精品解析：山东济南市莱芜区2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年度第一学期诊断性检测八年级 数学试题（A卷） 注意事项： 本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 2. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在等腰梯形中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线相互平分 D. 一组对边平行且另一组对边相等 5. 一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，则这个多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 矩形 7. 如图，菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 36 C. D. 8. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，若，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 在中，，则的度数是_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．若点的坐标为，则的长为_______． 13. 一个正n边形的每一个内角都是，则n的值为_______． 14. 如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为_______． 15. 如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，连接、，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． 17. 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 18. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，求的长． 19. 如图，在正方形内部取一点，连接、，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点． 求证：四边形是正方形． 20. 如图，平行四边形的顶点为坐标原点，点在轴正半轴上，，，，点从点出发沿方向，以的速度向点运动；点从点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． （1）点的坐标为________，点的坐标为________； （2）从运动开始，经过多长时间，四边形是平行四边形？ 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，； （1）求菱形的面积； （2）求的长． 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 23. 综合与实践 数学课上，老师以“矩形的折叠”为主题开展活动． 现有一张矩形纸片，，， 第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，点落在点处，得到折痕，连接，交线段于点，然后把纸片展平； 第二步：如图2，再沿过点的直线折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与交于点，连接． （1）的长为________； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 24. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，直线与交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）平面内存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点的坐标； （3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点、，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围．小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…；请结合小红同学的解题思路，求长度的取值范围： 【迁移应用】 （2）请你依照小红同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题： 如图3，已知等腰直角三角形中，，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接， ①当点在线段上时，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； ②若，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期诊断性检测八年级 数学试题（A卷） 注意事项： 本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；根据定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意； B中矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意； C中菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意； D平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形．解题的关键在于对中心对称图形与轴对称图形定义的正确理解． 2. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在平行四边形中，对角线互相平分，即一定有，故B选项正确； 在平行四边形中，邻边不一定相等，对角线不一定相等，对角线也不一定垂直，故A、C、D选项不一定正确． 3. 如图，在等腰梯形中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，再根据等腰梯形的性质为“同一底上的两个底角相等”，求解即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴． 4. 下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线相互平分 D. 一组对边平行且另一组对边相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、四边形可能是等腰梯形，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 5. 一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，则这个多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵从一个顶点出发有4条对角线， ∴， 解得， ∴这个多边形的内角和为． 6. 顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．四边形的边的中点分别为点，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的性质可得，则，由此即可得． 【详解】解：如图，四边形的边的中点分别为点， 由三角形的中位线定理得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则四边形一定是对角线互相垂直的四边形， 故选：A． 7. 如图，菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 36 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，，，再根据勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，， ∴菱形的周长为． 8. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B作交延长线于H，作交延长线于P，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式可得，则四边形是菱形，利用等腰三角形的判定和勾股定理，结合菱形性质求得，进而可求解． 【详解】解：过B作交延长线于H，作交延长线于P，则， 由题意，，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴阴影部分的面积是． 9. 如图，在中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，若，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得各边长与内角度数，结合平分推出，从而确定点E为的中点；再作高，分别求出、、平行四边形的面积及的长，逐一判断①②③④即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，， ∴， 平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ，即点E为的中点， ∵点O为的中点， 为的中位线， ∴， ∴，故②正确； 过点A作于点H，如图， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故③正确； 过点D作，交的延长线于点G， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故④错误， 综上：正确的结论有①②③． 10. 如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形性质求出的长度，在中求出的长；再证，得到；接着用面积法求出；然后在中求出；最后通过算出结果． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ∴， ． ， 在中， ． ， ， ，，， ． 在和中， ， ，， ，， ． ， ． ． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 在中，，则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】平行四边形的对角相等，结合已知的条件，可直接推导的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形． ∴． ∵． ∴． ∴． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．若点的坐标为，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形对角线相等的性质，得到，再根据点坐标，用勾股定理求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ． 点的坐标为， ． ． 13. 一个正n边形的每一个内角都是，则n的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据内角与相邻外角互补的关系求出正边形单个外角的度数，再利用任意多边形外角和为的性质，计算得到边数． 【详解】解：∵正边形的每个内角都是， ∴每一个相邻的外角度数为， ∵任意多边形的外角和为， ． 14. 如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理，得出，，、、三点共线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解． 【详解】解：如图，连接、， 在正方形和正方形中，点在上，，， ，，，， ，，， 、、三点共线， ， ， 是的中点， ． 15. 如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，连接、，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质及两点之间线段最短，解题的关键是利用对称把转化为，进而转化为求线段的长． 由菱形的对角线所在直线是对称轴得，于是，当A、P、E三点共线时取最小值；再由判定为等边三角形，结合E为的中点求出． 【详解】解：连接，，，如图， ∵四边形是菱形， ，，点A、C关于直线对称， ，， 是等边三角形， ∵点E为的中点， ，， ∴， ∵点C关于直线的对称点为A，点P在上， ∴， ∴， ∴当点A、P、E三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质及等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称把求两条线段和的最小值转化为求一条线段的长，体现了转化思想． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． 【答案】边数为 【解析】 【分析】设边数为，根据一个多边形的内角和比外角和大列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，边形内角和为，该多边形内角和比外角和大， ∴列方程得： 整理得 解得， ∴这个多边形的边数为． 17. 如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴≌， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据推出 ≌，得出对应边相等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用；解题的关键是证明 ≌． 18. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知和矩形的性质可证明是等边三角形，则，所以，根据直角三角形的性质即可求解题目． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 又， 垂直平分， ， 又， 是等边三角形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，． 19. 如图，在正方形内部取一点，连接、，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点． 求证：四边形是正方形． 【答案】证明四边形是正方形， ， 绕旋转得到， ， ， 即， ， ， ∵， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，由旋转的性质得出， 证明，由全等三角形的性质得出，即可证明四边形是矩形，再由即可证明四边形是正方形． 【详解】略 20. 如图，平行四边形的顶点为坐标原点，点在轴正半轴上，，，，点从点出发沿方向，以的速度向点运动；点从点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． （1）点的坐标为________，点的坐标为________； （2）从运动开始，经过多长时间，四边形是平行四边形？ 【答案】（1）点坐标是，点坐标是； （2）从运动开始，经过秒，四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据含30度角的直角三角形，得出，，即可得解； （2）设从运动开始，经过秒，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， 平行四边形的顶点为坐标原点，点在轴正半轴上，，，， ，，， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：设从运动开始，经过秒，四边形是平行四边形， ， 当时，四边形是平行四边形， ，， ， 解得：， 从运动开始，经过秒，四边形是平行四边形． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，； （1）求菱形的面积； （2）求的长． 【答案】（1）24 （2）4.8 【解析】 【分析】（1）在菱形中，对角线与相交于点，所以为中点，因为，所以，因为，利用即可求解； （2）根据菱形的性质可求得，进而用勾股定理可求菱形的边长，再利用即可求解题目． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 即， ． 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合题意可推出，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，根据题意推出是等边三角形，得到，，进而求出，根据矩形的性质得到，，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ． 23. 综合与实践 数学课上，老师以“矩形的折叠”为主题开展活动． 现有一张矩形纸片，，， 第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，点落在点处，得到折痕，连接，交线段于点，然后把纸片展平； 第二步：如图2，再沿过点的直线折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与交于点，连接． （1）的长为________； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：四边形是菱形．理由如下： 由折叠的性质可知，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，证明是等腰三角形，，进而可证四边形是菱形； 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴. 【小问2详解】 略 24. 如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，直线与交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）平面内存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点的坐标； （3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点、，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）． （3）当坐标为或时，四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）将代入，求出的值，待定系数法求出直线的表达式即可； （2）分3种情况进行讨论求解即可； （3）分2种情况，利用勾股定理列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：将代入，得， 的坐标为 将点的坐标代入直线，得，解得：， 的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线：与轴交于点， ∴当时， 解得， ∴， ∵直线：与轴交于点， ∴当时，解得， ∴， ∵，设， ∴当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，分3种情况： ①当为对角线时，则， 解得， ∴； ②当为对角线时，则， 解得， ∴； ③当为对角线时，则， 解得， ∴； 综上：点坐标为． 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ， ∴当点在轴上时，设， ∵，， ∴， 由勾股定理，得， 解得， ∴坐标为； 当点在轴上时，设，则， 由勾股定理，得， 解得， ∴坐标为； 综上所述：当坐标为或时，四边形是矩形． 25. 【问题初探】 （1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围．小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…；请结合小红同学的解题思路，求长度的取值范围： 【迁移应用】 （2）请你依照小红同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题： 如图3，已知等腰直角三角形中，，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接， ①当点在线段上时，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； ②若，，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2）①，理由如下： 证明：如图3，延长到点，使，连接， 点为的中点，， 为的中位线， ， 由旋转的性质可得，； ， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ， ； ②的值为或 【解析】 【分析】（1）先证明是的中位线，即可得，再在中，根据三边的关系得出的取值范围，问题得解； （2）①延长到点，使，连接，先证明，再利用“”证明，即可作答； ②先利用勾股定理求出，再分情况讨论：第一种情况：当点在线段上时，根据①的结论直接作答；第二种情况：当点在线段的延长线上时，延长到点，使，连接，先证明，再利用“”证明，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题干的作图可知：点A为中点， ∵是的中线， ∴点D为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②等腰中，，，， 则：， 分情况讨论： 第一种情况：当点在线段上时， ∵， ∴， 此时结合①的结论可知：； 第二种情况：当点在线段的延长线上时，如图，延长到点，使，连接， 点为的中点，， 为的中位线， ， 由旋转的性质可得，； ， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∵，， ∴； 综上：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $