专题04 函数的奇偶性与对称性题型全归纳（专项训练7大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与对称性，以“定义基础-综合应用”为逻辑主线，通过分级题型实现从概念理解到复杂问题解决的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点一（定义与基础应用）|3题型×5题|定义判断、求值求解析式、参数求解|从奇偶性定义出发，构建“判断-性质应用-参数确定”的基础能力链| |考点二（综合应用）|4题型×5题|单调比较、解不等式、伪奇函数最值、对称性应用|结合单调性、周期性等，形成“性质融合-复杂问题转化”的综合思维路径|

专题04 函数的奇偶性与对称性题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 函数奇偶性的定义与基础应用 题型1 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 题型2 利用函数的奇偶性求值和解析式 题型3 利用函数的奇偶性求参数（常考点） 考点二 函数奇偶性与单调性、最值及对称性的综合应用 题型4 函数的奇偶性结合单调性比较大小 题型5函数的奇偶性结合单调性解不等式 题型6 伪奇函数最值问题（难点） 题型7 奇偶函数对称性的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数奇偶性的定义与基础应用 ◆题型1 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 4．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（多选）已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 5．（2026高三·全国·专题练习）关于函数，有下列命题：①函数的图象关于y轴对称；②当时，是增函数，当时，是减函数；③函数的最小值是；④当或时，是增函数．其中正确命题的序号是________________．（把你认为正确的序号都填上） ◆题型2利用函数的奇偶性求值和解析式 1．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则（　　） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．方程有4个根 D．当时， 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 4．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 5．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． ◆题型3利用函数的奇偶性求参数（常考点） 1．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数是偶函数，则（　　） A．-1 B．0 C．1 D．1或-1 5．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ． 6.若函数是上的偶函数，则的值为______． 考点二 函数奇偶性与单调性、最值及对称性的综合应用 ◆题型4函数的奇偶性结合单调性比较大小 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西河池·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2019年4月9日《每日一题》理数选修2-2（期中复习）-直接证明与间接证明）若函数是偶函数，则，(a∈R)的大小关系是______. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中是偶函数，比较大小：________． ◆题型5函数的奇偶性结合单调性解不等式 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 3．（第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（复习讲义）（全国通用）-1）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． ◆题型6伪奇函数最值问题（难点） 1．（24-25高二下·广西北海·期末）已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．（19-20高一上·安徽亳州·期中）已知函数f(x)＝ax3－bx－1(ab≠0)的最大值为M，最小值为N，则M＋N等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 5． 函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . ◆题型7奇偶函数对称性的应用 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，且恒成立．当时，，则当时，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北邢台·期末）已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 8．（2026·全国·模拟预测）高斯函数表示不超过实数的最大整数，已知函数（为大于0的实数），下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．无论为何值，恒过定点 C．存在，使为奇函数 D．在上单调不减 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 10．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 11．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 四、解答题 12．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知． (1)用定义法求证在上单调递增； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解不等式：． 13．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04函数的奇偶性与对称性题型全归纳 常考题型·精准突破 ●考点一函数奇偶性的定义与基础应用。一 ◆题型1函数的奇偶性的定义与判断（重点） 1.【答案】C 【详解】对于A:f(x)的定义域为(0，+o),不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数，A错误； 对于8：f)的定义域为R:f()-e=。f(),故f因)不是偶两数，B错误 对于C:f(x)的定义域为R,f(-x)=-(-x=-x2=f(x),故f(x)是偶函数，c正确： 对打D:f问倒的定义拔为0u0回-小文故是奇酒藏D特误 2.【答案】D 【详解】因为定义域均为R的函数f()与8(x)分别为奇函数与偶函数， 则f()=-f(-x),g(x)=g(-x). 对于A:因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x), 可知y=f(x)g()为奇函数，故A错误： 对于B:例如f()=x,8()=1,则y=x+1为非奇非偶函数，故B错误： 对于c:因为f(-x)g(-x)=[-f(x)订g(x)=f(x)g(x), 可知y=(x)8(x)为偶函数，故C错误： 对于D:因为f(-x)g(-x)=-f(x)g2(x), 可知y=f(x)g()为奇函数，故D正确。 3.【答案】B 【详解】已知f(:)的定义域(-o,0U(0,+∞)关于原点对称， 因为va,b∈(o,0)u0,to)f8=f(a)-f), 1118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故令b=-a时，则f(-)=f(a)-f(-a), 令a=b=1时，f(0)=f(0)-f(0)=0, 令a=1,b=-1时，f(-1)=f()f(-1)→f(-)=0, 所以f(a)-f(-a)=0,即f(a)=f(-a),所以f(x)是偶函数， 又当x∈(O,)时，f(x)≠0，即f()不恒为零，故f(x)只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确 4.【答案】BCD 1,x为有理数 【详解】因为函数f()= 0,为无理数：所以f的定义域为R'值域为{0，' 故选项B正确，选项A不正确： 若自变量x是有理数，则-x也是有理数，f[f(x]=f四=山，f[f(x]=f)=1,所以 f[f(-x]=f[f(x], 若自变量x是无理数，则-x也是无理数，f[f(-x]=f(O)=l,f[f(x]=f(O)=1,所以 f[f(-x)]=f[f(x)], 所以f(fx》是偶函数，选项C正确； 对于任意一个非零有理数T,若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数， 根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T,都有fx+T)=f)对任意x∈R恒成立，故选项D正确. 5.【答案】①③④ 【详解】命题①，函数定义域为{xx≠0}，关于原点对称， e-ae.-s甘-o x 所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，①正确。 命题@，当0时，f创=e+) 令=+士，在0)单调运减，在化四)单词通瑞。 又y=lg单调递增，由复合函数单调性得到f(x)在(0，)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 由偶函数对称性可得，当x<0时， 2/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得到f(x)在(-0，-)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，所以②错误 命题@，当x>0时，由基本不等式得到1=x+≥2， 当且仅当x=x,即x=取等号， 因为f(x)=g单调递增，所以f(x≥g2,即最小值为g2,③正确： 命题④，由上面复合函数可得，当x>1时，【=x+递增，故f(x)单调递增； 又f(x)是偶函数，（-1,0)与(0，)对称，在(0，)上f(x)单调递减，则在(-1,0)上f(x)单调递增， 所以当-1<x<0或x>1时，f(x)是增函数，④正确， ◆题型2利用函数的奇偶性求值和解析式 1.【答案】A 【解1：当x>0时.因=2-分，0=-1=2 221 :f)是奇西数，满是f对=-：f-)=-f0= 2.【答案】D 【详解】对于A,当x之0时，f心)=-)=一+8=+子 所以函数f(x)在0，上单调递增，在+o)上单调递减， 又因为函数f(x)是R上的偶函数，其图象关于y轴对称， 所以数树行0 单调递减，所以A不正确： 对于®当之0时，()=-：+存且网数问是R上的偶两数。 1.1 所以函数f(x)的最大值为4，所以B不正确： 对于C,当x≥0时，令f(x)=0,即x1-x)=0,解得x=0或x=1, 因为函数f()是R上的偶函数，可得f(O)=0,f(-)=f()=0, 所以函数f(x)有三个零点，所以C不正确： 3118 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,设x<0,则-x>0,因为f(x)是R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x(1-x), 所以f()=f(-x)=-l-(←x=-x+x), 即当x<0时，f(x)=-x+,所以D正确. 故选：D. 3.【答案】x+2x2+1 【详解】当x∈(-，0)时，-x∈(0，+o), f(-x)=(-x)°-2(-x)}2-1=-x3-2x2-1, 所以f(=-f(x)=-(（x2-2x2-)=x2+2x2+1, 即x∈(-o,0)时，f(x)=x3+2x2+1. 4.【答案】3 【详解】函数f()是定义在R上的奇函数，当x>0时，f()=x-1,此时f()>, 当x<0时，-x>0,则f(x)=-f(-x)=-(-x-)=x+1,此时f(x)<1, x+1,x<0 所以f()=0,x=0 x-1,x>0 若f(f(x)》=1,设f(x)=1,则有f()=1,解得1=2， 由f(x)=2,解得x=3. 5.【答案】8-x 【详解】当7≤x≤8时，0≤8-x≤1， f(8-x)=8-x, 又y=f(x)定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， f(8-x)=f(-x)=f(x), f(x)=8-x ◆题型3利用函数的奇偶性求参数（常考点） 1.【答案】C 4118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】已知函数f(x)=e e“+的定义域为R' 所以f(-)-上fe-。a: e“+1e+1=1+er, 又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x),解得a=2,故C正确： 2.【答案】D 【详解】已知f四是R上的奇函数，故f(-)=-f()且f(O)=0: 结合f()=f(2-),将x替换为-x得f-)=f(2+x),可得-f()=f(x+2), 则fx+4)=fc+2)+2)=-fx+2)=f), 即f)的一个周期为4，故f(4)=f(0)=0: 由f)=2-可知f关于直线=1对称，因此f分=0-孕=f孕， 结合f+2)=-f每停=f兮+2)=-3，=+2)=-. 故=f孕： 当xe号利时，f=+r+b:代入x=4得4+4a+b=0即16+4如+b=0 代入x-3和x-及，由③=得孕+0+6=+3+b. 7 2 2 化简解得a=6;将a=6代入16+4a+b=0,解得b=8: 综上a=6,b=8 3.【答案】B 【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(O)=m+1=0,解得m=-1, 则f(m)=f(-1)=-f()=-5. 因为f()=r+4x(x≥0)是增函数，且当x≥0时，f(x)20, 则当x<0时，f(x)<0, 由f(m)+f(a)=7,得f(a)=12, 所以a>0,由a+4a=12,解得a=2或a=6(舍去)· 4.【答案】C 5118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1白偶码数桂质f化=f可得g:文日g兰异。 -x-a-0, x十)，移项得og2一Q+xog2二+ x+1 所以0e,年-0，所智- x-ax-a =1,解得a=1 检验：当a=1时，f)=xog,十，此时定义域是(%，-1UL,+o), x-1 显然关于原点对称，所以a=1满足题意； 当a=-1时，f(x)=xog,+l x+i,此时定义域是(0，-1)U(-1,+o): 显然不关于原点对称，所以ā=-1不满足题意： 故选：C 5.【答案】3 【详解】因为f()=ax+br2+x+2b+c是偶函数， 所以定义线关于原点对称，即6-1+26=0：解得6- 3 由f=f0得r+3t+43 入会三一aX+2光一+≤， 3+c, 1 即2ax+2cx=0,所以a=0'c=0:所以a+b-c= 故答案为：3 6.【答案】3 【详解】函数f(x)=a心+bx+1是定义在[-l+a,2d上的偶函数， 1 -1+a+2a=0,即a=3 3 “f(x)=f(-x), .a2+bx+1=ax2-bx+1, .b=0. 1 .a+b= 3· 6118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●考点二函数奇偶性与单调性、最值及对称性的综合应用●一 ◆题型4函数的奇偶性结合单调性比较大小 1.【答案】C 【样解1依想意，儿=间由网在0+网上单调范减，多<3子：得<®<月， 所以f<f-3)<f, 故选：C 2.【答案】B 【详解】因为f(x)是偶函数，所以f(-3)=f3), 已知f(-√2)>f(W5),由偶函数性质f(-V2)=f2),因此f(V2)>f(W5), 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减： 数值大小关系为V5<3<π， 所以f(5)>f3)>f), 所以f5)>f(-3)>fm)即f()<f(-3)<f5). 故选：B. 3.【答案】D 【详解】因为y=log3x在(0，+o)单调递增，所以0=log,1<log,2<log,3=l,所以0<a<1; 因为c=(-3)=35,且y=3在R上单调递增，所以3>3>3”-1，所以b>c>1 所以b>c>a>0」 因为偶函数f()在(-∞，0)上为增函数，所以f(:)在(0，+∞)上为减函数， 所以f(a)>f(c)>f(b). 故选：D 4.【答案】≥ 【详解】由已知得m=0,从而f(x)=-x2+3,f(x)在[0，+o)上单调递减， (到-).a-a1-(a+子a-a+ 故答案为≥ 7118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【答案】< 【详解】f()=r+(a+)x+1是偶函数， ∴.对称轴为x=0 即a=-1, f(x)=-x2+1, :f(-2)=-3f(0)=0 ∴f(-2)<f) 故答案为：< ◆题型5函数的奇偶性结合单调性解不等式 1.【答案】D 【详解】因为f(x)是定义在R上的偶函数，故f(x)>f(2)可转化为f()>f(2) 又因为f)在(0，+0)上单调递增，故x2,解得x<-2或x>2,即解集为(-∞，-2U(2,+∞)， 2.【答案】C 【详解】因为函数f)是定义在R上的偶函数，且f(-)=3,所以四=3. 又函数f()在（←o,0]上单调递减，所以函数f()在0，+∞）上单调递增。 所以fx-)s3等价于fx-)sf0→f(x-10≤f0,即x-1≤1→-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2. 3.【答案】B f(x)f(x2) 【详解】由()x/(s0,可得为>0 xx2 (x-x2) x-x2 设函数g(x)= x,x∈(0，+o),则g(x)在(0，+o)上单调递增， 又因为因为定义在R上的商酒数。8)-八-g.所以付为信数。 -x g(x)在(-0,0)上单调递减，而不等式f)-x>0分 g(x)>1(x>0) g(x)<1(x<0) 又因为f(2027)=2027,所以8(2027）=g(-2027)=1, 所以不等式的解集为(-2027,0U(2027,+∞). 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.【答案】2<a<5 【详解】因为f(x)为奇函数且在0，)上为增函数，故f(x)在(，)上为增函数， 因为f(x)为(-l,)上的奇函数，故f(a-2)+f(4-a2)<0即为f(a-2)<f(d-4), -1<a-2<1 故-1<4-a2<1,故 a-2<a2-4 2<a<V5 5.【容 【详解】因为f(x)定义域为(-2,2)，所以l-a和a都必须在定义域内： -2<1-a<2 -2<a<2，解得：-1<a<2 fx)是偶函数，满足f)=f(),因此f0-a)<f(a)可转化为： f(1-al)<f(a), 又因为x>0时f(x)为减函数， 所以l-a>a 则l-a2>d→1-2a>0→a<2, 所以a的取值范围是 -12 ◆题型6伪奇函数最值问题（难点） 1.【答案】B 【详解】令函数g(x)=x+a,x∈[l,,所以g)最小值为-4， 己知8(-x)=(x?+a)=-g(),所以g(x)在[-1，上为奇函数， 则g()在[-1，】上的最大值为4，所以fx)的最大值为5： 故选：B. 2.【答案】A 【详解】由题意可知：f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),x∈【-2,2]， 令f'(x)>0,解得-2<x<0;令f'()<0,解得0<x<2: 9118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可知f(x)在(-2,0)上单调递增，则(0,2)上单调递减， 则函数的最大值为f(0)=a=3」 此时f(x)=2x3-6x2+3,且f(2)=-5,f(-2)=-37, 可知当x=-2时，函数f(x)取得最小值为-37 故选：A. 3.【答案】A 【详解】解：f(x)=ar-bx-l 令g(x)=f(x)+l=ar3-br g(-x)=a(-x)-b(-x)=-ar3+bx=-g(x) ∴g(x)=a-br为奇函数 :f(x)的最大值为M,最小值为m, ∴g)的最大值、最小值分别为M+1,m+1, 由奇函数的定义可得(M+)+(m+)=0, 解得M+m=-2. 故选：A. 4.【答案】B 【详解】依题意，函数f)=1++2023x e4一的定义域为R, 令8()=x+2023x 则g(←)=-+2023(--x+2023x e对 =-g(x),即g)为奇函数， 由于函数f()=g()+1有最大值为M,最小值为N,则函数8(，=f()-(有最大值M-1,最小值N-1, 由奇函数的性质知(M-)+(W-)=0,所以1=2M+)=4. 故选：B 5.【答案】2 【详解1由函数g)--旷+四_-2x+1+f因1+2x+】 x2+1 x2+1 x2+1 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(-x)=-f(x), 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则121,2四2*-四2 (-x)'+1 x2+1 所以可得函数8(x)关于点(0，)成中心对称图形， 因为函数8(x)的最大值为M,最小值为m, 所以最大值点与最小值点关于点(0，)成中心对称图形， 即M+m=2, 故答案为：2. ◆题型7奇偶函数对称性的应用 1.【答案】A 【详解】由于f(x)为偶函数， 数引) 又+)是奇函数故+(+》-0，所以)-)--2×对》号 故选：A 2.【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而西数()内和函数()为奇函数，故排除途项A8, 当xe01->a2-1<0:时=点are-与<0， 由图可知当x∈(0，)时，f()<0,故C不符合，D符合 故选：D 3.【答案】A 【详解】由函数8(x)=e-e,可得g(-x)=e-e=-g(), 所以8(x)为奇函数，其图象关于原点对称， 根据函数的图象变换，可得函数f)=e-e+5的图象关于，5)对称， 为+-m-1.所@+2-m=5且闲=2：解得-刚=8 因为 2 故选：A 4.【答案】A 1/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(-x)=-f(x), 又由函数∫(x+2)是偶函数，其图象关于y轴对称，可得f(x)的图象关于x=2对称， 即f(x)=f4-),所以-f(-x)=f4-),即-f()=f(x+4, 因为f()=3,可得f(5)=-f0)=-3. 5.【答案】A 【详解】由函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(-x)=-f(x),且f(O)=0, 又由f(x+)是偶函数，即函数f(x+)的图象关于y轴对称， 可得函数y=f(,)的图象关于x=1对称，即f(x+2)=f(-x), 因为f(-x)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x), 即f(x+4)=-f(c+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 可得f(2026)=f(4×506+2)=f(2) 因为f(-x+)=f(x+1),可得f(2)=f(-1+1)=f(0)=0, 所以f(2026)=0. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.【答案】D 【详解】因为f(=f(x+2),则函数f(x)的周期为2： 当x∈(2,3)时，则x-4∈(-2，-1)c(-2,0),故f(x-4)=(x-4): 由周期性可知f(x-4)=f(x),故当x∈(2,3)时，f(x)=(x-4}2 2.【答案】A 【详解】己知奇函数f(x)在R上单调递减， 对于A,1<2,·f(0)>f(2),∴f(0)+f(-2)=f()-f(2)>0,A正确： 对于B,f(-)+f(2)=-f(四)+f(2)<0,B错误： 对于C,1>-2,·f(0)<f（-2),“f()-f(-2)<0,c错误： 12/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,-1<2,f(-)>f(2),f(-)-f(2)>0,D错误. 3.【答案】C 【详解】因为f)是奇函数，所以f(-3)=-f3)」 又因为(x)的图象关于直线x=2对称， 所以f3)=f4-3)=f0. 己知f0=1,故f(3)=1, 所以f(-3)=-f3)=-1. 4.【答案】D 【详解】f+f(x-2)=0,则f(x+2)+f()=0,f(x+4)+fx+2)=0, 即f(+4④)=-fx+2)=f,,即f)的周期为4， 故f1.5)=f（-2.5)=f2.5), 在1.5,3)]上满足f0.5)=f(2.),说明f)=x2+ar+b的对称轴为x=2,则-2 =2,解得a=4' 又根据f)+f-2)=0知f0+f(-)=0,而f0=f-), 则f(-)=0,于是f3)=f(-)=0, 即f3)=9+3a+b=9-12+b=0,解得b=3 5.【答案】A 【详解】因为f(x+)-1是定义在R上的奇函数，所以f(-x+)-1=-[f(x+)-,即 f(x+)=2-f(-x+)=2-f(1-x).所以f(x)=2-f(2-x). 又因为f(2+x)=f(2-x,所以f(x)=2-f(x+2). 所以到-2-f+22-f) 当1xs2时.=3-2x,所)=-2 所拟引=2- 二、多选题 6. 【答案】CD 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A:y=f()的图象是保持y=f(x)在y轴右侧的图象并将右侧图象沿着y轴翻折，而乙图中在y轴 右侧的图象发生改变，故A不合题意： 对于B:y=f(x的图象是保持y=f(x)在x轴上方的图象并将下方的图象沿着x轴翻折，而乙图中在 原点附近的图象均在x轴下方，故B不合题意： 对于C:当x>0时，y=f(x)=f(-x),即乙图中在y轴右侧的图象可由甲图中在y轴左侧的图象翻折 得到， 又y=f(一)为偶函数，图象应关于y轴对称，故C符合题意： 对于D:y=-f)可由y=f()关于x轴翻折得到，根据A项分析，可知D符合题意 7.【答案】ACD 【详解】设F()=f(x)g(x),G(x)=f(x)g(x). 由题意得F(-)=-F),即f(-xg2(-x)=-f(x)g2(x)①， G(-x)=Gx),即f(-x)g(-x=(x)g(x)②， ©除以0湘号侣。甲得为奇药数，A正确 f(x) 由上并结合“同偶异奇”知()与8(x)奇偶性相异，故B错误， 当f()为奇函数，g(x)为偶函数时，()为偶函数，g(x)为偶函数， 满足()8(x)为奇函数，(x)8(x)为偶函数， 当f()为偶函数，g)为奇函数时，f()为偶函数，g()为偶函数， 不满足f(x)g(x为奇函数，故C,D正确。 8.【答案】ABD 【详解】选项A,f(2.1)=[2.1=2“,由题意2”=4一2=2一=2，A正确： 选项B,x=1.5时，.5]=1，f(1.5)=1°=1，a>0时恒成立，因此函数一定经过点（1.5,1)，B正确： 选项C,奇函数的定义：对定义域内任意，都满足f(-x)=-f(x) 取x=0.5,由高斯函数定义[0.5]=0，因此f(0.5)=0=0(a>0),对应-x=0.5,【-0.5]=-1,则 f(0.5)=(-1)2 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若f(x)为奇函数，需满足f(0.5)=-f(0.5)=0,但(-1)不可能等于0，矛盾； 同时负数的非整数次幂在实数域无意义，因此不存在α>0使f(x)为奇函数，C错误； 选项D,单调不减的定义：对任意<x,都有f(x)f(:), 在(0，+∞)上，高斯函数[d]本身是单调不减函数：x增大时，取整结果要么保持不变，要么增加，不会减 小： 己知a>0,幂函数y=1在1≥0上单调递增，两者复合后，[x]x]可推出[x[x,,即 f()f(:),因此f(x)在(0，+)上单调不减，D正确。 三、填空题 9【答】-a+小() 【详解】因为函数f(x)是R上的偶函数，且在区间(-0,0)上为减函数， 所以f()在(0，+∞)上是增函数， 因为0a+1=a-+ 所以(-a+小/（得） 10.【答案】f(x)=x2+4x 【详解】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，则f()=-f(x) 当x≥0时，f(x)=-x2+4x, 则x<0时，有-x>0,则f(-x)=-x2+4×(-x)=-x2-4x, 因此f()=-f(-x)=-(2-4x)=x2+4x. 11.【答案】x(符合题意任写一个即可) 8 【详解】因为对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y), 所以令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0: 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)+f(x)=0,即(-x)=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. 若f(x)=,则f(y)=,f(x+y)=k(x+y)=x+, 15/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以f(x+)=f()+f(y),符合要求 所以符合要求的一个解析式可以是f(x)=x. 此，g)=+f+4= ，+x+4 令（到，则国的定义城为R且(-=M到。 所以h()为奇函数，所以h(x)的图象关于原点对称。 记h(x)在-2023,2023]上的最大值为A与最小值为a,则A+a=0. 所以函数8(-2+1+f(国+4在[-2023,2023]上的最大值M与最小值m的和M+m=A+4+a+4=8 四、解答题 12.【答案】(1) 任取x,五∈(0，+)，且x<五， 则))=6之--+5=G50+, 因为，出c0+四且5<5可得与-名<@1+>0. x x2 所以f(x)-f(x)<0,即f()<f(s), 所以f)在(0，+)上单调递增。 (2) 1 函数f()=x一为奇函数， 证明如下：由函数)=x- ,可得其定义域为(-0,0U0,+o):关于原点对称， 且到-(0女e. 所以函数f(x)是定义域(-o,0U0,+∞)上的奇函数. (3)(-1,0)U1,+o) 【详解】(1)略 (2)略 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)由四=士040，质90成位90 x>0「x<0 解得x>1或-1<x<0,所以不等式f()>0的解集为-l,0U0,+∞) 13.【答案】(1)a=2,b=0 [2x -3<x≤0 (2)f(x)= x+3 2x,0<x<3 3-x1 居引 f0)=-0 3 【详解】(1)由题意得 f()2a.-1'解得 2 a=2b=0 2)由4可.当-3<x≤0时，f)- x+3· 当0<<3时，3<-<0所以f()2-2 -x+3x-3 因为f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数， 所以0<3时=-- 2x 所以f(x)= 3x50 2x ,0<x<3 3-x ()因为当3<0时)2 x+3, 反比例函数y=-在(0，+o)上单调递增。 6 所以函数f(x)在(-3,0上单调递增， 因为f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，所以f(x)在(-3,3)上单调递增. 由题意，得不等式f(3m-2)+f(2m-)>0即f(3m-2)>f(1-2m), 所以-3<1-2m<3m-2<3, 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解的<m<了即安数nm的取值范国足引】 3 18/18 专题04 函数的奇偶性与对称性题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 函数奇偶性的定义与基础应用 题型1 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 题型2 利用函数的奇偶性求值和解析式 题型3 利用函数的奇偶性求参数（常考点） 考点二 函数奇偶性与单调性、最值及对称性的综合应用 题型4 函数的奇偶性结合单调性比较大小 题型5函数的奇偶性结合单调性解不等式 题型6 伪奇函数最值问题（难点） 题型7 奇偶函数对称性的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数奇偶性的定义与基础应用 ◆题型1 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 1．（25-26高二下·天津红桥·期末）下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，A错误； 对于B：的定义域为，，故不是偶函数，B错误； 对于C：的定义域为，，故是偶函数，C正确； 对于D：的定义域为，，故是奇函数，D错误. 2．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 4．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（多选）已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 【答案】BCD 【详解】因为函数，所以的定义域为，值域为， 故选项B正确，选项A不正确； 若自变量是有理数，则也是有理数，，所以， 若自变量是无理数，则也是无理数，，所以， 所以是偶函数，选项C正确； 对于任意一个非零有理数，若是有理数，则是有理数；若是无理数，则是无理数， 根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故选项D正确. 5．（2026高三·全国·专题练习）关于函数，有下列命题：①函数的图象关于y轴对称；②当时，是增函数，当时，是减函数；③函数的最小值是；④当或时，是增函数．其中正确命题的序号是________________．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①③④ 【详解】命题①，函数定义域为，关于原点对称， 而，， 所以是偶函数，图象关于轴对称，①正确. 命题②，当时，， 令，在单调递减，在单调递增； 又单调递增，由复合函数单调性得到在上单调递减，在上单调递增， 由偶函数对称性可得，当时， 得到在上单调递减，在上单调递增，所以②错误. 命题③，当时，由基本不等式得到， 当且仅当，即取等号， 因为单调递增，所以，即最小值为，③正确. 命题④，由上面复合函数可得，当时，递增，故单调递增； 又是偶函数，与对称，在上单调递减，则在上单调递增， 所以当或时，是增函数，④正确. ◆题型2利用函数的奇偶性求值和解析式 1．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 2．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则（　　） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．方程有4个根 D．当时， 【答案】D 【详解】对于A，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数是上的偶函数，其图象关于轴对称， 所以函数在单调递减，所以A不正确； 对于B，当时，，且函数是上的偶函数， 所以函数的最大值为，所以B不正确； 对于C，当时，令，即，解得或， 因为函数是上的偶函数，可得， 所以函数有三个零点，所以C不正确； 对于D，设，则，因为是上的偶函数，且当时，， 所以， 即当时，，所以D正确. 故选：D. 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 4．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 5．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． ◆题型3利用函数的奇偶性求参数（常考点） 1．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知函数的定义域为， 所以 ， 又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确. 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】已知是上的奇函数，故且； 结合，将替换为得，可得， 则， 即的一个周期为4，故； 由可知关于直线对称，因此， 结合得，， 故； 当时，，代入得，即； 代入和，由得， 化简解得； 将代入，解得； 综上. 3．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数是偶函数，则（　　） A．-1 B．0 C．1 D．1或-1 【答案】C 【详解】由偶函数性质可得，移项得， 所以，即，所以解得. 检验：当时，，此时定义域是， 显然关于原点对称,所以满足题意； 当时，，此时定义域是， 显然不关于原点对称，所以不满足题意； 故选:C      5．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ． 【答案】 【详解】因为是偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 由得， 即，所以，，所以． 故答案为：. 6.若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 考点二 函数奇偶性与单调性、最值及对称性的综合应用 ◆题型4函数的奇偶性结合单调性比较大小 1．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是偶函数，所以， 已知，由偶函数性质，因此， 所以在上单调递减； 数值大小关系为， 所以， 所以即. 故选：B. 3．（25-26高一上·广西河池·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在单调递增，所以，所以； 因为，且在上单调递增，所以，所以， 所以. 因为偶函数在上为增函数，所以在上为减函数， 所以. 故选：. 4．（2019年4月9日《每日一题》理数选修2-2（期中复习）-直接证明与间接证明）若函数是偶函数，则，(a∈R)的大小关系是______. 【答案】 【详解】由已知得m=0，从而在上单调递减， 又， . 故答案为 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中是偶函数，比较大小：________． 【答案】＜ 【详解】是偶函数， 对称轴为 即， ， ， 故答案为：＜． ◆题型5函数的奇偶性结合单调性解不等式 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 3．（第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（复习讲义）（全国通用）-1）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 4．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 5．（2026高三·全国·专题练习）已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. ◆题型6伪奇函数最值问题（难点） 1．（24-25高二下·广西北海·期末）已知函数．若的最小值为，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【详解】令函数，所以最小值为， 已知，所以在上为奇函数， 则在上的最大值为，所以的最大值为； 故选：B. 2．（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 3．（19-20高一上·安徽亳州·期中）已知函数f(x)＝ax3－bx－1(ab≠0)的最大值为M，最小值为N，则M＋N等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】A 【详解】解： 令 为奇函数 的最大值为，最小值为， 的最大值、最小值分别为，， 由奇函数的定义可得， 解得． 故选：． 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数的定义域为R， 令，则，即为奇函数， 由于函数有最大值为M，最小值为N，则函数有最大值，最小值， 由奇函数的性质知，所以. 故选：B 5．函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【详解】由函数， 因为函数是定义在上的奇函数，所以有， 则， 所以可得函数关于点成中心对称图形， 因为函数的最大值为，最小值为， 所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形， 即， 故答案为：. ◆题型7奇偶函数对称性的应用 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 2．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 3．（2024·广东惠州·模拟预测）函数，若有，则（    ） A．8 B．5 C．0 D．4 【答案】A 【详解】由函数，可得， 所以为奇函数，其图象关于原点对称， 根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称， 因为，所以且，解得. 故选：A. 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 5．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，且恒成立．当时，，则当时，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则函数的周期为2； 当时，则，故； 由周期性可知，故当时，． 2．（25-26高一下·广东·期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 3．（25-26高二下·河北邢台·期末）已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是奇函数，所以. 又因为的图象关于直线对称， 所以. 已知，故， 所以. 4．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】，则，， 即，即的周期为， 故， 在上满足，说明的对称轴为，则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 5．（25-26高二下·广东汕头·期末）已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，即.所以. 又因为，所以. 所以. 当时，，所以. 所以. 二、多选题 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意； 对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在 原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意； 对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到， 又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意； 对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 7．（25-26高二下·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 8．（2026·全国·模拟预测）高斯函数表示不超过实数的最大整数，已知函数（为大于0的实数），下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．无论为何值，恒过定点 C．存在，使为奇函数 D．在上单调不减 【答案】ABD 【详解】选项 A，，由题意 ，A 正确； 选项 B，时，，，时恒成立，因此函数一定经过点，B 正确； 选项 C，奇函数的定义：对定义域内任意，都满足， 取，由高斯函数定义，因此（），对应，，则 若为奇函数，需满足，但不可能等于 0，矛盾； 同时负数的非整数次幂在实数域无意义，因此不存在使为奇函数，C 错误； 选项 D，单调不减的定义：对任意，都有， 在上，高斯函数本身是单调不减函数：增大时，取整结果要么保持不变，要么增加，不会减小； 已知，幂函数在上单调递增,两者复合后，可推出，即，因此在上单调不减，D 正确. 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 【答案】 【详解】因为函数是上的偶函数，且在区间上为减函数， 所以在上是增函数， 因为， 所以 10．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 11．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 （符合题意任写一个即可） 8 【详解】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 四、解答题 12．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知． (1)用定义法求证在上单调递增； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解不等式：． 【答案】(1) 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以在上单调递增. (2) 函数为奇函数， 证明如下：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是定义域上的奇函数. (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）由得，所以或， 解得或,所以不等式的解集为. 13．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $