精品解析：山东烟台市莱阳市 2026-2027学年度第一学期期中学业水平检测八年级数学（五四制）

2026—2027学年度第一学期期中学业水平检测 初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为加强体育管理，某校规定学生的学期体育综合成绩计算办法为：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小华同学的三项成绩依次为，则他的学期体育综合成绩是（ ） A. 90 B. 93 C. 88 D. 91 4. 如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（ ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A. 这20人年龄的下四分位数是29岁 B. 这20人年龄的上四分位数是29岁 C. 这20人年龄的中位数是31岁 D. 这20人年龄的众数是5人 7. 某校举办计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算．某组同学计算过程如下： 则出现错误的是( ) A. 只有甲 B. 乙和丁 C. 丙和丁 D. 甲和丙 8. 化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 10. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果精确到0.1）． 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 第一组3个，第二组2个 第一组2个，第二组3个 第一组1个，第二组4个 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知，则代数式________． 12. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________ 13. 已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为________． 14. 多项式有一个因式是，则的值为__________． 15. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车上学比乘公交车上学所需的时间少15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时行驶千米，则可列方程为__________ 16. 一组数据由10个数组成，其平均数为50．小明将这组数据按照从小到大的顺序排序后，求得前6个数的平均数为45，后6个数的平均数为60，则这组数据的中位数是__________． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 把下列各式因式分解： （1） （2） 18. 完成以下问题 （1）解方程： （2）先化简，再求值：，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 19. 设，其中“”遮盖了一个关于的最简分式． （1）若“”部分是，请化简，并求当时的值； （2）若化简后，求被“”遮盖的分式． 20. 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 乙 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出表中与的值； （2）求甲组学生竞赛成绩的四分位数和，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 21. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． （1）求原来正确的二次三项式； （2）将原来的二次三项式分解因式． 22. 某厂生产，两种产品，其单价随市场变化而作相应调整．营销人员根据前三次单价的变化情况，绘制了如下统计表： ，产品单价变化统计表 第一次 第二次 第三次 产品单价/（元/件） 产品单价/（元/件） 并求得了产品三次单价的平均数和方差： ，． （1）求产品三次单价的方差； （2）该厂决定第四次调价，产品单价仍为6.5元/件，产品单价比3元/件上调（），但调价后不能超过4元/件，使得产品这四次单价的中位数比产品四次单价的中位数的2倍少1，求的值． 23. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）； （2）已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ （3）已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 24. 2026年4月，重庆中小学迎来春假，某文创店抓住商机用2400元购进种纪念品，用3000元购进种纪念品．已知种纪念品每个的进价比种纪念品每个的进价低20元，且购进种纪念品的数量是种纪念品数量的倍． （1）求、两种纪念品每个的进价分别为多少元？ （2）节日期间文创店生意火爆，已知种纪念品的售价为70元/个，种纪念品每个售价比进价多元，当种纪念品售出50个时，种纪念品售出；店主为了回馈顾客的支持，开始做促销活动，种纪念品对剩余部分打折，种纪念品对剩余部分进行买2赠1活动，两种纪念品均全部售出，若要使销售这批纪念品的总利润不低于2260元，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中学业水平检测 初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形恒等，逐一判断选项． 【详解】解：A、左边为整式的积的形式，变形仅调整符号，未将多项式化为整式积的形式，不符合； B、左边是多项式，右边是两个整式的积的形式，且变形恒等，符合； C、右边展开为，与左边不相等，变形不恒等，不符合； D、右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不符合． 2. 下列各式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，结合因式分解约分的规则验证各选项变形的正确性． 【详解】解：A选项：，变形错误； B选项：的分子分母无公因式，无法约分化简为，变形错误； C选项：，变形正确； D选项：，变形错误． 3. 为加强体育管理，某校规定学生的学期体育综合成绩计算办法为：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小华同学的三项成绩依次为，则他的学期体育综合成绩是（ ） A. 90 B. 93 C. 88 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 学期体育综合成绩为各项成绩乘以对应权重的和， ∴ 小华的综合成绩为： ． 4. 如图，大长方形的面积为，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式可因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，大长方形的宽为，长为， ∴大长方形的面积， 由图可知，大长方形的面积， ∴． 5. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【详解】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 6. 某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示，下列说法正确的是（ ） 年龄（岁） 62 50 43 32 30 28 25 人数（人） 2 3 3 5 2 4 1 A. 这20人年龄的下四分位数是29岁 B. 这20人年龄的上四分位数是29岁 C. 这20人年龄的中位数是31岁 D. 这20人年龄的众数是5人 【答案】A 【解析】 【分析】将年龄从小到大排列，确定各位置对应的年龄后，结合各统计量的定义计算判断． 【详解】解：将年龄从小到大排列如下： 年龄（岁） 25 28 30 32 43 50 62 人数（人） 1 4 2 5 3 3 2 A、解法一：下四分位数即分位数，， 为第5个和第6个数据的平均数， 即，故A正确； 解法二：共有20个数据，中位数为， 下四分位数为前半部分的中位数， 即，故A正确； B、解法一：上四分位数即分位数，， 为第15个和第16个数据的平均数， 即，故B错误； 解法二：共有20个数据，中位数为， 上四分位数为后半部分的中位数， 即，故B错误； C、， 中位数为第10个和第11个数据的平均数，， 即中位数为32，故C错误； D、众数是出现次数最多的年龄，为32岁，故D错误． 7. 某校举办计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算．某组同学计算过程如下： 则出现错误的是( ) A. 只有甲 B. 乙和丁 C. 丙和丁 D. 甲和丙 【答案】D 【解析】 【分析】逐人分析计算步骤，判断符号处理及去括号法则的应用是否正确． 【详解】解：∵，甲写为   ∴甲错误 ∵  ∴乙正确 ∵，丙分子写为   ∴丙错误 ∵  ∴丁正确． 8. 化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 9. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 10. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果精确到0.1）． 分组情况 组内离差平方和 第一组4个，第二组1个 第一组3个，第二组2个 第一组2个，第二组3个 第一组1个，第二组4个 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则下列分组正确的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据排序，计算第一组2个、第二组3个的组内离差平方和，再比较所有分法的离差平方和，选择最小的． 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为， 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为，离差平方和为， 则第一组2个、第二组3个的组内离差平方和， 比较得， 所对应分组为和． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知，则代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】把所求式子因式分解为，再把已知条件整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确把所求式子因式分解为是解题的关键． 12. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________ 【答案】 且 【解析】 【分析】先通过去分母解分式方程得到用表示的，再结合解为正数、分式方程分母不为0的限制条件列不等式，排除增根对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为，分式有意义的条件为，即， ∴方程两边同乘最简公分母去分母，得， ∴整理得整式方程的解为， ∵方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程的解不能为增根，即， ∴， 解得， ∴综合可得的取值范围为且． 13. 已知4个数据，，，的平均数为3，方差是4；另外6个数据，，，，，的平均数也是3，方差是6．把这两组数据合在一起得到10个数据，，，，，，，，，，则这10个数据的方差为________． 【答案】5.2 【解析】 【分析】本题考查求方差，两组数据的平均数相同，合并后平均数为3，方差计算只需将两组数据的平方和相加后除以总数据个数即可． 【详解】解：第一组数据的平方和：，第二组数据的平方和：， 总平方和：， 故总方差：． 故答案为：5.2． 14. 多项式有一个因式是，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知首项系数为1的二次多项式的一个因式为，可设出另一个一次因式，利用多项式相等时对应项系数相等的关系求解． 【详解】解：∵多项式有一个因式是，且该多项式二次项系数为 ∴设另一个因式为，可得． 将等式右边展开，得． ∵两个多项式相等时，对应项的系数完全相等 ∴常数项满足．一次项系数满足． 将代入一次项系数的等式，得． ∴． 15. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车上学比乘公交车上学所需的时间少15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时行驶千米，则可列方程为__________ 【答案】 【解析】 【分析】统一时间单位，结合路程、速度、时间的关系，依据两种出行方式的时间差建立等量关系列方程． 【详解】解：∵ 速度单位为千米/小时，需将时间单位统一为小时． ∴ 15分钟小时小时． 设乘公交车平均每小时行驶千米，则电动汽车平均每小时行驶千米， 根据时间路程速度， 可得乘公交车上学所需时间为小时，乘电动汽车上学所需时间为小时， ∵ 乘电动汽车比乘公交车少用小时． ∴所列方程为． 16. 一组数据由10个数组成，其平均数为50．小明将这组数据按照从小到大的顺序排序后，求得前6个数的平均数为45，后6个数的平均数为60，则这组数据的中位数是__________． 【答案】65 【解析】 【分析】根据平均数公式分别计算10个数的总和、前6个数的总和、后6个数的总和，利用前6个数与后6个数的和中第5、6位数据被重复计算的特点，求出这两个数的和，再结合偶数个数据的中位数定义计算即可． 【详解】解：∵ 10个数的平均数为50， ∴ 10个数的总和为． ∵ 前6个数的平均数为， ∴ 前6个数的总和为． ∵ 后6个数的平均数为60， ∴ 后6个数的总和为． ∵ 数据按从小到大排序后，前6个数为第1到第6个数据，后6个数为第5到第10个数据 ∴ 前6个数与后6个数的和中，第5、6个数据被重复计算1次 ∴ 第5个数据与第6个数据的和为． ∵ 10个数据的中位数为排序后第5、6个数据的平均数 ∴ 这组数据的中位数为． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 把下列各式因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 完成以下问题 （1）解方程： （2）先化简，再求值：，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）原方程的解为 （2）化简结果为，代入合适的整数后求值结果为． 【解析】 【分析】（1）分式方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求出，再代回检验是否为增根． （2）先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法约分；最后在内选取使原式有意义的整数代入求值． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得； 去括号，得； 移项、合并同类项，得； 检验：当时，； 所以原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：原式 ． 由且，得且； 又，且为整数，所以只能取； 当时，原式． 19. 设，其中“”遮盖了一个关于的最简分式． （1）若“”部分是，请化简，并求当时的值； （2）若化简后，求被“”遮盖的分式． 【答案】（1）；； （2）被遮盖的分式为 【解析】 【分析】（1）先因式分解，对括号内通分合并，再将除法转化为乘倒数，约分后得，最后把代入代数式完成求值； （2）设遮盖部分为，依据“被除数商除数”变形得，分解并约分右侧式子，移项通分后因式分解分子，约去公因式得到最简分式． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 当时，； 【小问2详解】 解：设被遮盖的分式为， ∵化简后， ∴ 解得． 20. 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 乙 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出表中与的值； （2）求甲组学生竞赛成绩的四分位数和，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1），； （2），，补全甲组竞赛成绩的箱线图如下： （3）乙组竞赛成绩较好．理由如下： ，乙组平均分更高； ，乙组方差更小，成绩更稳定； 乙组中位数，甲组中位数，中位数相同． 乙组成绩更好． 【解析】 【分析】（1）先把甲组成绩从小到大排序，根据中位数定义求；再统计乙组各分数出现次数，找出出现次数最多的数得到． （2）方法一：先确定位置，再按位置取数求四分位数；方法二：用初中箱线图常用的中位数分割法，先找整体中位数，再分别对前后两段求中位数得到、；再根据最小值、、中位数、、最大值画出箱线图． （3）对比平均数、方差、中位数，从平均水平、成绩稳定性、中间水平角度说明乙组成绩更好． 【小问1详解】 解：甲组成绩从小到大排序：，，，，，，，，，，一共10个数据，处于中间的两个数为，，， ∴， 乙组成绩：，，，，，，，，，， 出现2次，其余分数只出现1次 ； 【小问2详解】 解：甲组排序：，，，，，，，，，，共个数， 方法一：∵，第三个数为， ， ∵，第八个数为， ， 补全甲组竞赛成绩的箱线图略； 方法二：甲组中位数是，从小到大排序后前半段：，，，，；后半段：，，，，， 为前半段中位数：， 为后半段中位数：， 补全甲组竞赛成绩的箱线图略； 【小问3详解】 略 21. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． （1）求原来正确的二次三项式； （2）将原来的二次三项式分解因式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用看错一次项系数时二次项与常数项正确，看错常数项时二次项与一次项正确的特点，分别展开两个错误分解式，提取对应正确系数组合得到原多项式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【小问1详解】 解：∵看错一次项系数时，二次项系数和常数项正确， ， ∴原二次三项式的二次项系数为，常数项为， ∵看错常数项时，二次项系数和一次项系数正确， ， ∴原二次三项式的一次项系数为， ∴原来正确的二次三项式为； 【小问2详解】 解： ． 22. 某厂生产，两种产品，其单价随市场变化而作相应调整．营销人员根据前三次单价的变化情况，绘制了如下统计表： ，产品单价变化统计表 第一次 第二次 第三次 产品单价/（元/件） 产品单价/（元/件） 并求得了产品三次单价的平均数和方差： ，． （1）求产品三次单价的方差； （2）该厂决定第四次调价，产品单价仍为6.5元/件，产品单价比3元/件上调（），但调价后不能超过4元/件，使得产品这四次单价的中位数比产品四次单价的中位数的2倍少1，求的值． 【答案】（1）B产品三次单价的方差为 （2）的值为 【解析】 【分析】第小题严格套用方差公式计算； 第小题先对的数据排序求出中位数，再设第四次单价，结合取值范围分析四次数据的排序，列出中位数方程求解，最后检验取值限制条件． 【小问1详解】 解：产品单价平均数： 产品三次单价的方差：． 【小问2详解】 解：A产品四次单价：，，，； 排序：,,,； 设第四次单价为：，且，即； B原有三次单价：，，4，加入新数，； 四次排序分两种区间： :排序3，x,3.5,4,中位数； :排序3,3.5,x,4,中位数； 两种情况中位数表达式一样：； 根据题意： ． 检验：满足条件． ． 23. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）； （2）已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ （3）已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不能大于． 证明： ∵是的三边长 ∴， ∴， ∴ 即原式的值不能大于． （3） 是等边三角形. 理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即 ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】把多项式恰当分组，凑出完全平方式，再用平方差公式或者利用平方的非负性解题； 小问结合三角形三边关系、平方的非负性求解即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 2026年4月，重庆中小学迎来春假，某文创店抓住商机用2400元购进种纪念品，用3000元购进种纪念品．已知种纪念品每个的进价比种纪念品每个的进价低20元，且购进种纪念品的数量是种纪念品数量的倍． （1）求、两种纪念品每个的进价分别为多少元？ （2）节日期间文创店生意火爆，已知种纪念品的售价为70元/个，种纪念品每个售价比进价多元，当种纪念品售出50个时，种纪念品售出；店主为了回馈顾客的支持，开始做促销活动，种纪念品对剩余部分打折，种纪念品对剩余部分进行买2赠1活动，两种纪念品均全部售出，若要使销售这批纪念品的总利润不低于2260元，求的最小值． 【答案】（1）A种纪念品每个进价40元，则B种纪念品每个进价60元 （2）a的最小值为8 【解析】 【分析】（1）设种纪念品每个进价元，则种纪念品每个进价元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，进行求解即可. 【小问1详解】 解：设种纪念品每个进价元，则种纪念品每个进价元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴， 答：A种纪念品每个进价40元，则B种纪念品每个进价60元； 【小问2详解】 解：种纪念品购进数量：，种纪念品购进数量：个， 由题意得： ， 解得：； 答：a的最小值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $