不要与“中心对称图形”混为一谈。
【针对训练】
【例3】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴，，，；
故只有选项D不成立；
故选D．
【变式训练3】如图，与关于点D中心对称，连接，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵与关于点D中心对称，
∴，，，，
∴，，
∴选项A、C、D正确；
无法证明，
∴选项B错误；
故选：B．
考点四 中心对称图形
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
常见中心对称图形：线段、平行四边形（含矩形、菱形、正方形）、圆、正偶数边形（正2n边形）、偶数角星形等。
不是中心对称图形的例子：等边三角形、等腰三角形（非等边）、正五边形、正奇数边形、一般梯形、角等。
⚠️概念辨析
辨析1：中心对称是“两个图形”之间的关系；中心对称图形是“一个图形”自身的性质。
辨析2：联系——若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体是中心对称图形；反之，中心对称图形可看作由关于对称中心对称的两部分拼合而成。
辨析3：一个图形可以同时既是轴对称图形又是中心对称图形（如线段、矩形、菱形、正方形、圆），也可以只具备其一或都不具备。
⚠️记忆口诀
中心对称图形：绕点转半圈，还能回自己；线段平四圆，正偶边形记心间。
⚠️易混易错
易错1：把“中心对称”与“中心对称图形”两个概念混淆，答题时表述张冠李戴。
易错2：误判等边三角形、正五边形为中心对称图形。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：判断中心对称图形时，绕对称中心转180°后要与“自身”重合，不是与另一图形重合。
❌ 避坑2：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，勿混淆两类对称。
❌ 避坑3：正偶数边形是中心对称图形，正奇数边形不是，判断时数清边数。
【针对训练】
【例4】国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议，下列四个图形分别是四届大会的会标，其中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：观察图形，A、B、D选项中图形均可绕图形中心旋转后与原图形重合，只有C选项不满足中心对称图形的定义．
【变式训练4】下列消防安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
根据中心对称图形的定义可得选项D符合题意．
考点五 关于原点对称的点的坐标
坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为（横、纵坐标都互为相反数）。
三种对称对比（重要）：
对称方式
坐标变化
记忆要点
关于原点对称
横、纵坐标都变号
关于x轴对称
横坐标不变，纵坐标变号
关于y轴对称
纵坐标不变，横坐标变号
中点坐标公式：若、，则线段AB中点M的坐标为。
⚠️概念辨析
辨析1：关于原点对称与关于x轴、y轴对称的区别只在于“哪个坐标变号”。原点对称横纵坐标都变，x轴对称只变纵坐标，y轴对称只变横坐标。
辨析2：中心对称的坐标本质——若两图形关于原点对称，则对应顶点坐标互为相反数；若对称中心是其他点，则需用中点公式推求。
⚠️记忆口诀
坐标规律：关于原点都变号，关于x轴纵变号，关于y轴横变号，中点坐标一半和。
⚠️易混易错
易错1：把关于原点对称写成只变一个坐标。
易错2：中点坐标公式中分子相加后忘记除以2。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：变号是“取相反数”，不是简单的负号叠加，如点关于原点对称应为。
❌ 避坑2：分清是关于原点、关于x轴还是关于y轴对称，先看清条件再变号。
❌ 避坑3：用中点公式时，对应坐标要相加后取一半，勿误用两坐标相减。
【针对训练】
【例5】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为．
【变式训练5】若点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数，据此先求出、的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称
∴两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数
∴，
∴，
故选：A．
典例精析
题型01利用旋转的性质求角的度数
【典例】如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是______．
【答案】或度
【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答．
【详解】解：∵，，
故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示：
由旋转性质得
则，
∴，
∵，
∴，
故，
即，
故答案为：．
【变式】如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当________时，为等腰三角形．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是表示出各个内角，再分三种情况，根据等边对等角列方程求解．
【详解】解：由旋转可知：，
∴，
∴，
而，
当时，
，即，无解；
当时，
，即，
解得：；
当时，
，即，
解得：；
综上：当或时，为等腰三角形．
故答案为：或．
题型02利用旋转的性质求线段的长度
【典例】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接!则的长是________．
【答案】
【分析】连接，过作交的延长线点，则，利用勾股定理求出，即得到，解题即可．
【详解】∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
连接,则为等边三角形，
∴°
∵，
∴，
∴过作交的延长线点，
∴
∴在中，
，
∴，
∴,
∴在中，
，
故答案为:．
【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
【变式】3．如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则______．
【答案】8
【分析】首先根据题意可得，，，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，易知，再证明 ，由全等三角形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，然后计算的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
如下图，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，
则，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，可有，
即，解得，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
题型03利用旋转的性质求面积
【典例】如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到、分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质．含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据旋转的性质得到，，求得是等边三角形，，得到，，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
∵为的中点，
∴，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积，
故选：B．
【变式】如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于______．
【答案】
【分析】先利用旋转的性质得到，再解直角三角形可计算出、、、，然后利用图中阴影部分的面积进行计算．
【详解】解：如图所示：
是等边三角形，，
，，
绕点顺时针旋转得到，
，
在中，，，则，即；
同理，可得；
，由勾股定理可得，
，
，
在中，，则，从而得到，由勾股定理可得，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，勾股定理，含的直角三角形性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握旋转性质，数形结合是解决问题的关键．
题型04平面直角坐标系中的旋转变换
【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
(1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出；
(2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标．
【答案】(1)
就是所求的三角形，如图：
(2)如图就是所求的三角形，．
【分析】（1）先找到点A、B、C平移后的对应点、、，依次连接即可；
（2）线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，，即可．
本题考查了坐标与图形变换-平移和旋转，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：点，，向下平移2个单位，再向左平移5个单位得，，，即，，，依次连接，，；
（2）解：线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接；
由图可知，点的坐标为：．
【变式】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点A逆时针旋转的．
(2)作出关于原点O成中心对称的．
(3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标
(4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)或或
【分析】本题主要考查作图----旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
（1）作出的对应点即可；
（2）作出的对应点即可；
（3）作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，求出与的交点坐标即可；
（4）画出点D的位置，写出坐标即可
【详解】（1）解：如图，即为所作
（2）解：即为所作
（3）解：作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，如图，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
所以，直线的解析式为，
令，得，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图，
由图得，第四个顶点D的坐标为或或，
故答案为：或或
题型05与旋转有关的探究性问题
【典例】综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接；
第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，点D是的中点，
∴，．
∴．
由操作可知：，，，，
∴是等边三角形．
∵．
∴．
∴．
∴；
（2）仍然成立．理由如下：
连接，，如图所示，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形．
（1）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质证是等边三角形，再证即可；
（2）连接，，根据证明，再证四边形是平行四边形即可得；
（3）作于G，根据勾股定理计算和的长，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）．
作于G，如图所示，
∵是等边三角形，，
∴．
∴．
∴．
∴．
【变式】在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)探究发现
如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ．
(2)类比延伸
如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由．
(3)迁移应用
如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)
解：，理由如下：
如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
(3)．
【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论．
【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）略
（3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
题型06识别中心对称图形
【典例】下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【变式】等边三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】两者都是的是矩形，菱形，正方形；
其中等边三角形和等腰梯形都只是只是轴对称图形二不是中心对称图形；
故选B
题型07中心对称的性质的运用
【典例】如图，中，，，．作出关于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
【答案】D
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，继而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵中，，，．
∴,,
∴,
∵作出共于点A成中心对称的，
∴,，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形是平行四边形是解题的关键．
【变式】如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为_____．
【答案】
【分析】先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出、的长即可解决问题．
【详解】解：在中，，，，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理，得，，
．
【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的面积等知识，证明是直角三角形是解题的关键．
题型08与中心对称有关的探究问题
【典例】6．如图，是等边三角形，边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）．
操作探究1：在图中作出关于点O的中心对称图形，连接，，则四边形的形状是__________．
操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），与关于O成中心对称，当在C的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由．
操作探究3：若是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出关于点O的中心对称图形．的一个参考图形，连接，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案．
【答案】操作探究1：
补全图形如下所示；平行四边形；
操作探究2：
解：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
操作探究3：或或．
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的性质等等：
操作探究1：先根据题意画图，再由中心对称图形的定义可得，据此可证明结论；
操作探究2：根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论；
操作探究3：分当点C在线段上时，当点B在线段上时，当点O在线段上时，三种情况根据正方形的性质讨论求解即可．
【详解】解：操作探究1：
由中心对称图形的性质可得，
∴四边形是平行四边形；
操作探究2：略
操作探究3：如图3-1所示，当点C在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴；
如图3-2所示，当点B在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
如图3-3所示，当点O在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
综上所述，或或．
【变式】阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分.
我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．
问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来
问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分．
问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．
【答案】
问题1：如图直线平分平行四边形的面积：
问题2：如图直线平分图8的面积；
问题3：如图直线平分整个图形的面积
问题4：见详解，
【分析】问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线即可；
问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积，过圆心作直线即可平分图8的面积；
问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线即可平分整个图形的面积；
问题4：如图作直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；用待定系数法可得该直线的表达式为．
本题考查一次函数的应用，涉及平分图形的面积，解题的关键是掌握过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积．
【详解】解：问题1：略
问题2：略
问题3：略
问题4：如图：
，
直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；
设直线的表达式为，
将代入得：，
解得，
该直线的表达式为．
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意
2．已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
【答案】D
【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出和的值，再计算即可得到结果．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴．
3．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得，，可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可．
【详解】解：由旋转可得，，，
∴是等腰三角形，
∴．
4．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论．
【详解】解：如图，．
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，即，
四边形是矩形，，
，且平行于轴，
故上点的纵坐标均为，
点在边上，
点的纵坐标为，
点与点关于点成中心对称，
点是线段的中点，
设，则，
解得，
点在反比例函数图象上，
，
解得，
点的坐标为．
6．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】A
【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确．
【详解】解：如图所示：连接，过点O作，垂足为D，
∵是正三角形，
∴，，
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确，符合题意；
连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，故结论②正确，符合题意；
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，故结论③正确，符合题意；
四边形的面积为：，
过点O作，
∵是等边三角形，
，
，
，
∴四边形的面积为，故结论④不正确，不符合题意；
如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，且，
同结论④证明过程可求得：，，
∴，故结论⑤正确，符合题意；
综上所述：结论①②③⑤正确，
7．如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据题意可得点、关于原点中心对称，求出，即的横坐标为，代入反比例函数解析式即可解答．
【详解】解：反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，
∴点、关于原点中心对称，
即，
∵轴于点C，轴于点D，
∴，
∴ ．
∵，
∴，
∵点在第二象限，
∴的横坐标为．
将代入反比例函数，得，
因此点的坐标为．
8．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________．
【答案】32
【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴，
∴正方形的面积，
根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，
∴阴影的面积是图中正方形面积的一半，
∴阴影部分的面积．
9．如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________．
【答案】
【分析】首先求出抛物线与轴的交点的坐标，设点，然后由旋转的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到直线，
设抛物线与轴的交点为，
时，，
，
设点，由题意得，，
，
（负值舍去），
∴点的坐标为．
10．在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点，的对应点分别为点，，连接．
(1)如图①，当点落在的延长线上时，求．
(2)如图②，连接，交于点．当时，证明四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)证明：由旋转的性质可得，，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【分析】（1）证明得到，则，，即；
（2）由旋转的性质可得，，，由等边对等角和三角形内角和定理可求出，
，则可证明，据此可证明结论．
【详解】（1）解：∵点落在的延长线上，
∴，
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）略
11．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据旋转的定义得到，再根据角的和差关系即可得到度数．
【详解】解：把绕点顺时针旋转得到，
由旋转的定义得和均为旋转角，且，
，
．
12．如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点，，在同一条直线上，
∴，
∴旋转角等于．
13．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果.
【详解】解：由旋转的性质可得出，，，
过点作于点D，如图，
∴，
∴，
∴．
14．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为N．
15．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，当点落在边上时，求的长（ ）
A．6 B． C． D．12
【答案】A
【分析】当点落在边上时，过点A作于点D，利用含30度角的直角三角形的性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得．利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，进而利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当点落在边上时，过点A作于点D，
则
在中，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
由旋转得，，
∴，
∴，
∴．
16．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】利用旋转的性质得出四边形 AECF的面积等于正方形 ABCD的面积，进而可求
出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】绕点顺时针旋转到的位置．
四边形的面积等于正方形的面积等于20，
，
，
中，
故选．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应
边关系是解题关键．
17．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________．
【答案】
/40度
【分析】根据旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质求出和的度数，再利用平角的定义即可求解．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∵点D在边上 ，
∴，
∴．
18．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点到点的方向，把铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转、、的度数后，笔尖方向变为点到点的方向，这种变化说明______．
【答案】三角形内角和等于
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于，进行解答即可．
【详解】解：铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转、、的度数，
旋转角度之和为，
笔尖方向变为点到点的方向，
旋转角度之和为，
这种变化说明三角形内角和等于．
19．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______．
【答案】1.8
【分析】先由平移的性质得到，，，再由旋转的性质得到，则是等边三角形，，再根据即可求解．
【详解】解：∵将沿射线的方向平移，得到，
∴，，，
∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，．
(1)求点的坐标；
(2)求直线与轴的交点的坐标；
(3)根据图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出、的长度，再根据矩形坐标特点写出点坐标；
（2）由（1）得到点的坐标，将、两点坐标代入，解二元一次方程组求出，，再令求得直线与轴交点的横坐标，从而可得到点的坐标；
（3）不等式代表在范围内，一次函数图像位于轴上方且在反比例函数图像下方，结合点和点的横坐标，直接得出对应的取值范围即可．
【详解】（1）解：由旋转得，，
，
，
，即，
，
，解得，
，，
四边形是矩形，
，，
；
（2）解：由（1）得，
，
把，代入得，解得，
，
令得，解得，
；
（3）解：，
应取轴正半轴上的图象在上方的部分，
当时，．
21．在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的中心对称性得到经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，进而求出阴影部分的面积.
【详解】解：，
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，
根据中心对称的性质：经过对称中心的直线，会把平行四边形分成完全全等（面积相等）的两部分，且关于对称中心对称的两个图形，面积一定相等，
本题中、、都经过对角线的交点（对称中心），因此每一块阴影区域，都存在一块和它关于对称中心中心对称的空白区域，二者面积相等；
由此可推：所有阴影部分的面积之和平行四边形面积的一半，
.
22．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理求出，再利用三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：将绕顶点逆时针旋转得到，
，
，
是的外角，
，
．
23．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质得到，可知，，进而求出，将代入计算即可．
【详解】解：点的坐标为，绕点逆时针旋转，
∴，
，，
故，
将代入中，得．
24．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，则点的横坐标是（ ）
A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5
【答案】D
【分析】先求出，，，，各点的坐标，再根据规律解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
在中，
，
由旋转得，，，
∴，，
∴，，，，
∴点的横坐标是．
25．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______．
【答案】
【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可.
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴.
26．如图，绕点顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点，、相交于点，则的度数为__________度．
【答案】20
【分析】由旋转知，，得，，可证，于是．可证．
【详解】解：由旋转知，，得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
27．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质得出的度数，由旋转的性质得出，，结合点在上得出，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得，，
，，
，
由旋转的性质可知，，，
点落在线段上，
，
，
在中，由勾股定理得．
28．如图①，为等边三角形，，分别为，上的动点，且，易证．如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点．
问题解决：
(1)若，求，的度数（用表示），你能得出什么一般性的结论：
(2)求证：；
(3)若，在点的运动过程中，由，，，四个点构成的四边形的面积为时，求的长．
【答案】(1)，；
(2)证明：由（1）得：，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(3)2
【分析】（1）结合等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再由旋转的性质得：，从而得到，即可求解；
（2）证明，可得，再证明，即可求证；
（3）分别过点B，F作，垂足分别为点M，N，连接，根据，可得，从而得到，再求出，根据，，，四个点构成的四边形的面积为，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：如图，分别过点B，F作，垂足分别为点M，N，连接，
由（2）得，
∴，，
∴，
∴，即，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵由，，，四个点构成的四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
第二十八章 旋转《易错点讲义》单元复习
资料板块目录表
知识梳理
针对训练
题型01利用旋转的性质求角的度数
题型02利用旋转的性质求线段的长度
题型03利用旋转的性质求面积
题型04平面直角坐标系中的旋转变换
题型05与旋转有关的探究性问题
题型06识别中心对称图形
题型07中心对称的性质的运用
题型08与中心对称有关的探究问题
A组 基础巩固
B组 拔高提升
C组 思维拓展
必备知识
考点一 图形的旋转
旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。三者缺一不可，确定一次旋转必须同时指明中心、方向与角度。
旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，如。
旋转的三条性质：
① 对应点到旋转中心的距离相等，即、；
② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即；
③ 旋转前后的图形全等，即。
上述性质可概括为“保距离、保夹角、保全等”，即旋转只改变图形的位置，不改变其形状与大小。
⚠️概念辨析
辨析1：旋转与平移、轴对称一样，都是“保距变换”，变换前后图形全等；区别在于旋转围绕一个定点转动，平移沿方向移动，轴对称沿直线翻折。
辨析2：旋转中心可以位于图形内部、外部或图形上（如绕顶点旋转）。旋转中心不同，旋转效果不同。
辨析3：旋转角不一定是特殊角。旋转角只取决于“对应点与旋转中心连线”的夹角，与图形边的大小无关。
⚠️记忆口诀
旋转三要素：中心方向角度齐，缺一不可别忘记。
旋转性质：对应点连中心，距离相等有保证；夹角就是旋转角，前后图形全等牢。
⚠️易混易错
易错1：漏写旋转方向。写“绕点O旋转60°”不严谨，应写“绕点O顺时针（或逆时针）旋转60°”。
易错2：旋转角与图形内角混淆。图形内角是图形自身的角，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，两者含义不同。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：找旋转角时，必须连接“对应点与旋转中心”，取两条连线的夹角，不能误把图形任意两条边的夹角当旋转角。
❌ 避坑2：描述旋转必须“三要素齐全”，漏说旋转方向（顺时针/逆时针）或旋转角都算表述不完整。
❌ 避坑3：旋转中心不一定是图形上的点，作图和证明时先在图中标出旋转中心，再连对应点。
【针对训练】
【例1】如图，在中，，将绕点A旋转得到，连接．若，则的度数为（ ）
A．25° B．45° C．35° D．30°
【变式训练1】如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
考点二 旋转作图
作图步骤（四步）：
第一步（连）：连接图形的关键点与旋转中心；
第二步（定）：确定旋转方向与旋转角；
第三步（转截）：把每个关键点绕旋转中心按方向转动指定角，并截取与旋转中心距离相等的对应点；
第四步（连）：按原图形的顺序连接各对应点，标注字母，得到旋转后的图形。
作图依据是旋转的性质：对应点到旋转中心距离相等、对应点连线夹角等于旋转角。
⚠️概念辨析
辨析：旋转中心在图形内部、外部或顶点上时，作图方法相同，只是旋转中心位置不同。若旋转中心在顶点上，该顶点对应的对应点即它本身（不动点）。
⚠️记忆口诀
旋转作图：一连二定三转截，最后顺序连成图；关键点找全，方向角度不糊涂。
⚠️易混易错
易错1：把旋转中心当旋转后图形的一个顶点，导致图形位置偏移。
易错2：只旋转一个关键点而漏掉其余顶点，得到的图形不完整。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：关键点要找全，尤其要包含图形的所有顶点；漏一个点，作图就错。
❌ 避坑2：用圆规或量角器保证“等距+定角”，不能用目测估画。
❌ 避坑3：旋转方向反了，图形位置就错，作完要检验对应点与旋转中心连线夹角是否等于旋转角。
【针对训练】
【例2】如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的．
考点三 中心对称
中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（或中心对称），这个点叫做对称中心。
中心对称的性质：
① 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分，即、点O为；
② 成中心对称的两个图形全等。
中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，因此旋转的性质对中心对称同样成立。
⚠️概念辨析
辨析1：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系——一个图形绕点旋转180°后能与另一个图形重合
辨析2：中心对称的对称中心是“对应点连线的中点”，这一性质是证明某点为对称中心、或找对称中心的关键。
⚠️记忆口诀
中心对称：绕点转半圈（180°），两图形能重合；对应点连成线，对称中心在中间（中点）。
⚠️易混易错
易错1：误把旋转180°写成旋转90°或其它角。
易错2：说“两个图形中心对称”时，忘记指出对称中心或对应点。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：中心对称必须旋转180°，不是任意角度。
❌ 避坑2：找对称中心时，连接一对对应点，取线段中点即可，不必找出所有对应点。
❌ 避坑3：中心对称强调“两个图形”，叙述时不要与“中心对称图形”混为一谈。
【针对训练】
【例3】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3】如图，与关于点D中心对称，连接，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
考点四 中心对称图形
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
常见中心对称图形：线段、平行四边形（含矩形、菱形、正方形）、圆、正偶数边形（正2n边形）、偶数角星形等。
不是中心对称图形的例子：等边三角形、等腰三角形（非等边）、正五边形、正奇数边形、一般梯形、角等。
⚠️概念辨析
辨析1：中心对称是“两个图形”之间的关系；中心对称图形是“一个图形”自身的性质。
辨析2：联系——若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体是中心对称图形；反之，中心对称图形可看作由关于对称中心对称的两部分拼合而成。
辨析3：一个图形可以同时既是轴对称图形又是中心对称图形（如线段、矩形、菱形、正方形、圆），也可以只具备其一或都不具备。
⚠️记忆口诀
中心对称图形：绕点转半圈，还能回自己；线段平四圆，正偶边形记心间。
⚠️易混易错
易错1：把“中心对称”与“中心对称图形”两个概念混淆，答题时表述张冠李戴。
易错2：误判等边三角形、正五边形为中心对称图形。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：判断中心对称图形时，绕对称中心转180°后要与“自身”重合，不是与另一图形重合。
❌ 避坑2：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，勿混淆两类对称。
❌ 避坑3：正偶数边形是中心对称图形，正奇数边形不是，判断时数清边数。
【针对训练】
【例4】国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议，下列四个图形分别是四届大会的会标，其中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4】下列消防安全标志图中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点五 关于原点对称的点的坐标
坐标规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为（横、纵坐标都互为相反数）。
三种对称对比（重要）：
对称方式
坐标变化
记忆要点
关于原点对称
横、纵坐标都变号
关于x轴对称
横坐标不变，纵坐标变号
关于y轴对称
纵坐标不变，横坐标变号
中点坐标公式：若、，则线段AB中点M的坐标为。
⚠️概念辨析
辨析1：关于原点对称与关于x轴、y轴对称的区别只在于“哪个坐标变号”。原点对称横纵坐标都变，x轴对称只变纵坐标，y轴对称只变横坐标。
辨析2：中心对称的坐标本质——若两图形关于原点对称，则对应顶点坐标互为相反数；若对称中心是其他点，则需用中点公式推求。
⚠️记忆口诀
坐标规律：关于原点都变号，关于x轴纵变号，关于y轴横变号，中点坐标一半和。
⚠️易混易错
易错1：把关于原点对称写成只变一个坐标。
易错2：中点坐标公式中分子相加后忘记除以2。
⚠️避坑指南
❌ 避坑1：变号是“取相反数”，不是简单的负号叠加，如点关于原点对称应为。
❌ 避坑2：分清是关于原点、关于x轴还是关于y轴对称，先看清条件再变号。
❌ 避坑3：用中点公式时，对应坐标要相加后取一半，勿误用两坐标相减。
【针对训练】
【例5】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5】若点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．1
典例精析
题型01利用旋转的性质求角的度数
【典例】如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是______．
【变式】如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当________时，为等腰三角形．
题型02利用旋转的性质求线段的长度
【典例】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接!则的长是________．
【变式】3．如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则______．
题型03利用旋转的性质求面积
【典例】如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到、分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式】如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于______．
题型04平面直角坐标系中的旋转变换
【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
(1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出；
(2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标．
【变式】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点A逆时针旋转的．
(2)作出关于原点O成中心对称的．
(3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标
(4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
题型05与旋转有关的探究性问题
【典例】综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接；
第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【变式】在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)探究发现
如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ．
(2)类比延伸
如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由．
(3)迁移应用
如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值．
题型06识别中心对称图形
【典例】下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型07中心对称的性质的运用
【典例】如图，中，，，．作出关于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
【变式】如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为_____．
题型08与中心对称有关的探究问题
【典例】如图，是等边三角形，边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）．
操作探究1：在图中作出关于点O的中心对称图形，连接，，则四边形的形状是__________．
操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），与关于O成中心对称，当在C的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由．
操作探究3：若是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出关于点O的中心对称图形．的一个参考图形，连接，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案．
【变式】阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分.
我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．
问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来
问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分．
问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
3．如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤
7．如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________．
8．如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________．
9．如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________．
10．在中，，，将绕点顺时针旋转（）得到，其中点，的对应点分别为点，，连接．
(1)如图①，当点落在的延长线上时，求．
(2)如图②，连接，交于点．当时，证明四边形是平行四边形．
11．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
14．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
15．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，当点落在边上时，求的长（ ）
A．6 B． C． D．12
16．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
17．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________．
18．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点到点的方向，把铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转、、的度数后，笔尖方向变为点到点的方向，这种变化说明______．
19．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，．
(1)求点的坐标；
(2)求直线与轴的交点的坐标；
(3)根据图象，直接写出当时的取值范围．
21．在平行四边形中，、为对角线，、、都经过对角线的交点，若，边上的高为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，则点的横坐标是（ ）
A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5
25．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______．
26．如图，绕点顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点，、相交于点，则的度数为__________度．
27．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，当点落在线段上时，连接，则的长为____________．
28．如图①，为等边三角形，，分别为，上的动点，且，易证．如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点．
问题解决：
(1)若，求，的度数（用表示），你能得出什么一般性的结论：
(2)求证：；
(3)若，在点的运动过程中，由，，，四个点构成的四边形的面积为时，求的长．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
