精品解析：天津市崇化中学2026-2027学年高二上学期阶段质量检测（一）数学试题

2026—2027学年度第一学期高二年级数学学科阶段质量检测(一) 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 2. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题图可知,直线,的倾斜角都是锐角,且的倾斜角大于的倾斜角， 当倾斜角为锐角时,倾斜角越大,斜率越大,所以； 直线,的倾斜角都是钝角,且的倾斜角小于的倾斜角， 当倾斜角为钝角时,倾斜角越大,斜率越大,所以. 因此. 3. 平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为，重合不符合题意， 所以, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 空间的一点满足，若，，，共面，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线定理即可解决. 【详解】若，，，共面，则， 即 ， 又， 所以. 6. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解. 【详解】∵是的重心，∴. ， . 故选：D. 7. 棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可 【详解】建立空间直角坐标系，如图， 则，，，所以，， 所以在上的投影向量的长度为， 所以点到直线的距离. 8. 已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得直线过定点，求出直线的斜率，结合图象可得直线的斜率，分斜率存在与不存在两种情况讨论即可. 【详解】直线的方程化为，令，解得， 所以直线过定点， ，， 当时，斜率不存在，此时直线与线段有交点， 当斜率存在时：即时，直线的斜率， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上：. 9. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 10. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和， 令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知，，当时，实数的值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意依次算得的值，然后根据列方程即可求解. 【详解】因为，， 所以 ， 因为， 所以， 解得. 故答案为：6. 12. 平行直线与之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由平行线的距离公式求解即可. 【详解】直线即为， 则平行直线与之间的距离为. 故答案为： 13. 已知点，，，若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，得出直线的倾斜角为，从而可得直线AC的倾斜角为，即可求出m的值 【详解】设直线的倾斜角为α，则直线的倾斜角为2α， 又，又，所以，， 则直线垂直于轴，得． 14. 已知向量，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故答案为： 15. 直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式即可运算求解. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 16. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为面的中心，点在正方体的表面上运动，且．则下列说法正确的是________．（填上所有正确的序号） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 【答案】②④ 【解析】 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，，分别为，的中点， 所以，， 所以，设，则， 因为，所以，所以， 取，当时，；当时，； 取，连接，则， 则， 所以， 又平面，平面， 所以平面，所以当平面时， 又点在正方体的表面上运动，所以点的轨迹为正三角形，③错误； 点不可能是棱的中点，①错误； 正三角形边长为，点轨迹的长度为，②正确； 正三角形的面积为，④正确. 三、解答题（10+12+12+12共46分） 17. 已知，，，求：（直线均写为一般式方程） （1）边上的中线所在的直线的方程和以为直径的圆的标准方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线的方程； （3）求角平分线所在直线的方程． 【答案】（1）直线的方程：；以为直径的圆的标准方程 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）对于边上的中线所在的直线方程，先求中点;对于以为直径的圆的标准方程，先求出圆心即中点，再求半径即可； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程，要分两种情况，经过原点和不经过原点； （3）对于角平分线所在直线，设角平分线交于点，那么根据角平分线的性质可知，再使用平面向量求得的坐标，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 线段中点为，故边上的中线所在直线的斜率, 所以边上的中线所在直线的方程为即； 线段中点，所以以为直径的圆圆心为， 半径为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线经过原点时，，此时直线的方程为即； 当直线不经过原点时，设方程为， 把代入，得，此时直线的方程为； 综上，直线的方程为或； 【小问3详解】 设角平分线交于点，那么根据角平分线的性质可知 , 所以即，故， 所以，直线的方程为即 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． （1）求证：平面、并求与平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若动点在线段上，求三棱锥的体积． 【答案】（1）取中点，连接，. 因为四边形为直角梯形，且，，， 所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又，所以为等腰三角形，所以. 故可以为原点，，，所在的射线为，，轴建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 因为，所以，且平面， 所以平面. 又，所以点到平面的距离为：， 即直线与平面的距离为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，并利用空间向量求点到平面的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦. （3）利用锥体的体积公式求锥体的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面就是平面，因为，. 设平面的法向量为， 则，令，可得. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 在中，，，所以. 又点到平面的距离，就是到平面的距离，为， 所以. 19. 已知圆过点，，圆心在直线上 （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点，且、到直线的距离相等，求直线的一般式方程； （3）求点关于直线对称点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，联立两直线方程可求出圆心坐标，利用两点间距离求出半径，再根据圆的标准方程求解即可； （2）当直线经过点，且与直线平行或过的中点时，到直线的距离相等，分别利用点斜式及两点式求出直线方程，再化为一般式方程即可； （3）求出直线的方程，设，利用的中点在直线上，及直线与直线垂直，列式求解即可. 【小问1详解】 的中点坐标为， ， 所以线段的垂直平分线斜率为1， 线段的垂直平分线方程为：，即， ，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线经过点，且与直线平行时，到直线的距离相等， ，所以，即； 当直线经过点，且过的中点时，到直线的距离相等， 的中点坐标为， 所以，即， 综上：直线的一般式方程为或. 【小问3详解】 ，直线的方程为，即， 设，则，即 的中点在直线上， 可得，即， ，解得， 所以的坐标为. 20. 如图，四边形是边长为的正方形，平面，，，． （1）已知线段上存在点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长 （2）在线段上是否存在点（非线段端点），使平面和平面夹角的大小为，如果有，求出的长，如果没有，说明理由 （3）已知平面上存在点，使直线平面，求线段的长． 【答案】（1） （2）不存在 （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据直线与平面所成角的正弦值为求出点的位置，再求的长度. （2）设点的坐标，根据平面和平面夹角的大小为，求出的坐标. （3）设点的坐标，根据直线平面，得到平行于，求解点的坐标. 【小问1详解】 如下图，以为原点，、、的方向分别为、、轴为正方向建立空间直角坐标系，则： 、、、、， ，，， 设，则 设平面的一个法向量为，则： ，令，则，， 直线与平面所成的角为，则： ，解得. 所以. 【小问2详解】 设，，. 设平面的一个法向量为，则： ，令，则， 即平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，结合和， 可得，令，则， 可得平面的一个法向量为， 因为平面和平面夹角的大小为， 所以，解得或者，均不满足，所以不存在满足条件的点. 【小问3详解】 设平面上存在点，因为直线平面， 所以平行于，即，解得， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高二年级数学学科阶段质量检测(一) 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 2. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 空间的一点满足，若，，，共面，则（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 7. 棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 9. 点到直线的最大距离是（ ） A. B. 2 C. D. 不存在 10. 实数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 已知，，当时，实数的值为____________． 12. 平行直线与之间的距离为__________． 13. 已知点，，，若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则实数的值为________． 14. 已知向量，，则在上的投影向量为________． 15. 直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 16. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为面的中心，点在正方体的表面上运动，且．则下列说法正确的是________．（填上所有正确的序号） ①点可以是棱的中点；②点轨迹的长度为； ③点的轨迹是平行四边形；④点轨迹所围成的图形面积为 三、解答题（10+12+12+12共46分） 17. 已知，，，求：（直线均写为一般式方程） （1）边上的中线所在的直线的方程和以为直径的圆的标准方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线的方程； （3）求角平分线所在直线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． （1）求证：平面、并求与平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若动点在线段上，求三棱锥的体积． 19. 已知圆过点，，圆心在直线上 （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点，且、到直线的距离相等，求直线的一般式方程； （3）求点关于直线对称点的坐标． 20. 如图，四边形是边长为的正方形，平面，，，． （1）已知线段上存在点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长 （2）在线段上是否存在点（非线段端点），使平面和平面夹角的大小为，如果有，求出的长，如果没有，说明理由 （3）已知平面上存在点，使直线平面，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $