江苏省扬州市仪征市2026-2027学年度第一学期高二学情调研测试数学试题

2026-2027学年度第一学期高二数学期中检测试卷 参考答案及评分标准 1.A 2.D3.C4.B5.C6.D7.C8.A 9.BCD 10.BD 11.BCD 12.213.1814.(m, 15.【详解】(1)由题意有A(3-1),B(a,b),因为点A,B关于虚轴对称， 所以1=-3，b=1,…4分 所以+b=-4;…6分 (2)52=(3-i)(a+bi）=3a+b+(3b-a)i,…9分 因为石1z2为实数，所以3b-a=0,…11分 所以2a-6b=0.…13分 16.【详解】(1)记AC的中点为M,M的坐标为(3,3)，…1分 直线CM的斜率为3-0_3 3+14 …3分 所以边AC上的中线所在直线的方程为y=3x+1), 4 即3x-4y+3=0.…5分 (2)直线AB的方程为2x-y+2=0，…6分 AB=V(-1-12+(0-4)2=2V5,…8分 点c到直线AB的距离d-2×5-2+2-25,9分 √5 所以△4BC的面积为号×25x25=10.10分 (3)设点D的坐标为(mn), 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB=DC,…12分 -2=5-m 所以(-2,4)=(5-，2-n),即 -4=2-n 所以l=7,n=6,…14分 故当D为(7,6)时，四边形ABCD为平行四边形.…15分 17.【详解】(1)因为P(化，y),由PA=2P0,得V-3)2+y=2√2+y，,…3分 化简得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4, 第1页（共4页） 所以P点的轨迹C的方程为(x+1)+y2=4.…6分 (2)由(1)知，轨迹C:(x+1)2+y2=4表示圆心为C(-1,0)半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为x=1, 此时圆心C(-1,0)到直线x=1的距离d=-1-1=2等于圆的半径， 故直线x=1与C相切，满足题意；…9分 当直线I的斜率存在时，设：y-3=k(x-1),即x-y-k+3=0, 于是圆心C(-1,0)到x-y-k+3=0的距离等于半径2， 则少0-4-22解得 5 ,…13分 Vk2+1 k2+1 因此直线1的方程为y-3=-,即5x-12y+31=0,…14分 所以直线1的方程为x=1或5x-12y+31=0.…15分 18.【详解】(1)设椭圆的焦距为2c,则c2=a2-b2. 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以c=√3b,…1分 _4w3 ,所以a=2,b=1,…3分 所以桃圆C的标准方程为背+少=1.4分 y=kx+m (2)①设P(,y),2(,),联立 4+y2s1 消去y得(4k2+1)x2+8ax+4m2-4=0, △=64k2m2-4(4k2+1)4m2-4>0,化简得m2<42+1, -8km 所以x+飞42干54n二4 …6分 4k2+1 又O心的斜幸：-之，00的斜幸-丛 所以2=店点=必-色+m(色+四_3x多+m(飞+)+m xx Xx xx2 化简得(5+x2)+m2=0,…8分 所以a 二8咖+m=0.又因为m≠0，即4状2=1，又k>0,所以k=}.…10分 4k2+1 第2页（共4页） ②由①得k=},直线P四的方程为y=}x+m, 2 且x+x2=-2,x1X2=2m2-2,m2<2,…11分 又m≠0，所以0<l<√2.所以 0=VG-)P+-)=5 +)-4=2-m2,…13分 点O到直线PQ的距离d= 店m,…14分 以sae0d-52m卡ea心21 2 2 当且仅当m2=2-m2,即m=+1时，…16分 △OP2的面积最大，所以直线PQ的方程为y=。x±1.…17分 2 19.【详解】(1)由己知得圆0的半径r=2+(3=2,…2分 所以圆O的标准方程为x2+y2=4.…4分 (2)证明：由(1)可知A(2,0),B(0,2),设P(,%)(:≠0，≠0)，则 G+此=4，由思意知2，直线AP的方程为号：2列 62,所以M02出） 令r=0,得y=2% …5分 -2 由%≠0，得直线BP的方程为y=为-2x+2, o 令=0，得x=2,所以N2名0 …6分 (%-2 46+6+4+24-4-4 2x%-4(+%)+8 0%-2(0+%)+4 0%-2(6+)+4 =8…9分 所以AWBM为定值.…10分 (3)证明：设直线I的方程为y=x+,D(5,乃)，E(6,）, 已知C(-2,0),联立 e+广=4得1+k2)2+2+m-4=0, y=kx+m 第3页（共4页） △=4k2m2-41+k2)(m2-4)>0,即m2<4k2+4, 所以气十=半安， 2km *12分 m2-4 所以cpkes=_乃，X当=(+m+m） +25+25+2(+6)+4 25+a(压+j+r=3, 63+2(s+x)+4 所以(k2-3)xx3+(a1-6(店+3)+2-12=0，…13分 所以-(o-6(0 2am） +m2-12=0,…14分 整理得(-2k)(m-4)=0,所以m=2k或m=4k,…15分 当m=2k时，直线I的方程为y=c+2k=k(x+2),恒过点C(-2,0),不 符合题意； 当m=4k时，直线1的方程为y=c+4k=k(x+4),恒过点(4,0)，符合 题意.…16分 所以直线I过定点(-4,0).…17分 第4页（共4页）2026-2027学年第一学期高二期中学情调研测试 数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.己知复数z满足（①+i)z=2-4i,其中i为虚数单位，则z的虚部为(） A.-3 B.3 C.-3i D.3i 2.直线x+√3y+3=0的倾斜角为() A.30 B.60 C.120 D.150 3.已知直线I:ax-2y-5=0与l,:(a+1)x+2ay+3=0相互垂直，则实数a的值为() A.3 B.0 C.3或0 D.-3 4.己知m∈R,则“3<m<5”是“曲线+ m-35-m =1表示椭圆”的(）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 5.已知△ABC的顶点为A(2,0),B(-2,4),C(-1,1),则△ABC的垂心坐标为() A.(-4,2) B.(4,-2) C.(-4,-2) D.(4,2) 6.若点Px,y)在直线1：x+y+2=0上，则V++√G-22+0y-的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 7.方程以+3=V4x-x表示的曲线长度为() A.2π B.4π C. D.8x 3 已知稀名+广a>♪30的左，右焦点分别为F,F,过R的直线直线I与椭圆C交于M N两点，若3S△=5SA5,且∠E,EN=∠ENE,则椭圆C的离心率为（) A. B. c. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设：=3+i,32=1-3i,则下列说法正确的是() A.2=3.-i B.-,在复平面内对应的点位于第一象限 c.= D.三是纯虚数 y2 F乃是椭圆C:名+5的两个焦点，过5的直线直线I与椭圆C交于A,B 为坐标原点，则下列说法正确的是() A.椭圆C的短轴长为4 B.若AF+BF=12,则AB=8 C.存在点P,使得AF⊥AF D.△AFF面积的最大值为12 11.在△ABC中，A(4,2),B(8,5),△ABC的内心I(5,4),△ABC的外心为H,则下列说法正确 的是() A.△ABC的内切圆的半径为2 B.△ABC的外接圆的方程为x2+y2-12x-7y+42=0 C.己知点M是直线I:x+2y+2=0上任意一点，过M作△ABC的外接圆的切线，切点分 别为S,T,则四边形MSHT的面积的最小值为S图 4 D.已知点P是直线'：x+y+1=0上任意一点，过P作△ABC的内切圆的切线，切点分别为E,F, 则直线EF过定点（铝 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.直线y=x+1被圆(x-2)2+(y+1)2=9截得的弦长为 13.已知复数满足名+6+8别=2，复数z2满足32-3-41=1，则31-z的最大值为 4.已知定点M0,P为椭圆C:苦+号=1上一动点，满是当PM取得最小值时点P恰为椭圆 C的下顶点，则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在复平面内，复数z=3-i对应的点为A,复数z2=a+bi对应的点为B(i为虚数单 位，a,b∈R). (1)若点A,B关于虚轴对称，求a+b的值： (2)若z·z2为实数，求2a-6b的值. 16.(15分)已知△ABC的三个顶点为AL,4),B(-1,0),C(5,2). (1)求边AC上的中线所在直线方程： (2)求△ABC的面积： (3)求一点D的坐标，使得四边形ABCD为平行四边形. 17.(15分)在平面直角坐标系xOy中，点A(3,0),动点P(x,y)满足PA=2P0 (1)求动点P的轨迹C的方程： (2)若直线1过点Q1,3)且与轨迹C相切，求直线1的方程. 18。（17分）在平面直角坐标系x0中，已知椭圆C等+片=a>b>0短轴的两个顶点与右焦 点的连线构成等边三角形，￠_4⑤ 3 (1)求椭圆C的标准方程： (2)直线1：y=+m(k>0,m≠0)与椭圆C交于P,Q两点，设直线OP,OQ的斜率分 别为k,k2,已知k2=kk2 ①求k的值： ②当△OPQ的面积最大时，求直线PQ的方程. 19.(17分)已知圆0的圆心为坐标原点，且经过点L,-√)，圆0与x轴正半轴交于点A,与y轴 正半轴交于点B,与x轴负半轴交于点C. (1)求圆O的标准方程： (2)P是圆O上一点且不在坐标轴上，直线AP交y轴于点M,直线BP交x轴于点N,求证： AWBM为定值： (3)若直线I的斜率存在，且与圆O交于D,E两点（异于点C),直线CD与直线CE的斜率之 积为3，求证：直线1过定点.