【期中专项】专项05 规律探究与定义新运算（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

专项05 规律探究与定义新运算 目 录 考点01 数字与算式的规律探究 考点02 图形的规律探究 考点03 定义新运算 考点01　数字与算式的规律探究 难度层级：提升—拓展　|　知识点：数字类规律探索/用代数式表示规律/算式规律 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，第个代数式是（ ） A. C. B. D. 2．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，按照此规律，则第个结构式中，的个数之和为________．（用含的代数式表示） 3．已知一组数：1，，1，，，…，用代数式表示第n个数为________．（n是正整数，用含n的代数式表示） 4．观察下列各等式： ①；②；③；… （1）按照以上等式规律，写出第4个等式是：______________； （2）写出第n个等式（用含n的代数式表示）：______________； （3）利用（2）的结论计算：． 5．探究与发现 观察下列等式的规律，解答下列问题； ，，，，，… （1）第6个等式为________，第100个等式________； （2）第n个等式为________（用含n的代数式表示，n为正整数）； （3）设，，，…，．求：的值． 考点02　图形的规律探究 难度层级：提升—拓展　|　知识点：图形类规律探索（点数/火柴棒/拼接） 6．苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要17根小木棒，第3个图形需要25根小木棒……按此规律，第n个图形需要小木棒（ ） A. 根 C. 根 B. 根 D. 根 7．如图是用相同长度的火柴棒摆成的一组图形，第1个图形由1个正方形组成，第2个图形由2个正方形组成，…，按此规律，第n个图形需要火柴棒________根（用含n的式子表示）． 8．如图是由长度相同的小棒拼出的一组有规律的图形，第1个图形中有6根小棒，第2个图形中有11根小棒，第3个图形中有16根小棒，第4个图形中有21根小棒，……，按照这种规律拼下去． （1）第7个图形中有________根小棒； （2）请用含n的代数式表示第n个图形中小棒的数量； （3）求第86个图形中小棒的数量． 考点03　定义新运算 难度层级：提升　|　知识点：新定义运算（按规则代入计算） 9．规定一种新运算“⊗”：．例如．按此规定，计算的结果是（ ） A. 13 C. B. 1 D. 5 10．规定“”是一种新运算，表示，如果，那么________． 11．对于有理数a，b规定一种新运算：，例如：，则：________． 12．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． （1）求的值； （2）的值． 13．在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． （1）求的值； （2）求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 规律探究与定义新运算 目 录 考点01 数字与算式的规律探究 考点02 图形的规律探究 考点03 定义新运算 考点01　数字与算式的规律探究 难度层级：提升—拓展　|　知识点：数字类规律探索/用代数式表示规律/算式规律 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，……，第个代数式是（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的规律．先观察发现整式的变化规律，然后再运用规律求解即可． 【详解】解：观察前几个代数式，奇数项符号为正，偶数项为负，第个的符号可表示为； 系数的绝对值分别为2，3，4，5，6，第个的系数的绝对值可表示为； 的指数分别为1，2，3，4，5，第个的指数的绝对值可表示为； ∴第n个代数式是． 故选：D． 2．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，按照此规律，则第个结构式中，的个数之和为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了找规律列代数式，分析每个元素个数的变化规律是解题的关键． 先分别找出第个结构式中原子个数和原子个数的规律，再将两者相加得到个数之和的代数式． 【详解】解：∵第个结构式中的个数为， 第个为， 第个为， ， ∴第个结构式中的个数为． ∵第个结构式中的个数为， 第个为， 第个为， ， ∴第个结构式中的个数为． ∴第个结构式中、个数之和为：， 故答案为：． 3．已知一组数：1，，1，，，…，用代数式表示第n个数为________．（n是正整数，用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究．根据前几个数的运算情况推导一般性规律是解题的关键．根据，，，，，…，推导一般性规律即可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴用代数式表示第n个数为， 故答案为：． 4．观察下列各等式： ①；②；③；… （1）按照以上等式规律，写出第4个等式是：______________； （2）写出第n个等式（用含n的代数式表示）：______________； （3）利用（2）的结论计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了数字类规律探究．根据题意准确找出相应规律是解题关键． （1）按照①②③的规律写出第4个等式即可． （2）总结规律并证明等式左边等于右边即可． （3）按照规律，将原式变形，然后简便运算即可． 【小问详解】解：根据①②③可得出第4个等式：， 故答案为：． 【小问详解】根据①②③，可得出： 理由如下： 等式左边为： ， 等式右边为：． ∴． 【小问详解】 5．探究与发现 观察下列等式的规律，解答下列问题； ，，，，，… （1）第6个等式为________，第100个等式________； （2）第n个等式为________（用含n的代数式表示，n为正整数）； （3）设，，，…，．求：的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】本题考出有理数的混合运算，数字类规律探究． （1）根据已有等式，进行作答即可； （2）根据已有等式，作答即可； （3）根据规律，裂项相加进行计算即可． 解题的关键是得到． 【小问详解】解：由题意，得：，； 故答案为：，； 【小问详解】由题意，得：； 故答案为：； 【小问详解】由（2）可知 ∴ …… ∴． 考点02　图形的规律探究 难度层级：提升—拓展　|　知识点：图形类规律探索（点数/火柴棒/拼接） 6．苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要17根小木棒，第3个图形需要25根小木棒……按此规律，第n个图形需要小木棒（ ） A. 根 C. 根 B. 根 D. 根 【答案】D 【分析】本题考查了找规律和归纳推理，通过分析前几个图形中小木棒数量的规律，推导出第n个图形所需小木棒数量的表达式即可． 【详解】解：第1个图形需要9根小木棒，可写成， 第2个图形需要17根小木棒，可写成， 第3个图形需要25根小木棒，可写成， 以此类推，第n个图形所需小木棒数量为根， 故选：D． 7．如图是用相同长度的火柴棒摆成的一组图形，第1个图形由1个正方形组成，第2个图形由2个正方形组成，…，按此规律，第n个图形需要火柴棒________根（用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】观察可知每增加1个正方形，就增加3根火柴棒，据此规律可得答案， 【详解】解：第1个图形需要火柴棒根， 第2个图形需要火柴棒根， 第3个图形需要火柴棒根， ……， 以此类推，可知第n个图形需要火柴棒根． 8．如图是由长度相同的小棒拼出的一组有规律的图形，第1个图形中有6根小棒，第2个图形中有11根小棒，第3个图形中有16根小棒，第4个图形中有21根小棒，……，按照这种规律拼下去． （1）第7个图形中有________根小棒； （2）请用含n的代数式表示第n个图形中小棒的数量； （3）求第86个图形中小棒的数量． 【答案】（1）36 （2） （3） 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是找出图形的规律． （1）根据给出示例，依次类推求解即可； （2）根据给出示例，找出图形规律即可； （3）把代入即可求解． 【小问详解】解：根据给出的示例，第1个图形中小棒的数量为6，第2个图形中小棒的数量为，第3个图形中小棒的数量为……， 则第7个图形中小棒的数量为． 故答案为：36． 【小问详解】解：根据给出的示例，第1个图形中小棒的数量为6，第2个图形中小棒的数量为，第3个图形中小棒的数量为……， 则第n个图形中小棒的数量为． 【小问详解】解：当时，． 考点03　定义新运算 难度层级：提升　|　知识点：新定义运算（按规则代入计算） 9．规定一种新运算“⊗”：．例如．按此规定，计算的结果是（ ） A. 13 C. B. 1 D. 5 【答案】B 【详解】解：由题意得， ． 10．规定“”是一种新运算，表示，如果，那么________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．根据题意先计算，再计算即可求解． 【详解】解：由题意可知： ． 故答案为：8． 11．对于有理数a，b规定一种新运算：，例如：，则：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目所给新定义，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 12．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． （1）求的值； （2）的值． 【答案】（1） （2）0 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，准确理解新定义是解题的关键． （1）利用题中的新定义列出计算式计算即可； （2）利用题中的新定义列出计算式计算即可； 【小问详解】解： ； 【小问详解】 ， ． 13．在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）8 （2） 【分析】本题主要考查新定义运算，含乘方有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． （2）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． 【小问详解】解：根据题意可得 ． 【小问详解】解：根据题意可得 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 规律探究与定义新运算 目 录 考点01 数字与算式的规律探究 考点02 图形的规律探究 考点03 定义新运算 考点01　数字与算式的规律探究 难度层级：提升—拓展　|　知识点：数字类规律探索/用代数式表示规律/算式规律 1．D 2． 3． 4．（1） （2） （3） 5．（1）， （2） （3） 考点02　图形的规律探究 难度层级：提升—拓展　|　知识点：图形类规律探索（点数/火柴棒/拼接） 6．D 7． 8．（1）36 （2） （3） 考点03　定义新运算 难度层级：提升　|　知识点：新定义运算（按规则代入计算） 9．B 10．8 11． 12．（1） （2）0 13．（1）8 （2） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $