精品解析：云南昆明市呈贡区第一中学2026-2027学年高二年级上学期期中考试数学试卷

昆明市呈贡区第一中学2028届高二年级上学期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要解决这个问题，我们需要先将直线方程化为斜截式（，其中为斜率），然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】将直线方程转化为斜截式：， 因此直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，解得. 故选：D 2. 直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一，联立直线方程可得交点坐标，然后结合直线过点可得直线方程；法2，设直线的方程为，代入，可得直线方程. 【详解】法1，，则两直线交点为，直线过点， 又经过点，则直线斜率为， 直线方程为； 法2，设直线的方程为， 因经过点，代入所设方程，则， 则直线的方程为. 故选：B 3. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4. 在空间直角坐标系中，点，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系的向量表示求解即可. 【详解】，. 因为，所以，即. 又， 所以，解得. 5. 已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案. 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为， 故选：B 6. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，，，. 因为点  在  上，且 ， 所以 . 又因为  为  中点， 根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得 . 在  中，由向量减法的三角形法则可得：  . 7. 已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形， 则有：，，， 所以，又因为，即，， 可得：，解得，故离心率为． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长半轴长是 B. 椭圆的短半轴长是2 C. 椭圆的焦点坐标分别是 D. 经过椭圆焦点的最短弦长是 【答案】BD 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程计算可得，即可求得长轴、短轴、以及焦点坐标，再由通径长公式可得结果. 【详解】根据椭圆方程可知，可得； 因此可得椭圆的长半轴长是，短半轴长是2，即A错误，B正确； 可知，即，可得椭圆的焦点坐标分别是，可得C错误； 易知经过椭圆焦点的最短弦长是通径，即为，即D正确. 故选：BD 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得两圆圆心距，可判断选项D；进而可得两圆相交，把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段的中垂线，即可判断选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，可判断选项C. 【详解】由，可得，可得圆心为，半径为， 由，可得，可得圆心为，半径为， 所以，所以两圆相交， 两圆方程相减得，所以公共弦所在直线的方程为，故AD正确； 由，，可得， 所以直线所在直线的方程为， 所以线段中垂线所在直线方程为，故B错误； 圆心到公共弦所在直线的距离为， 故公共弦的长为，故C正确. 11. 已知正方体的棱长为3，动点在底面中（含边界），点在棱上，且，则（　　） A. 直线与所成的角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 如果点在直线上运动，点在直线上运动，那么的最小值为 D. 如果异面直线与所成角为．那么的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线方向向量的夹角公式计算后可判断A，求出平面的法向量后可求到平面的距离的最大值，求出体积的最大值后可判断B，由两点间距离公式结合配方法求出的最小值后判断C，利用直线方向向量的夹角公式求出的轨迹方程后可判断D. 【详解】 由正方体的性质可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，， 故，设异面直线与所成的角为， 则，则，故，故A正确； 对于B，，设，其中， 又，设平面的法向量为， 则，故，取， 因为，故到平面的距离为， 因为，故，故， 故，由正方体的性质可得， 故的面积为， 故三棱锥体积的最大值为，故B错误； 对于C，因为在上，故设，因为在上，故设， 则 ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，故C正确； 对于D，仍设，则，， 故， 整理得，故， 故的轨迹所在圆锥曲线为椭圆的一部分， 该椭圆的长半轴为，半焦距为，故其离心率为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平行直线，则与之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行直线之间距离公式即可求出结果. 【详解】因为直线可化为：， 由两平行线间的距离公式可得： 与之间的距离为 故答案为：. 【点睛】两平行直线之间距离等于，注意运用此公式需将两直线的系数化为一样. 13. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【详解】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 14. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为6，则椭圆的方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件列出方程，求解，即可得到椭圆方程． 【详解】解：椭圆的离心率为，可得． ，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，， 当直线垂直于轴时，如图： 四边形的面积为6， ，解得， 又．， 解得， 则椭圆的方程为：． 故答案为：． 四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三点，记的外接圆为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设圆的一般方程，借助待定系数法计算即可； （2）运用弦长公式计算弦长，再用点到直线距离公式求高，再求面积即可. 【小问1详解】 设的一般方程为， 由题意可知，解得， 所以，故的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，，半径.则圆心到直线的距离为， 所以，故的面积为. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数； 【答案】（1） （2）当时，直线与椭圆有两个交点；当时直线与椭圆有一个交点；当或时直线与椭圆没有交点． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和点得到，，的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）联立椭圆标准方程与直线方程，得到关于的一元二次方程，利用与的大小关系得到直线与椭圆的交点个数即可. 【小问1详解】 根据题意得 ，所以椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 将直线与椭圆联立得， 消去得， 当时，即时直线与椭圆有两个交点； 当时，即时直线与椭圆有一个交点； 当时，即或时直线与椭圆没有交点． 17. 已知点与定点的距离和它到定直线的距离的比是． （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）已知直线与点的轨迹交于，两点，令的中点为．证明：直线与直线的斜率之积为定值． 【答案】（1），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆 （2）法1：设中点为， 联立直线与椭圆，得， 由于直线与椭圆有两个交点，则， 即，解得且； 则， 又， 所以，从而． 法2：设中点为， 由于，两式相减得， 即． 所以，从而． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出等式，通过计算得到结论. （2）法1：联立方程组，由于直线与椭圆有两个交点，得到，求出，利用斜率公式得解；法2：利用点差法求解. 【小问1详解】 设点，根据题意可得，化简得， 所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆． 【小问2详解】 略. 18. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足， ①当时，求直线与平面ADB所成角的正弦值； ②判断三棱锥F−ABD的体积是否为定值；若是，求出该定值． 【答案】（1）连接， 因为为中点，，所以， 因为， 所以与均为等边三角形， 则，则． 因为，平面，所以，平面． 因为平面，所以． （2）①；②是，定值为 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解； （2）①利用线面垂直的判定定理得到平面，建立空间直角坐标系． 求出平面的一个法向量，利用向量的数量积求解； ②由题意得到，所以三棱锥的体积为定值，利用点到平面的距离公式求出点到平面的距离，求出，利用三棱锥的体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①， ． ， ，又平面， 平面．如图所示，以点为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． ， 则，当时，， 所以． 设平面的一个法向量为， 则，取，所以； 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ②因为，所以点的轨迹是过且平行于的直线， 直线与平面平行， 故，所以三棱锥的体积为定值， 又点到平面的距离为， 又， 所以（定值）． 19. 平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. （1）求折叠前的标准方程； （2）若，求； （3）当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义和离心率可得，，进而可得和椭圆方程； （2）可得直线方程为，与椭圆方程联立结合韦达定理求弦长； （3）联立方程求点的坐标，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 因为的周长为，即， 又因为离心率为，则，可得 所以折叠前椭圆的标准方程. 【小问2详解】 由（1）可知：， 直线经过且斜率为，则直线方程为，且直线与椭圆必相交， 与椭圆方程联立，消去得， 设交点，则， 由弦长公式可得：. 【小问3详解】 当时，直线的方程为：， 联立方程，解得或， 即， 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 故， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 可得 平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市呈贡区第一中学2028届高二年级上学期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点，，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长半轴长是 B. 椭圆的短半轴长是2 C. 椭圆的焦点坐标分别是 D. 经过椭圆焦点的最短弦长是 10. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距 11. 已知正方体的棱长为3，动点在底面中（含边界），点在棱上，且，则（　　） A. 直线与所成的角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 如果点在直线上运动，点在直线上运动，那么的最小值为 D. 如果异面直线与所成角为．那么的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平行直线，则与之间的距离为_______． 13. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为_____. 14. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为6，则椭圆的方程为________________． 四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三点，记的外接圆为. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，求的面积. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数； 17. 已知点与定点的距离和它到定直线的距离的比是． （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）已知直线与点的轨迹交于，两点，令的中点为．证明：直线与直线的斜率之积为定值． 18. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足， ①当时，求直线与平面ADB所成角的正弦值； ②判断三棱锥F−ABD的体积是否为定值；若是，求出该定值． 19. 平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. （1）求折叠前的标准方程； （2）若，求； （3）当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $