精品解析:山东济南市钢城区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

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2026-2027学年度上学期期中诊断性评价 九年级数学试题 注意事项: 1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确. 2.本试题.分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间为120分钟. 3.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域,不能答在试卷上:解答题作图需用黑色签字笔,不能用铅笔. 4.考试结束后,由监考教师把答题卡收回. 第I卷(选择题40分) 一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题只有一个选项符合要求.) 1. 下列函数中,是二次函数的是( ) A. B. C. D. 2. 已知的半径为,点为平面内一点,且,则点与的位置关系是( ) A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 3. 将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 4. 对于抛物线,下列判断不正确的是( ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时,有最大值1 C. 当时,随的增大而增大 D. 对称轴为直线 5. 点,,均在二次函数的图象上,则,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 6. 如图,已知、是的弦,且,如果,则的度数是( ) A. B. C. D. 7. 如图,本学期在学习二次函数时,小明借助"GeoGebra"软件绘制了函数的图象.下列说法错误的是( ) A. 当时,随的增大而减小 B. 有三个不相等的实数根 C. 该函数图象关于点成中心对称 D. 当时,函数取得最大值为4 8. 在同一坐标系中,二次函数与的图象可能是() A. B. C. D. 9. 如图,内接于,点B是的中点,是的直径.若,,则的长为( ) A. 5 B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中,已知抛物线.已知是抛物线上的点,的横坐标是.抛物线的顶点为,且可以由抛物线平移得到(特别地,当是的顶点时,即为),当时,抛物线都与轴有两个交点,则的取值范围( ) A. 或 B. 或 C. D. 第Ⅱ卷(非选择题110分) 二、填空题(本题共5小题,只要求填写最后结果,每小题填对得4分,共20分) 11. 函数的自变量的取值范围是_________. 12. 如图,已知直线与正五边形的边,分别相交于点,,形成夹角和,则______. 13. 数学来源于生活,伞是生活中常见的一种工具,伞撑开后如图①所示,由此发现数学知识抛物线.如图②,以伞柄所在的直线为轴,以伞骨、的交点为坐标原点建立平面直角坐标系,为抛物线的顶点,点、在抛物线上,、关于轴对称.已知抛物线的解析式为,若点到轴的距离是,则、两点之间的距离是__________. 14. 已知:如图,为的直径,且,与相切于点,交延长线于点,连接,,,平分交于点,过点作,垂足为,求线段的长______. 15. 如图,二次函数的部分图象与轴交于点,与轴的交点位于和之间,顶点为,对称轴为直线.下列说法:①;②;③;④设抛物线与轴的另一交点为,当时,.其中正确的是_____. 三、解答题(本题共10小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知函数是关于的二次函数. (1)求的值. (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 17. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),赵州桥是我国古代石拱桥的代表.图2是根据该石拱桥画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为,桥的跨度(弧所对的弦长),设所在圆的圆心为,,为半径,半径,垂足为.拱高(弧的中点到弦的距离).求这座石拱桥主桥拱的半径. 18. 如图,点,,在上,,. (1)求的度数; (2)求的度数. 19. 已知,二次函数的与的部分对应值如下表. … 0 1 2 … … 9 3 1 3 … (1)求________,并在平面直角坐标系中画出函数图象; (2)①当时,的取值范围是_________; ②当时,的取值范围是_________. 20. 抛物线经过,两点. (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线与轴的另一个交点的坐标. 21. 如图,、是的切线,切于点,的周长为12,. (1)求的长; (2)求的度数. 22. 今年清明节前后,钢城区南湖公园美丽的风景吸引了众多的孩子去那里玩耍,锁大爷看到了商机,决定进一批风筝销售,经过他几天的市场调研:燕子型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题: (1)求出燕子型风筝销售量(个)与售价(元)之间的函数关系式(); (2)当售价定为多少时,锁大爷获得的利润最大,最大利润是多少? 23. 如图,是的直径,点在上,,点在线段的延长线上,且. (1)求证:EF与相切; (2)若,求的长. 24. 如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图,其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,棚顶的端点为该抛物线的最高点,点到地面的距离为米,棚顶与立柱的交点到地面的距离为米,且点和点的水平距离为米. (1)按如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的函数解析式; (2)一辆观光车需要充电,如图,已知车身长约米,车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米,请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方; (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观,计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图所示,钢架分两段,其中一段连接点与点,然后在棚顶上某处取点,在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架.求出第二段钢架长度的最大值. 25. 如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点. (1)求抛物线的表达式. (2)若为直线上方的抛物线上一动点,连接,若的面积为3,求点的坐标. (3)抛物线上是否存在一点,使得?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期期中诊断性评价 九年级数学试题 注意事项: 1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确. 2.本试题.分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间为120分钟. 3.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域,不能答在试卷上:解答题作图需用黑色签字笔,不能用铅笔. 4.考试结束后,由监考教师把答题卡收回. 第I卷(选择题40分) 一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,每小题只有一个选项符合要求.) 1. 下列函数中,是二次函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义;熟练掌握二次函数解析式的一般形式(其中)是解题的关键. 根据二次函数的定义,形如(其中)的函数是二次函数.检查各选项,只有选项B符合此定义. 【详解】解:二次函数要求自变量的最高次数为2,且系数不为0. 选项A:,的最高次数为1,是一次函数; 选项B:,的最高次数为2,且系数,符合定义; 选项C:,分母有未知数,不是二次函数; 选项D:,分母有未知数,不是二次函数; 故选:B. 2. 已知的半径为,点为平面内一点,且,则点与的位置关系是( ) A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】的半径,点到圆心的距离, . 点在内. 3. 将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解:将抛物线向左平移2个单位,得, 再向上平移3个单位,得. 4. 对于抛物线,下列判断不正确的是( ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时,有最大值1 C. 当时,随的增大而增大 D. 对称轴为直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质,判断开口方向、对称轴、最值及增减性. 【详解】解:∵ 中,, ∴ 抛物线开口向下,故A正确; ∴ 对称轴为直线,顶点为, ∴ 当时,有最大值1,故B正确; ∵ ,对称轴, ∴ 当时,随的增大而增大,故C正确; 对称轴为,不是,故D错误. ∴ 不正确的是D, 故选:D. 5. 点,,均在二次函数的图象上,则,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴,结合开口方向,通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小. 【详解】解:二次函数的对称轴为直线. ∵, ∴抛物线开口向上,抛物线上的点到对称轴的距离越远,对应的函数值越大. 点到对称轴的距离为, 点到对称轴的距离为, 点到对称轴的距离为, ∵, ∴. 6. 如图,已知、是的弦,且,如果,则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接,根据,得到,则,再根据等腰三角形求的度数. 【详解】解:连接, ∵, ∴, ∴,即, ∴, ∵, ∴. 7. 如图,本学期在学习二次函数时,小明借助"GeoGebra"软件绘制了函数的图象.下列说法错误的是( ) A. 当时,随的增大而减小 B. 有三个不相等的实数根 C. 该函数图象关于点成中心对称 D. 当时,函数取得最大值为4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象的应用、中心对称,能从函数图象获取信息是解答的关键.从函数图象特征结合选项逐个分析可得答案. 【详解】解:A、由图象,当时,随的增大而减小,选项A正确,不符合题意; B、由图象,函数的图象与直线有3个交点,则有三个不相等的实数根,选项B正确,不符合题意; C、根据图象,该函数关于某点成中心对称,设中心对称点坐标为, 由图象,点和点是对应点,和是对应点, ∴,,则,满足 故该函数图象关于点成中心对称,选项C正确,不符合题意; D、由图象,该函数没有最大值和最小值,选项D错误,符合题意, 故选:D. 8. 在同一坐标系中,二次函数与的图象可能是() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号,进而判断的符号,结合反比例函数的图象性质进行排除. 【详解】解:A选项:抛物线开口向上,则;对称轴在轴右侧,即, ∵, ∴, 此时,反比例函数的图象位于第一、三象限,符合题意; B选项:抛物线开口向下,则;对称轴在轴左侧,即, ∵, ∴, 此时,反比例函数图象应位于第二、四象限,不符合题意; C选项:抛物线开口向上,则;对称轴在轴左侧,即, ∵, ∴, 此时,反比例函数图象应位于第二、四象限,不符合题意; D选项:抛物线开口向上,则;对称轴在轴左侧,即, ∵, ∴, 此时,反比例函数图象应位于第二、四象限,不符合题意. 9. 如图,内接于,点B是的中点,是的直径.若,,则的长为( ) A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接,先求得,再利用直角三角形的性质求得,又由点是的中点得,进而利用勾股定理即可得解. 【详解】解:如图,连接, ∵是的直径, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵点是的中点, ∴, ∵, ∴即, 解得, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了勾股定理,圆周角定理,直角三角形的性质,弧、弦之间的关系,熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键. 10. 在平面直角坐标系中,已知抛物线.已知是抛物线上的点,的横坐标是.抛物线的顶点为,且可以由抛物线平移得到(特别地,当是的顶点时,即为),当时,抛物线都与轴有两个交点,则的取值范围( ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平移性质写出的顶点式,分、两种情况,结合抛物线与轴交点条件和的范围求解的范围. 【详解】解:∵ M在抛物线上,横坐标为, ∴ . ∵ 抛物线由平移得到,顶点为, ∴ 的解析式为; ∵ , ∴ . ①当时,开口向上, 若与轴有两个交点,则顶点纵坐标小于0,即, ∵ , ∴ . ∵ ,随的增大而增大, ∴ 当时,取得最大值,要使时恒成立,需, 解得; ②当时,开口向下,若与轴有两个交点,则顶点纵坐标大于0,即. ∵ ,, ∴ , ∴ . 又∵ , ∴ 恒成立,即满足条件. 综上所述,的取值范围是或. 第Ⅱ卷(非选择题110分) 二、填空题(本题共5小题,只要求填写最后结果,每小题填对得4分,共20分) 11. 函数的自变量的取值范围是_________. 【答案】且 【解析】 【分析】该函数同时包含二次根式和分式,需分别根据二次根式和分式有意义的条件列不等式,再取交集得到自变量的取值范围. 【详解】解:要使函数有意义 需满足且, 解不等式得, 由得, 因此自变量的取值范围是且. 12. 如图,已知直线与正五边形的边,分别相交于点,,形成夹角和,则______. 【答案】 【解析】 【详解】解:∵正五边形, ∴, ∵四边形中,,, ∴, ∴. 13. 数学来源于生活,伞是生活中常见的一种工具,伞撑开后如图①所示,由此发现数学知识抛物线.如图②,以伞柄所在的直线为轴,以伞骨、的交点为坐标原点建立平面直角坐标系,为抛物线的顶点,点、在抛物线上,、关于轴对称.已知抛物线的解析式为,若点到轴的距离是,则、两点之间的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用,正确理解题意是解题的关键.将代入求出,再计算、两点之间的距离. 【详解】解:根据题意可知, 当时,, 解得:, ∴. 故答案为:. 14. 已知:如图,为的直径,且,与相切于点,交延长线于点,连接,,,平分交于点,过点作,垂足为,求线段的长______. 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质,直径所对的圆周角是,先求出,得,再求出,最后根据勾股定理可求出答案. 【详解】解:如下图,连结, 与相切于点C, , , , , , , 为的直径, , , 平分, , , , , , ,即, 解得. 15. 如图,二次函数的部分图象与轴交于点,与轴的交点位于和之间,顶点为,对称轴为直线.下列说法:①;②;③;④设抛物线与轴的另一交点为,当时,.其中正确的是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负,进而判断的正负;用对称轴公式变形推导等式;把、代入解析式得,结合的范围解不等式;利用二次函数图象的对称性得点坐标,据得点坐标,将,,代入得出点的坐标,根据勾股定理列方程求出. 【详解】二次函数开口向下, , 对称轴, , 二次函数图像与轴交于点位于和之间, , 故,错; 对称轴, , ,正确; 二次函数图象与轴交于点, , , , , 二次函数图像与轴交于点位于和之间, 可得, ,不正确; 二次函数图象与轴交于点,对称轴, 点坐标为, , 点的坐标为, 当时,, 将,代入,可得, 点的坐标为, ,,, , ,可得, 解得:或, , ,正确; 综上所述:正确的是. 三、解答题(本题共10小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知函数是关于的二次函数. (1)求的值. (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【答案】(1) (2)这个二次函数图象的开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为 【解析】 【分析】(1)根据二次函数的定义,二次项系数不为零,自变量次数最高为2次,据此解答即可; (2)将二次函数化为顶点式,求出对称轴和顶点坐标. 【小问1详解】 解:由题意,得, 解得; 【小问2详解】 解:由(1)得二次函数解析式为:, 这个二次函数图象的开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为. 17. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),赵州桥是我国古代石拱桥的代表.图2是根据该石拱桥画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为,桥的跨度(弧所对的弦长),设所在圆的圆心为,,为半径,半径,垂足为.拱高(弧的中点到弦的距离).求这座石拱桥主桥拱的半径. 【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为 【解析】 【分析】本题考查垂径定理,勾股定理. 设这座石拱桥主桥拱的半径为,由垂径定理,结合已知可得,根据勾股定理,即可得这座石拱桥主桥拱的半径. 【详解】解:设这座石拱桥主桥拱的半径为, ∵,, ∴, ∴, 解得, ∴这座石拱桥主桥拱的半径为. 18. 如图,点,,在上,,. (1)求的度数; (2)求的度数. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)先根据平行线的性质可得,再利用圆周角定理即可求解; (2)先求出,进而求出的度数. 【小问1详解】 解:∵,, ∴, ∵弧弧, ∴, ∴的度数是50°. 【小问2详解】 解:∵, ∴, ∴,且, ∴, ∴, ∴, ∴的度数是40°. 19. 已知,二次函数的与的部分对应值如下表. … 0 1 2 … … 9 3 1 3 … (1)求________,并在平面直角坐标系中画出函数图象; (2)①当时,的取值范围是_________; ②当时,的取值范围是_________. 【答案】(1)9,; (2)①;②或 【解析】 【分析】(1)把代入函数解析式即可求解; (2)根据函数图象直接写出y或x的取值范围. 【小问1详解】 解:当时,, 函数图象略; 【小问2详解】 解:①由函数图象得:当时,; ②由函数图象得:当时,或. 20. 抛物线经过,两点. (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线与轴的另一个交点的坐标. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法求解; (2)令,得到关于x的一元二次方程,进而即可求解. 【小问1详解】 解:由题意可得:,解得, ∴抛物线的解析式为; 【小问2详解】 解:当时,即, 解得(舍), ∴抛物线与轴的另一交点坐标为. 21. 如图,、是的切线,切于点,的周长为12,. (1)求的长; (2)求的度数. 【答案】(1)6 (2) 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理. (1)可通过切线长定理将相等的线段进行转换,得出三角形的周长等于的结论,即可求出的长; (2)根据三角形的内角和求出和的度数和,然后根据切线长定理,得出和的度数和,再根据三角形的内角和求出的度数. 【小问1详解】 解:,都是圆的切线, , 同理,, 三角形的周长, 即的长为6; 【小问2详解】 解:, , , ,是圆的切线, ; 同理:, , . 22. 今年清明节前后,钢城区南湖公园美丽的风景吸引了众多的孩子去那里玩耍,锁大爷看到了商机,决定进一批风筝销售,经过他几天的市场调研:燕子型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题: (1)求出燕子型风筝销售量(个)与售价(元)之间的函数关系式(); (2)当售价定为多少时,锁大爷获得的利润最大,最大利润是多少? 【答案】(1)() (2)当售价定为20元时,锁大爷获得利润最大,最大利润是1000元. 【解析】 【分析】(1)根据“当售价每个为元时,销售量为个,若售价每提高1元,销售量就会减少个”,即可得出y关于x的函数关系式; (2)根据二次函数的性质求得最值,即可求解. 【小问1详解】 解:根据题意可知:, ∴销售量与售价之间的函数关系式为(); 【小问2详解】 解:由题意,设锁大爷获得的利润为元, 则, ∵,∴当时,取最大值,最大值为1000. 答:当售价定为20元时,锁大爷获得利润最大,最大利润是1000元. 23. 如图,是的直径,点在上,,点在线段的延长线上,且. (1)求证:EF与相切; (2)若,求的长. 【答案】(1)证明:连接, ∵, ∴, ∵, ∴, ∵是的直径, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵为半径, ∴EF与相切; (2). 【解析】 【分析】(1)利用圆周角定理得到,结合已知推出,再证明,推出,即可证明结论成立; (2)设半径为x,则,在中,利用正弦函数求得半径的长,再在中,解直角三角形即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:设半径为x,则, ∵,, ∴, 在中,,, ∴,即, 解得, 经检验,是所列方程的解, ∴半径为4,则, 在中,,,, ∴, ∴. 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识,熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键. 24. 如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图,其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,棚顶的端点为该抛物线的最高点,点到地面的距离为米,棚顶与立柱的交点到地面的距离为米,且点和点的水平距离为米. (1)按如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的函数解析式; (2)一辆观光车需要充电,如图,已知车身长约米,车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米,请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方; (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观,计划在遮阳棚内侧安装钢架.如图所示,钢架分两段,其中一段连接点与点,然后在棚顶上某处取点,在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架.求出第二段钢架长度的最大值. 【答案】(1); (2)观光车可以完全停进遮阳棚正下方; (3) 的最大值为米. 【解析】 【分析】第问已知顶点优先用顶点式求解析式; 第问已知纵坐标求对应横坐标,比较水平可利用长度与车长判断能否停进; 第问构造竖直方向线段关于的二次函数,利用顶点求最值. 【小问1详解】 解:由题意,顶点. 设顶点式,顶点为: 把代入: ∴,即. 【小问2详解】 解:车最高点离地,令: 在到顶点这一段,取. 该位置向右可利用的水平长度为. , ∴观光车可以完全停进遮阳棚正下方. 【小问3详解】 解:设直线的函数解析式为. 将点代入中, 得, 点在抛物线上,在直线上,轴: 设,则 时,取得最大值: 答:的最大值为米. 【点睛】本题是二次函数实际应用题,考查建模能力与三类常见设问.已知顶点坐标,优先设顶点式求解析式;竖直方向线段的长度,等于上方点纵坐标减下方点纵坐标,构造差函数;二次函数最值:开口向下,在对称轴处取最大值;计算时注意先求对称轴再代入. 25. 如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点. (1)求抛物线的表达式. (2)若为直线上方的抛物线上一动点,连接,若的面积为3,求点的坐标. (3)抛物线上是否存在一点,使得?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在,点的坐标为或. 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法即可求解; (2)先求出直线的解析式,过点作轴,交于点,设(),根据题意列出方程,即可求解; (3)分两种情况讨论:①若点在轴的上方,②若点在轴的下方,分别求出答案即可. 【小问1详解】 解:抛物线与轴交于,两点, ∴,解得, ∴抛物线的表达式为; 【小问2详解】 解:对于抛物线, 令,则, ∴. 设直线的解析式为, ∵直线过点,, ∴,解得, ∴直线的解析式为, 过点作轴,交于点, 设(),则, ∴. ∵, ∴, 解得:,, ∴点的坐标为或; 【小问3详解】 解:存在,点的坐标为或.理由如下: 分两种情况讨论:①若点在轴的上方,如图, ∵, ∴, 设直线的解析式为, ∵直线过点, ∴,解得, ∴直线的解析式为, 解方程组,得或, ∴点的坐标为. ②若点在轴的下方,如图, 由(2)有是等腰直角三角形, ∴, ∴, 延长交轴于点, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴. 设直线的解析式为, ∵直线过点,, ∴,解得, ∴直线的解析式为. 解方程组,得或, ∴点的坐标为; 综上所述,点的坐标为或. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $

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