湖南永州市零陵区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年下期期中质量监测 九年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是 A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，则下列等式错误的是 A． B． C． D． 3．下列两个图形中，一定是相似图形的是 A．任意两个等腰三角形 B．任意两个矩形 C．任意两个菱形 D．任意两个正方形 4．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 A． B． C． D． 5．在中，，为锐角，满足，则是 A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 6．关于的一元二次方程的根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 7．如图，点，，在边长为1的正方形网格格点上，则的值为 A．2 B． C． D． 8．依托2026湘超联赛热度，大量球迷前往零陵古城柳子街游览．据估算，柳子街3月客流量为20万人次，借助赛事热度连续两个月保持相同月增长率，5月客流量达到28.8万人次．设客流量月平均增长率为，则下列所列方程正确的是 A． B． C． D． 9．如图，已知，点在上，添加下列条件中的一个：①；②；③；④，能判定的条件的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点；作，交的延长线于点，则下列矩形是黄金矩形的是 A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，则_______． 12．在中，，，，则的值为_______． 13．若关于x的方程有一个根为，则a的值是_______． 14．阅读下面材料：，，则；，，，已知为锐角（）且，则_______． 15．湖南省足球超级联赛（湘超）是湖南省本土顶级业余足球赛事，永州“永冲锋”足球队代表永州出战，比赛期间零陵工人文化宫聚集了大量市民观看比赛．商家推出融合零陵古城、柳子文化元素的纪念徽章，徽章每枚进价4元．根据现场调研：当售价定为每枚6元时，单场可卖出200枚；若每枚徽章涨价1元，销量就减少20枚．商家希望单场获得700元的利润，同时尽量减少库存，则每枚徽章应涨价为_______元． 16．在书法文化研学课上，研究怀素碑刻拓片上的几何图形，如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17．（本小题满分8分）（1）计算：；（2）解方程：． 18．（本小题满分6分）如图，在等腰中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 19．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． （1）以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）直接写出点的坐标为________，点的对应点的坐标为________，点的对应点的坐标为________； （3）在（1）中，若点为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标为________． 20．（本小题满分8分）为践行五育并举，落实立德树人根本任务，零陵区某学校特地开设劳动实践课．在劳动实践课上，李老师带领九年级一班的学生去学校的劳动德育实践基地，该基地为四边形，连接对角线，将四边形分成和两块种植区域．同学们的测量数据如下：，，，，． （1）求证：； （2）同学们计划在两块区域播种蔬菜种子，已知小地块需要种子1.2 kg，若单位面积播种种子重量相同，求大地块需要准备多少千克种子． 21．（本小题满分10分）零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，． （1）求这段斜坡的水平宽度； （2）景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度． 22．（本小题满分10分）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 23．（本小题满分10分）【问题呈现】我们定义：在凸四边形中，若对角线相等，且至少有一个内角是直角，则称这个四边形为怀素四边形． （1）下列四边形中，一定是“怀素四边形”的是________；（填序号） ①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形； 【解决问题】（2）如图1，正方形边长为12，点，分别在，边上，满足，连接，，．过作交于点，连接．若四边形是“怀素四边形”． ①求证：； ②求线段的长； 【应用拓展】（3）如图2，在中，，，，点在右侧平面内，四边形为“怀素四边形”．过点作，交延长线于，且与相似，请直接写出的长． 24．（本小题满分12分）零陵柳子庙研学实践活动，同学们利用矩形手工卡纸开展折叠数学探究活动．现有矩形卡纸，，，同学们尝试通过折叠构造特殊角，开展几何探究： （1）如图1，先把矩形纸片对折，使与重合，展开得到折痕；再次折叠纸片，使点落在折痕上的点处，则的长为________，的度数为________； （2）连接，若，求的值； （3）将剪下来，点在边上，点在边上，将沿直线折叠，使点落在点处．如图2，点，在上，满足，且落在线段上(包含端点)．若，求出的值（用含的代数式表示），并求出的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年下期期中质量监测 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案；请将正确选项填涂到答题卡上 相应的位置.每小题3分，共30分) 题号 1 2 3 8 9 10 答案 C D B D B B A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1.2 12.2 13.1 14. 15.3 16.2W5-2 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17.(本小题满分8分) 11 解：（1)原式=2×。 2°2 (2分) 11 (3分) 2 --l (4分) (2)(k+1x-3)=0… (6分) 5=-1,X2=3… (8分) 18.(本小题满分6分) 解：(1)，BD⊥AC ∴.∠BDA=90° 在Rt△ABD中，COSA= 5,AB=10 ·c0sA=AD3 AB 5 AD=X10=6 …(3分) (2),BD⊥AC,AB=BC=10 .∠BDA=90°，AC=2AD=12 (4分) 在Rt△ABD中，BD=VAB2-AD=V102-62=8… (5分) Sa心=ACBD号12x8=48… (6分) 2026年下期期中质量监测·九年级数学（参考答案）第1页（共5页） 19.(本小题满分8分) Ay 1-1-1-1-1- -1-1- B 解：(1) -1- …（3分) -C1-+ ri-ri-i-i-10 A- (2)A(-2,4),B′(-10,8)，C”(-8,2)…(6分) （3)M′（-2a,-2b)…(8分) 20.(本小题满分8分) 解：（1)，AB=8m,AD=6m,BD=4m,BC=2m,，CD=3m 'BD 4 AD_6=2,BC2 BD 4 &AB=&=2,CD3 ==2…（2分) 铝品 =2 ∴.△ABD∽△DBC (4分) (2).△ABD∽△DBC, AB =2. (5分) BD SABD ABY =22=4 (7分) SADBC BD .△BCD需要种子1.2g .△ABD需要种子1.2×4=4.8kg.…(8分) 21.(本小题满分10分) 解：(1)，BC⊥AC .∠C=90°，则△ABC是直角三角形… (1分) ,斜坡AB的坡比i=1:2.4,AB=13m .设BC=x,则AC=2.4x… (2分) BC2+AC2=AB2,即x2+(2.4x)}=132… (4分) ∴.x=5,即BC=5,AC=12 (5分) (2),BD⊥AC,∠CAD=30 ∴.tan∠CAD= CD AC .'tan 300= CD 3 123 (8分) CD=4V3… (9分) 2026年下期期中质量监测·九年级数学（参考答案)第2页（共5页) ∴.BD=CD-BC=4W3-5 护栏BD的高度4√5-5m.… (10分) 22.(本小题满分10分) 解：(1)由题意得： △=(-2)2-4×1×ni+-2）=4m-4n-4+8=4+8≥0·(4分) 解得：≤2…（5分) （2)由题意得：5=m+-2,5+5=2… (6分) .5--63=2+m-2-2=7--2=4… (7分) ∴.m2-m-6=0 ∴.(m+2)(m-3)=0解得m=-2,m,=3 (9分) 又.m≤2 ,l=-2… (10分) 23.(本小题满分10分) 解：(1)③④；… …（2分) (2)①证明：如图，四边形ABCD为正方形 ∴.AB=AD,∠B=∠D=90° 又，BM=DN .∴.△BAM≌△DAN(SAS)… (3分) ∴.AM=AN ,四边形APMN是“怀素四边形” .PN=AM… (4分) ∴.PN=AN:… (5分) ②作NE垂直于AB交AB于E ,四边形ABCD是正方形 ∴.∠D=∠DAE=∠C=∠B=90°，DC=BC ∴.∠D=∠DAE=∠NEA=90° ∴.DAEN是矩形 ∴.DN=AE 由①得：NA=NP ,NE⊥AB .EA=EP… (6分) CM =CN ∴.△MNC为等腰直角三角形，BM=DN .∠CMN=45° ,PM⊥MN ∴.∠PMB=45° ∴.△PMB为等腰直角三角形 ∴.PB=MB .AE=EP=PB…(7分) .AB=12 2026年下期期中质量监测·九年级数学（参考答案)第3页（共5页) 312=4. .PB= (8分) D W M E (3) 2W21-24V6-4 或 (10分) 5 5 24.(本小题满分12分) 解：（1)10,30°…(4分) (2)由图可知AMNB是矩形 ∴.MN=AB=15√3，∠AME=∠MNB=90°，MN∥AB ,'∠AEM=30° .NE=MNW-MB=15V5-10×cos∠AEM=10W3…(5分) ,MN∥AB .∠ABE=∠BEN EB=BN+EN=52+(103)=5/13- (7分) ·.COS∠ABE=coS∠BEN= EW10V52√39 EB5V1313 (8分) (3)由折叠可知，D'G=DG,DH=DH,∠HD'G=∠HDG .'D'A=kD'E,D'A+D'E=AF=10 k+1,DA=10k ·D'E=I0 k+1 CAGAD=AG+AD+GD=AG+GD+AD=10 0k20k+10 k+1-k+1 CAm=HE+HD+ED-HE+HD+ED=10+1010k+20. (9分) k+1k+1 ,AD=AE=10,∠DAE=60° '.△DAE是等边三角形 .∠D=∠A=∠E=60° ∴.∠GDH=∠A=∠E=60° .∠AGD'=∠HD'E .△AGD∽△EDH: (10分) 2026年下期期中质量监测·九年级数学（参考答案)第4页（共5页) 20k+10 :GD_C6@=,k+ 20k+102k+1 HD CAHSD 10k+20-10k+20k+2 k+1 .GD_GD 2k+1 (11分) HD HD k+2 PO=3AP=3OE,PO+AP+OE=AE=10 .PO=6,AP=OE=2 当点D与点P重合时，则k= 4 当点D'与点Q重合时，则k=4 ,点D落在线段PQ上（包括端点） 4 3 当k=4时，GD_2k+1-2-3有最大值号.… (12分) HD k+2 k+2 2026年下期期中质量监测·九年级数学（参考答案)第5页（共5页）