期中素养评估卷2026-2027学年华东师大版九年级数学上册（测试范围：第20～22章）

2026-2027学年九年级数学上册期中素养评估卷 （测试范围：第20～22章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 2．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵最简二次根式和可以合并， ∴， 解得：. 3．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小． ∴ 点的对应点的坐标为或． 即或． 4．下列方程：①，②，③，④，⑤，一元二次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①是一元二次方程． ②是分式方程，④含根号下的未知数，均不是整式方程，不是一元二次方程． ③将右边展开得，移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程． ⑤未说明，不一定是一元二次方程． 综上，一元二次方程共1个． 5．已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例性质：比例的内项之积与外项之积相等求解即可． 【详解】解：设第四条线段长为， 若四条线段构成成比例线段，则两线段的乘积等于另两线段的乘积，分三种情况： ，解得； ，解得； ，解得； 则长度为的线段无法与已知三条线段构成成比例线段． 6．若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将代入方程可得，因式分解得，得到，即可求解． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 8．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成图示样子，A为公共顶点，，下列结论正确的是（     ） ①    ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形性质得出，结合图形隐含条件，利用两角对应相等判定三角形相似． 【详解】解：和是全等的等腰直角三角形，， ， 在和中，，， ，故②正确； ， ， ， 又∵， ， 又∵， ，故③正确； 是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故①错误； 与不一定相等，故④错误， 综上所述，正确的是②③． 9．如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别连接，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ∴D选项的结论符合题意； ，， 则， ， ， 与不一定相等，故C选项的结论不符合题意， 已知条件不能证明，，，，故A、B选项不符合题意， 10．已知多项式，多项式，其中，，均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数使得； ③若，，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①代入，将整理为关于的方程，根据“一元一次方程有无数解的条件是一次项系数为且常数项相等”，求出的值并判断． ②代入，写出的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式；结合为正整数的条件，判断的符号，从而确定方程是否有实数解． ③对等式变形为，代入、得到；再根据为正整数的条件，分析的正因数分解情况，统计符合条件的解的组数，进而确定多项式的个数． 【详解】解：①若，且有无数解， 则，整理得． 方程有无数解的条件是系数为0，即，得，①正确； ②若，则． 要存在实数使，需判别式． ∵为正整数，， ∴，，方程无实数解，②错误； ③由变形得，其中，， 即. ∵均为正整数， ∴，． ∵9的正整数因数分解为、、， ∴只有，，则，， ∵为正整数，∴，； 因此满足条件的多项式仅1个，故③错误． 综上所述，正确的个数是1个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此先求出和的值，再代入分式计算即可得到结果． 【详解】，，且 ， 解得， 将，代入 得：． 12．关于x的方程． （1）当________时，此方程是一元二次方程； （2）当________时，此方程是一元一次方程． 【答案】 或或或或 【分析】（1）依据一元二次方程的定义，根据二次项的系数不为、次数为，确定的取值； （2）依据一元一次方程的定义，明确方程中未知数的次数要求与对应项的系数限制，分情况讨论求解参数的取值． 【详解】（1）解：是一元二次方程， ， 当时，可得：， 又， ， ； （2）解：是一元一次方程， 当时，可得：， 可得方程为， ， 解得：， 当时，方程是一元一次方程； 当时，可得：， 可得方程为， 当时，方程是一元一次方程； 当时，可得：， 解得：， 此时方程为， 当时，方程是一元一次方程； 综上所述，当取，，，，时，原方程为一元一次方程． 13．已知方程：的两根为、，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和与两根之积，代入目标代数式计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴根据根与系数的关系可得，， 将上述结果代入代数式，计算得． 14．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 【答案】 【分析】根据对称性可得厘米，再根据黄金比值可得答案． 【详解】解：由题意得，厘米， ∵， ∴， ∴厘米． 15．如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 【答案】6 【分析】由平行得出，进而求出，，求出，，即可求出结论． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 16．如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 【答案】或或 【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．计算下列各题 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解： 解得：，； （2） ，， 解得：，； （3） 或， 解得： 19．在数学课外学习活动中，小王遇到一道题：已知，求的值． 他是这样解答的： ， ，，即． ， ． 请你根据小王的解题过程，解决如下问题： (1)试化简________； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式对分母有理化，化简二次根式； （2）将各项分母有理化后，抵消中间项简化计算； （3）先化简a的取值，再通过完全平方公式变形，整体代入代数式求值． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ，即， ， ． 20．【回归课本】一元二次方程有两个根，，则可得到一元二次方程根与系数的关系：，． (1)已知关于x的一元二次方程有两个实数根，， ①当时，则的值为________． ②已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，求实数k的取值范围． 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． (2)利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】（1）①根据一元二次方程根与系数的关系，代入k值，化简等式，然后再求出代数式的值； ②一元二次方程有两个实数根，因此判别式，代入系数计算判别式，解不等式求出k的取值范围． （2）根据一元三次方程根与系数的关系，求出、以及的值，然后对所求式子变形，用上述计算出的式子来表示，然后利用配方法求最值就可． 【详解】（1）解：① 对于一元二次方程， 根据根与系数的关系得：，， 当时，代入得：，， ∴． ②∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得． （2）解：一元三次方程中，，，，，且有三个根，，， ∴， ， ， ∴ ． ∵，​ ∴当时，原式取得最小值． 21．如图，已知：在四边形中，，点E，F分别在，上，，． (1)求证： (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ∵在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，即， ∵， ， ， 由（1）有， ， ． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定可得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 22．根据以下素材，完成任务： 背景 春节动画电影“哪吒”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材 某影院正月初一的票房收入为万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元． 素材 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盒进行销售．手办盒是一个无盖长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去个同样大小的正方形，然后折叠成一个无盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 问题解决 (1)任务：根据素材，求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． (2)任务：根据素材，求纸盒的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，整理后利用直接开平方法求出符合要求的解； （2）设纸盒的高为，根据手办盒的展开图，以纸盒的底面面积建立等量关系，列出一元二次方程，整理后利用因式分解法求出符合要求的解． 【详解】（1）解：设每天的平均增长率为，则根据题意， ， ， 或 解得，（舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为． （2）解：设纸盒的高为，则根据题意， ， 解得，． ，， ， ． 答：纸盒的高为． 23．完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 24．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 (1)用含的代数式表示线段__________，__________； (2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在说明理由； (3)连接、，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在；或 (3)存在； 【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，列出一元二次方程进行求解即可； （3）作于点，证明，求出的长，根据中垂线的性质得到，由（2）可知，进而得到，三线合一，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）解：存在； 由（1）知：，， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或； 故当或时，； （3）解：存在； 作于点，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 当点P在线段的垂直平分线上时，则：， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上册期中素养评估卷 （测试范围：第20～22章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 2．最简二次根式和可以合并，那么（     ） A．2 B． C．3 D． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 4．下列方程：①，②，③，④，⑤，一元二次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 6．若是方程的根（），则等于（     ） A． B． C． D． 7．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 8．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成图示样子，A为公共顶点，，下列结论正确的是（     ） ①    ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 9．如图，点是内一点，点在线段的延长线上，与交于点，分别连接，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B．，， C． D． 10．已知多项式，多项式，其中，，均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数使得； ③若，，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则______． 12．关于x的方程． （1）当________时，此方程是一元二次方程； （2）当________时，此方程是一元一次方程． 13．已知方程：的两根为、，则代数式的值为__________． 14．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 15．如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________． 16．如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．计算下列各题 (1)； (2)； (3) 18．解方程： (1) (2) (3) 19．在数学课外学习活动中，小王遇到一道题：已知，求的值． 他是这样解答的： ， ，，即． ， ． 请你根据小王的解题过程，解决如下问题： (1)试化简________； (2)化简； (3)若，求的值． 20．【回归课本】一元二次方程有两个根，，则可得到一元二次方程根与系数的关系：，． (1)已知关于x的一元二次方程有两个实数根，， ①当时，则的值为________． ②已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，求实数k的取值范围． 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． (2)利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值． 21．如图，已知：在四边形中，，点E，F分别在，上，，． (1)求证： (2)若，求证：． 22．根据以下素材，完成任务： 背景 春节动画电影“哪吒”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材 某影院正月初一的票房收入为万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元． 素材 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盒进行销售．手办盒是一个无盖长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去个同样大小的正方形，然后折叠成一个无盖的盒子制成．已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 问题解决 (1)任务：根据素材，求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． (2)任务：根据素材，求纸盒的高． 23．完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 24．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 (1)用含的代数式表示线段__________，__________； (2)连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在说明理由； (3)连接、，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $