精品解析：山东济南市槐萌区2026-2027学年第一学期九年级数学期中试题

2026~2027学年度第一学期期中质量检测 九年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. ， 2. 在Rt中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 若，面积比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 4. D．E分别是的边、上的点，，如果，，那么的长是（ ） A. 12 B. 22.5 C. 25 D. 6 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 开口向下 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 函数与的图象在同一坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，E是边上的动点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在五角星中，若，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是_______． 12. 如图，已知，，，则________． 13. 如图，、、均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为_______． 14. 若二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根之和为_______． 15. 如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 如图，线段、交于点C，，其中，，，求的长． 18. 已知二次函数的图像经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的解析式； （2）请写出这个函数除顶点坐标以外的其他两条性质． 19. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，线段上有一点C，连接，设直线与x轴的夹角． （1）求的值； （2）若，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使与的相似比为2，并写出点B的对应点的坐标； （2）请直接写出的面积为 ； （3）若点为的三条边上的任意一点，请直接写出经过（1）的变化后，对应点的坐标是 ． 21. 寒假期间，小浩一家到某旅游风景区登山．他们从山脚处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． （1）求小浩一家步行上升的垂直高度； （2）求缆车的行驶路线的长． （参考数据：，，；，，） 22. 某种蔬菜每千克的售价与销售月份之间的关系如图1所示，每千克的成本与销售月份之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）． （1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时每千克的利润是 元（利润=售价-成本）； （2）分别求出、与之间的函数关系式； （3）设该蔬菜每千克的销售利润为元，请写出与之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜时每千克的利润最大，最大利润是多少？ 23. 如图，梯形中，，为对角线，． （1）求证：； （2）以为一边作，交边于点E，求证：． 24. 如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A的对应点落在边上点D处，折痕为，若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕． 初步尝试： （1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；类比探究： （2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P，若，，求的值； 拓展应用： （3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若，折痕，点A到折痕的距离为2，求边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中质量检测 九年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质求解即可． 【详解】解：， ． 2. 在Rt中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴． 3. 若，面积比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形面积比与相似比的关系结合周长比与相似比的关系求解即可． 【详解】解：，面积比为， 与的相似比为， 与的周长比为． 4. D．E分别是的边、上的点，，如果，，那么的长是（ ） A. 12 B. 22.5 C. 25 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴． 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 开口向下 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．二次函数的顶点坐标为， 故该说法正确，不符合题意； B．二次函数的对称轴是直线， 故该说法正确，不符合题意； C．二次函数中，，开口向上， 故该说法不正确，符合题意； D．抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 故该说法正确，不符合题意． 6. 如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 7. 函数与的图象在同一坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分、两种情况，结合抛物线开口方向、直线倾斜方向与截距，逐一排除错误选项． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 当时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故A选项正确；B、C、D选项均不正确． 8. 如图，矩形中，，，E是边上的动点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，利用对应边成比例求出，进而求出． 【详解】解：四边形是矩形，，， ∴，， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 9. 如图，在五角星中，若，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件是黄金分割的典型定义式，意味着点是线段的黄金分割点，为较长段，该比值等于黄金比，五角星中各交点通常对应相应线段的黄金分割关系． 【详解】解：∵， ∴点是线段的黄金分割点， 选项A，变形为，表示是的黄金分割点，为较长段，符合五角星性质，选项正确，不符合题意； 选项B，左边为黄金比，在五角星中也是上的黄金分割点，与对称位置，对应较长段比例关系成立，选项正确，不符合题意； 选项C，两边分母相同，则需，即为中点，但在五角星中，和的长度不相等，因此该比例不成立，该式错误，符合题意； 选项D，变形为，表示是的黄金分割点，为较长段，符合五角星性质，选项正确，不符合题意． 10. 已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象可知，，根据对称轴为直线，可知，由此判断①正确；根据二次函数与一元二次方程的关系判断②不正确；把代入二次函数解析式，整理可判断③正确；根据直线特征可知直线过，把不等式变形观察图象判断④正确． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，故①正确； 抛物线与轴有两个交点， 当时，方程有两个不相等的实数根， ，故②不正确； 二次函数与x轴的一个交点为， ， ， ， ，故③正确； 对于直线， 当时，， 直线过点， 对于不等式， 即， 即， 观察图象可知不等式的解集为，故④正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 二次函数的图象与y轴的交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入二次函数解析式，计算对应的函数值即可得到交点坐标． 【详解】解：将代入，得． ∴该图象与y轴的交点坐标为． 12. 如图，已知，，，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，、、均在正方形网格中的格点（小正方形的顶点）处，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取格点，连接，根据正切的定义求值即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格知，，，， 在中，． 14. 若二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根之和为_______． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，直接代入系数计算即可． 【详解】解：关于  的一元二次方程  中， 二次项系数 ，一次项系数 . 设方程的两根为 ，. 根据根与系数的关系，得   代入数据得 ． 15. 如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和二次函数的最大值，关键在于数形结合的熟练应用．根据垂直的定义得到，再根据等角的余角相等得到，根据三角形相似的判定得到，利用相似比得到与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最小值，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：的长为，则，的长为， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， 当时，， 当时，，此时为最小， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，线段、交于点C，，其中，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 18. 已知二次函数的图像经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的解析式； （2）请写出这个函数除顶点坐标以外的其他两条性质． 【答案】（1） （2）① 函数图像开口向上；② 函数的对称轴为直线． （答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）设二次函数解析式为，再将代入求得a的值，然后再化成一般式即可； （2）结合二次函数的图像与性质，写出符合要求的结论即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 则 解得， ∴二次函数的解析式为，整理得． 【小问2详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴根据二次函数的性质可得① 函数图像开口向上；② 函数的对称轴为直线． 19. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点A，线段上有一点C，连接，设直线与x轴的夹角． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出点A和点B的坐标，即可得到与的值，按照正切值的定义求解即可； （2）用勾股定理求出的长，可得为等腰三角形，利用三角形外角性质得，按照正切值的定义求解即可． 【小问1详解】 解：在中， 令，则， 令，则，解得：， 点A的坐标为，点B的坐标为， ，， 在中，，，， ； 【小问2详解】 ，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 在中，，，， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使与的相似比为2，并写出点B的对应点的坐标； （2）请直接写出的面积为 ； （3）若点为的三条边上的任意一点，请直接写出经过（1）的变化后，对应点的坐标是 ． 【答案】（1）如图，即为所求；点的坐标为​ （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）根据位似的性质画出图形并写出点的坐标即可； （2）利用矩形面积减去周围三个三角形的面积即可解答； （3）根据位似的性质求解即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：该位似变换是将原图形上任意点的横、纵坐标同时乘， 因此的对应点坐标为． 21. 寒假期间，小浩一家到某旅游风景区登山．他们从山脚处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． （1）求小浩一家步行上升的垂直高度； （2）求缆车的行驶路线的长． （参考数据：，，；，，） 【答案】（1）62米 （2）700米 【解析】 【分析】（1）过点B作于点E，根据正弦的定义求出即可； （2）过点B作于点F，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点B作于点E， 根据题意，， 故小浩一家步行上升的垂直高度为62米． 【小问2详解】 解：过点B作于点F， 则四边形是矩形， 故， 故， 又， 故． 22. 某种蔬菜每千克的售价与销售月份之间的关系如图1所示，每千克的成本与销售月份之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）． （1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时每千克的利润是 元（利润=售价-成本）； （2）分别求出、与之间的函数关系式； （3）设该蔬菜每千克的销售利润为元，请写出与之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜时每千克的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）2 （2）； （3）5月份利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）先找出6月份所对应的售价和成本价，根据利润=售价-成本即可求出答案． （2）观察图象，分别找出两个图象所经过的点的坐标，通过待定系数法即可求出两个函数的关系式． （3）根据题意可知，将的关系式代入，并转化为顶点式形式，即可求出几月份利润最大，且求出最大值是多少． 【小问1详解】 解： 月份的成本最低，且是1元，月份所对应的售价为元， 利润为（元）． 【小问2详解】 解：由图1可设， 解得， ． 由图2可知，抛物线的顶点坐标为， 设， 抛物线经过， ， ， ． 【小问3详解】 解：该蔬菜每千克的销售利润为元， ， ． ， 时，， 5月份出售这种蔬菜，每千克的利润最大，最大利润为元． 23. 如图，梯形中，，为对角线，． （1）求证：； （2）以为一边作，交边于点E，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 在和中，，， ， ． （2）证明：∵，， ， 在和中，，， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【解析】 【分析】（1）将转化为，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，两个相似的三角形对应角相等； （2）用两角相等的两个三角形相似证明，得到，进行变形与代换即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴，过点作，设，求出直线的解析式，从而求出点坐标，即可求出线段长度，利用割补法用表示面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最大值； （3）根据抛物线的解析式求出抛物线对称轴，设，分三种情况讨论①；②；③；根据勾股定理分别将用表示出，代入每种情况对应的勾股定理逆定理的公式中，即可求出值，从而求出点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点、点， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点作轴于点，交于点，过点作于点，如图， 由题意得，设，则， ， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， ， ， ， ∵， ∴当时，有最大值，且最大值为； 【小问3详解】 解：， 对称轴为， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，如图， ∴， ∴， ， ； ②当时，如图， ∴， ， 或， 或； ③当时，如图， ∴， ， ， ； 综上所述，点P的坐标为或或或． 25. 问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A的对应点落在边上点D处，折痕为，若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕． 初步尝试： （1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；类比探究： （2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P，若，，求的值； 拓展应用： （3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若，折痕，点A到折痕的距离为2，求边的长． 【答案】 （1）证明：由折叠可知 ∵点E，F分别是的边的中点， ∴， ∴， ∴与均是等腰三角形， ∴折痕是的双等腰折痕； （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），由折叠可知，有，则问题可证； 对于（2），由题意知和均是等腰三角形，可得，然后可得，，过点E作于点M，进而求出，最后根据相似三角形的性质得出答案； 对于（3），由题意得四边形是菱形，连接，交于点H，过点F作于点N，则有，然后可得，进而可得，接下来根据是的双等腰折痕，可得与均是等腰三角形，可得，再说明，可得，然后求出，最后根据可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的双等腰折痕， ∴和均是等腰三角形， ∵点E为的中点，且， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． 由折叠可知：， ∴点F是的中点， ∴， ∴． ∵， 根据勾股定理，得， ∴． 过点E作于点M， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于（3），由折叠可知， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 连接，交于点H，过点F作于点N， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是的双等腰折痕， ∴与均是等腰三角形． ∵是的顶角， ∴． 在菱形中，， ∴， ∴， ∴． 过点D作于点R， ∴, ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的判定与性质，折叠的性质，三角形的中位线性质等知识，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $