专题06 函数的奇偶性专项训练（7题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题06 函数的奇偶性重难点七大题型突破 【题型1：函数奇偶性的定义与判断】 【题型2：由奇偶性求函数解析式】 【题型3：函数奇偶性的应用】 【题型4：抽象函数的奇偶性】 【题型5：由奇偶性求参数】 【题型6：由函数奇偶性解不等式】 【题型7：奇偶函数对称性的应用】 【题型1：函数奇偶性的定义与判断】 1．（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义以及常见函数的单调性，逐一判断，即可得到结果． 【详解】对于A，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故A正确； 对于B，的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，且， 所以为奇函数，且在上单调递增，故D正确． 2．（多选）下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】是奇函数，A错； 是偶函数，且在上是减函数，B对； 是偶函数，且在上是增函数，C错； 是偶函数，且在上是减函数，D对. 3．（多选）若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】∵在R上为奇函数，∴． ∵ ，∴，∴，故A正确； ，故B正确； 当时， ，故C错误． 当时，无意义，故D错误． 4．（多选）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 5．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 【题型2：由奇偶性求函数解析式】 6．若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是奇函数，且当时，， 则当时，，可得. 7．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，，所以， 则； 由可得； 所以. 8．函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质， 结合题设条件，代入化简即可． 【详解】当 时，，则 因为 是偶函数，所以 ． 即当 时，． 9．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为____________ 【答案】 【分析】先利用奇函数的定义和性质，结合已知区间的解析式，代入化简即可推出未知区间的解析式. 【详解】设，则， 所以， 根据奇函数性质得：， 所以当时，的解析式为：. 故答案为： 11．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 【答案】 【分析】当时，，代入解析式，根据奇函数定义，可得时的解析式，分析即可得答案. 【详解】当时，，则， 因为是奇函数，所以 又当时，，所以. 【题型3：函数奇偶性的应用】 12．若偶函数在上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为偶函数在上单调递减，所以，， 所以即，故D正确.； 其余错误. 13．已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用题设条件得到函数的解析式，进而可得在上单调递增，再结合函数是偶函数，可得不等式等价于，由此即可得到的取值范围． 【详解】因为函数在其定义域内为偶函数，所以，， 即，， 所以，所以，，所以， 又，所以，解得，所以， 当时，单调递减，故在上单调递增， 所以由可得， 故只需，所以，即，解得或， 因此实数的取值范围为． 14．已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先构造辅助函数，接着判断奇偶性和单调性，将不等式转化，最后平方求解即可。 【详解】设，则由得， 即，所以是偶函数. 又对任意，有， 因为，所以，即， 因此在上单调递减， 可得， 两边同时平方化简得，解得， 故解集为. 15．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于对称，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的图象关于对称可得，，即， 又因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 当时，，代入得 ， 因此，即. 16．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 又因为时，，所以， 所以时，，所以， 从而. 17．若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【答案】 【分析】令，利用函数的奇偶性，运用换元法得出是周期为4的周期函数，再根据奇函数，得出，结合已知条件求出，最后利用函数的周期性求解． 【详解】令，则为奇函数，故， 即，故， 令，则， 又， 则， 故，即， 则，故是周期为4的周期函数； 由为奇函数，则， 故，解得， 由得， ， 故． 【题型4：抽象函数的奇偶性】 18．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 19．（多选）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】ACD 【分析】先用赋值法求特殊值，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性，最后利用奇偶性排除错误选项，利用中心对称性验证对称结论，利用周期性拆分求和项，最终确定正确选项即可. 【详解】对于A：令，可得，解得或， 令，， 又因为，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B：令，得，即， 又因为函数的定义域为，所以为偶函数．故B错误； 对于C：由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数的图象关于成中心对称，故C正确； 对于D：因为为偶函数，， 由C选项得，所以， 即，所以，故函数的一个周期为4， 因为，，，， 所以． 所以，故D正确． 故选：ACD. 20．（多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．以6为周期 D． 【答案】ACD 【分析】通过赋值法求出及多个函数值，判断函数的奇偶性；通过计算周期内的函数值确定周期；利用周期性计算求和结果，进而判断各选项的正确性. 【详解】令，得（），得，选项A正确. 令，得，即，是偶函数，选项B错误. 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得， 以此类推，可知在整数点上是以6为周期的周期函数， 下面严格说明周期为6，由题设可得， 进而可得， 所以， 所以是以为周期的函数，选项C正确. 一个周期内和为； 余3， 故，选项D正确. 故选：ACD 【题型5：由奇偶性求参数】 21．若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】B 【分析】分析可知函数的定义域为，结合奇函数定义运算求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 22．若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可得，或根据偶函数图象的对称性可得. 【详解】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 23．已知是定义在上的奇函数，那么的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义得到，，求出，，得到答案. 【详解】由题意得，解得， 又，故， 所以，. 故选：D 24．是偶函数，对实数满足恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是偶函数可得，又根据恒成立可得，求解该不等式即可确定选项． 【详解】是偶函数，所以恒成立，由此可得，故，该抛物线开口向下，对称轴为，所以，因为恒成立，所以，解得或． 故选：A． 25．已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由函数为奇函数，求得，即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以，可得：， 所以，. 故选：C 【题型6：由函数奇偶性解不等式】 26．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再结合偶函数性质把函数不等式转化为绝对值不等式，平方求解一元二次不等式即可得到解集. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 27．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数对称性得在也递减，且，判断的正负区间；将按、、分类，转化为的符号条件，与范围取交集，合并得解集. 【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或，或或，或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 28．定义在上的奇函数满足，当时，，当时， 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，且时，；时，，再分别讨论，，解不等式可得所求解集． 【详解】定义在上的奇函数满足，可得， 当时，，当时，， 可得时，；时，， 则等价为 或 ，解得或， 即所求解集为 29．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和单调性分析求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增，又， 则等价于 或 ，解得：或， 不等式的解集是. 30．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】偶函数在 单调递减，则在单调递增. 由和偶函数性质得. 由可得以下两种情况： ① 时： ② 时： 所以不等式的解集为. 31．若是偶函数且在上减函数，且，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先确定函数在上是增函数，再将不等式等价变形，利用函数的单调性，即可求解不等式. 【详解】因为是偶函数且在上减函数， 所以函数在上是增函数，因为，所以， 不等式 或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：A 【题型7：奇偶函数对称性的应用】 32．定义在上的函数，若的图像关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为的图像关于点对称， 所以的图像关于对称， 所以为奇函数，即， 因为， 所以为奇函数， 又因为，所以，则， 而，得，即， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，得， 即不等式的解集为． 故选：A． 33．定义在上的函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)； (2)最小值、最大值分别为、. 【分析】（1）利用奇函数的性质及已知函数值列方程求参数值，即可得； （2）先求出上函数的值域，再结合奇函数的对称性确定的值域，即可得. 【详解】（1）由题设恒成立，则， ， 所以； （2）当时，而在上单调递减， 所以，故， 由奇函数的对称性，当时，而， 综上，，故的最小值、最大值分别为、. 34．设是定义在上的奇函数． (1)求b的值； (2)若在上单调递增，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义与性质运算求解； （2）根据奇函数的性质可知在上是增函数，进而根据奇函数的定义结合单调性运算求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则， 当时，，且， 即是定义在上的奇函数，符合题意， 所以. （2）若在上单调递增，且是奇函数， 可知在上单调递增，且在处连续不断， 所以在上是增函数， 因为，则， 可得，解得， 所以实数m的取值范围是. 35．我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，已知关于中心对称； (1)求的解析式； (2)求的值． 【答案】(1) (2)-8094 【分析】（1）设，则为奇函数，由奇函数的定义即可求解； （2）由（1）知函数图像的对称中心为，故，利用所得规律即可求值； 【详解】（1）设，则为奇函数， 依题可知且， 故， 整理得， 故 则 所以函数 （2）知函数图像的对称中心为，故， 所以且 ， 记,则 ， 两式相加得 , 故 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的奇偶性重难点七大题型突破 【题型1：函数奇偶性的定义与判断】 【题型2：由奇偶性求函数解析式】 【题型3：函数奇偶性的应用】 【题型4：抽象函数的奇偶性】 【题型5：由奇偶性求参数】 【题型6：由函数奇偶性解不等式】 【题型7：奇偶函数对称性的应用】 【题型1：函数奇偶性的定义与判断】 1．（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（多选）若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 5．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【题型2：由奇偶性求函数解析式】 6．若函数是奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，若当时，，则________． 8．函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 9．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为____________ 11．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 【题型3：函数奇偶性的应用】 12．若偶函数在上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 13．已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 15．已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于对称，当时，，则（     ） A． B． C． D． 16．已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 17．若函数的定义域为，且为奇函数，，则______． 【题型4：抽象函数的奇偶性】 18．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 19．（多选）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于点中心对称 D． 20．（多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．以6为周期 D． 【题型5：由奇偶性求参数】 21．若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 22．若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 23．已知是定义在上的奇函数，那么的值是（    ） A． B． C． D．1 24．是偶函数，对实数满足恒成立，则的取值范围是（　　） A．B． C． D． 25．已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型6：由函数奇偶性解不等式】 26．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 28．定义在上的奇函数满足，当时，，当时， 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 29．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 30．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 31．若是偶函数且在上减函数，且，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型7：奇偶函数对称性的应用】 32．定义在上的函数，若的图像关于点对称，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 33．定义在上的函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 34．设是定义在上的奇函数． (1)求b的值； (2)若在上单调递增，且，求实数m的取值范围． 35．我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，已知关于中心对称； (1)求的解析式； (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $