第二十八章 《旋转》讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册
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内容正文：
第二十八章 旋转
【人教版】
目录
第二十八章 旋转 1
知识点总结 3
知识点一 旋转的相关概念 3
知识点二 旋转的性质 3
知识点三 旋转作图 3
知识点四 成中心对称的定义及性质 3
知识点五 中心对称作图 4
知识点六 中心对称图形及性质 4
知识点七 关于原点对称的点的坐标 5
知识点八 图案设计 5
题型总结与练习 7
题型一 判断生活中的旋转现象 7
题型二 判断由一个图像旋转而成的图案 8
题型三 确定旋转中心、旋转角、对应点 10
题型四 旋转中的规律问题 12
题型五 旋转的性质及辨析 16
题型六 求点绕原点旋转的坐标 19
题型七 旋转与几何综合问题（一） 24
题型八 旋转与几何综合问题（二） 30
题型九 成中心对称图像的性质 41
题型十 中心对称图形的判断 44
题型十一 关于原点对称的点坐标 45
2 / 44
1 / 44
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知识点总结
知识点一 旋转的相关概念
1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向．
知识点二 旋转的性质
1. 对应点到旋转中心的距离相等．
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3. 旋转前、后的图形全等．
知识点三 旋转作图
将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤：
（1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°．
（2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM．
（3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角．
（4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F．
（5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示．
知识点四 成中心对称的定义及性质
1. 成中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
2. 成中心对称的性质
（1）成中心对称的两个图形是全等图形；
（2）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
知识点五 中心对称作图
作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤：
（1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O．
（2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'．
（3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示．
知识点六 中心对称图形及性质
1. 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心．
2. 中心对称图形的性质
（1）对称点的连线被对称中心平分；
（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分．
3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．
知识点七 关于原点对称的点的坐标
如图，点P关于x轴对称的点为P1，关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3，关于直线y＝x 对称的点为P4，关于直线y＝－x 对称的点为P5．
简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变．
知识点八 图案设计
一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
1. 利用平移设计图案
确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
2. 利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
3. 利用旋转设计图案
利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案．
4.几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条直线上）且相等．
（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这两条直线（线段）的夹角被对称轴平分．
（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
题型总结与练习
题型一 判断生活中的旋转现象
【例题 1】（2026·广东佛山·三模）下列运动属于旋转的是（ ）
A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片
【答案】D
【详解】解：A．国旗上升的过程是沿竖直方向的平移，不属于旋转，不符合题意；
B．在笔直公路上行驶的汽车整体沿水平方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意；
C．传输带运输的物品沿传输方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意；
D．工作中的风力发电机叶片绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合题意．
【练习 1.1】（2026·江苏盐城·二模）如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】C
【详解】解：三兔共耳图案主要涉及的图形变换是旋转．
【练习 1.2】小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（ ）图标．
A．（放大） B．（缩小）
C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转）
【答案】D
【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可．
【详解】解：因为想把这张图片放正，
所以应点击（顺时针旋转）．
故选：D．
【练习 1.3】对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（ ）
A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称
【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．
根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转．
故选：A．
题型二 判断由一个图像旋转而成的图案
【例题 2】临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了面动成体的几何原理，解题的关键是判断平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形的形状．先分析题干中平面图形的轮廓特征，再与选项中立体工艺品的形状进行匹配，即可得出答案．
【详解】解：题干中的平面图形左右两侧向内凹陷，呈“腰鼓”状的对称曲线．
A、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意；
B、该立体上下宽、中间窄，呈“腰鼓”状，与题干平面图形旋转后的形状一致，此选项符合题意；
C、该立体中间鼓、上下窄，由不同曲线旋转得到，此选项不符合题意；
D、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意．
故选：B．
【练习 2.1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形的旋转和翻转，理解R、L、V、H的意思是解决本题的关键．
根据题意得，先向右旋转，再垂直翻转即可得到图形．
【详解】解：由题意可得，先操作R，即向右旋转，
可得如下图：
再操作V，即垂直翻转，
可得如下图：
故选A．
【练习 2.2】（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了判断由一个图形旋转而成的图形，发挥自身的空间想象能力是解题的关键．根据旋转的定义即可直接得出答案．注意，要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转．
【详解】
解：根据旋转的定义，将 按顺时针方向旋转后的图形是 ，
故选：．
【练习 2.3】下列图形中不能由下图旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转．
【详解】
解：是通过轴对称得到的，不是通过旋转得到的．
故选：C．
题型三 确定旋转中心、旋转角、对应点
【例题 3】（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____．
【答案】
【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可．
【详解】解：连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图：
∴旋转中心是图中的点G，坐标为．
【练习 3.1】图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（ ）
A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转
C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转
【答案】D
【分析】根据分针每分钟转动的角度及时间差确定旋转方向和角度．
【详解】解：钟面上分针走一圈是60分钟，对应的圆心角是，
∴ 分针每分钟转过的角度是，
∵ 钟表快了10分钟，
∴ 分针多走了10分钟，需要将分针逆时针旋转回调，
∴ 旋转的角度为，
∴ 应该将分针按逆时针方向旋转．
【练习 3.2】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角．
【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到，
∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是．
∵，
∴．
即旋转角为．
【练习 3.3】如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，
，，为旋转角，不是旋转角．
题型四 旋转中的规律问题
【例题 4】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，求出，，，，，，，，…，由此可得，8次一循环，计算即可得．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
如图，连接，
由勾股定理可得：，
由旋转的性质可得：，
∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，
∴相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到，
∴，，，，，，，，…，
由此可得，8次一循环，
∵，
∴点的坐标为．
【练习 4.1】在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________．
【答案】
【分析】．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律，
每4次循环一周，即，即，即，即，
，
点与同在一个象限内，
点．
【练习 4.2】（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可．
【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，，
∴，
∵绕原点O逆时针转动至，
∴，
∵绕原点O逆时针转动至，
∴，
∵绕原点O逆时针转动至，
∴，
即点与点A重合，
∴点A每旋转4次为一个循环，
∵，
∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为．
【练习 4.3】正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键．
按题意画出图，找到规律判断即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5，
第二次变换后，朝上的点数为6，
第三次变换后，朝上的点数为3，
由此可知，连续3次变换是一个循环．
∴，
∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5，
故选：C．
题型五 旋转的性质及辨析
【例题 5】（2026·吉林长春·中考真题）如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（ ）
A．沿直线翻折 B．沿直线翻折
C．向右平移2个单位 D．绕点逆时针旋转
【答案】D
【分析】首先证明，连接，交于点O，连接，，得到，，，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，分别为边，的中点，
∴，
∴，
∵点为正方形的中心，
∴连接，交于点O，连接，，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点O是的中点，点E是的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，
∴绕点O逆时针旋转得到．
【练习 5.1】平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（ ）
A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等
C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上
【答案】D
【分析】本题考查几何变换的类型，平行线的性质，利用平移，轴对称，旋转的性质一一判断即可．
【详解】解：平移、轴对称、旋转所具有的共同性质：变换前后两个图形重合，对应线段相等，对应角相等，
故选：D．
【练习 5.2】如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（ ）
A．与是对应点 B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，
∴点A与点D是对应点，点C与点F是对应点，故A选项错误；
与，与是对应线段，则，，故B选项错误；
与是旋转角，，则，即，故C选项正确；
无法判断，的位置关系，故D选项错误．
【练习 5.3】经过对称、平移或旋转变换后的图形，所具有的性质是（ ）
A．形状不变，大小改变 B．大小不变，形状改变
C．形状和大小都不变 D．形状和大小都改变
【答案】C
【分析】本题考查对称、平移、旋转变换的基本性质，这三种变换都属于全等变换，仅改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
【详解】解：∵对称、平移、旋转变换都属于全等变换，变换前后的图形全等，
∴ 变换后图形的形状和大小都不会发生改变．
题型六 求点绕原点旋转的坐标
【例题 6】（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、．
(1)请你在图中画出；
(2)写出点的坐标．
【答案】(1)如图即为所求；
(2)
【分析】（1）根据旋转的方式，分别画出点、、的对应点、、，再顺次连接即可得到；
（2）结合图形写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：由坐标系可得，点的坐标为．
【练习 6.1】（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到．
(1)写出，两点的坐标；
(2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标；
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可；
（2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵将绕点按顺时针旋转，得到，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：∵抛物线过点，，
∴可设抛物线的解析式为，
∵在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点的坐标为；
【练习 6.2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的．
(2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的．
(3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据平移方式可得点的坐标，据此作图即可；
（2）根据旋转方式和网格的特点确定点的位置，再作图即可；
（3）根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：设点D的坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴和的中点的坐标相同，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
【练习 6.3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点O顺时针旋转，得．
(1)某抛物线经过点，B，，求该抛物线的表达式；
(2)点M为第一象限内的抛物线上的一动点，使得四边形是平行四边形．请写出M的坐标______．
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先确定B点坐标，二次函数解析式设为交点式，代入点，求解即可；
（2）作，求出M点坐标，进而验证；
（3）根据点A、B、的坐标得出及的长，从而求出的面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，由旋转的性质得，，
∴，
设抛物线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作交抛物线于M点，
∵，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：∵，，，，
∴，
∴．
题型七 旋转与几何综合问题（一）
【例题 7】（2026·北京昌平·二模）如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点．
(1)求的度数；
(2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质，，可得为等腰三角形，为等腰三角形，可得， ，即可求出；
（2）过点作交于，先证明，可得，再在中得到，进而得到线段，，的数量关系．
【详解】（1）解：等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，
，，
为等腰三角形，为等腰三角形，
，
为旋转角，，
，
，
，
（2）解：如图，过点作交于，
由（1）得，
，
，
，，
在和中，，
，
．
由（1）得，
在中，，
，
，即，
，
即．
【练习 7.1】（2026·广东东莞·一模）如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____．
【答案】
【分析】过点作，利用一线三垂直证得，得到，从而得到，找出点是在的角平分线上运动，利用点到直线垂线段最短求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，
∴，
∴，
又，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点在的角平分线上运动，
作的角平分线，过点作交于点，交于点，
当点与点重合时，取得最小值，
∵是的角平分线，
∴
在中，,
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵PG=DP,CG=，
∴，
∴，
即的最小值为．
【练习 7.2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（ ）
A．9，18 B．9，10 C．3， D．3，
【答案】C
【分析】过点作轴的垂线，根据全等三角形的判定与性质，得出点在直线上，据此求出的最大值及最小值即可．
【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，
由旋转可知，，
所以，
所以．
在和中，
，
所以，
所以，
所以点在直线上．
当与直线垂直时，取得最小值，
因为点坐标为，
所以的最小值为．
当点在点处时，
点坐标为，
则；
当点在点处时，
点坐标为，
则，
因为，
所以的最大值为，
显然只有C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的大小比较等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
【练习 7.3】（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是_________．
【答案】
【分析】连接，，相交于点H，与交于点K，根据正方形的性质可得，，，从而利用等式的性质可得，进而可证，然后利用全等三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后根据四边形面积的面积的面积=，当取最大值时，四边形面积最大，进行计算即可解答．
【详解】解：连接，，相交于点H，与交于点K，
∵四边形，四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形面积的面积的面积
，
∴当取最大值时，四边形面积最大，
∴当时，最大，
∴四边形面积的最大值.
题型八 旋转与几何综合问题（二）
【例题 8】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到．
(1)如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长；
(2)如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积；
(3)如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合菱形的性质，证明，即可得解；
（2）连接交于点，证明是等边三角形，证明，即可求出结论；
（3）连接，作于点，证明是等边三角形，设，根据勾股定理列方程求出即可．
【详解】（1）解：由题意知，菱形中，，，
∴，，
∵E是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：连接交于点，如图，
在菱形中，，，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵E是边上的中点，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，作于点，
在菱形中，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
由折叠的性质知，，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
设，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【练习 8.1】如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____
【答案】6
【分析】过点E作于点G，证明，得到，；再证明，得到，则．
【详解】解：如图所示，过点E作于点G，
∴，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【练习 8.2】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，二次函数的图象经过，两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求面积的最大值及点P的坐标；
(3)动点Q为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点Q旋转，使点A的对应点D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)点Q的坐标为或或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值时，有最大值，可求出的最大值为；
（3）分顺时针和逆时针旋转两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点，
∴，解得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于E，连接，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，，
∴当，即时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为，此时；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
设点Q的坐标为，
当线段绕点Q逆时针旋转时：
①如图所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，则；
∴，
∴；
∵，
∴；
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
②如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
当线段绕点Q顺时针旋转时：
①当点在轴上方时，如图，
同法可得：，
∴，
解得或（舍去）；
∴；
当点在轴下方时，如图，
同法可得：，
∴，
解得或（舍去）；
∴；
综上，点Q的坐标为或或或．
【练习 8.3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图①，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为．
(1)如图②，当时，连接，填空：与的数量关系为______；与的位置关系为：______；
(2)当时，与交于点F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图③写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当旋转到时，请画出图形并求出的长．
【答案】(1)；
(2)解：结论还成立，证明过程如下：
由题意得，，，，
∴
∴，
∴，；
如图所示，设与交于点G，
同理可证明，
∴，
∴结论仍然成立；
(3)或
【分析】（1）证明，得到；延长交于点T，由旋转的性质可得点E在上，可证明，得到；
（2）证明，得到，；设与交于点G，同理可证明，则，结论仍然成立；
（3）分图4和图5两种情况，通过勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：在和中，
，
∴，
∴；
如图所示，延长交于点T，由旋转的性质可得点E在上，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：如图4，延长交于H，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图5，过D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
综上所述，的长为或．
题型九 成中心对称图像的性质
【例题 9】（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴，，，；
故只有选项D不成立．
【练习 9.1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】将函数转化为平移后的反比例函数，利用反比例函数的对称性判断各结论正误．
【详解】解：函数由反比例函数向左平移3个单位得到，
当时，，即函数图象与轴有公共点，故①错误；
∵的对称中心为，对称轴为直线和，平移后对称中心、对称轴随图象同步左移3个单位，
∴平移后对称中心为，对称轴为直线和，
∴ ②③④正确，故选项B符合题意．
【练习 9.2】数轴上点，，表示的数分别为，和．
(1)若，，三个点中有两个点恰好关于另一个点成中心对称，求出的值．
(2)线段与线段关于原点成中心对称，若点在上，求出的取值范围．
【答案】(1)的值为，，；
(2)的取值范围是．
【分析】分三种对称中心的情况，利用数轴中点公式列方程求解；
先求出关于原点对称的点、表示的数，再根据点在线段上的不等关系列不等式组求解．
【详解】（1）解：数轴上两点关于某点成中心对称，则该点为两点的中点，中点表示的数为两点表示数的平均数，
分三种情况讨论：
若点是，的对称中心，则，解得；
若点是，的对称中心，则，解得；
若点是，的对称中心，则，解得；
综上所述，的值为，，；
（2）解：∵线段与关于原点成中心对称，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∵，
∴线段的左端点为表示为，右端点为表示为，
∵点在上，
∴，
解得．
【练习 9.3】（2026·陕西榆林·二模）如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据题意可得点、关于原点中心对称，求出，即的横坐标为，代入反比例函数解析式即可解答．
【详解】解：反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，
∴点、关于原点中心对称，
即，
∵轴于点C，轴于点D，
∴，
∴ ．
∵，
∴，
∵点在第二象限，
∴的横坐标为．
将代入反比例函数，得，
因此点的坐标为．
题型十 中心对称图形的判断
【例题 10】（26-27九年级上·云南德宏·阶段检测）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转能够和原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、B、C中的图形绕中心旋转后均不能与原图形重合，不是中心对称图形；D中的图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形．
【练习 10.1】（2025·山东·模拟预测）我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
B、选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，选项符合题意；
C、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意；
D、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意．
【练习 10.2】（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
【练习 10.3】（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
题型十一 关于原点对称的点坐标
【例题 11】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______．
【答案】
【分析】直线与双曲线的图象都关于原点中心对称，因此两个交点关于原点对称，根据已知交点坐标即可求出另一个交点坐标．
【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称，
∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称，
∵一个交点坐标为，
∴另一个交点坐标为．
【练习 11.1】（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________．
【答案】
【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特点求得，的值，再根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
点关于原点对称点的坐标是．
【练习 11.2】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）随着科技的不断发展，智能机器人已逐渐进入人们的生活．现在定义：如果两个智能机器人上的程序所对应的两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“遥望函数”，这对对称的点称为“遥望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“遥望函数”，点与点则为一对“遥望点”．已知函数和互为“遥望函数”，则的值不可能是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】根据“遥望函数”定义，结合关于原点对称的点的坐标特征，将问题转化为一元二次方程有实根的问题，通过判别式确定的取值范围．
【详解】解：设函数上的点与函数上的点关于原点对称，
将代入，得，
整理得，
∵两函数互为“遥望函数”，
∴该一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
∵，
∴的值不可能是2026．
【练习 11.3】（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与反比例函数（）的图象交于点及点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点，求点的坐标及的面积；
(3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)；12
(3)存在，或
【分析】（1）先求出的值，待定系数法求出的值即可；
（2）根据对称性求出点坐标，分割法求出的面积即可；
（3）求出点坐标，分3种情况，利用勾股定理列出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：把代入，得，解得，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：∵直线为正比例函数，图象关于原点对称，
又∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴直线与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，
∵点为直线与反比例函数图象的一个交点，
∴点，
当时，解得，
∴，
∴的面积；
（3）解：存在；
联立，解得或，
∴，
设，
∵，
∴，，，
当为直角三角形时，分3种情况：
①当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴；
③当时，则，
∴，
解得（舍去）或（舍去）；
故此种情况不存在；
综上：或.
$第二十八章 旋转
【人教版】
目录
第二十八章 旋转 1
知识点总结 3
知识点一 旋转的相关概念 3
知识点二 旋转的性质 3
知识点三 旋转作图 3
知识点四 成中心对称的定义及性质 3
知识点五 中心对称作图 4
知识点六 中心对称图形及性质 4
知识点七 关于原点对称的点的坐标 5
知识点八 图案设计 5
题型总结与练习 7
题型一 判断生活中的旋转现象 7
题型二 判断由一个图像旋转而成的图案 8
题型三 确定旋转中心、旋转角、对应点 10
题型四 旋转中的规律问题 12
题型五 旋转的性质及辨析 16
题型六 求点绕原点旋转的坐标 19
题型七 旋转与几何综合问题（一） 24
题型八 旋转与几何综合问题（二） 30
题型九 成中心对称图像的性质 41
题型十 中心对称图形的判断 44
题型十一 关于原点对称的点坐标 45
2 / 44
1 / 44
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知识点总结
知识点一 旋转的相关概念
1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向．
知识点二 旋转的性质
1. 对应点到旋转中心的距离相等．
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3. 旋转前、后的图形全等．
知识点三 旋转作图
将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤：
（1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°．
（2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM．
（3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角．
（4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F．
（5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示．
知识点四 成中心对称的定义及性质
1. 成中心对称的定义
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
2. 成中心对称的性质
（1）成中心对称的两个图形是全等图形；
（2）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
知识点五 中心对称作图
作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤：
（1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O．
（2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'．
（3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示．
知识点六 中心对称图形及性质
1. 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心．
2. 中心对称图形的性质
（1）对称点的连线被对称中心平分；
（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分．
3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．
知识点七 关于原点对称的点的坐标
如图，点P关于x轴对称的点为P1，关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3，关于直线y＝x 对称的点为P4，关于直线y＝－x 对称的点为P5．
简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变．
知识点八 图案设计
一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
1. 利用平移设计图案
确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．
通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
2. 利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
3. 利用旋转设计图案
利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案．
4.几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条直线上）且相等．
（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这两条直线（线段）的夹角被对称轴平分．
（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
题型总结与练习
题型一 判断生活中的旋转现象
【例题 1】（2026·广东佛山·三模）下列运动属于旋转的是（ ）
A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片
【练习 1.1】（2026·江苏盐城·二模）如图，三兔共耳图案是敦煌莫高窟的经典纹样，三只兔子首尾相连、两两共用一只耳朵，形成循环追逐的动态视觉错觉．三兔共耳图案主要涉及的图形变换是（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【练习 1.2】小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（ ）图标．
A．（放大） B．（缩小）
C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转）
【练习 1.3】对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（ ）
A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称
题型二 判断由一个图像旋转而成的图案
【例题 2】临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【练习 2.1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【练习 2.2】（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（ ）
A． B． C． D．
【练习 2.3】下列图形中不能由下图旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 确定旋转中心、旋转角、对应点
【例题 3】（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，绕某点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是_____．
【练习 3.1】图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（ ）
A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转
C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转
【练习 3.2】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【练习 3.3】如图，菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，下列角中不是旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
题型四 旋转中的规律问题
【例题 4】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【练习 4.1】在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________．
【练习 4.2】（25-26九年级下·河南安阳·期中）李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【练习 4.3】正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
题型五 旋转的性质及辨析
【例题 5】（2026·吉林长春·中考真题）如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（ ）
A．沿直线翻折 B．沿直线翻折
C．向右平移2个单位 D．绕点逆时针旋转
【练习 5.1】平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（ ）
A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等
C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上
【练习 5.2】如图，绕点逆时针旋转得到，下列结论正确的是（ ）
A．与是对应点 B．
C． D．
【练习 5.3】经过对称、平移或旋转变换后的图形，所具有的性质是（ ）
A．形状不变，大小改变 B．大小不变，形状改变
C．形状和大小都不变 D．形状和大小都改变
题型六 求点绕原点旋转的坐标
【例题 6】（26-27九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、．
(1)请你在图中画出；
(2)写出点的坐标．
【练习 6.1】（25-26九年级上·北京东城·期中）如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到．
(1)写出，两点的坐标；
(2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标；
【练习 6.2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的．
(2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的．
(3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______．
【练习 6.3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点O顺时针旋转，得．
(1)某抛物线经过点，B，，求该抛物线的表达式；
(2)点M为第一象限内的抛物线上的一动点，使得四边形是平行四边形．请写出M的坐标______．
(3)求的面积．
题型七 旋转与几何综合问题（一）
【例题 7】（2026·北京昌平·二模）如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点．
(1)求的度数；
(2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明．
【练习 7.1】（2026·广东东莞·一模）如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____．
【练习 7.2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（ ）
A．9，18 B．9，10 C．3， D．3，
【练习 7.3】（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是_________．
题型八 旋转与几何综合问题（二）
【例题 8】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到．
(1)如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长；
(2)如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积；
(3)如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长．
【练习 8.1】如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____
【练习 8.2】（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，二次函数的图象经过，两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求面积的最大值及点P的坐标；
(3)动点Q为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点Q旋转，使点A的对应点D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标．
【练习 8.3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图①，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为．
(1)如图②，当时，连接，填空：与的数量关系为______；与的位置关系为：______；
(2)当时，与交于点F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图③写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当旋转到时，请画出图形并求出的长．
题型九 成中心对称图像的性质
【例题 9】（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【练习 9.1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）关于函数的图象有以下四个结论：①函数图象与坐标轴没有公共点；②函数图象关于直线对称；③函数图象关于直线对称；④函数图象关于成中心对称．其中正确的个数是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【练习 9.2】数轴上点，，表示的数分别为，和．
(1)若，，三个点中有两个点恰好关于另一个点成中心对称，求出的值．
(2)线段与线段关于原点成中心对称，若点在上，求出的取值范围．
【练习 9.3】（2026·陕西榆林·二模）如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________．
题型十 中心对称图形的判断
【例题 10】（26-27九年级上·云南德宏·阶段检测）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【练习 10.1】（2025·山东·模拟预测）我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【练习 10.2】（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【练习 10.3】（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
题型十一 关于原点对称的点坐标
【例题 11】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为_______．
【练习 11.1】（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）点与点关于轴对称，则点关于原点对称点的坐标是_________．
【练习 11.2】（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）随着科技的不断发展，智能机器人已逐渐进入人们的生活．现在定义：如果两个智能机器人上的程序所对应的两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“遥望函数”，这对对称的点称为“遥望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“遥望函数”，点与点则为一对“遥望点”．已知函数和互为“遥望函数”，则的值不可能是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【练习 11.3】（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与反比例函数（）的图象交于点及点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点，求点的坐标及的面积；
(3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
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