2026‑2027学年人教版九年级数学上册 期中考试模拟试卷02

（人教版2024版）九年级数学上学期 期中考试模拟试卷02 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 5．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 6．关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 7．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 8．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 9．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线（）与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的两根分别为．其中正确结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．已知反比例函数中，随增大而增大，则的取值范围为___________． 12．定义新运算，若，则的值为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按顺时针方向旋转，旋转后点对应点的坐标为___________． 14.如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为________m． 15．如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接．交双曲线于点D，作轴，垂足为点E，交于点F．若，则的面积为______． 16．如图，正方形边长为，点是对角线上一点，，连接，将绕点顺时针旋转，得到，的延长线与的延长线交于点，则长为_________． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)用配方法解方程： (2) 18．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若、是该方程两个根，且满足，求m的值． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）． （1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于原点对称； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）A1坐标为 ，A2坐标为 ． 20．（8分）据统计某品牌公仔在某电商平台8月份的销量是6万件，10月份的销量是7.26万件． (1)若该平台8月份到10月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)经市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 21．（8分）如图，已知点，点的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，过点作轴于，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)是否存在一个，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由． 22．（10分）某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 日销售量y/盒 10 (1)求p与x的函数关系； (2)若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ (3)在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案． 23．（10分）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将绕点O顺时针旋转． (1)当旋转至如图①的位置时，与的数量关系为________，与的位置关系为________； (2)如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，直接写出的面积为________． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，将抛物线平移得到抛物线，若抛物线的对称轴为直线，其顶点在线段的延长线上（点不与点重合）．抛物线与的交点为． (1)直接写出、两点坐标和直线的解析式； (2)求抛物线的解析式及点坐标（用含的代数式表示）； (3)过点作 轴，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，且． ①求的值； ②抛物线（）与抛物线（）组成的图象，当时，图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ （人教版2024版）九年级数学上学期 期中考试模拟试卷02 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义得到，求解获得的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，解得， ． 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A．五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B．太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C．奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 3．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式中、的意义确定图象性质，再判断各选项． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故C正确，不符合题意； ∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大，故D不正确，符合题意． 4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 5．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 6．关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数，一元二次方程有实数根即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， ， ∴且． 7．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，根据反比例函数的性质逐项判断. 【详解】解：设函数表达式为 图象过点 ，故 A 说法正确； 当 时，，故 B 说法正确； 当 时，，解得 ，故 C 说法错误； 当 时， 随 的增大而减小，且 ，故 D 说法正确. 8．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、平行线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点，利用平行线确定点D的坐标，进而计算三角形面积． 先求抛物线与x轴、y轴的交点A、B、C的坐标；由 得点D纵坐标与C相同，代入抛物线求D的横坐标，得的长；再求A到的距离，计算的面积． 【详解】解：∵抛物线， 令，则，解得或， ∴； 令，则， ∴． ∵（x轴）， ∴点D纵坐标为，代入抛物线得，解得（为点C）， ∴， 则，A到的距离为， ∴的面积 故选：B． 9．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得到，，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明，接着证明，然后根据勾股定理可计算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕着点顺时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 10．如图，抛物线（）与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④；⑤一元二次方程的两根分别为．其中正确结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，结合对称轴公式判断的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，由此判断结论①．利用抛物线对称轴为，结合已知交点，根据抛物线对称性求出另一个与轴的交点坐标，代入抛物线解析式判断结论②．分析时对应的抛物线上的点的位置，确定的符号，判断结论③．结合对称轴得到的与的关系，以及时的函数值为0，代入推导判断结论④．一元二次方程的两个根为和．由根与系数的关系得；．代入方程，化简得解得，．判断结论⑤． 【详解】 ∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为，由对称轴公式， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴得； ∵抛物线与轴一个交点为， ∴由对称性得另一交点为． 结论①：∵， ∴，①结论正确． 结论②：∵抛物线过点， ∴将代入解析式得，②结论正确． 结论③：∵对应的函数值，在对称轴和交点之间， ∴结合图象可知该点在轴上方，即， ∴，③结论正确． 结论④：∵和， ∴代入得，即， ∴。 ∵， ∴，即，④结论错误． 结论⑤：∵抛物线的对称轴为，与x轴交于， ∴另一个交点的横坐标为，即另一个交点为． ∴一元二次方程的两个根为和． ‌根据根与系数和关系，对于方程，两根满足， ，即；，即． 把、代入方程， 得：． ∵， ∴化简得 因式分解得，解得，，⑤结论正确． 综上，正确结论共4个． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．已知反比例函数中，随增大而增大，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数的符号与函数在象限内增减性的关系是解题关键． 当时，在的范围内，随增大而增大，由此建立不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数在时，随增大而增大， ∴系数， ∴，即． 故答案为：． 12．定义新运算，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据定义化简新运算，再从内到外计算，最后解方程得到结果． 【详解】解：由题意得， ， ∴， ∴ ， ∴ 解得． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按顺时针方向旋转，旋转后点对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形—旋转变换，全等三角形的判定与性质，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，则，证明，得出，，即可得解． 【详解】解：如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，则， ∵点， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴旋转后点对应点的坐标为， 故答案为：． 14.如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为________m． 【答案】 【分析】建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】建立如图所示坐标系， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴两盏壁灯之间的距离为． 15．如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接．交双曲线于点D，作轴，垂足为点E，交于点F．若，则的面积为______． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设的面积为S，利用反比例函数系数k的几何意义可知，，进一步求得，则，，结合，得到，解得，即可求解． 【详解】解：设的面积为S， 由题意得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的面积为． 故答案为：． 16．如图，正方形边长为，点是对角线上一点，，连接，将绕点顺时针旋转，得到，的延长线与的延长线交于点，则长为_________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，由得到是等腰三角形，从而推出和的度数，根据旋转，得到，从而推出．延长至点，使得，过点作，则，，从而得到为等腰直角三角形．设为，则可以表示出，，利用面积的两种表达式作等量关系求解，即可得到的长． 【详解】解：正方形边长为， ，，， 点在对角线上且， 是等腰三角形， ． 绕点顺时针旋转得到， ，， ， ． 如图，延长至点，使得，过点作．则，为等腰直角三角形． 在中，，． 设，则， 平分， 由角平分线的性质，， ， ， 解得，即． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)用配方法解方程： (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， 则， ∴， ∴，． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若、是该方程两个根，且满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式等知识． （1）根据，构建不等式求解； （2）利用根与系数关系构建方程求解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：、是方程两个根， ，， ， ， 整理得：， 或， ， 不符合题意，舍去， ． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）． （1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于原点对称； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）A1坐标为 ，A2坐标为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）、 【分析】（1）根据三点坐标，由中心对称的性质，求得的坐标，连接对应线段即可； （2）根据三点坐标，由旋转的性质，确定点的位置，求得的坐标，连接对应线段即可； （3）由（1）、（2）即可求得点、的坐标． 【详解】解：（1）△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）， 则△ABC关于原点对称的点的坐标为、、，则△A1B1C1即为所求，如下图： （2）△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）， △ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2， 则点旋转后对应的点的坐标为、、，则△A2B2C2即为所求，如下图： （3）由（1）（2）得，、． 【点睛】此题考查了利用中心对称和旋转的性质作图，解题的关键是掌握中心对称和旋转的性质． 20．（8分）据统计某品牌公仔在某电商平台8月份的销量是6万件，10月份的销量是7.26万件． (1)若该平台8月份到10月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)经市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为80元，每天能销售20件，售价每降低1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意列出一元二次方程，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是，根据题意得， ， 化简得， 解得，（不合题意，舍去）； 答：月平均增长率是． （2）设售价应降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意，得，， 解得，，， 要尽量减少库存， ， 答：若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低20元． 21．（8分）如图，已知点，点的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，过点作轴于，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)是否存在一个，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)存在， 【分析】（1）求出点坐标后代入反比例函数解析式求出，回代即可； （2）根据点的横坐标为，表示出点、坐标，根据得出，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵点的横坐标为，且在正比例函数的图象上，过点作轴于，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，解得， ∵， ∴存在，． 22．（10分）某地艺术节期间举办了为期15天的“美食”厨艺秀，小张购进一批食材制作特色美食．由于食材需要冷藏保存，导致食材成本逐日增加，已知每盒食材的成本p与保存天数：（且x为整数）之间满足一次函数关系，第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元．食材制作成特色美食后，每盒售价为50元，每日销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示： 第x天 日销售量y/盒 10 (1)求p与x的函数关系； (2)若每日销售利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？ (3)在“美食”厨艺秀期间，共有多少天小张的日销售利润不低于300元？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)，第14天时的销售利润最大，最大销售利润是324元 (3)8天 【分析】（1）设，然后根据第3天和第7天的成本利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据销售利润=每盒的利润×盒数列出函数关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的最值问题求解； （3）根据（2）的计算以及二次函数与一元二次方程的关系求解． 【详解】（1）解：（1）设， ∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元， ∴， 解得， 所以，； （2）解：时，， 时，， 所以，w与x的函数关系式为， 时，∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大为， 时，， ∴当时，w最大为324， ∵， ∴第14天时当天的销售利润最大，最大销售利润是324元； （3）解：根据题意得：小张的日销售利润不低于300元 当时，， 解得， ∴整数解为1，2，故天数为2天； 当时，， 解得，， ∴， ∵x是整数， ∴，共6天， 综上，小张的日销售利润不低于300元的天数为天． 23．（10分）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将绕点O顺时针旋转． (1)当旋转至如图①的位置时，与的数量关系为________，与的位置关系为________； (2)如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，直接写出的面积为________． 【答案】(1)， (2) ①证明：如图②中，过点作于． ， ， ，， ； ② (3) 【分析】（1）利用证明，再结合等腰直角三角形的性质即可得到，； （2）①过点作于．首先证明； ②推出，求出，可得结论； （3）当时，的值最大，此时，．再证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴即； （2）解：① 略 ②解：； ， 在中，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图③中，当时，的值最大，此时，． 过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ， ， ，，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点为，将抛物线平移得到抛物线，若抛物线的对称轴为直线，其顶点在线段的延长线上（点不与点重合）．抛物线与的交点为． (1)直接写出、两点坐标和直线的解析式； (2)求抛物线的解析式及点坐标（用含的代数式表示）； (3)过点作 轴，交抛物线于另一点，交抛物线于另一点，且． ①求的值； ②抛物线（）与抛物线（）组成的图象，当时，图象的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；；； (2)，（或）； (3)①；②． 【分析】（1）令 得点 的坐标，抛物线 的顶点即点 ，再用待定系数法求直线 的解析式； （2）平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，故设 ，顶点 在直线 上，代入求 ；联立 、 消去 解出交点 的横坐标，再代回求纵坐标； （3）①由 轴得 ，分别在 、 中用 反解横坐标；由图可知点 在直线 与 之间，得 ，从而用 列方程求 ； ②写出 时 的解析式，抓住图象 的衔接点 与 的顶点 ，由最低点、最高点分别确定 的范围． 【详解】（1）解：在 中，令 ，得 ， ∴ ； 抛物线 的顶点为 ． 设直线 的解析式为 ， 把 、 代入，得 ，， 解得 ，， ∴ 直线 的解析式为 ． （2）解：∵ 抛物线 由 平移得到， ∴ 设 ，其顶点为 ． ∵ 点 在直线 ： 上， ∴ ， ∴ ． ∵ 点 不与点 重合， ∴ ． 联立 与 ，得 ， 整理，得 ， 即 ， ∵ ， ∴ ， 此时 ， ∴ 点 的坐标为 ，即 ． （3）解：①∵ 轴， ∴ ． 在 中，令 ，得 ， 解得 （点 ），或 ， ∴ ． 在 中，令 ， 整理，得 ， 解得 （点 ），或 ， ∴ ． 由图可知，点 在直线 与直线 之间， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， 解得 ． ②当 时，，顶点为 ，且 ． 图象 由 （）与 （）组成； ∵ ， ∴ 图象 在 处衔接，且衔接点处 ． 在 上的最低点为顶点 ，最高不超过 ； 在 上先降后升，在 处取得最低点 ． ∵ 图象 的最低点的纵坐标为 ，而 只在 处取到， ∴ ， ∵ 当 时， 随 的增大而增大， 而图象 的最高点的纵坐标为 ， ∴ 需 ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 时，最高点的纵坐标为 ，最低点的纵坐标为 ， ∴ 的取值范围是 ． 【点睛】本题考查二次函数的平移、待定系数法、两条抛物线的交点，以及利用图象研究函数的最值；解题关键是抓住“平移不改变开口方向与开口大小”，设 ，并利用顶点 在直线 上确定解析式；第（3）问利用水平线与两条抛物线交点的对称性反解横坐标，结合图象确定点的位置关系；第②问抓住图象 的衔接点 与最低点 两个关键点，分段确定 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $