专题15 函数的奇偶性（八类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

专题15 函数的奇偶性（八类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数的奇偶性-定义与判断 题型二、利用函数的奇偶性求解析式 题型三、利用函数的奇偶性求值或参数 题型四、利用函数的奇偶性解不等式 题型五、函数的奇偶性与单调性融合 题型六、函数的奇偶性与对称性融合 题型七、抽象函数的奇偶性 题型八、函数的奇偶性综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的奇偶性问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕函数的奇偶性-定义与判断、利用函数的奇偶性求解析式、利用函数的奇偶性求值或参数、利用函数的奇偶性解不等式、函数的奇偶性与单调性融合、函数的奇偶性与对称性融合、题型七、抽象函数的奇偶性、函数的奇偶性综合应用八大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是判定不等式；二是研究最值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数的奇偶性-定义与判断 典例1判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数；(4)非奇非偶函数；(5)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （5）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 题型模版 1.特征：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2.方法：判断奇偶性的常用方法： （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 注：判断与的关系时，也可以使用如下结论： ①如果或，则函数为偶函数； ②如果或，则函数为奇函数． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （3）性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 变式1-1函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算，即可得到结果. 【解析】当时，，则， 当时，，则， 又, 综上可得，， 即函数为偶函数. 故选：B. 变式1-2函数，则（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义判断即可. 【解析】函数的定义域为， 当时，，有，； 当时，，有，； 当，，， 综上所述，对任意的，成立，所以函数为偶函数， 故选：B． 变式1-3已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】由题意令，可得，令，可得，可得关于对称，据此逐项判断可得结论. 【解析】令，则，，所以， 令，则， 即，又， 所以关于对称， 所以关于对称，故A不正确； 关于对称，故B不正确； 由A可知关于对称，故C不正确； 由A可知关于对称，故为奇函数， 所以为偶数，故D正确. 故选：D. 题型二、利用函数的奇偶性求解析式 典例2 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为__________________ 【答案】 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【解析】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故答案为： 题型模版 1.特征：已知函数具有奇偶性且在已知区间的解析式给出求对称区间的解析式 2.方法：由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤： （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 变式2-1已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得. 【解析】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 变式2-2（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【解析】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 变式2-3若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ． 【答案】 【分析】利用奇偶函数的性质求函数解析式即得. 【解析】由题意，， 则由 可得，即 由，可得 故答案为： 题型三、利用函数的奇偶性求值或参数 典例3设是定义在上的奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称可求得的值，利用奇函数的定义求出的值，由此可求得的值. 【解析】因为是定义在上的奇函数， 则关于原点对称，所以，，解得， 且，即， 所以，，解得，所以，，且， 所以，. 故选：D. 题型模版 1.特征：函数具有奇偶性，但所给区间或者解析式里含有参数。 2.方法：利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 变式3-1已知函数为奇函数，则的值是（ ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据奇函数在原点处有意义则求出的值，再将的值代回原函数检验即可得解. 【解析】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 变式3-2已知函数，，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求函数值. 【解析】设，则，且为奇函数，即. 又 ； 所以， 所以. 故答案为： 变式3-3已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值. 【解析】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此. 故选：C. 题型四、利用函数的奇偶性与单调性融合解不等式 典例4 已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【解析】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 题型模版 1.特征：利用函数的奇偶性解不等式： 关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 2.方法：（1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 变式4-1若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【解析】因为函数是奇函数，所以， 由可得，即， 又因为函数是定义在R上单调递增函数， 所以. 故选：D 变式4-2已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，结合单调性进行求解即可. 【解析】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 变式4-3已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为是 . 【答案】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【解析】设，由且, 则在上单调递增，∵为奇函数，， 故为偶函数， 而， 则，解得：， 故答案为： 题型五、函数的奇偶性与单调性融合研究函数图像 典例5 函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再利用函数的单调性判断. 【解析】 函数的定义域为，且， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，故排除BC， 当时，，在上递增，排除D， 故选：A 题型模版 1.特征：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反 2.方法：1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：平方和相乘 ≥ 对应相乘求和再平方 变式5-1已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【答案】D 【分析】根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可. 【解析】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误； 对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误； 因为，可知为奇函数. 对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增， 则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 又因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 综上所述：的解集为，故D正确； 故选：D. 变式5-2函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定函数，由其定义域、值域排除选项A，C；探究在时，函数值的取值范围判断B，D作答. 【解析】函数的定义域为，A不满足； 因，当且仅当时取“=”，则C不满足； 函数是定义域上的偶函数，当时，，而函数在上单调递增， 当时，取一切实数，于是得当时，取尽正实数，D不满足，符合题意的是B. 故选：B 变式5-3已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为______________ 【答案】和 【分析】根据奇函数的定义求出的值，由图象可得函数在内单调递增，根据奇函数的对称性，求出函数在内单调递增，即可得解. 【解析】因为函数是定义在区间内的奇函数， 所以，解得， 所以函数是定义在区间内的奇函数， 由图可知，函数在内单调递增，由奇函数的性质可知函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故答案为：和 题型六、函数的奇偶性与对称性融合 典例6（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ） A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D． 【答案】AD 【分析】由题可得分析可得，进而可判断AD，利用函数的对称性结合条件可判断BC. 【解析】因为，是偶函数， 所以，即， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 由偶函数在对称区间上的单调性相反，得在上是减函数，故B错误； 因为函数的图象关于直线对称，且在上是减函数， 所以在上是增函数，故C错误； 由，可得，故D正确. 故选：AD. 题型模版 1.特征：奇函数、偶函数图象对称性的推广： 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 对称轴：或者 关于对称 或者 关于对称 2.方法：对称性的表述 1.轴对称：验证是否对某常数a恒成立． 2.中心对称：验证是否对某常数a,b恒成立． 若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）． 特别的对称：二次函数：关于对称 变式6-1（多选）函数的图象关于直线对称，那么错误的是（ ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】ABC 【分析】根据函数的对称轴可直接判断A,B，结合函数图象平移的性质，可判断C,D. 【解析】由f(x)的图象关于对称可知， ，，故A,B正确； 把函数的图象向左平移个单位可得的图象， 关于对称，即为偶函数，故C正确； 把函数的图象向右平移个单位可得的图象， 关于对称，不能得到其为偶函数，故D错误， 故选：ABC． 变式6-2在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ） A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【解析】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 变式6-3若函数是奇函数，是奇函数，则函数图象可以关于点______对称. 【答案】(答案不唯一) 【分析】函数是奇函数，由奇函数的性质，知，图象关于对称 【解析】是奇函数，则，即，所以函数图象关于点对称. 故答案为:(答案不唯一) 题型七、抽象函数的奇偶性 典例7 已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）利用赋值法求值；（2）结合奇偶性定义判断即可.（2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【解析】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 题型模版 1.特征：我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示 2.方法：（1）利用奇、偶函数的定义判断抽象函数的奇偶性；（2）通过赋值法处理，有时需要重新构造函数，判断函数的奇偶性 变式7-1若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】A 【分析】利用赋值法结合奇偶性定义判断即可. 【解析】令得，所以， 令得，所以， 令得， 令得， 所以是奇函数， 故选：A 变式7-2已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】A、B利用赋值法求值称、结合奇偶性定义判断即可；C通过赋值法求出判断单调性；D由判断奇偶性. 【解析】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 变式7-3已知函数对任意，总有，且当时， ，， （1）求证：函数是奇函数； （2）利用函数的单调性定义证明，在R上的单调递减； （3）若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【解析】(Ⅰ)令，得，所以， 令，得，即，所以， 所以函数是上的奇函数. (Ⅱ)任取,且，则， 因为当时， ，而，即，所以， 所以，所以在上的单调递减. (Ⅲ)由(Ⅰ)知是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以不等式可化为， 即，所以， 由(Ⅱ)知，在上的单调递减，所以， 故问题转化为对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 令，，故问题可转化为对任意的恒成立， 令，其对称轴为， 所以，所以. 题型八、函数的奇偶性综合应用 典例8（1）设偶函数在区间上单调递减，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质，结合单调性分析即可. 【解析】由题意，偶函数在区间上单调递减，则，结合偶函数的性质可得，故. 故选：C （2）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于原点成中心对称图形，即可求得. 【解析】由题意 ，， 令，， 则，即为奇函数， 则， 结合函数（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048 题型模版 1.特征：（1）函数单调性、奇偶性、对称性的综合应用 （2）核心思想：转化与化归，利用各性质将复杂问题转化为已知的简单问题 （3）常见考查形式：函数值比较、不等式求解、参数范围、函数图像判断等 2.方法：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 变式8-1（多选）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】由题意可得，，进而求解判断AB；利用对称性和单调性可判断C；利用函数奇偶性的定义可判断D. 【解析】由知是定义在上的奇函数，则，且， 又的图象关于对称，则， 令，则，故A正确； 由，得， 则，故B正确； 由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反， 即在区间上单调递增，故C错误； 因为，即， 所以，故， 因此函数为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 变式8-2 已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【解析】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 变式8-3已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【解析】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数为偶函数的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【解析】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 2．若函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【解析】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 3．设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【解析】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D. 4．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可. 【解析】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 故选：C 5．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【解析】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【解析】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 7．（多选）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义逐项分析判断. 【解析】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD 8．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B．当时， C．是图像的一条对称轴 D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】根据给定区间上的函数解析式，结合奇函数的性质，逐项分析判断作答. 【解析】当时，，而函数是上的奇函数，则，A错误； 当时，，B正确； 因为，不是图像的对称轴，C错误； 因为当时，，因此函数在上单调递增，D正确. 故选：BD 9．（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 【答案】ABC 【解析】A：令，代入， 得，解得，故A正确； B：令，代入， 得，又，所以； 令，代入， 得， 令，代入， 得，所以，故B正确； C：令，代入， 得，则， 所以函数为奇函数，故C正确； D：由选项AB知，，，则， 所以函数不为R上的减函数，故D错误. 故选：ABC 10．已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义求时的解析式，两式结合即可得函数的解析式. 【解析】若，则， 则当时，， 又为偶函数，则， 即当时，， 因此可得 故答案为：. 11．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为___________ 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【解析】由题意可知， 当 时，，在上单调递减，则的解集为； 当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为； 所以，的解集是的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故答案为： 12．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得. 【解析】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 13．已知函数在R上单调递增，对于任意都有． （1）求； （2）判断奇偶性并证明； （3）解不等式． 【答案】（1）；（2）为奇函数，证明见解析；（3）或． 【分析】（1）利用赋值法求值；（2）结合奇偶性定义判断即可.（2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【解析】（1）任意，都有，可令， 则，即； （2）为奇函数，证明如下：定义城为， 可令，则， 即，则为奇函数； （3），即为， 由于任意，都有，则， 即，即， 由函数在上单调递增，可得，解得或， 则不等式的解集为或． 14．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析；(2)函数在上单调递减，证明见解析；(3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【解析】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 函数的奇偶性（八类重难点题型） 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数的奇偶性-定义与判断 题型二、利用函数的奇偶性求解析式 题型三、利用函数的奇偶性求值或参数 题型四、利用函数的奇偶性解不等式 题型五、函数的奇偶性与单调性融合 题型六、函数的奇偶性与对称性融合 题型七、抽象函数的奇偶性 题型八、函数的奇偶性综合应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数的奇偶性问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕函数的奇偶性-定义与判断、利用函数的奇偶性求解析式、利用函数的奇偶性求值或参数、利用函数的奇偶性解不等式、函数的奇偶性与单调性融合、函数的奇偶性与对称性融合、题型七、抽象函数的奇偶性、函数的奇偶性综合应用八大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是判定不等式；二是研究最值，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、函数的奇偶性-定义与判断 典例1判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 题型模版 1.特征：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2.方法：判断奇偶性的常用方法： （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 注：判断与的关系时，也可以使用如下结论： ①如果或，则函数为偶函数； ②如果或，则函数为奇函数． （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （3）性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 变式1-1函数是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 变式1-2函数，则（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既非奇函数也非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 变式1-3已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（ ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 题型二、利用函数的奇偶性求解析式 典例2 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为__________________ 题型模版 1.特征：已知函数具有奇偶性且在已知区间的解析式给出求对称区间的解析式 2.方法：由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤： （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 变式2-1已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 变式2-2（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 变式2-3若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ． 题型三、利用函数的奇偶性求值或参数 典例3设是定义在上的奇函数，则（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：函数具有奇偶性，但所给区间或者解析式里含有参数。 2.方法：利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 变式3-1已知函数为奇函数，则的值是（ ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 变式3-2已知函数，，则 . 变式3-3已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ） A． B． C． D． 题型四、利用函数的奇偶性与单调性融合解不等式 典例4 已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：利用函数的奇偶性解不等式： 关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 2.方法：（1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 变式4-1若函数是定义在R上单调递增的奇函数，且，则使得成立的x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式4-2已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式4-3已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为是 . 题型五、函数的奇偶性与单调性融合研究函数图像 典例5 函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反 2.方法：1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：平方和相乘 ≥ 对应相乘求和再平方 变式5-1已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 变式5-2函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 变式5-3已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为______________ 题型六、函数的奇偶性与对称性融合 典例6（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（ ） A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D． 题型模版 1.特征：奇函数、偶函数图象对称性的推广： 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 对称轴：或者 关于对称 或者 关于对称 2.方法：对称性的表述 1.轴对称：验证是否对某常数a恒成立． 2.中心对称：验证是否对某常数a,b恒成立． 若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）． 特别的对称：二次函数：关于对称 变式6-1（多选）函数的图象关于直线对称，那么错误的是（ ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 变式6-2在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ） A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 变式6-3若函数是奇函数，是奇函数，则函数图象可以关于点______对称. 题型七、抽象函数的奇偶性 典例7 已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 题型模版 1.特征：我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示 2.方法：（1）利用奇、偶函数的定义判断抽象函数的奇偶性；（2）通过赋值法处理，有时需要重新构造函数，判断函数的奇偶性 变式7-1若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 变式7-2已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 变式7-3已知函数对任意，总有，且当时， ，， （1）求证：函数是奇函数； （2）利用函数的单调性定义证明，在R上的单调递减； （3）若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型八、函数的奇偶性综合应用 典例8（1）设偶函数在区间上单调递减，则（ ） A． B． C． D． （2）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 题型模版 1.特征：（1）函数单调性、奇偶性、对称性的综合应用 （2）核心思想：转化与化归，利用各性质将复杂问题转化为已知的简单问题 （3）常见考查形式：函数值比较、不等式求解、参数范围、函数图像判断等 2.方法：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 变式8-1（多选）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 变式8-2 已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 变式8-3已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数为偶函数的充要条件是（ ） A． B． C． D． 2．若函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 3．设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．1 C． D． 4．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 8．（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B．当时， C．是图像的一条对称轴 D．在上单调递增 9．（多选）已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 10．已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是 . 11．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为___________ 12．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 13．已知函数在R上单调递增，对于任意都有． （1）求； （2）判断奇偶性并证明； （3）解不等式． 14．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $