广东广州市为明学校2026-2027学年高一上学期入学摸底考试数学试题

绝密★启用前 为明学校2026级高一入学摸底考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、年级、班级填写在答题卡上。将考号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上对应的答题区域内。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.下列描述正确的是() A.2∈素数} B.ON C.√2∈Q D.{π}eR 2.若a>b,则下列不等式成立的是() A.a-b>0 11 B.二< a b c.la> D.a2>b2 3.集合A=1,a2B={a,A2B,则实数a的值为() A.1 B.-1 c.0 D.0或1 4. 已知a1 有意义，则化简a1 等于() A.-a B.Va c.-√-a D.-√a 5.已知某二次函数的最大值为2，其图象的顶点在一次函数y=x+1的图象上，并且二次函 数图象经过点(3，-1)，则二次函数的二次项系数为() 4 B.-1 3 A.- C. 3 D. 3 4 4 数学试卷 第1页（共6页） 6.命题“x∈1≤x≤2，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（) A.a≥4 B.a≥5 C.a<4 D.a<5 7.√万+3与√6+√10的大小关系式() A.√7+3<√6+√10 B.√万+3>√6+√10 C.√7+3=√6+√10 D不确定 8.已知集合A={-1<x<4)B={a-1≤x≤a+2,若集合A∩B中恰好只有两个整数， 则实数a的取值范围是() A.{a-1≤a<0或2<a≤3} B.{a1<a<0或2<a<3 D.{a-2<a≤-1或3≤a<4) D.{a-2<a<-1或3<a<4} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9.下列表达式恒成立的有() A.a2-b2=(a+ba-b) B.a'-b3=(a+b)a2-ab+b2) C.(a-b+c)=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc Da68+ 10,下列说法中，正确的有（) 站4里地。《小+ A.命题p:3x。∈R,x+2x+2<0,则命题卫的否定是x∈R,x2+2x+2≥0 B.“x>y”是“x>y”的必要条件 C.命题“x∈Z,x2>0”是真命题 D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根一负根”的充要条件 11.在整数集Z中，所有被5除，余数为飞的整数组成一个“类”，记为[k],即 [k={xx=5n+k,n∈Z,k=0,12,3,4,给出以下四个结论，正确的是() A.2026∈[] B.-3∈3] c.z=[0]U]U2]U3]U[4] D.当整数a,b属于同一“类”时，“a-b∈[0]” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.因式分解2x2-x-6= 13.若5x+4=4+B2,4B为常数，则AB= x(x+2)xx+2 4.已知案合4满足条件：当a后A时，亡aeA,者DeA侧则丛中所有元素组成的架 合是 15.(13分)设集合A=xx是小于9的正整数}，B={么，2,3}，C={3,4,5,6}.求 (1)A∩C; (2)AU(B∩C: (3)(CuB)∩(CC) 16.(15分)已知关于x的方程x2+2(m-2)x十m2+4=0有两个实数根. (1)求实数m的取值集合； (2)若这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值. 17.（15分) (1)初中实验告诉我们，在氯化钠完全溶解的情况下，氯化钠加的越多，溶液越咸请你用 数学不等式知识描述上述结论（已知原溶质质量为☑，原溶液质量为b,添加的溶质质量为C), 并证明之 (2)结合（1)中的不等式关系证明：当4，b,c是三角形的三边长时， 1<,a+6+c b+cc+aa+b <2恒成立： 数学试卷 第4页（共6页） 11 18.(17分)(1)己知x>0,y>0,且2x+y=4,求二+二的最小值； x y (2)利用(1)中的方法，求1+，20<x<3)的最小值： x 3-x (3)已知x>0,y>0,且2x+y=y,求x+y的最小值. 19.(17分)定义两种新运算“⊕”与“⑧”，满足如下运算法则：对任意的a,b,有a⊕b=ab, a⑧b=a+1.设全集U={xx=a⊕b+a⑧b,0<a≤b<3,a∈Z,b∈Z,且 4=钟=4eo列2820<a<6<3 qcZbe2,8=4mr2-3x+1=0以 (1)求集合U; (2)求集合A; (3)集合A,B是否能满足(C,A∩B=⑦？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说 明理由。 洲新数中半·兰·” 为明学校2026级高一入学摸底考试数学参考答案 题号 3 答案 D B B A 1.【答案】A【解析】对于B,0是自然数：对于C,√2不是有理数：对于D,集合与集合不能用∈故选A 2.【答案】A【解析】对于A,心b→a-b>0,故A正确.C,D均不成立，可举反例，取a=1,b-2.故选A. 3.【答案】C【解析】由B≤A得a=1或a=d,当a=1时，集合A不满足集合元素的互异性，舍去， 当a=a2时，a=0或a=1(舍)，所以a=0.故选C. 4.【答案】C【解析】因为 1有意义，所以a<0, 0 a 所以a=-√a,所以a 5.【答案】D【解析】二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2. 又顶点在直线y=x+1上，所以，2=x十1，x=1..顶点坐标是（1,2) 设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2(a<0),二次函数的图象经过点(3，一1)，∴.-1=a(3-1)2+2;解得 a=一手故选D 6.【答案】B【解析】若命题“xe{(xl≤x≤2)，x2-a≤0”为真命题，则a≥x2,x∈{l≤x≤2}恒成立， 令g(x)=x2,则函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以当x=2时，g(x)取得最大值4，所以a≥4， 因为{aa≥5}是{aa24}的真子集，所以a之5是xe(l≤x≤2)，x2-a≤0”为真命题的-个充分不必要条件. 7.【答案】B【解析】因为V7+3>0,V6H√10>0， 所以(V743)2-(W6√10)2=(16+6V万-(16+4W15-2(3V7-2W15)-2(W63√60>0，所以V7+3>6+W10.故选B. 8.【答案】A 【解析】由题意，集合A中的整数为0,1,2,3，因为(a+2)-(a-1)=3,所以集合B中至少有3个整数，所以集 合A⌒B中的两个整数只能为0,1或2,3. 若集合A⌒B中的两个整数是2,3，则 a+223, l1<a-1s2, 解得2<a≤3； 若集合AnB中的两个整数是0,1，则 1≤a+2<2, a-1≤0， 解得-1sa<0. 综上可得，-1≤a<0或2<a≤3， 即a的取值范围是{a-1≤a<0或2<a≤3}. 故选A. 题号 10 11 答案 AC AD ACD 9.【答案】AC 10.【答案】AD【解析】命题p的否定是xeR,x2+2x+2≥0，故A正确： >不能推出x>y,例如-2川，但-2<1： x>y也不能推出>以，例如2>3，而2<3： 所以>以”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故B错误： 当x=0时，x2=0,故C错误； 4-4m>0 若关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根，则 解得m<0, m<0 所以“m<0”是关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件，故D正确.故选AD. 11.【答案】ACD【解析】对于A:因为2026÷5=405…1，所以2026∈[，故A正确； 对于B:因为-3=5x(-1)+2,所以-3E[2],故B错误； 对于C:因为整数集中的数被5除的余数为0,1,2，3,4，所以z=[0U[小U[2U3U[4],故C正确； 对于D:若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故a-b∈[0]： 当a-be[0]时，a-b=5m,nez,所以a=5n+b,所以[a]=[b], 即整数a,b属于同一“类”，故D正确，故选ACD. 12【答案12x+3-2减x+引-2)皆可 13.【答案】6【解析】因为4+B=4x+2)+Bx=(4+B)x+2A5x+4 x'x+2x(x+2) x(x+2) x(x+2) 「A+B=5, 解得A=2,B=3,则AB=6 2A=4, 14.【答案】 【解析】由题意，√2∈A, 当a=a时，则2方-5-0e4, 1 1 、=2 所以集合4=(5-1-9回故答案为：（巨-1-蓝万， 15.【答案】()3,4,5,6；2)1,23,4,5,67,8}：(3){7,8 【详解】(1)由题设A=1,2,3,4,5,6,7,8,C=3,4,5,6),则A∩C=3,45,6:4分 (2)由B∩C={1,2,3n3,4,56=3},所以AU(B∩C)=12,3,4,5,6,7,8: 8分 2 (3)由题设CB={4,5,6,7,8,CC=1,2,7,8},所以(CB)∩(C4C)={7,8. 13分 16.【答案】(1)(-o,0:(2)m=-1 【详解】（1)设x1,均是方程的两根， 因为关于x的方程x2+2(m一2)x十m2+4=0有两个实数根 3分 所以△≥0→4(m-22-4m2+4)=-16m20→m≤0 5分 所以实数m的取值集合为{mlm≤0}. .6分 (2)由韦达定理，得 x1十x2=、2(m一2)，x12=m2+4. 8分 2十灯2一x灯x2=21,(x1十x2)2-31x2=21, .10分 即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21, 化简，得m2-16m-17=0,解得m=一1，或m=17. 13分 由(1)知m≤0，所以，m=-1. …15分 17.【答案】(1)当b>a>0,c>0时，a+c> ，证明见详解(2)证明见详解 b+c b 【详解】(1)依题意，要证“氯化钠加的越多，溶液越咸这句话， 即证当>0，心0时，>成立， 2分 即证器>0成立，整理得北6->0， .4分 b(b+c) 因为b,C>0且b>a>0,所以不等式成立，即“氯化钠加的越多，溶液越减”.5分 (2)因为a,b,c是三角形的三边，所以b+c心>0， 由材料(1)知， a -<,a+a=2a b+c b+c+aa+b+c 同理2<26， 程品<品<三式相加得：品+品+品又， c<2c 10分 另一方面， a>a bb c b+c a+b+c'a+c a+b+c'a+b a+b+c 三式相加得： ,a+b+c,>a+b+c=1 b+c a+c a+b a+b+c 15分 综上，当a,6,c是三角形的三边时，1<，a+ -+c,<2成立 b+c a+c a+b 11w3+2:②1+：8325 【详解】()由2xty4得Qxtl,计x+)C+月=(6++习 2分 +知2， .4分 当且仅当x=4-2W2,y=42-4时，取到最小值2 4■ 5分 (2)令3-x=少，则原愿变为已知×，y>0,x+y=3,求+2的最小值 7分 x y 卫≥1+22 3 3 9分 当且仅当x=3反-1以y=3业-2)时，取到最小值1+22 .10分 (3)2x+y=y→2+是-1 14分 y x 所议x+y=+号}3+25-6分 当且仅当x=√2+1，y=2+V2时，取到最小值3+2W2. 17分 9【学案划】0w-:回4-例：om∈且治 【详解】(1)因为对任意的a,beR,有a⊕b=ab,a⑧b=a+1, 全集U={xk=a⊕b+a②b,0<asb<3且a∈Z,b∈Z, 所以U={x=b+a°+1,0<a≤b<3,a,bez 3分 因为0<a≤b<3,a,b∈Z,所以a=1,b=1,或a=1,b=2,或a=2,b=2. 当a=1,b=1时，ab+a°+1=1+1+1=3；当a=1,b=2时，ab+a+1=2+1+1=4; 当a=2,b=2时，ab+a°+1=4+4+1=9，所以U={3,4,9}. .6分 (2)4a9b)+a8b=46++1 .7分 因为0<a<b<3且a∈Z,beZ,所以a=1,b=2, 所以4a®D)+a®白-4ab++1=4x1x2+严+1=9所以A=9y. 11分 b b 2 (3)因为U={3,4,9},A={9),所以CA={3,4} 12分 若要集合A,B能满足(CA)门B=⑦，则只需3EB且4医B. 13分 又B=x2-3x+1=0, 当3eB时，9m-9+1=0,解得m=g: 8 14分 11 当4∈B时，16m-12+1=0,解得m= 15分 16 若要3EB且4EB,则m≠8且m大 ,11 9 16 .16分 综上所述，存在集合A,B能满足(CuA)∩B=②，实数m的取值范围为 8且m* 0 16 17分