精品解析：山东省济南市钢城区2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期期中阶段性评价 初四数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据函数的概念，对四个图象逐一分析，再作判定． 【详解】解：用平行于轴的直线去截图象，如果能截到两个及以上交点，则不是函数，否则就是函数， 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故A不符合； 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故B不符合； 用平行于轴的直线去截，能截到两个交点，它不能表示是的函数，故C符合； 用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故D不符合； 故选：C． 3. 下列式子中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数定义，能熟记二次函数的定义形如其中a、b、c为常数，的函数叫二次函数，是解决问题的关键． 根据二次函数的定义分析即可． 【详解】解：A、等号右边是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B、，符合定义，故本选项符合题意； C、是方程，不是函数，故本选项不符合题意； D、指数是3，不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 关于的二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图像的开口向上 B. 图像与y轴的交点坐标为 C. 图像的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图像和性质，求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二次函数的二次项系数的符号可判断开口方向，根据求出图像与y轴的交点坐标，根据顶点式直接写出图像的顶点坐标，根据对称轴与开口方向可确定二次函数的增减性． 【详解】解：∵二次函数为， ∴，开口向下，对称轴为，顶点坐标为． ∵， ∴开口向下，故A错误． 当时，， ∴与y轴交点为， 故B错误． 二次函数为的顶点坐标为，不是， 故C错误． ∵开口向下，对称轴， ∴当时，随增大而减小， 故D正确． 故选：D． 5. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 6. 在抛物线向右平移2个单位再向上平移5个单位得到抛物线解析式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出抛物线的顶点坐标，然后写出平移后的顶点坐标，即可得到平移后的抛物线的表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 向右平移2个单位，再向上平移5个单位后顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移问题，找到平移后的顶点坐标是解题的关键． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 8. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 9. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆周角定理得出，进而得出，再由外角的性质得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点所对应的读数为， ， 为直径，， 点在上， ， ， 是的外角， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系． 10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 第11卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是__________． 【答案】x＞-3． 【解析】 【分析】 【详解】解：由题意得： 故答案 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 12. 已知点，，都在函数的图像上，请将，，按从大到小的顺序排列___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像，熟练掌握二次函数图像是解题的关键． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：对于函数 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 因为 ，所以 ， 故答案为：． 13. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及所对的直角边是斜边的一半，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 正六边形是的内接正六边形， ． ，， ． 在中，，， ． ， 即正六边形的边心距是． 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 15. 如图，在扇形中，半径，的长为，点在上，连接，将沿折叠得到．若与所在的圆相切于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，求得，利用求得圆心角，利用三角函数，解答即可． 【详解】解：连接，交于点， 沿折叠得到． ，， 与所在的圆相切于点， ， ， ， ， 半径，的长为， ， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线性质，折叠的性质，弧长，三角函数，熟练掌握切线性质，三角函数，弧长公式是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知二次函数，当时，函数值是5；当时，函数值是6． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在该抛物线上． 【答案】（1） （2）点不在该抛物线上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知二次函数的函数值求自变量的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）根据（1）中求得的二次函数的表达式，根据横坐标求出纵坐标，再作判断． 【小问1详解】 解：∵二次函数，当时，函数值5；当时，函数值是6， ∴． 解得：． 所以二次函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 所以点不在该抛物线上． 17. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是的弦的中点，连接并延长交于点，并且，，求的半径． 【答案】的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 连接，由垂径定理得，，设的半径为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： 为中点，， ，． 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：． 即的半径为． 18. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示． 0 1 2 5 m 5 （1）二次函数图象的顶点坐标为___________；m的值为___________； （2）在图中画出二次函数图象； （3）结合图象，写出时，的取值范围． 【答案】（1），0 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象和性质，根据交点确定不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先用待定系数法求二次函数解析式，再化为顶点式求解即可； （2）根据（1）求得的二次函数解析式画出函数图象； （3）先求出二次函数的图象与轴的交点坐标，再求的取值范围． 【小问1详解】 解：由点可知，二次函数的对称轴为直线， ， 将点代入得：， 解得， ， 顶点坐标为， 将点代入得：， 故答案为：，； 【小问2详解】 图象如下： 【小问3详解】 当时，， 解得：，， 与轴的交点坐标为和， 结合函数图象可知，当时，． 19. 如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，最短路径问题，线段垂直平分线的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线中，得出的值，解析式即可得出； （2）利用轴是抛物线的对称轴得到关于轴的对称点是，连接，与轴的交点就是点，此时能取得最小值． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ，解得， ． 【小问2详解】 解：当时，， ，． 如图，连接，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为． 点是轴上一点，点，两点关于轴对称， ． ． 当点在直线上时，取得最小值． 当时，， ． 20. 如图，是的直径，是上一点，是延长线上一点，连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的外角性质，所对直角边是斜边的一半等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，由圆周角定理得出，得出，由等腰三角形的性质得，又，则有，即，即可得出结论； （）由，得，则，从而求出，然后通过所对直角边是斜边的一半及线段和差即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，以等边三角形的边为直径作半圆，交于点，交于点，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，求弧长，求扇形面积； （1）连接，根据等边三角形的性质可得，，证明是等边三角形，进而得出，然后根据弧长公式进行计算即可求解； （2）连接，过点作于点，由（1）得是等边三角形，由等边三角形的性质求得的长，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵以等边三角形的边为直径作半圆，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点作于点， 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 22. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为5元，当销售单价定为7元时，每天可以销售180件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过16元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售所获利润最大，并求出此时的最大利润． 【答案】（1），． （2），时，所获利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】第（1）问根据“销售单价每提高1元，日销量减少10件”的关系，结合初始销量和单价范围推导函数关系式；第（2）问根据“日销售利润=每件利润×日销量”建立二次函数模型，再利用二次函数的性质求最大值． 【小问1详解】 当销售单价为元时，比7元提高了元，日销量减少件． 所以． 又因为物价部门规定销售单价不能超过16元，且单价从7元开始提高，所以自变量x的取值范围是． 【小问2详解】 ，抛物线开口向下，对称轴 ∴当时，有最大值： 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，涉及的知识点有一次函数的构建、二次函数的最值求解．解题中用到的思想有函数思想（将实际问题转化为函数模型）、方程思想（通过列方程推导函数关系式）；方法技巧是利用“利润单价利润销量”的公式建立函数，再结合二次函数的对称轴和开口方向分析最值．解题关键是准确找出销量与单价、利润与单价的数量关系，注意自变量的取值范围对函数最值的限制．易错点是忽略单价的取值范围，错误认为二次函数的顶点就是最值点，或者在推导函数关系式时计算错误． 23. 如图，已知的边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）过点作于点，求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，由是的切线，得到，由于，得，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，通过等量代换得，然后根据角平分线的性质可得结果； （2）连接，利用勾股定理求出．证明，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接． ， ， ， 是的直径， ， ， 由（1）得， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等边对等角，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【小问1详解】 ∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； 【小问2详解】 ∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，注意分类讨论和数形结合思想的运用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意求得的最大值，再根据相似三角形的性质求得，进而可求解； （3）根据平移性质和菱形的性质分、、分别为对角线三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 交轴于点， 两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为： 【小问2详解】 解：令， ∴，则， ∵，，则， 设直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为 ， 设，则 ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时； ∵， ∴的周长为， ∵轴， ∴， ， ∴ ∴，即 ∴周长的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：∵，， ∴根据平移性质，该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为， 设，，， ∴ 当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点N坐标为； 当或为对角线时，或， 则或， 解得或 ∴点N坐标为或， 综上，满足题意的N点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中阶段性评价 初四数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分） 1. 如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 2. 下列曲线中不能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列式子中，是二次函数是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图像的开口向上 B. 图像与y轴的交点坐标为 C. 图像的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 5. 如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ） A B. C. D. 6. 在抛物线向右平移2个单位再向上平移5个单位得到抛物线解析式为（ ）． A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A B. C. D. 第11卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 函数y=中自变量x的取值范围是__________． 12. 已知点，，都在函数的图像上，请将，，按从大到小的顺序排列___________． 13. 如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是___________． 14. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 15. 如图，在扇形中，半径，的长为，点在上，连接，将沿折叠得到．若与所在的圆相切于点，则的长为_____． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知二次函数，当时，函数值是5；当时，函数值是6． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在该抛物线上． 17. 如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是的弦的中点，连接并延长交于点，并且，，求的半径． 18. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示． 0 1 2 5 m 5 （1）二次函数图象的顶点坐标为___________；m的值为___________； （2）在图中画出二次函数图象； （3）结合图象，写出时，的取值范围． 19. 如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 20. 如图，是的直径，是上一点，是延长线上一点，连接，，，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 21. 如图，以等边三角形的边为直径作半圆，交于点，交于点，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 22. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为5元，当销售单价定为7元时，每天可以销售180件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过16元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售所获利润最大，并求出此时的最大利润． 23. 如图，已知边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点． （1）过点作于点，求证：． （2）若，，求的半径． 24. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $