精品解析：山东省济南市槐荫区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学 （2025．11） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例的性质可设，，再代入化简，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，， ∴ ． 故选：A． 2. 在中，，若 ， ，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，利用勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ， ， ∴ ， ∴， 故选：D． 3. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得 ， 故选：B． 4. 若，其相似比为 ，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】相似三角形的对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 【详解】解：且相似比为 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题的关键． 5. 已知二次函数，下列说法中错误的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 函数的最小值为2 C. 其图象的对称轴为直线 D. 其图象的顶点坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、最小值、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：∵中，， ∴其图象开口向上，故A错误，符合题意； ∵顶点坐标为，且， ∴最小值为2，对称轴为直线，故B、C、D正确，不符合题意． 故选：A． 6. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵ ，， ∴ ，不符合题意， B、∵ ，， ∴ ，不符合题意， C、根据无法得到 ，符合题意， D、∵ ， ∴， 又∵ ， ∴ ，不符合题意， 故选：C． 7. 如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及坡度概念，熟记勾股定理是解决问题的关键． 在中，坡度，设，则，结合相邻两棵树间的水平距离为，求出值，再由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：在中，坡度，设，则 ， 则由勾股定理可得， 故选：B． 8. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和一次函数的图象，根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系逐一判断即可求解，熟悉两函数图象的分布与其解析式中对应系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、由反比例函数得，由一次函数得，即，则正确，故符合题意； B、由反比例函数得，由一次函数得，即，则错误，故不符合题意； C、由反比例函数得，由一次函数得，即，则错误，故不符合题意； D、由反比例函数得，由一次函数得，即，则一次函数应交轴负半轴，则错误，故不符合题意； 故选A． 9. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点D在伞柄上，，则的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接交于点G，根据已知易得四边形 是菱形，然后利用菱形的性质可得，，平分，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：连接交于点G， ， 四边形 是菱形， ，，平分， ， 在中，， ， 故选D． 10. 表中所列x，y的6对值是二次函数 图象上的点所对应的坐标，其中． x … 1 … y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①；② ；③；④如果，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．①由二次函数的对称性可得对称轴为直线，可直接判断；②由对称轴的位置及且，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由此可判断a的符号，进而可判断b和c的符号；③由上述判断可知，当 时，，结合 可判断；④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断时，y的取值范围，进而可判断． 【详解】解：①由表格可知，当 和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴ ，即，故①正确； ②由表格可知，，且， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 由表格可知，当和，函数值相等， 又∵，， ∴ ， ∴ ，故②正确； ③由上分析可知，当 时，， 又∵ ， ∴，故③正确； ④当，时，可知函数过点， ∵对称轴为直线 ， ∴抛物线跟x轴的另一个交点， ∴函数的解析式可设为， ∵， ∴，解得， ∴函数解析式为：， 画出函数图象如图所示： 当 时，， 当时，， 又抛物线的顶点坐标为， ∴当时，直线与该二次函数图象有一个公共点； ∴若直线与该二次函数图象有一个公共点，则或，故④不正确． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 一、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 得： ． 故答案为： ． 12. 高 的旗杆在水平地面上的影长为 ，如果此时附近的一建筑物在水平地面上的影长为，则该建筑物的高度为_________m． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用同一时刻物高与影长成正比建立方程求解即可． 【详解】解：设建筑物的高度为米， 由相似三角形的性质得：，解得． 答：该建筑物的高度为． 故答案为：9． 13. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移；根据抛物线平移的规律：向右平移时，替换为；向下平移时，替换为或函数值减去． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为 故答案为：． 14. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则 的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用；求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．先利用格点和勾股定理计算、、，再判断的形状，最后求出． 【详解】解：连接、， 则， ， ， ， 是直角三角形． ， 故答案为：． 15. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段的黄金分割点． 若，则的长为_______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解． 【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设， ∴，即，， ∴，即， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 16. 如图，中，，点P到点B、点C的距离分别为12和6，则PA的最大值_______． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查相似，勾股定理，三角形三边关系，通过边的关系构建相似三角形是解题的关键．根据边的关系作，且令构建，由相似三角形的性质得到，代换出，再结合边的关系得到从而求出 长度，由三角形三边关系可知，所以当在上时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，作，且令， 在中， ，设 ， 则 ， 在和中 ， ，即 在中， 在和 中 ， ， 又∵， ∴ 由图可知 当在上时，有最大值，最大值为． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长． 【答案】14. 【解析】 【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相等，由相似得比例，把已知边代入求出BC的长即可． 【详解】∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AB=7，AD=5，DE=10， ∴BC==14． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 19. 如图，在中，， ，，求的长及的余弦值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素．通过， 即可求解． 【详解】解：在中， ，， ， ， ， ． 20. 如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， （1）在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 （2）分别写出、的对应点、的坐标． （3）点为轴上一点，当 最小时，点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2）)，) （3） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似 ； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【小问1详解】 如图所示， 即为所求； 【小问2详解】 根据坐标系可得)，)； 【小问3详解】 解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 21. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，，、分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当，且 时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面的距离．（精确到 ，参考数值：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点D作，垂足为G，过点C作，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，再根据，即可求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：过点D作，垂足为G，过点C作，垂足为F，如图所示， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， 又， ， ， ， ， ， 答：点D到桌面的距离约为． 22. 如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及 即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用两角对应相等，两个三角形相似证出；（2）牢记相似三角形对应边的比相等． 23. 数学兴趣小组在学习了函数后，想探究函数的图象和性质．于是找到了自变量与的几组对应值如下表： … 0 1 1.5 2.5 3 4 5 6 10 … … 4 2 1 … （1）写出函数关系式中及表格中，的值； （2）请根据上述表格中的所有数据，尝试在如图所示的平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象，并根据图象写出该函数的两条性质； （3）已知函数图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， ； （2）①当时，随的增大而减小，②函数图象的对称中心为； （3） 或． 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，数形结合是解决本题关键． （1）把时， 代入解析式即可求得的值，然后把 和代入即可求得 ； （2）描出表中各对对应值为坐标的部分点，然后连线，根据图象得出函数的性质； （3）根据函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：时， 当 时，则 当时，则 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 由图象可知： ①当时，随的增大而减小， ②函数图象的对称中心为； 【小问3详解】 解：观察函数图象发现不等式的解集为： 或． 24. 如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． （1）求二次函数的表达式； （2）求的面积； （3）在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积为8 （3）点的坐标为和 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）将点和代入解析式求解即可； （2）然后令解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再将二次函数解析式变为顶点式求出点M，进而即可求解； （3）设 的高为h，由求出h，然后代入抛物线解析式求解即可． 【小问1详解】 解：将点和代入， 得，， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴，， ∴． ∵ ， ∴顶点． 的高为顶点到轴的距离， ∴面积为 ； 【小问3详解】 解：设 的高为h， 由，得 解得 ， 即点P的纵坐标为5或． 当 时， 解得 或， ∴或． 当 时， ， ∴， ∴方程无实数解， 综上所述，存在点P，坐标为和． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于D，E，且顶点， ． （1）求反比例函数关系式和点E的坐标； （2）连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系并说明理由 （3）点F是反比例函数的图象上的一点，且使得，求直线EF的函数关系式． 【答案】（1），E（6，2） （2）DE∥AC，DE＝AC，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形，得到AB与x轴平行，与y轴平行，得到B与D纵坐标相同，B与E横坐标相同，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出E坐标即可． (2) DE∥AC，DE＝AC，理由为：由B（6，3），D（4，3），E（6，2），可得BD＝2，AB＝6，BE＝1，BC＝3，继而可得△BDE∽△BAC，由相似的性质可证得DE∥AC，DE＝AC． (3) 作AG⊥AE，交EF于点G，设 ，作GM⊥y轴交y轴于点M，EN⊥y轴交y轴于点N，由，B（6，3），E（6，2），可得MG＝x，MA＝y-3，AN＝1，EN＝6，由已知条件可得∠AEG＝∠AGE＝45°，所以AG＝AE，再由同角的与角相等可证∠MGA＝∠NAE，继而利用AAS可证得△MGA ≌△NAE，可以求出G点坐标，点坐标已知，利用待定系数法可以求得解析式． 【小问1详解】 解：∵（6，3），＝2 ∴D（4，3） ∵y＝过点D（4，3） ∴k＝4×3＝12 ∴反比例函数关系式为 ∵B（6，3） ∴可设E（6，n），将点的坐标代入解析式， ∴n＝2 ∴E（6，2） 【小问2详解】 解：DE∥AC，DE＝AC，理由如下： ∵B（6，3），D（4，3），E（6，2）， ∴BD＝2，AB＝6，BE＝1，BC＝3， ∴ ∵∠DBE＝∠ABC ∴△BDE∽△BAC ∴，∠BDE＝∠BAC ∴DE∥AC ∴DE∥AC，DE＝AC 【小问3详解】 解：作AG⊥AE，交EF于点G，设 ，作GM⊥y轴交y轴于点M，EN⊥y轴交y轴于点N， ∵B（6，3），E（6，2）， ∴MG＝x，MA＝y-3，AN＝1，EN＝6， ∵∠AEF＝45°，∠EAG＝90° ∴∠AEG＝∠AGE＝45° ∴AG＝AE ∵∠MGA＋∠MAG＝90°，∠MAG＋∠EAN＝90° ∴∠MGA＝∠NAE 在△MGA和△NAE中 ∴△MGA ≌△NAE ∴MG＝AN＝1，AM＝NE ∴ ∴ ∴G（1，9） ∵E（6，2） ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数的知识，待定系数法求解析式，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 26. 综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，， ，分别取，的中点D，E，作 ．如图2所示，将 绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考：如图4，在中，， ， ，分别取，的中点D，E．作 ，将 绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求 的值． 【答案】（1） 解：猜想，证明如下： ∵点D和点E为分别为 中点， ∴由图1可知， ， ∴，则， ∵ ， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得： ， ∴ ， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出 ，进而得出，易得，通过证明 ，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时， ，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令 相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出 ，则 ，根据相似三角形的性质得出 ，进而推出 ，则，求出，，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图1可知点D和点E为分别为 中点， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴当所在直线经过点B时， ， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：令 相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵边平分线段， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 根据旋转的性质可得： ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中质量检测 九年级数学 （2025．11） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项：第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若 ， ，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若，其相似比为 ，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法中错误的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 函数的最小值为2 C. 其图象的对称轴为直线 D. 其图象的顶点坐标为 6. 如图，D是边 上一点，添加一个条件后，仍不能使 的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为，则这两棵树之间的坡面距离 为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像是（ ） A. B. C. D. 9. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点D在伞柄上，，则的长度可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 表中所列x，y的6对值是二次函数 图象上的点所对应的坐标，其中． x … 1 … y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①；② ；③；④如果，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 一、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 12. 高 的旗杆在水平地面上的影长为 ，如果此时附近的一建筑物在水平地面上的影长为，则该建筑物的高度为_________m． 13. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为____． 14. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接 、 ，则 的值为_____． 15. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段 的黄金分割点． 若，则 的长为_______．（结果保留根号） 16. 如图，中，，点P到点B、点C的距离分别为12和6，则PA的最大值_______． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长． 19. 如图，在中，， ，，求的长及的余弦值． 20. 如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， （1）在 轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 （2）分别写出、的对应点、的坐标． （3）点为 轴上一点，当 最小时，点的坐标为________． 21. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，，、分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当，且 时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面 的距离．（精确到 ，参考数值：，，） 22. 如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边 上一点，连接并延长，交 的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 23. 数学兴趣小组在学习了函数后，想探究函数的图象和性质．于是找到了自变量与 的几组对应值如下表： … 0 1 1.5 2.5 3 4 5 6 10 … … 4 2 1 … （1）写出函数关系式中及表格中，的值； （2）请根据上述表格中的所有数据，尝试在如图所示的平面直角坐标系中描点，连线，画出该函数图象，并根据图象写出该函数的两条性质； （3）已知函数图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 24. 如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于A、B两点，其顶点为． （1）求二次函数的表达式； （2）求的面积； （3）在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于D，E，且顶点， ． （1）求反比例函数关系式和点E的坐标； （2）连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系并说明理由 （3）点F是反比例函数的图象上的一点，且使得，求直线EF的函数关系式． 26. 综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，， ，分别取 ，的中点D，E，作 ．如图2所示，将 绕点A逆时针旋转，连接，． （1）探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． （2）性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． （3）延伸思考：如图4，在中，， ， ，分别取 ， 的中点D，E．作 ，将 绕点B逆时针旋转，连接，．当边 平分线段时，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $