【期中专项】专项03 实数（平方根、立方根、无理数）（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

专项02 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系 目 录 考点01 判断方程根的情况 考点02 根据根的情况确定字母的取值或范围 考点03 根据根的情况判断三角形边长 考点04 根与系数的关系求代数式的值 考点05 根据根与系数的关系求参数的值或范围 考点06 构造方程与几何应用 考点07 判别式与韦达的综合及几何图形综合 考点01　判断方程根的情况 难度层级：基础　|　知识点：根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．D 2．① ② 有两个不相等的实数根 3．（1），； （2）原方程有两个不相等的实数根 4．（1） （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 考点02　根据根的情况确定字母的取值或范围 难度层级：提升　|　知识点：根据一元二次方程根的情况求参数 5． 6． 7．的取值范围是，满足条件的的最小整数值为. 8．（1） （2） 9．（1） （2）取，，(答案不唯一) 考点03　根据根的情况判断三角形边长 难度层级：提升　|　知识点：方程两根作为三角形边长（三边关系检验） 10．或 11．（1）证明：， ， ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根． （2）①6；②当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13 12．（1）证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）或 13．（1）方程有两个实数根 （2）5 14．（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个不等实根； （2）5或14 （3）12或 考点04　根与系数的关系求代数式的值 难度层级：提升　|　知识点：韦达定理求对称代数式的值 15．A 16．B 17． 18．（1）方程有两个不相等的正实数根； （2）方程的另一个根为． 19．（1） （2）6 20．证明：∵整理得，， 由“韦达定理”可得：，， ∵， ∴． 考点05　根据根与系数的关系求参数的值或范围 难度层级：提升　|　知识点：韦达定理求参数 / 取值范围 21．（1）， （2）2或 （3）3 22．（1） （2） （3）1 23．（1） （2）①；② 24．（1）∵方程的两个根是，∴； ； （2） （3）43 25．（1）证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2） 26．（1） （2） 考点06　构造方程与几何应用 难度层级：提升　|　知识点：构造一元二次方程 / 韦达与几何图形 27．B 28． 29．（1）；（2）构造一元二次方程，它的两个根分别是和 30．（1）证明见解析 （2）能找到， （3）9 31．（1）证明：，，， 则 ， 所以无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 32．（1）证明：∵ ∴无论取何值，方程总有实数根． （2）. 考点07　判别式与韦达的综合及几何图形综合 难度层级：提升—拓展　|　知识点：判别式 + 韦达 + 几何综合 33．①②④ 34．（1） （2）①不存在；②存在， 35．（1）①；②；（2）①证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ② 36．（1）∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即． ∴的形状为直角三角形． （2）①证明：取的中点为D，连接、，如下图所示： ∵为直角三角形，，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴，， ∴ ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即平分． ②∵，的长是关于的方程的两个实数根， 设， 则， ∵，则， 在中，，即， 又∵， ∴， 四边形的面积， ， 因此，四边形的面积是定值． 37．（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）①；②等腰三角形的周长为16或17或19或20 38．（1）方程有两个不相等的实数根 （2）①当时，是直角三角形；②当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16 39．（1）证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）①，；②矩形的面积6 40．（1）证明：在中，，，， ∴ ， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）矩形的周长为，矩形的面积为 （3）①不存在，理由如下： 由（2）知矩形的周长为14，面积为9， 设矩形的长为x，则宽为， ∴， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半； ② / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 实数（平方根、立方根、无理数） 目 录 考点01 平方根、算术平方根与立方根的概念与运算 考点02 无理数的估算与整数、小数部分 考点03 实数的性质、大小比较与数轴 考点04 实数的混合运算与实际应用 考点01　平方根、算术平方根与立方根的概念与运算 难度层级：基础—提升　|　知识点：算术平方根/平方根/立方根/开方运算 1．下列选项中正确的是（ ） A. 81的立方根是3 C. 立方根等于平方根的数是1 B. 的平方根是 D. 4的算术平方根是2 2．下列说法不正确的是（ ） A. 4的平方根是 C. 5没有算术平方根 B. 的立方根是 D. 0的平方根和立方根都是0 3．下列说法中：①立方根等于本身的是、0、1；②的算术平方根是4；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥3.40万是精确到百位的近似数．其中正确的个数是（ ） A. 2个 C. 4个 B. 3个 D. 5个 4．64的算术平方根是 ________，的立方根是 ________． 5．（1）的相反数是________． （2）9的算术平方根是________． （3）8的立方根是________． （4）的倒数是________． 6．若x是的算术平方根，是－的立方根，则的值为________． 7．已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 8．完成下列两题： （1）已知a的平方根是，b的立方根是，求的算术平方根． （2）已知实数m的两个不同的平方根是和，求m的值． 考点02　无理数的估算与整数、小数部分 难度层级：提升　|　知识点：无理数估算/整数部分与小数部分 9．下表记录了一些数的平方： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 下列结论：①；②的整数部分为7；③30976的平方根是；④一定有4个整数的算术平方根在之间．其中正确的个数为（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 10．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（ ）． A. C. B. D. 6 11．在实数0，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间逐渐增加1个零）中，无理数有（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 12．小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为________．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 13． 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则________． 14．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． （1）图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ （2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； （3）若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点表示的数为多少？ ②若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2024次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 15．根据下表回答下列问题： x （1）若介于与之间，则满足条件的整数n有 个； （2） ； （3）的平方根是 ； （4）若这个数的整数部分为m，则 ； 16．如图，已知在数轴上有点和点两个点，估算点和点之间表示整数的点有多少个，并请列出． 考点03　实数的性质、大小比较与数轴 难度层级：基础—提升　|　知识点：实数性质/实数与数轴/实数大小比较 17．下列说法正确的是（ ） A. 0不是有理数 C. 存在最大的负有理数 B. 正数和负数统称实数 D. 实数与数轴上的点一一对应 18．现有以下五个结论：①绝对值等于其本身的数是正数；②数轴上的每一个点都表示一个有理数；③若两个有理数的和为负数，则这两个有理数中至少有一个是负数；④一个数的相反数一定不小于这个数；⑤倒数等于它本身的数有0和．其中正确的有（ ） A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 19．下列说法：①任何无理数都是无限不循环小数；②实数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有这4个；④近似数所表示的准确数的取值范围是；⑤a、b互为相反数，则．其中正确的是________．(填写序号) 20．比较大小：________（填“”或“”） 21．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． （1）比较大小：a______0，b______0，_________；（填“>”或“<”） （2）若a是最大的负整数，a与b互为相反数，c到原点的距离为3，求的值． 22．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 0，，， 考点04　实数的混合运算与实际应用 难度层级：提升　|　知识点：实数混合运算/程序与实数运算/实际应用 23．计算的值是（ ）． A. 8 C. 12 B. 10 D. 16 24．计算：________ 25．若符号[a，b]表示a，b两数中较大的一个数，符号（a，b）表示a，b两数中较小的一个数，则计算的结果是________． 26．实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是________． 27．计算： （1）； （2）； （3）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 28．（1）计算：； （2）一个正数的两个平方根分别是与，求的值． 29．（1）计算：； （2）已知是16的平方根，是的立方根，请你求出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系 目 录 考点01 判断方程根的情况 考点02 根据根的情况确定字母的取值或范围 考点03 根据根的情况判断三角形边长 考点04 根与系数的关系求代数式的值 考点05 根据根与系数的关系求参数的值或范围 考点06 构造方程与几何应用 考点07 判别式与韦达的综合及几何图形综合 考点01　判断方程根的情况 难度层级：基础　|　知识点：根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般形式，再计算判别式 ，判断即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 其中，，， ∴， 故只有选项D正确； 故选D． 2．方程的根的判别式 ________，这个方程根的情况为________． 【答案】① ② 有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的计算及方程根的判断，注意当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程没有实数根． 直接把方程中的、、代入判别式进行计算，再根据判别式的正负情况判断根的情况即可． 【详解】解：方程中，，， 所以， 所以该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：；有两个不相等的实数根． 3．关于的一元二次方程． （1）若，，求方程的两根； （2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况． 【答案】（1），； （2）原方程有两个不相等的实数根 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）由方程的系数以及可得出，进而可找出方程有两个不相等实数根； 本题考查解一元二次方程以及一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【小问详解】解：若，，则， ， 或， ，； 【小问详解】解：关于的一元二次方程， 则， ， ， 原方程有两个不相等的实数根； 4．已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】（1） （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 【小问详解】解： ； 【小问详解】略 考点02　根据根的情况确定字母的取值或范围 难度层级：提升　|　知识点：根据一元二次方程根的情况求参数 5．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，结合二次项系数不为0的条件，求解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：将方程整理为一元二次方程的一般形式： 对于一元二次方程，当根的判别式时，方程有两个不相等的实数根． 在方程中，，，，且，满足一元二次方程的定义． 根据题意得： 解得：， 故答案为：． 6．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有实数根，可得，列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 7．若关于x的一元二次方程有实数根，求a的取值范围，并写出满足条件的a的最小整数值． 【答案】的取值范围是，满足条件的的最小整数值为. 【分析】由一元二次方程有实数根得判别式非负，列不等式求的取值范围，再确定最小整数值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ， ∴， 解得 ∴满足条件的的最小整数值为． 8．已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若该方程的两根分别为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【小问详解】解：该方程有两个不相等的实数根， ． 解得． 【小问详解】解：由根与系数的关系，得． ， ． 解得． ． ． 9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根． 【答案】（1） （2）取，，(答案不唯一) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程； （1）由两个不相等的实数根得，解不等式即可求解； （2）由m为正整数可求的值，取一个将的值代入原方程，并解方程即可求解； 正确解方程，掌握一元二次方程根的判别式：“方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程有无的实数根．” 是解题的关键． 【小问详解】解： ； 方程有两个不相等的实数根， ， 即， 解得：， 的取值范围是． 【小问详解】解：，且m为正整数， 或， 可取， 原方程化为， 解得 ，． 考点03　根据根的情况判断三角形边长 难度层级：提升　|　知识点：方程两根作为三角形边长（三边关系检验） 10．已知关于x的一元二次方程．若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程、等腰三角形的定义、一元二次方程根的判别式、三角形三边关系等知识．根据题意得，求得m的取值范围，分情况讨论：当腰为3时，把代入方程求解，当底边为3时，方程的两根相等，得，求解即可，注意验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：根据题意得，解得， 当3是腰时，3是方程的一个根， 把代入方程得，解得， 此时方程为， 解得， 即方程的另一根为5， ∵， ∴等腰三角形存在； 即满足题意； 当3是底边长，即两腰都是方程的根时，即方程有两个相等的实数根， 则， 解得， 此时方程为， 解得， ∵， ∴等腰三角形存在， 即满足题意， 综上所述，或． 故答案为：或． 11．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． （2）若的一条边的长为，另两边的长是一元二次方程的两个实数根．①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②当为何值时，是等腰三角形？并求出的周长． 【答案】（1）证明：， ， ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根． （2）①6；②当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、勾股定理以及一元二次方程的求解： （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其非负性即可； （2）①利用韦达定理表示两根之和和两根之积，再根据勾股定理建立关于的方程求解； ②分情况讨论，当为腰时，直接代入方程求解，再算出其余边长，最后相加即可；当为底边时，那么另外两个就是腰，则方程有2个相等的实数根，即根的判别式为0，求解腰长，最后算周长． 【小问详解】略 【小问详解】解：①的长是一元二次方程的两个实数根， ，， 是以为斜边的直角三角形，， ， ， 解得或， 由题意，， 则且， 即， 解得：， 故不合题意，舍去， ． ②分情况讨论：当为腰时，方程有一个根为， 将代入方程，得， ， ∴方程为， 解得，， ∴等腰三角形的三边长为5，5，3， ， 满足三角形三边关系，故符合题意； 的周长为； 当为底边时，方程有2个相等的实数根， ， ， ∴方程为， 解得， ∴等腰三角形的三边长为3，3，5， ， 满足三角形三边关系，故符合题意； 的周长为； 综上，当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13． 12．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）或 【分析】本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． （1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根； （2）设，另两边长为能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【小问详解】略 【小问详解】设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为 ，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化为或 解得或， 即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 13．已知关于x的方程． （1）请你判断方程的解的情况； （2）若等腰三角形ABC的一边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 【答案】（1）方程有两个实数根 （2）5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可判断出方程的解的情况； （2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出的周长． 【小问详解】由题意知：， ∵，即， ∴方程有两个实数根； 【小问详解】当时，，则， 方程化为，解得， ∴的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去； 综上所述，的周长为5． 【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．注意：在判别式中，①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根． 14．已知的一边为5，另两边是方程的解 （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不等实根 （2）如果是直角三角形，求k的值； （3）如果是等腰三角形，求的面积． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个不等实根； （2）5或14 （3）12或 【分析】本题考查解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、勾股定理，解答的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （1）求得，根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根可证得结论； （2）先求得方程的两个根，然后根据勾股定理和分类讨论思想求解即可； （3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，结合分类讨论思想求解即可． 【小问详解】略 【小问详解】解：由得， ∴， 解得，， ∵是直角三角形， ∴若5为斜边时，则有， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，三边为3，4，5，符合题意； ∵， ∴若为斜边时，则有，解得， 此时三边为5，12，13，符合题意， 综上，当是直角三角形时，k的值为5或14； 【小问详解】解：由（2）知，，由于，是等腰三角形， ∴当时，，此时底边长为， ∴底边上的高为， ∴的面积为； 当时，，此时底边长为， ∴底边上的高为， ∴的面积为， 综上，当是等腰三角形时，的面积为12或． 考点04　根与系数的关系求代数式的值 难度层级：提升　|　知识点：韦达定理求对称代数式的值 15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 16．关于的一元二次方程的解为 ，，则代数式 的值为（ ） A. C. B. D. 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义可以求出，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，所以可得，再根据乘方的定义计算． 【详解】解：是一元二次方程的解， ， 解得：， 和是一元二次方程的解， ， ． 17．已知方程的两根为、，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的值，整体代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， ∴． 18．利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系可不解方程判断方程根的情况． 例如：方程． ， 原方程有两个不相等的实数根． 设原方程的两个根分别为． ， 异号，且其中正根的绝对值大． （1）请不解方程，利用根与系数的关系判断方程的两根的正负情况． （2）已知是方程的一个根，请利用根与系数的关系求方程的另一个根． 【答案】（1）方程有两个不相等的正实数根； （2）方程的另一个根为． 【分析】（1）先判断一元二次方程根的情况，再结合根与系数的关系判断即可； （2）设方程的另一个根为，再根据根与系数的关系求解即可． 【小问详解】解：对于一元二次方程，， ∴方程有两个不相等的实数根， 设两根为， 根据根与系数的关系，，． 两数乘积为正说明两根同号，同时两数之和为正，因此两根均为正数， 即方程有两个不相等的正实数根； 【小问详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可知， 解得． 19．我们知道，一元二次方程的两个实数根、与系数、、之间有如下关系：，．这一结论称为一元二次方程根与系数的关系．请完成下列各题： （1）若、是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值； （2）若互异实数、满足方程和，求代数式的值． 【答案】（1） （2）6 【分析】（1）由根与系数的关系得到，，再把所求式子去括号并代入求值即可； （2）根据题意可得、为一元二次方程的两根，，，再根据所求式子的特点代入求值即可． 【小问详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， ； 【小问详解】解：∵互异实数、满足方程和， 、为一元二次方程的两根， ，， ，， ． 20．“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 【答案】证明：∵整理得，， 由“韦达定理”可得：，， ∵， ∴． 【分析】首先由“韦达定理”得，，然后将展开后代入证明即可． 【详解】略 考点05　根据根与系数的关系求参数的值或范围 难度层级：提升　|　知识点：韦达定理求参数 / 取值范围 21．阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______； （2）间接应用：已知实数m，n满足：，，求的值； （3）拓展应用：已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 【答案】（1）， （2）2或 （3）3 【分析】本题考查了一元二方程的解以及根与系数的关系． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）由题意可知分两种情况，或时，m、n可看作方程的两根，分别计算原式的值即可； （3）由已知得，故a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式计算出c的取值范围，取最小正整数即可． 【小问详解】解：由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，， 故答案为：，； 【小问详解】解：∵m，n满足， 当时，原式， 当时，m、n可看作方程的两根， ∴， ∴原式， 综上，的值为2或； 【小问详解】解：∵， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵， ∵正整数， ∴，即． ∴正整数c的最小值为3． 22． 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3）1 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． 【小问详解】解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； 【小问详解】解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ； 【小问详解】解：，即， ， ∴方程两边除以得：， ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ． 23．阅读下列材料，完成相应任务． 材料一 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二 若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： （1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． （2）拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根．①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1） （2）①；② 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； ②根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，进而可得出结论． 【小问详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴． 故答案为：； 【小问详解】解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 由①知， ∴． 24．课本再现 （1）方程的求根公式，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系，即方程的两个根满足：①；②．这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的．请你选择其中一个结论进行证明． 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． （3）已知实数，满足，，求的值． 【答案】（1）∵方程的两个根是，∴； ； （2） （3）43 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 对于（1）根据方程的两个根是，再分别求出结论即可； 对于（2），先根据一元二次根与系数的关系求出，再整体代入求值； 对于（3），先设，可知a，b是一元二次方程的两个根，再求出方程的根，然后完全平方公式的变形可得答案. 【详解】解：（1）略 （2）∵一元二次方程的两个根是m，n， ∴， ∴原式； （3）∵， 设，则， ∴a，b是一元二次方程的两个根， 解得，或， ∴， 平方，得，即； 当， ∴， 平方，得，即（不符合题意，舍去）， ∴. 25．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】（1）证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2） 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【小问详解】略 【小问详解】解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 26．山东潍坊杨家埠木版年画有“画乡”之称．某校社团准备制作一张长方形年画《瑞虎迎春》，长和宽分别记为、（单位：）．已知、是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，这张年画恰好是正方形？ （2）若制作时要求四周各留的空白边（即实际画面长，宽），且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及正方形的判定与性质．熟练掌握正方形的判定和根的判别式是解题的关键． （1）根据正方形的性质，可知方程有两个相等的实数根，所以，，即可求出答案； （2）根据根与系数的关系得，，代入，即可求出答案． 【小问详解】解：当张年画恰好是正方形，则方程有两个相等的实数根， ∴，， 解得； 【小问详解】解：∵、是关于的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 考点06　构造方程与几何应用 难度层级：提升　|　知识点：构造一元二次方程 / 韦达与几何图形 27．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A. C. 6 B. 3 D. 9 【答案】B 【分析】设直角三角形的两条直角边分别为，，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据完全平方公式变形求出，即可得出斜边长． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为，，则，， ∴， ∴直角三角形的斜边长为：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，解题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系，求出两条直角边的平方和． 28．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是________． 【答案】 【分析】设矩形两条邻边长为方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和，矩形周长等于邻边和的倍，代入计算即可得到结果. 【详解】解：设矩形的两条邻边长分别为，， ∵ ，是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系得， ∴ 矩形的周长为. 29．（1）已知方程，请写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程根的相反数：________． （2）已知和是方程的两个根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 【答案】（1）；（2）构造一元二次方程，它的两个根分别是和 【分析】（1）先设这个一元二次方程为； 根据根与系数的关系得到：，. 由方程得，； 由题意得，再根据，， 即可求出这个一元二次方程. （2）由方程得，. 而构造的这个一元二次方程的两根为. 再利用根与系数的关系，分别求出两根之和、两根之积. 得到对应的p和q的值，代入得到一元二次方程为. 【详解】解：（1）设方程的两个根， 则，． 由得 由分别是方程根的相反数， ． ， ， 两个根分别是方程根的相反数的方程是． （2）和是方程的两个根， ， ， ， 设所求一元二次方程为 故所求方程为，两边同时乘以2得：，它的两个根分别是和． 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 30．已知关于x的方程． （1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． （3）当等腰三角形的边长，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）能找到， （3）9 【分析】（1）根据方程列出判别式化简即可解题； （2）设两根分别为，，根据题意可得，又根据根与系数的关系可得，即可求得k的值； （3）根据题意考虑和时两种情况，结合根的判别式，方程的解，等腰三角形性质，三角形三边关系即可解题． 【小问详解】证明：方程表达式为， 又 无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； 【小问详解】解：能找到， 设两根分别为，， 由题意要使方程的两实数根互为相反数，则， ， ； 【小问详解】解：当时，则，即，则， 此时方程为，解得， 则等腰三角形三边分别为4，1 ，1， ，不能构成三角形， 故舍去； 当时，假设或，由题意可知4是原方程的解， ， ， 原方程为，解得，， 则等腰三角形三边分别，4，4，1，能构成三角形， 所以三角形的周长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形性质，方程的解，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 31．已知关于的方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根恰好是斜边为的直角三角形的两直角边长，求m的值． 【答案】（1）证明：，，， 则 ， 所以无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【分析】本题考查的是勾股定理、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，根据勾股定理列出方程并正确解出方程是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式、配方法证明即可； （2）根据根与系数的关系求出，再根据勾股定理列出方程，利用公式法解出方程，得到答案． 【小问详解】略 【小问详解】解：设方程的两根为、，且， 则，， 则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，与不符，故舍去； 当时，，，与相符； 综上，． 32．已知关于的方程. （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求的值. 【答案】（1）证明：∵ ∴无论取何值，方程总有实数根． （2）. 【分析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断的值，就有实数根； 设直角三角形的两条直角边长分别为，，利用根与系数的关系可以得到，的值，利用勾股定理化简带入求k的值． 【小问详解】略． 【小问详解】设直角三角形的两条直角边长分别为，， 则，，∴， 又，，， 解得：， ∵， ∴应舍去，故． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，注意直角三角形边长为正值是解题的关键． 考点07　判别式与韦达的综合及几何图形综合 难度层级：提升—拓展　|　知识点：判别式 + 韦达 + 几何综合 33．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．下列说法正确的有________． ①方程是“勾系一元二次方程”； ②关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； ③若是“勾系一元二次方程”的一个根，且，则； ④若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，则． 【答案】①②④ 【分析】①根据“勾系一元二次方程”的形式，对比所给方程，得出对应系数关系，求出，，的值，验证是否满足勾股定理即可判断； ②计算根的判别式，对比所给方程，得出对应A、B、C的值，根据，代入化简，求出与0的大小关系即可判定； ③将代入方程得到关于，，的方程，结合三角形边长均为正数的特点，得到，对比可判定结论； ④将代入方程中得到关于，，的方程，再根据四边形的周长得到，两个方程联立，消掉，，即可求出c． 【详解】解：①根据定义，“勾系一元二次方程”的形式为， 对比方程，可得对应系数关系：，，， 解得． 在中，根据勾股定理，需满足， 将，，代入验证：， 成立，所以该方程符合定义． 故说法①正确． ②判断一元二次方程是否有实数根，需要计算根的判别式， 在此方程中，系数分别为，，， 代入判别式公式： 因为，，是直角三角形的三边，满足， 将替换为： 因为任何实数的平方都是非负数，即， 所以， 当时，方程必有实数根． 故说法②正确． ③因为是方程的一个根，将代入方程：， 因为，，均为三角形边长，即，，，所以，这与方程矛盾， 因此，不可能是该方程的根． 故说法③错误． ④因为是方程的一个根，将代入方程：，即． 四边形的周长， 由图可知：，，，， 所以周长 即 将代入周长方程中： 解得． 故说法④正确． 34．关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若分别是一个矩形的长和宽．①是否存在k，使得矩形的面积为10，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由； ②是否存在k，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①不存在；②存在， 【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形的性质，勾股定理． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）①根据矩形的面积公式和根与系数的关系得到，解得，然后利用k的范围可判断即可； ②根据根与系数的关系得，再利用矩形的性质和勾股定理得到，然后解方程即可． 【小问详解】根据题意得， 解得， 即k的取值范围为； 【小问详解】①不存在． 理由如下： ∵矩形的面积为10， ∴， 解得， 而， ∴不存在实数k使得矩形的面积为10； ②存在． 根据根与系数的关系得， ∵矩形的对角线长为， 即， ∴， 即， 解得， 而， ∴存在k的值为4． 35．（1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 【答案】（1）①；②；（2）①证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ② 【分析】（1）①把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； ②利用根与系数的关系得到，再利用得到．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值； （2）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②证明三角形是等边三角形得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵关于x的方程有两个实数根 即关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围为； ②∵方程的两根为， ∴， ∵，即， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）①略 ②解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是矩形， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数关系，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各知识点是解题的关键． 36．在中，，，的对边分别为，，，且关于的方程有两个相等的实数根． （1）判断的形状（说明理由）； （2）如图，当时，是下方的一动点，且，连接． ①求证：平分； ②若，的长是关于的方程的两个实数根，试问：随着值的变化，四边形的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即． ∴的形状为直角三角形． （2）①证明：取的中点为D，连接、，如下图所示： ∵为直角三角形，，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴，， ∴ ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即平分． ②∵，的长是关于的方程的两个实数根， 设， 则， ∵，则， 在中，，即， 又∵， ∴， 四边形的面积， ， 因此，四边形的面积是定值． 【分析】本题考查了一元二次方程综合，勾股定理，等边对等角； （1）根据方程有两个相等的实数根，得到即可解答． （2）①取的中点为D，连接、，根据为直角三角形，，D为的中点，得到，再根据中点的性质得到，再根据， 则即可解答． ②根据，的长是关于的方程的两个实数根，得到，根据勾股定理求得，进而根据四边形的面积即可解答． 【小问详解】略 【小问详解】①略 ②略 37．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根： （2）设该方程的两个实数根为． ①求代数式：的最大值； ②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）①；②等腰三角形的周长为16或17或19或20 【分析】（1）根据判别式的范围进行证明即可； （2）①根据一元二次方程根与系数关系得到，，则，即可得到答案； ②把代入方程解得，分两种情况解方程分别求出原方程的解，根据等腰三角形的定义求解即可． 【小问详解】略 【小问详解】①解：∵该方程的两个实数根为 ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为； ②把代入方程得： 解得， 把代入方程得：， ∴， ∴等腰三角形的边长为5，5，6或6，6，5， ∴此等腰三角形的周长为16 或17， 把代入方程得： ∴， ∴等腰三角形的边长为6，6，7或7，7，6， ∴此等腰三角形的周长为19或20， 综上，等腰三角形的周长为16或17或19或20． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系、根的判别式是解题的关键． 38．已知关于的一元二次方程 （1）试判断上述方程根的情况． （2）已知的两边的长是关于上述方程的两个实数根，的长为5．①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②当为何值时，是等腰三角形？请求出此时的周长． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2）①当时，是直角三角形；②当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16 【分析】（1）根据判别式即可得出，由此即可得出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出．①设，，根据利用勾股定理得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值； ②根据（1）结论可得出，由此得出△ABC是等腰三角形分两种情况求解即可得出结论． 【小问详解】在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． 【小问详解】， ． ①不妨设， 斜边时，有，即， 解得：（舍去）． 当时，是直角三角形 ②，由（1）知， 故有两种情况： （Ⅰ）当时，， ， 满足任意两边之和大于第三边， 此时的周长为； （Ⅱ）当时，， 满足任意两边之和大于第三边， 此时的周长为． 综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14；当时，是等腰三角形，此时的周长为16． 【点睛】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，勾股定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式时，方程有两个不等实数根”是解题的关键． 39．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根 ①当 时，矩形 是正方形，此时正方形的边长是 ． ②当矩形的对角线长为时，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）①，；②矩形的面积6 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形得性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）①根据题意，当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，代入方程求解即可；②当矩形的对角线长为时，则，设方程的两个根据为，结合一元二次方程根与系数的关系得到，则，从而得到，解方程得到m的值，再根据矩形边长为整数进行取舍，即可解答． 【小问详解】略 【小问详解】解：矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根， ①∵当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； ②当矩形的对角线长为时，， 设方程的两个根据为，则， ∵，， ∴，整理得，， 解得，， ∵和是矩形的边长， ∴，， ∴， ， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴矩形的面积为． 40．已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． （1）试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）求矩形的周长和面积． （3）①数学兴趣小组探究：“是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半？”如果存在，请求出该矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由．②拓展探究：如果有一矩形的长为a，宽为b，那么a、b应满足什么条件，才一定存在另一矩形的周长和面积都是该矩形的一半，请直接写出应满足的条件． 【答案】（1）证明：在中，，，， ∴ ， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）矩形的周长为，矩形的面积为 （3）①不存在，理由如下： 由（2）知矩形的周长为14，面积为9， 设矩形的长为x，则宽为， ∴， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半； ② 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． （1）求出即知无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）求出，，由矩形的对角线长，可得，解得，即可得矩形的周长为14，矩形的面积为9； （3）设矩形的长为x，则宽为，可得，而，原方程无解，从而不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形的周长和面积的一半； ②设另一矩形的长为p，宽为q，可得，有，故，可知a、b应满足的条件为：． 【小问详解】略 【小问详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∵矩形的对角线长， ∴，即， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长为：， 矩形的面积为：； 【小问详解】解：① 略 ②设另一矩形的长为p，宽为q， ∴， ∴， ∴， ∴a、b应满足的条件为：． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $