【期中专项】专项02 绝对值的化简、数轴动点问题（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

专项02 绝对值的化简、数轴动点问题 目 录 考点01 绝对值的意义、化简与非负性 考点02 数轴上的动点问题 考点03 数形结合与分类讨论（思想方法） 考点01　绝对值的意义、化简与非负性 难度层级：提升　|　知识点：绝对值几何意义/字母绝对值化简/非负性/绝对值方程 1．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对，，5进行“差绝对值运算”的结果是16； ②，，4的“差绝对值运算”的最小值是10； ③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 C. 2个 B. 1个 D. 3个 2．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（ ） A. C. B. D. 3．利用绝对值的几何意义，则的最小值是（ ） A. 2 C. 5 B. 3 D. 7 4．我们知道表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上数，对应的两个点之间的距离．比如表示数5与8对应点之间的距离为3．结合以上知识，以下说法正确的个数是（） ①当，则； ②，，三点在数轴上对应的数分别是，2，，若点恰好是的中点，则； ③若，则； ④已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或． A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 5．下列说法不正确的有________（填序号） ①是最小的有理数； ②是负数； ③若，则； ④符号相反的数互为相反数； ⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远． ⑥ 6．在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如：，，则所有的“绝对操作”的运算结果的和为________． 7．学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： （1）化简代数式； （2）的最大值是 ．（请直接写出结果） 8．人教版《七年级上册》教材，第11页，我们本学期学习了绝对值的概念： 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 【定义应用】 计算：________；________；________． 【学习总结】 当时，________；当________时，． 【学以致用】 在数轴上的位置如图所示，化简下列各式： ①________； ②________； ③计算：． 9．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． （1）解方程：； （2）已知，求的值． 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 考点02　数轴上的动点问题 难度层级：提升—拓展　|　知识点：数轴上点的平移/翻折/整点覆盖/两点距离/动点 11．点，在数轴上对应的数分别为，，且满足．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，秒后两点到原点的距离相等，则的值为（ ） A. C. 或 B. 或 D. 或 12．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论： ①； ②； ③； ④； 其中，正确的结论的序号是（ ） A. ①② C. ①④ B. ①②③ D. ①②③④ 13．点，点，点在数轴上的位置如图，现在这三点同时开始在数轴上运动，若点，点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒1个单位长度的速度向右运动，点，点之间的距离可表示为，点与点间的距离可表示为，则运动秒时，的值为________． 14．如图，数轴上点表示的数是点表示的数是点表示的数是10．若此时恰有一只老鼠在点，一只小猫在点，老鼠发现小猫后立即以每秒1个单位长度的速度向点方向逃跑，小猫随即以每秒2个单位长度的速度追击，经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为________，小猫逮住老鼠时的“位置”恰好在________． 15．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当________秒时，． 16．北师大版教材中第二章习题2.2第22题中，同学们解决了数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b的A，B两点距离问题，A，B间的距离为或．已知数轴上三点A，B，C，点A表示的数为，点B表示的数为2．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点P的运动时间为t秒． （1）【基础应用】①A和B的两点之间的距离是 ． ②若点C表示的数为3，点P运动3秒后所表示的数为________； （2）【代数推理】若点C表示的数为m，点P运动后所表示的数为n．①当C点在B点右侧时，点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点），请通过计算说明的值不变； ②若在点P运动过程中，有2.5秒时间点P到点A和点B的距离之和保持不变，试探究m的值． （3）【综合拓展】在（2）②的条件下，点P移动过程中有一段时间代数式的值都不变（k为常数），直接写出k的值与代数式值不变的时长． 17．已知数轴上有、、三点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向右移动，当点运动到点时运动停止，设点移动时间为秒． （1）用含的代数式表示到点和点的距离：________，_________ ． （2）当点运动到点时，点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，求等于多少秒时、两点相遇．等于多少秒时、两点相距个单位长度． 18．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 考点03　数形结合与分类讨论（思想方法） 难度层级：提升　|　知识点：数轴位置判断正负/大小关系/分类讨论 19．已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（ ） A. C. B. D. 20．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是________． 21．有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简________． 22．已知有理数a、b在数轴上的位置如图（文字描述：a在原点左侧，b在原点右侧，且）． （1）判断符号： 0， 0；（填“”“”） （2）化简：． 23．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1） 判断正负， 用“”或“”填空： 0， 0， 0． （2）化简：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 绝对值的化简、数轴动点问题 目 录 考点01 绝对值的意义、化简与非负性 考点02 数轴上的动点问题 考点03 数形结合与分类讨论（思想方法） 考点01　绝对值的意义、化简与非负性 难度层级：提升　|　知识点：绝对值几何意义/字母绝对值化简/非负性/绝对值方程 1．C 2．C 3．C 4．C 5．①②③④⑥ 6． 7．（1）原式 （2） 8．【定义应用】，0，5；【学习总结】，；【学以致用】①；②；③ 9．（1）或 （2）12或 10．（1）或1；（2）；（3）或5；（4） 考点02　数轴上的动点问题 难度层级：提升—拓展　|　知识点：数轴上点的平移/翻折/整点覆盖/两点距离/动点 11．A 12．D 13．6 14．① ② 原点 15．3或5 16．（1）①6；② （2）①6；② （3），2秒 17．（1），； （2）秒时，、两点相遇；秒或秒时、两点相距个单位长度 18．（1）10；； （2）点P运动5秒或3秒时P、Q两点相距4个单位长度 考点03　数形结合与分类讨论（思想方法） 难度层级：提升　|　知识点：数轴位置判断正负/大小关系/分类讨论 19．A 20．b 21． 22．（1）； （2） 23．（1）；； （2） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 绝对值的化简、数轴动点问题 目 录 考点01 绝对值的意义、化简与非负性 考点02 数轴上的动点问题 考点03 数形结合与分类讨论（思想方法） 考点01　绝对值的意义、化简与非负性 难度层级：提升　|　知识点：绝对值几何意义/字母绝对值化简/非负性/绝对值方程 1．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对，，5进行“差绝对值运算”的结果是16； ②，，4的“差绝对值运算”的最小值是10； ③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 C. 2个 B. 1个 D. 3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法，绝对值的意义，利用“差绝对值运算”的规定对每个结论进行逐一判断即可．正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 【详解】解：对，，5进行“差绝对值运算”， 得到， ①的结论正确； ，，4的“差绝对值运算” 得到 ， 当时，取得最小值为5， 的最小值为10， ②的结论正确； ，，的“差绝对值运算”得到， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当时， 综上利用绝对值的意义的不同表达式一共有7种： ，，，，，，0， ③的结论不正确． 以上说法中正确的个数为2个． 故选：． 2．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（ ） A. C. B. D. 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为， 故选：C． 3．利用绝对值的几何意义，则的最小值是（ ） A. 2 C. 5 B. 3 D. 7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的减法，理解绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键；根据绝对值的几何意义可知的几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和，当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小，即可得解． 【详解】解：几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和， 当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小， 的最小值是， 故选：． 4．我们知道表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上数，对应的两个点之间的距离．比如表示数5与8对应点之间的距离为3．结合以上知识，以下说法正确的个数是（） ①当，则； ②，，三点在数轴上对应的数分别是，2，，若点恰好是的中点，则； ③若，则； ④已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或． A. 1个 C. 3个 B. 2个 D. 4个 【答案】C 【分析】本题考查绝对值，数轴上两点间的距离，有理数的运算，掌握绝对值的性质是解决问题的关键．根据绝对值的性质逐项判断即可． 【详解】解：说法①：表示a是非负数，∴，正确． 说法②：B是的中点，∴，解得，正确． 说法③：取，，但，∴错误． 说法④：非零，，设，， 若中有一个负数，； 若中有两个负数，； 若都为负数，； ∴值为2或，正确． 综上，正确说法有①②④，共3个． 故选：C． 5．下列说法不正确的有________（填序号） ①是最小的有理数； ②是负数； ③若，则； ④符号相反的数互为相反数； ⑤一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远． ⑥ 【答案】①②③④⑥ 【分析】本题考查相反数、绝对值和有理数的混合运算，根据有理数的概念可判断①；根据负数的意义可判断②；根据相反数的定义可判断④；根据绝对值的定义和性质可判断③和⑤；有理数的乘方及加法运算法则可判断⑥．掌握相应的概念、性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：①如也是有理数，而，故原说法不正确； ②若，则是非负数，故原说法不正确； ③若，则，故原说法不正确； ④符号相反且绝对值相等的数是相反数，故原说法不正确； ⑤一个数的绝对值即表示它的点在数轴上离原点的距离，所以一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，故原说法正确； ⑥，故原说法不正确， ∴说法不正确的有①②③④⑥（填序号）． 故答案为：①②③④⑥． 6．在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如：，，则所有的“绝对操作”的运算结果的和为________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，绝对值的性质，根据定义可知有七种情况，分别把每一种情况的结果求出来，再把它们相加即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：有以下七种情况： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ∴所有运算结果的和为， 故答案为：． 7．学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： （1）化简代数式； （2）的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】（1）原式 （2） 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【小问详解】当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； 【小问详解】当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 8．人教版《七年级上册》教材，第11页，我们本学期学习了绝对值的概念： 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 【定义应用】 计算：________；________；________． 【学习总结】 当时，________；当________时，． 【学以致用】 在数轴上的位置如图所示，化简下列各式： ①________； ②________； ③计算：． 【答案】【定义应用】，0，5；【学习总结】，；【学以致用】①；②；③ 【分析】定义应用：根据绝对值的含义直接作答即可； 学习总结：由非负数的绝对值是其本身，非正数的绝对值是其相反数可得答案； 学以致用：①先判断，则，再化简绝对值即可； ②先判断，则，再化简绝对值即可； ③由，，可得，，再化简绝对值即可． 【详解】解：定义应用： ；；． 学习总结： 当时，；当时，． 学以致用： ①∵，则， ∴； ②∵，则， ∴； ③∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，化简绝对值，利用数轴比较有理数的大小，整式的加减运算，熟记化简绝对值的方法是解本题的关键． 9．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如： 解：方程可化为：或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或． （1）解方程：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）或 （2）12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【小问详解】解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； 【小问详解】解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 【答案】（1）或1；（2）；（3）或5；（4） 【分析】本题考查了绝对值以及绝对值方程，掌握绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据绝对值求解即可； （2）根据绝对值几何意义求解即可； （3）由（2）可知，的最小值为，则当时，或，再分别求解即可； （4）根据绝对值几何意义求解即可；． 【详解】解：（1）当时，， 解得：或1， 故答案为：或1； （2）表示到4和的距离和， 当时，有最小值，最小值， 故答案为：6； （3）由（2）可知，的最小值为， 则当时，在左侧或的右侧，即或， 当时，，解得：； 当时，，解得：， 故答案为：或5； （4）表示到、2、5的距离和， 则当时，距离和最小为， 即的最小值为8， 故答案为：8． 考点02　数轴上的动点问题 难度层级：提升—拓展　|　知识点：数轴上点的平移/翻折/整点覆盖/两点距离/动点 11．点，在数轴上对应的数分别为，，且满足．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，秒后两点到原点的距离相等，则的值为（ ） A. C. 或 B. 或 D. 或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，先求出，，从而可得点，在数轴上对应的数分别为，，结合题意得出秒后，点表示的数为，点表示的数为，根据秒后两点到原点的距离相等列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点，在数轴上对应的数分别为，， ∴点，在数轴上对应的数分别为，， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动， ∴秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵秒后两点到原点的距离相等， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故选：A． 12．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论： ①； ②； ③； ④； 其中，正确的结论的序号是（ ） A. ①② C. ①④ B. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数字类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．由题意归纳可知，机器人每5秒为一个循环，完成一个前进或后退程序，每次循环的第一个数为循环的次数，即第次循环时，对应的数分别为、、、、，据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，机器人每5秒为一个循环，完成一个前进或后退程序， 前10秒对应的数为1、2、3、2、1、2、3、4、3、2， ，，①②结论正确； 观察可知，每次循环的第一个数为循环的次数，即第次循环时，对应的数分别为、、、、， ， 秒对应的数为第22次循环第一个数，即， ， 秒对应的数为第21次循环第三个数，即， ，③结论正确； ， 秒对应的数为第406次循环第一个数，即； ， 秒对应的数为第405次循环第三个数，即， ，④结论正确． 故选：D． 13．点，点，点在数轴上的位置如图，现在这三点同时开始在数轴上运动，若点，点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒1个单位长度的速度向右运动，点，点之间的距离可表示为，点与点间的距离可表示为，则运动秒时，的值为________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，整式加减的运算等知识，先分别表示出运动秒时各点所表示的数，再根据数轴上两点之间的距离得出，，然后再代入计算即可． 【详解】解：运动秒时，点A表示的数为：， 点B表示的数为：， 点C表示的数为：， 则， ， ∴ 故答案为： 14．如图，数轴上点表示的数是点表示的数是点表示的数是10．若此时恰有一只老鼠在点，一只小猫在点，老鼠发现小猫后立即以每秒1个单位长度的速度向点方向逃跑，小猫随即以每秒2个单位长度的速度追击，经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为________，小猫逮住老鼠时的“位置”恰好在________． 【答案】① ② 原点 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，根据两点间的距离直接表示出老鼠在移动过程中与点之间的距离，利用两点间的距离相等时，小猫逮到老鼠，列出关于的方程，求解即可得出小猫逮到老鼠时的位置，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为： ， 小猫在移动过程中与点之间的距离为：， ∴， 解得：， 此时小猫逮到老鼠的位置是：，即在原点， 故答案为：，原点． 15．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当________秒时，． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 16．北师大版教材中第二章习题2.2第22题中，同学们解决了数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b的A，B两点距离问题，A，B间的距离为或．已知数轴上三点A，B，C，点A表示的数为，点B表示的数为2．点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设点P的运动时间为t秒． （1）【基础应用】①A和B的两点之间的距离是 ． ②若点C表示的数为3，点P运动3秒后所表示的数为________； （2）【代数推理】若点C表示的数为m，点P运动后所表示的数为n．①当C点在B点右侧时，点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点），请通过计算说明的值不变； ②若在点P运动过程中，有2.5秒时间点P到点A和点B的距离之和保持不变，试探究m的值． （3）【综合拓展】在（2）②的条件下，点P移动过程中有一段时间代数式的值都不变（k为常数），直接写出k的值与代数式值不变的时长． 【答案】（1）①6；② （2）①6；② （3），2秒 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，解决本题的关键是熟练掌握两点间距离与绝对值的几何意义． （1）①根据数轴上两点间距离公式求解即可； ②求解出点P的运动路程即可求解； （2）①根据点P运动到A，B两点之间，可得n的取值范围，由此去绝对值计算即可； ②分类讨论点C可能存在的位置可能存在：C点在A的左侧，C点在A，B之间，C点在B点右侧．由此计算即可． （3）分析当时，与时，求解即可． 【小问详解】解：①∵点A表示的数为，点B表示的数为2． ∴A，B之间的距离为． 故答案为：6． ②∵点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 运动3秒的路程为， ∵点C表示的数为3， ∴3秒后P点表示的数为． 故答案为：． 【小问详解】解：①∵点P运动到A，B两点之间时（包含A，B两点）， ∴，且， ∴，且， ∴，， ∴； ②点C可能存在的位置可能存在：C点在A的左侧，C点在A，B之间，C点在B点右侧． 当C点在A的左侧，不存在点P到点A和点B的距离之和保持不变． 当C点在A，B之间时： 点P在A，B之间时，P向左运动，存在点P到点A和点B的距离之和保持不变． ∵值不变时长为2.5秒， ∴在A，B之间运动距离为个单位， ∴， ∴； 当C点在B点右侧时，点P经过A，B之间，时长为，所以不成立． 综上所述，当时满足条件． 【小问详解】解：通过数轴距离分析，当时，值不变，值为12． 因为点P从1向左运动， 所以时，要使值不变， 只有，且1到的距离为4，速度为每秒2个单位， 因此时长为秒． 17．已知数轴上有、、三点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向右移动，当点运动到点时运动停止，设点移动时间为秒． （1）用含的代数式表示到点和点的距离：________，_________ ． （2）当点运动到点时，点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，求等于多少秒时、两点相遇．等于多少秒时、两点相距个单位长度． 【答案】（1），； （2）秒时，、两点相遇；秒或秒时、两点相距个单位长度 【分析】本题考查的是数轴和一元一次方程， （1）根据两点之间的距离，可得到和点的距离； （1）①根据路程差可以列方程即可求解，②根据点、的运动速度与时间来求距离差，需要考虑点在点的左边和右边两种情况． 【小问详解】解：∵、分别表示有理数， ，则， ∵动点从出发，以每秒个单位的速度向右移动， ∴ ，； 故答案为：，． 【小问详解】解：①当点运动到点时，运动的距离为：，所以运动的时间为秒，所以点运动时间为， 、两点相遇时可列方程：， 解得， 故等于秒时、两点相遇； ②由①可知的运动时间为， 当点在点的左边时，此时，即， 解得秒； 当点在点的右边时，此时，即， 解得秒． 所以秒或秒时、两点相距个单位长度． 18．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 【答案】（1）10；； （2）点P运动5秒或3秒时P、Q两点相距4个单位长度 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，用代数式表示出两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据绝对值及平方的非负性，求出，进而求出结论； （2）分别表示出P、Q所在点表示的数，再列出方程，即可求解． 【小问详解】解：， ， ， ∴数轴上点A表示的数是10，点B表示的数是，点P表示的数是； 【小问详解】解：设运动时间为t（）秒， 点P表示的数是，点Q表示的数是，P、Q两点相距4个单位长度， ， 解得：或， ∴点P运动5秒或3秒时P、Q两点相距4个单位长度． 考点03　数形结合与分类讨论（思想方法） 难度层级：提升　|　知识点：数轴位置判断正负/大小关系/分类讨论 19．已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（ ） A. C. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断出，，，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，，， ∴ ， ， 故选：． 20．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是________． 【答案】b 【分析】根据数轴，b＞0，a＜0，则a-b＜0，化简绝对值即可． 【详解】∵b＞0，a＜0， ∴a-b＜0， ∴ =b-a+a =b， 故答案为：b． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，正确确定字母的属性是化简的关键． 21．有理数、、在数轴上的位置如图所示，则化简________． 【答案】 【分析】本题考查了根据有理数在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式的加减运算，根据有理数在数轴上的位置求得，，进而可得，，，再化简绝对值即可求出答案． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，可得，， ，，， ， 故答案为：． 22．已知有理数a、b在数轴上的位置如图（文字描述：a在原点左侧，b在原点右侧，且）． （1）判断符号： 0， 0；（填“”“”） （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据a、b在数轴上的位置得，结合利用有理数加减法法则判断a、b和差符号； （2）根据绝对值性质及（1）中结论去绝对值符号，再化简即可． 【小问详解】解：由有理数a、b在数轴上的位置可知且， ∴，； 【小问详解】解：由（1）得，， ∴，， ∴ ． 23．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1） 判断正负， 用“”或“”填空： 0， 0， 0． （2）化简：． 【答案】（1）；； （2） 【分析】本题考查了利用数轴比较理数大小、绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由，，结合绝对值的定义，即可得出的值． 【小问详解】解：观察数轴可知：， ，，， 故答案为：；；； 【小问详解】， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $