培优01 函数的定义域与值域的常考题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题01 函数的定义域与值域的常考题型 常考题型·精准突破 考点一 函数的定义域 题型1 求抽象函数的定义域（重点） 题型2 含根式与分式的复合定义域 考点二 函数的值域 题型3 一次分式型（分离常数）（高频） 题型4 二次分式型（判别式法） 题型5 根式型（平方与换元）（难点） 题型6 二次与绝对值型 题型7 抽象复合与最值（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数的定义域 ◆题型1 求抽象函数的定义域（重点） 1．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ◆题型2 含根式与分式的复合定义域 1．的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D．不确定 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考点二 函数的值域 ◆题型3 一次分式型（分离常数）（高频） 1．已知函数，（），则它的值域为（    ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 2．函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． ◆题型4 二次分式型（判别式法） 1．函数的值域是______. 2．函数的值域为______． ◆题型5 根式型（平方与换元）（难点） 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． ◆题型6 二次与绝对值型 1．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为，则函数的值域为______． ◆题型7 抽象复合与最值（难点） 1．已知定义在上的函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的最大值为______. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．函数的值域为________. 2．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为________. 3．已知函数，则函数的定义域为______，值域为______. 4．函数的值域为________. 5．若函数的值域是，函数的值域是，则__________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的定义域与值域的常考题型 常考题型·精准突破 考点一 函数的定义域 题型1 求抽象函数的定义域（重点） 题型2 含根式与分式的复合定义域 考点二 函数的值域 题型3 一次分式型（分离常数）（高频） 题型4 二次分式型（判别式法） 题型5 根式型（平方与换元）（难点） 题型6 二次与绝对值型 题型7 抽象复合与最值（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数的定义域 ◆题型1 求抽象函数的定义域（重点） 1．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质求解. 【详解】由，得， 又，可得，所以函数的定义域为． 故选：C. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域以及分母不为零得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】由函数的定义域为，函数有意义，得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． ◆题型2 含根式与分式的复合定义域 1．的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】利用具体函数与抽象函数定义域求解即可. 【详解】由题可得：，解得：; 所以函数的定义域为; 故选：A 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合抽象函数与复合函数的定义域求解. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 由，解得，从而函数的定义域为， 又有，得， 综上得到函数的定义域为. 3．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，然后根据抽象函数的定义域求解法列出不等式组解出即可. 【详解】若函数要有意义，则，解得， 由， 所以函数的定义域为. 故选：B. 考点二 函数的值域 ◆题型3 一次分式型（分离常数）（高频） 1．已知函数，（），则它的值域为（    ） A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0） 【答案】D 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数 设，则，可得 故的值域为. 故选：D. 2．函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【答案】D 【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域． 【详解】解：， ∴y， ∴该函数的值域为． 故选：D． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数的解析式，结合，即可求解. 【详解】由题意，函数满足，即函数且， 又由， 因为，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合初等函数的性质求解是解答的关键，属于基础题. ◆题型4 二次分式型（判别式法） 1．函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 2．函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： ◆题型5 根式型（平方与换元）（难点） 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则且，则， 当时，函数单调递减，所以，所以的值域为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理利用换元法，结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 2．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再利用换元法并结合二次函数性质求出值域. 【详解】函数的定义域为， 令，则原函数为， ，而， 因此，解得，所以原函数的值域为. 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. ◆题型6 二次与绝对值型 1．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【详解】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用换元法与配方法求函数的值域，是中档题． 2．函数的定义域为，则函数的值域为______． 【答案】 【分析】由定义域可求出定义域，化简后再由二次函数求出值域即可. 【详解】由题意可知，要有意义，则需，即， 即函数定义域为， 又，对称轴方程为， 所以当时，，当时，， 所以函数值域为， 故答案为： ◆题型7 抽象复合与最值（难点） 1．已知定义在上的函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求得的值域，利用换元法求得的值域. 【详解】由于定义在上的函数的值域为， 所以的值域为. 依题意， ， 所以， 令，，则， 所以可化为， 此函数的对称轴为，所以时，， 时，. 所以的值域为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法. 2．函数的最大值为______. 【答案】 【分析】令，先利用二次函数性质得到，再由反比例函数性质得到，即得解 【详解】由题意，令 故 由反比例函数性质， 故函数的最大值为 故答案为： 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【详解】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离常数可得，进而可得函数的值域. 【详解】， ∴原函数的值域为， 故选：D. 【点睛】本题考查求函数值域，考查了运算求解能力，属于基础题目. 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数分离常数化简，即可求出值域. 【详解】，因为，所以，所以，所以函数的值域是. 故答案为：A 【点睛】本题主要考查值域的求法，解题的关键是先分离常数，属于常规题型. 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照和分两种情况去绝对值,将函数化为分段函数,再分段求函数值域,然后将两段上的值域相并即可得. 【详解】当时,,在上递增, 所以当时,取得最小值3,即, 当时,,在上递减,在上递增,所以, 所以函数的值域为:. 故选:A. 【点睛】本题考查了分段函数求值域,属于基础题. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 5．若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域的求解结合根式列出不等式，求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为. 对于函数，则， 解得，所以函数的定义域是. 故选：B. 二、填空题 1．函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 2．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为________. 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求，结合函数的定义域，求函数的最值，即可求解. 【详解】函数的定义域满足，得， ，当，得，， 所以，且，所以， 所以，，所以. 故答案为： 3．已知函数，则函数的定义域为______，值域为______. 【答案】 【分析】第一空：利用偶次根式被开方数非负即可得解；第二空，对平方，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为， 所以，解得，即的定义域为； 易知． 又， 对于，其开口向下，对称轴为， 所以时，有最大值， 当或时，有最小值0， 所以当时，的值域为， 则的值域为，故求的值域为． 故答案为：；. 4．函数的值域为________. 【答案】 【分析】先求出的取值范围，再求出，且，即得解. 【详解】解：由题得且. 因为, 且. 所以原函数的值域为. 故答案为： 5．若函数的值域是，函数的值域是，则__________． 【答案】 【分析】先求出集合,再求得解. 【详解】由题得，所以函数的值域为. 对于函数，函数的定义域为， 设，所以，所以， 函数的对称轴为，所以函数的值域为. 所以 . 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $