精品解析：天津市新华中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

天津市新华中学2026—2027学年高二上学期10月月考数学试卷 一．单选题 1. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】因为直线，所以斜率为. 因为该直线的倾斜角为，，所以.所以. 故选：B. 2. 直线，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的平行关系求出的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由，得，解得或， 当时，，即，，此时重合； 当时，，，此时. 综上所述，是的充要条件. 故选：A 3. 过的直线与圆交于，两点，当弦长度最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据时弦长最小，即可根据垂直关系求解斜率得解. 【详解】由于点位于圆内，圆心为，故当直线时，此时最短， ,则直线的斜率为，且直线经过，故直线的方程为，即. 4. 已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意设圆心，得到半径为，求出圆心到直线的距离为，再由弦长公式求出参数a即可求解. 【详解】由题意可设圆心，且半径为， 又圆心到直线的距离为， 因为直线被圆M截得的弦长为， 所以或， 所以圆心且半径为，或圆心且半径为， 所以圆M的方程为或. 故选：A 5. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 6. 已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 得，由题得两圆公共弦长， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以， 平方后整理得, ， 所以或（舍去）； 故选：A. 7. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 8. 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，设，则 ，所以,即，即，求出答案. 【详解】解：设椭圆方程为， 由条件可得，设，则 所以，则 因为为等腰直角三角形，所以,即 所以，即，解得 故选：D 9. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 10. 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断直线过定点，画出半圆，求切线和过点，的斜率后，由图可直接得到范围. 【详解】由题可得，且曲线满足，所以曲线是以坐标原点为圆心，半径为的圆的右半部分， 因为直线：，即，所以直线斜率为，过定点， 若直线过点，则，若直线过点，则， 当直线与圆相切时，则点到直线的距离为半径，即，解得或， 如图，时直线与曲线才有两个交点， 综上所述，实数的取值范围是. 11. 设分别是椭圆的左，右焦点，A是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可知与轴垂直，计算出的长度，再结合，可得线段的长度比值，过点作与轴垂直，计算出点坐标，代入椭圆方程可以求出离心率. 【详解】由已知条件可知与轴垂直，则点，代入椭圆方程， 解得，不妨取， 又因为，则， 过点作与轴垂直，如图所示，则与相似，，， 则，所以， 故点坐标为， 又因为点在椭圆上，将其点坐标代入椭圆方程得， 即有，故，所以，离心率. 故选：. 【点睛】关键点点睛： 解答本题的关键在于利用题中所给条件求出点坐标，将其坐标代入椭圆方程中进行计算，即可化简求出离心率的值. 12. 已知圆：上的点到直线的距离为的点有且仅有个，直线为圆的切线，记，两点到直线的距离分别为，，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求出圆的半径，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，由题推得，根据椭圆的定义即得轨迹方程． 【详解】设圆：的圆心到直线的距离为，则， 由于圆：上的点到直线的距离为的点有且仅有个， 故，即得，则圆：； 如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， 因为，所以是的中点， 所以是梯形的中位线，所以． 则，即， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为 ， 则，所以， 所以动点的轨迹方程为． 13. 设椭圆的右焦点为，右顶点为，短轴长为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由短轴长为得，所以. 椭圆的右焦点为,右顶点为，则，，. 又，由得. 整理得，即. 所以，即，故. 又，解得. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义得到各线段的长度，再分别利用余弦定理得到与的关系即可求解. 【详解】 如图所示，设，则由，得， 由椭圆的定义，得，， 所以， 在中，由余弦定理可得， 由于，代入得，化简得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 由于，代入得，化简得， 所以椭圆的离心率，故B正确. 15. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（，）的蒙日圆为：，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离平方的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 的半径为，即有， 显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此， 所以到的左焦点的距离平方的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 二．填空题 16. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____ 【答案】或 【解析】 【分析】考虑截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距为0时，设， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 17. 过点且与圆相切的切线方程是______. 【答案】， 【解析】 【详解】设切线的斜率为，可将方程设为，整理得， 又圆心坐标为，半径为1， 根据直线与圆相切，可得，解得， 又过点的直线斜率不存在时，方程为， 圆心到的距离为等于圆的半径，此时直线与圆相切， 所以所求的切线方程为和. 18. 已知椭圆：的一个顶点是，离心率为，则椭圆的标准方程是________． 【答案】或 【解析】 【分析】直接分椭圆的长轴在轴上和椭圆的短轴在轴上两种情况，并结合离心率及椭圆性质计算可得. 【详解】若椭圆的长轴在轴上：此时椭圆的长半轴长，由离心率定义，得半焦距. 根据椭圆的基本关系，代入得， 此时椭圆标准方程为，满足的条件. 若椭圆的短轴在轴上：此时短半轴长，由， ​解得，此时椭圆标准方程为，满足的条件. 综上，椭圆的标准方程是或. 19. 直线：恒过定点，则定点的坐标为________，设该直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，当面积最小时，直线的方程为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先通过解方程组可得直线过定点，再设直线的截距式方程为，进而得，由基本不等式可得，从而可得面积最小时直线的方程. 【详解】将直线的方程整理为：， 令，解得，因此直线恒过定点. 设直线交轴正半轴于、轴正半轴于（）， 所以直线的截距式为，因为定点在直线上，所以. 因为，所以， 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，将代入得. 所以当时，的面积 所以此时直线方程为，整理为一般式即. 因此当面积最小时，直线的方程为. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，其中直线的斜率为，以，为直径的圆过点，且的面积为，则椭圆的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得是以为直角的直角三角形，得到，利用直线的斜率为和两点间距离公式，求出点坐标，根据，，，求出的值，把点坐标，代入计算即可得出答案. 【详解】设坐标原点为点，，，，其中，连接，如图所示， 由题可得点为中点，是以为直角的直角三角形， 则，因为直线的斜率为， 所以，即，所以，化简得，解得（舍去）， 所以， 由题可得，，， 所以，所以， 把点，，代入并化简得，解得（舍去负值）， 所以椭圆的方程为. 21. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆离心率为________．设过原点的直线与椭圆交于，两点，与所成角为，，则椭圆的方程为________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线即可求解空1，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，即可由余弦定理求解. 【详解】连接因点是椭圆上的动点，则， 故, 当且仅当三点共线（在之间）时，取到等号， 由可得，故； 由于互相平分，故四边形为平行四边形， 由于与所成角为，，故, 在中，由余弦定理，， 结合和，解得， 故椭圆方程为： 三．解答题 22. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：法一：分别取、的中点、，连接、、， 由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，， 因为，所以，所以点、、、四点共面， 因为、分别为、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； 法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面的一个法向量， 所以，所以， 又因为平面，所以平面． （2） （3） 假设存在点，使得，其中， 则， 由（2）得平面的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得．即， 因为，解得或，所以，或． 【解析】 【分析】（1）法一：分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）假设存在点，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设平面的法向量，，， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角余弦值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市新华中学2026—2027学年高二上学期10月月考数学试卷 一．单选题 1. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 过的直线与圆交于，两点，当弦长度最短时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 设分别是椭圆的左，右焦点，A是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知圆：上的点到直线的距离为的点有且仅有个，直线为圆的切线，记，两点到直线的距离分别为，，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 13. 设椭圆的右焦点为，右顶点为，短轴长为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 15. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（，）的蒙日圆为：，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离平方的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A. B. C. D. 二．填空题 16. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____ 17. 过点且与圆相切的切线方程是______. 18. 已知椭圆：的一个顶点是，离心率为，则椭圆的标准方程是________． 19. 直线：恒过定点，则定点的坐标为________，设该直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，当面积最小时，直线的方程为________． 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，其中直线的斜率为，以，为直径的圆过点，且的面积为，则椭圆的方程为________． 21. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆离心率为________．设过原点的直线与椭圆交于，两点，与所成角为，，则椭圆的方程为________． 三．解答题 22. 已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $