【期中专项】专项05 位似与坐标、网格（高效培优期中专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

专项05 位似与坐标、网格 目 录 考点01 利用相似求坐标与网格作图 考点02 位似图形的识别与概念辨析 考点03 位似比、画位似图形与求对应坐标 考点01　利用相似求坐标与网格作图 难度层级：提升　|　知识点：利用相似求坐标 / 网格中作相似三角形 1．如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（ ） A. B. C. D. 2．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是________． 3．定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形． （1）初步感受：如图是7×2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出一个顶点在格点并且不全等的奇妙三角形； 所画三角形中最大内角度数为 °． （2）再思探究：如图③，点A为坐标原点，点C坐标（2，2），点D坐标（7，1），在坐标平面上取一点B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接写出m的值并说明理由． 4．请在如图所示的方格图中，先画出两个相似但不全等的格点三角形，再在适当的位置画上坐标轴，指出这两个相似三角形的顶点坐标之间的关系． 5．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标． 6．如图1，在方格纸中，的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上， （1）请在图1中画一个三角形，使它与相似，且相似比为； （2）请在图2中画一个三角形，使它与相似，且相似比为． （3）请在图3中画一个三角形，使它与相似，且面积为12 考点02　位似图形的识别与概念辨析 难度层级：基础　|　知识点：位似图形的识别 / 位似中心 / 概念辨析 7．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. C. B. D. 8．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．其中正确命题的序号是（ ） A. ②③ C. ③④ B. ①② D. ②③④ 9．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 10．如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 考点03　位似比、画位似图形与求对应坐标 难度层级：提升　|　知识点：位似比 / 画位似图形 / 求对应点坐标 11．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ） A. C. 或 B. D. 或 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是________． 13．如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为________． 14．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，与位似，位似中心为原点，与的相似比为．（点，，分别与点，，对应，且点在第二象限） （1）在图中画出，并直接写出点的坐标； （2）用无刻度直尺作出的角平分线； （3）与的周长比为___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； （2）直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； 16．如图，在平面直角坐标系中，将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘，画出以所得四个点为顶点的四边形，并指出这两个四边形的位似中心和相似比． 17．在平面直角坐标系中，，，网格中每个小正方形的边长均为1． （1）按要求作图：以原点O为位似中心，画出，使与的相似比为，且与在原点异侧； （2）直接写出点，的坐标． 18．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是． （1）以O为位似中心，作，与相似比为，且在第二象限； （2）在上面所画的图形中，若线段上有一点D，它的横坐标为k，点D在上的对应点的横坐标为，则__________． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 位似与坐标、网格 目 录 考点01 利用相似求坐标与网格作图 考点02 位似图形的识别与概念辨析 考点03 位似比、画位似图形与求对应坐标 考点01　利用相似求坐标与网格作图 难度层级：提升　|　知识点：利用相似求坐标 / 网格中作相似三角形 1．如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据勾股定理，PQ=，PR=，QR=， ∴PQ2+PR2=RQ2， ∴△PQR是直角三角形，且夹直角的两边的比为=2， 观各选项，只有A选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键． 2．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，直角坐标系，解题的关键是掌握相关知识．根据图形和勾股定理求出，，，，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，点、、、分别都和点、连接， ，，，，， ，，， ， 和相似，即点和点、连接后构成的格点三角形和相似，， 故答案为：． 3．定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形． （1）初步感受：如图是7×2的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图①、图②中画出一个顶点在格点并且不全等的奇妙三角形； 所画三角形中最大内角度数为 °． （2）再思探究：如图③，点A为坐标原点，点C坐标（2，2），点D坐标（7，1），在坐标平面上取一点B（m，2），使得AB平分∠CAD，直接写出m的值并说明理由． 【答案】（1）如图所示： 135 （2）m=4， 理由：连接AB、BD， 由网格可得： BC=2，， ∴BC：AC：AB=1：：， ∴△ABC的三边比为1：：， 由网格可得： ， ∴BD：AB：AD=1：：， ∴△ADB的三边比为1：：， ∴△ABC∽△ADB， ∴∠BAC=∠DAB， ∴AB平分∠CAD． 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角； （2）m=4，利用网格结合勾股定理求出△ABC和△ADB各边的长．证明△ABC∽△ADB，直接利用相似三角形的性质即可得出结论． 【小问详解】由网格可得： DE=1，， ∴DE：EF：DF=1：：， ∴△DEF的三边比为1：：， 而， ∴AB：BC：AC=1：：， ∴△ABC的三边比为1：：， ∴△DEF∽△ACB， ∴∠DEF=∠ABC， ∴∠DEF=∠ABC=45°+90°=135°． 故答案为：135； 【小问详解】略 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，相似三角形的判定与性质，正确借助网格分析是解题关键． 4．请在如图所示的方格图中，先画出两个相似但不全等的格点三角形，再在适当的位置画上坐标轴，指出这两个相似三角形的顶点坐标之间的关系． 【答案】解：如图： 的三个顶点坐标是的三个顶点坐标的倍. 【分析】先根据三边对应成比例的两个三角形相似画一组相似三角形，再建立坐标系，进一步求解即可. 【详解】解：∵，，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴的三个顶点坐标是的三个顶点坐标的倍. 5．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标． 【答案】C(4，4)或C(5，2) 【分析】本题可根据图形得出AC与AB的长度比，再根据角A或角B为直角，来判断P点的位置． 【详解】解：△OAB的两直角边之比为1：2，那么△ABC两直角边之比为1：2， ∵AB= ∴当∠A=90°，AC=2，此时点C（5，2）， 当∠B=90°，BC=2，此时点P（4，4）， 故C点的坐标是C（4，4）或C（5，2）． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及点的坐标，此题需注意分情况讨论三角形哪一个角为直角的情况． 6．如图1，在方格纸中，的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上， （1）请在图1中画一个三角形，使它与相似，且相似比为； （2）请在图2中画一个三角形，使它与相似，且相似比为． （3）请在图3中画一个三角形，使它与相似，且面积为12 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【分析】（1）利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案； （2）利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案； （3）在（2）的基础上利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案． 【小问详解】解：如图1所示：即为所求； ； ∵，，， ， ，， ∴， ∴,相似比为； 【小问详解】解：如图2所示：即为所求； ； ∵，，， ，，， ∴， ∴，相似比为； 【小问详解】解：如图2所示：即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴，且． 【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键． 考点02　位似图形的识别与概念辨析 难度层级：基础　|　知识点：位似图形的识别 / 位似中心 / 概念辨析 7．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. C. B. D. 【答案】D 【分析】由位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：位似属于相似， A对 由位似可知： B对 C对 的相似比为 D错 故选D 【点睛】本题考查了位似的性质，熟记位似的所有性质是解题的关键． 8．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．其中正确命题的序号是（ ） A. ②③ C. ③④ B. ①② D. ②③④ 【答案】A 【解析】① 错误：位似图形一定相似，但相似图形不一定是位似图形（相似图形没有要求对应点连线交于一点）。 ② 正确：位似图形的定义就是存在一个位似中心。 ③ 正确：位似图形定义：两个图形相似，且每组对应点连线经过同一个点，就是位似图形。 ④ 错误：必须是对应两点到位似中心的距离之比等于相似比，不是任意两点。 正确的是：②③，选 A。 9．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 10．如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】略 考点03　位似比、画位似图形与求对应坐标 难度层级：提升　|　知识点：位似比 / 画位似图形 / 求对应点坐标 11．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ） A. C. 或 B. D. 或 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小． ∴ 点的对应点的坐标为或． 即或． 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是________． 【答案】图见解析，点的坐标是(-4,-2) 【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可． 【详解】解：如图所示：就是所要求画的， 点B的对应点的坐标是(-4,-2)， 故答案为：(-4,-2)． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 13．如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点为点， ∴， ∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，即点是的中点， ∴，解得， ∴， 又∵点为的中点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，与位似，位似中心为原点，与的相似比为．（点，，分别与点，，对应，且点在第二象限） （1）在图中画出，并直接写出点的坐标； （2）用无刻度直尺作出的角平分线； （3）与的周长比为___________． 【答案】（1）如图为所求，点的坐标为 （2）如（1）图，即为的角平分线； （3） 【分析】（1）利用位似三角形的概念作图即可； （2）由图可得，所以和为等腰直角三角形，则，故延长交于点，即为的角平分线； （3）根据位似比可得周长比． 【小问详解】略 【小问详解】略 【小问详解】解：与的相似比为， ∴与的周长比为． 15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； （2）直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； 【答案】（1）如图，为求作的图形， （2）， 【分析】（1）连接并延长，使，连接并延长，使，在轴上取点，即为点，连接，得，图略； （2）由图得点的坐标，根据位似中对应点的坐标的变化规律可得答案． 【小问详解】略 【小问详解】解：点坐标为；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，将四边形四个顶点的横坐标、纵坐标都乘，画出以所得四个点为顶点的四边形，并指出这两个四边形的位似中心和相似比． 【答案】如图，四边形即为所求四边形； 所画四边形与四边形的位似中心是原点，相似比是2∶1． 【分析】根据题图可知点坐标是：，点坐标是：，点坐标是：， 点坐标是：，将四个顶点的横、纵坐标分别乘，可得：点坐标是：，点坐标是：，点坐标是：， 点坐标是：，据此作图，然后连接，，，可知连线经过原点，判断位似中心和相似比即可． 【详解】略 17．在平面直角坐标系中，，，网格中每个小正方形的边长均为1． （1）按要求作图：以原点O为位似中心，画出，使与的相似比为，且与在原点异侧； （2）直接写出点，的坐标． 【答案】（1）解：如图：即为所求； ． （2）， 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质确定对应点，然后顺次连接即可解答； （2）直接根据（1）的作图写出点，的坐标即可． 【小问详解】略 【小问详解】略 18．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是． （1）以O为位似中心，作，与相似比为，且在第二象限； （2）在上面所画的图形中，若线段上有一点D，它的横坐标为k，点D在上的对应点的横坐标为，则__________． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【分析】（1）直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质以及对应点的坐标关系得出答案． 【小问详解】解：如图所示：即为所求； 【小问详解】∵与是位似图形，且相似比为， ∴， 解得：． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 位似与坐标、网格 目 录 考点01 利用相似求坐标与网格作图 考点02 位似图形的识别与概念辨析 考点03 位似比、画位似图形与求对应坐标 考点01　利用相似求坐标与网格作图 难度层级：提升　|　知识点：利用相似求坐标 / 网格中作相似三角形 1．A 2． 3．（1）如图所示： 135 （2）m=4， 理由：连接AB、BD， 由网格可得： BC=2，， ∴BC：AC：AB=1：：， ∴△ABC的三边比为1：：， 由网格可得： ， ∴BD：AB：AD=1：：， ∴△ADB的三边比为1：：， ∴△DEF∽△ADB， ∴∠BAC=∠DAB， ∴AB平分∠CAD． 4．解：如图： 的三个顶点坐标是的三个顶点坐标的倍. 5．C(4，4)或C(5，2) 6．（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 考点02　位似图形的识别与概念辨析 难度层级：基础　|　知识点：位似图形的识别 / 位似中心 / 概念辨析 7．D 8．A 9． 10．图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 考点03　位似比、画位似图形与求对应坐标 难度层级：提升　|　知识点：位似比 / 画位似图形 / 求对应点坐标 11．C 12．图见解析，点的坐标是(-4,-2) 13． 14．（1）如图为所求，点的坐标为 （2）如（1）图，即为的角平分线； （3） 15．（1）如图，为求作的图形， （2）， 16．如图，四边形即为所求四边形； 所画四边形与四边形的位似中心是原点，相似比是2∶1． 17．（1）解：如图：即为所求； ． （2）， 18．（1）画图见解析 （2） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $