2.4 单摆（分层作业）物理人教版选择性必修第一册

2.4 单摆（分层作业） 目录 【A 基础达标题】 一、单摆模型与回复力 二、单摆的运动状态与振动图像 三、单摆的周期与周期公式 四、等效单摆 【B 能力提升题】 【C 拓展培优题】 【A 基础达标题】 一、单摆模型与回复力 1．（25-26高二上·四川资阳·开学考）单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　） A. 单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B. 单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定 C. 当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D. 单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 【答案】C 【详解】A．由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误； B．由单摆做简谐运动的周期公式 即振动周期与摆球的质量和摆角无关，故B错误； C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是单摆的向心力不为零，所受合力不为零，故C正确； D．单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简简谐运动的规律，故D错误。 故选C。 2．（25-26高二上·黑龙江桦南县·期末）如图所示为一位同学正在荡秋千的简图，当秋千荡至最高点时绳与竖直方向的夹角为。忽略运动中空气对人的阻力，人可视为质点，人在秋千上摆动时可以简化为单摆。下列说法正确的是（　　） A. 当秋千荡至最高点时，绳中的张力为0 B. 当秋千经过最低点时，人处于平衡状态 C. 增大，秋千摆动的周期也将增大 D. 换另一位质量更大的同学荡秋千时，秋千摆动的周期不变 【答案】D 【详解】A．当秋千荡至最高点时，人的速度为零，在沿绳方向上 即 ，A错误； B．当秋千经过最低点时，人具有最大的速度，合力指向圆心，加速度也不为零，B错误； C．简化为单摆，，周期与振幅θ无关，C错误； D．单摆周期，周期与质量无关，D正确。 故选D。 3．（25-26高二下·四川眉山第一中·阶段检测）（多选）关于单摆，下列说法中正确的是（　　） A. 单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，其中是摆线与竖直方向之间的夹角，g为重力加速度 B. 单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C. 单摆的摆球在平衡位置时（最低点）的加速度为零 D. 单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关 【答案】AD 【详解】AB．单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受重力和摆线的拉力两个力的作用，提供回复力的是重力沿圆弧切线方向的分力，而不是重力和摆线拉力的合力，故A正确，B错误； C．摆球在平衡位置时有向心加速度，加速度不为零，故C错误； D．通常情况下单摆的振动不是简谐运动，只有在偏角很小的情况下才可近似为简谐运动，单摆做简谐运动的条件下，周期与振幅无关，故D正确。 故选AD。 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）单摆在小角度范围内摆动，摆球0时刻从最高点由静止释放，摆动过程中动能和重力势能随时间变化的图像如图所示，虚线表示摆球　　　　　　　　的变化（选填“动能”或“重力势能”），在至时间内，小球受到的回复力　　　　　　　　（选填“增大”或“不变”或“减小”）。 【答案】① 重力势能    ② 增大 【详解】[1]摆球0时刻从最高点由静止释放，此时速度为0，动能为0，而位置最高，重力势能最大。由图像可知，0时刻虚线的能量最大，实线能量为0，因此虚线表示重力势能的变化； [2]时刻动能最大，对应摆球在最低点（平衡位置），此时偏离平衡位置的位移为0，回复力为0；时间内，动能逐渐减小到0，摆球从最低点向最高点运动，偏离平衡位置的位移逐渐增大，单摆回复力满足 因此回复力增大。 二、单摆的运动状态与振动图像 5．（25-26高二上·山东日照实验·阶段检测）把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，已知绳子等长且不可伸长，二人均可看成质点，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（　　） A. 图中b点对应荡秋千时的最低点，此时回复力为零 B. 小王荡秋千时，其周期大于6.28s C. 小明荡到图中对应的b点时，动能最小 D. 该秋千的绳子长度约为5m 【答案】A 【详解】A．根据简谐振动的回复力可知，在最低点（即平衡位置），位移，此时回复力为0，故A正确； B．根据单摆的周期可知，单摆的周期与摆球的质量无关，因此小王荡秋千时，其周期也等于6.28s，故B错误； C．小明荡到图中对应的b点时，由图可知，b点为平衡位置，小明的速度最大，动能最大，故C错误； D．根据单摆的周期 解得，故D错误。 故选A。 6．（25-26高二下·广东广州·期中）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，最大摆角小于，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A. 小球摆动时的回复力来源为重力和绳拉力的合力 B. 若小球质量变大，摆动周期将会减小 C. 从到的过程中，摆球的回复力先减小后增大 D. 2.1s末和2.9s末，小球的势能和速度均相同 【答案】C 【详解】A．重力沿切线方向的分力提供小球摆动时的回复力，故A错误； B．根据周期表达式可知，若小球质量变大，摆动周期保持不变，故B错误； C．由题图可知，从到的过程中，小球从负向最大位移处运动到平衡位置，再运动到正向最大位移处，则摆球的回复力先减小后增大，故C正确； D．由题图根据对称性可知，2.1s末和2.9s末，小球的势能相同，速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选C。 7．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）清明节荡秋千是我国的传统习俗，如图所示。秋千由踏板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆。等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A. 经过最低点时“摆球”处于平衡状态 B. “摆球”偏离最低点位移为x时，回复力 C. 偏离最低点运动的过程中，“摆球”的机械能逐渐增大 D. 经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的振幅将增大 【答案】B 【详解】A．摆球经过最低点时具有向心加速度，所以摆球处于非平衡状态，故A错误； B．根据简谐运动公式，当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看作直线，可知摆球偏离最低点位移为时，回复力为，故B正确； C．摆球偏离最低点运动的过程中，动能向重力势能转化，但机械能保持不变，故C错误； D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的能量未增大，则振幅不变，故D错误。 故选B。 8．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）一摆长为99.5cm的单摆悬点不动时，振动图像如图中实线所示，若把悬点固定在竖直运动的某电梯中，振动图像如图中虚线所示。取π2=9.87，下列说法正确的是（　　） A. 电梯向上做匀加速运动 B. 电梯向下做匀减速运动 C. 电梯的加速度大小约为1.95m/s2 D. 电梯的加速度大小约为1.87m/s2 【答案】D 【详解】根据题意可知，在电梯中周期变大，根据可知，等效加速度变小，所以电梯加速度向下，电梯可能向下加速或向上减速，在电梯中有， 不在电梯中有， 且 联立解得 故选D。 9．（25-26高二下·河南方城县·调研测试）一条较长细线下面挂一个小球就可构成一个单摆。单摆在竖直平面内自由摆动，其做简谐运动的图像如图所示。则下列说法正确的是（　　） A. 该单摆的频率为2Hz B. 该单摆的摆长大约为2m C. 根据图中的数据不能估算出它摆动的最大摆角 D. 若将此单摆从山脚移到山顶，单摆的周期将会变大 【答案】D 【详解】AB．由题图可知该单摆周期为 则频率为 根据单摆周期公式 可得该单摆摆长为 故AB错误； C．由图可知该单摆的振幅为4cm，摆线长为100cm，所以可得它摆动的最大摆角满足 能估算出它摆动的最大摆角，故C错误； D．若将此单摆从山脚移到山顶，g值减小，则单摆的周期T将会变大，故D正确。 故选D。 10．（24-25高二下·陕西礼泉县·期中）（多选）如图所示，一根较长的细线一端固定，另一端系上沙漏，装置底部有一可以向前移动的长木板。当沙漏左右小幅度摆动时，漏斗中的沙子均匀流出，同时匀速拉动长木板，漏出的沙子在板上形成一条正弦曲线。在曲线上有两个位置P和Q。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. 若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在Q点开始计时 B. 随着沙子从漏斗中流出，沙漏摆动的周期将变小 C. 位置P处的沙层比Q处的沙层薄一些 D. 为在木板上形成更多完整的正弦曲线，应该适当减小拉动速度 【答案】CD 【详解】A．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在平衡位置P点开始计时，以减小计时误差，故A错误； B．随着沙子从漏斗中流出，沙漏的重心先降低后恢复到原来的位置，则摆长先增加后减小，根据周期为，可见单摆的周期先增加后减小，故B错误； C．由题图可知，Q点位于最大位移处，P点位于平衡位置，沙漏摆动至Q点上方最近时速度最小，运动最慢，所以细沙在Q处堆积的沙子较多，故C正确； D．根据可知，v越小，t越大；沙漏摆动的周期不变，所以拉动长木板速度慢些，即可形成更多完整的正弦曲线，故D正确。 故选CD。 三、单摆的周期与周期公式 11．（24-25高二上·贵州遵义·期末）下列有关摆长的说法正确的是（       ） A. 摆长等于摆线的长度 B. 摆长越长越好 C. 摆长是摆线长度和小球直径之和 D. 摆长是摆线长度和小球半径之和 【答案】D 【详解】ACD．摆长是摆线长度和小球半径之和，故AC错误，D正确； B．虽然摆长越长更容易测量周期，但在实际环境中可能受到更多外界干扰，如空气阻力等，所以在实验中不一定是摆长越长越好，而是要选择一个合当的摆长，便于减少实验误差，故B错误。 故选D。 12．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒盟·阶段检测）云端彩虹秋千位于重庆云阳龙缸景区，高度108米，2020年获吉尼斯世界纪录认证为世界最高框架秋千，某游客以小于摆角体验秋千时，下列说法正确的是（        ） A. 游客负重增加时，摆动周期会缩短 B. 秋千摆长缩短，其摆动周期也会缩短 C. 秋千摆至最低点时，游客处于平衡状态 D. 秋千摆至最高点时游客速度、加速度均为零 【答案】B 【详解】A．摆角小于时，秋千可看作单摆，单摆周期公式，可知周期与摆的质量无关，因此游客负重不会改变摆动周期，故A错误； B．由可知，摆动周期随摆长减小而减小，因此摆长缩短时，摆动周期缩短，故B正确； C．秋千摆到最低点时，仍做圆周运动，合力向上提供向心力，合力不为零，因此不是平衡状态，故C错误； D．秋千摆到最高点时速度为零，但重力沿摆切线方向的分力不为零，合力不为零，因此加速度不为零，故D错误。 故选B。 13．（25-26高二下·陕西渭南大荔县·阶段检测）周期是2 s的单摆叫秒摆。地面上某秒摆的摆长为l，振幅为A，被火星探测器携带至火星表面，已知火星表面的重力加速度为0.4g（g为地球表面的重力加速度）。如果在火星表面，仍然保持该秒摆的周期是2 s，则可以（　　） A. 仅将摆长调整为2.5l B. 仅将摆长调整为0.4l C. 仅将振幅调整为2.5A D. 仅将振幅调整为0.4A 【答案】B 【详解】AB．根据单摆的周期 单摆的周期与摆长及重力加速度有关，在地球表面上 在火星表面 根据题意可知，单摆的周期不变，故有 解得 A错误，B正确； CD．根据上述分析可知，单摆的周期与振幅无关，只与摆长及重力加速度有关，CD错误。 故选B。 14．（26-27高二上·广西河池东兰县·阶段检测）某单摆在地球上做振幅为A的简谐运动时，周期为T。若将该单摆放到重力加速度为地球表面的星球表面做振幅为的简谐运动时，其周期为（        ） A.  B. 3T C.  D. 4T 【答案】B 【详解】由单摆周期公式 可知单摆的振动周期与振幅无关，当把该单摆放在重力加速度为地球表面的星球表面上摆动时，周期变为 故选B。 15．（24-25高二下·天津武清区·月考）（多选）用一轻绳和体积足够小的小球制成单摆，让其在赤道附近的竖直平面内做简谐运动，测得其振动周期为。则下列判断正确的是（　　） A. 若将装置移至北极，测得的周期 B. 若减小小球摆角，测得的周期 C. 若小球质量加倍，测得的周期仍为 D. 若轻绳长度加倍，测得的周期变为 【答案】AC 【详解】A．根据单摆周期公式 若将装置移至北极，则重力加速度变大，可知周期减小，即测得的周期，选项A正确； B．若减小小球摆角，单摆的周期不变，即测得的周期，选项B错误； C．根据单摆周期公式 若小球质量加倍，测得的周期不变，仍为，选项C正确； D．根据单摆周期公式 若轻绳长度加倍，测得的周期变为，选项D错误。 故选AC。 16．（25-26高三上·上海·期中）摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。图示为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则（　　） A. 摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B. 摆钟在太空实验室内可以正常使用 C. 该摆钟从北京带到上海，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动 D. 该摆钟在夏季走时准确，到冬季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动 【答案】D 【详解】A．回复力是指向平衡位置的力，摆动过程中，金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，金属圆盘所受合力还有一部分提供向心力，故A错误； B．金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，该摆钟在太空实验室内处于失重状态，因此不可正常使用，故B错误； C．该摆钟从北京带到上海，重力加速度减小，由单摆的周期公式 可知周期变大，摆钟变慢，为走时准确，需要摆钟的摆长变短，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，故C错误； D．该摆钟在夏季走时准确，到冬季温度降低，由于热胀冷缩，摆长变短，为了准时，需要摆长变长，因此考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动，故D正确。 故选D。 17．（24-25高二下·四川内江·期末）如图，老式摆钟的摆锤可视为单摆，摆长为，当地的重力加速度为。摆钟的秒针、分针、时针均绕中心做匀速圆周运动，摆锤的最大摆角小于5°。下列说法正确的是（　　） A. 秒针的角速度是时针的360倍 B. 若将摆钟移到月球上，摆钟走得更慢，需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟 C. 摆锤在最低点时速度最大，加速度为零 D. 若把摆钟置于加速上升的电梯中，摆钟走得更慢 【答案】B 【详解】A．秒针转动一周为60s，时针转动一周为12小时=12×3600秒；根据可知，秒针的角速度是时针的720倍，选项A错误； B．若将摆钟移到月球上，重力加速度减小，根据 可知，周期变大，则摆钟走得更慢，则需要减小摆长，即需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟，选项B正确； C．摆锤在最低点时速度最大，但向心加速度不为零，即加速度不为零，选项C错误； D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，等效加速度g等变大，则周期变小，摆钟走得更快，选项D错误。 故选B。 18．（24-25高二下·河南洛阳·期中）一同学在探究单摆的运动规律时，测得单摆30次全振动所用的时间为60s。已知当地的重力加速度m/s2。则下列说法正确的是（　　） A. 该单摆做简谐运动时，重力就是回复力 B. 该单摆的摆长约为1.44m C. 若把该单摆摆球的质量减小为原来的一半，则其振动的周期为s D. 若把该单摆放在月球上，则其摆动周期变大 【答案】D 【详解】A．单摆做简谐振动的回复力是重力沿切线方向的分力，A错误； B．由题可知单摆的周期 根据单摆的周期 解得单摆的摆长为 B错误； C．根据单摆的周期 可知，单摆的周期与摆球的质量无关，C错误； D．由于月球上的重力加速度小于地球上的重力加速度，根据单摆的周期公式 可知，同一单摆，在月球上的周期大于在地球上的周期，D正确。 故选D。 四、等效单摆 19．（25-26高二上·山东枣庄滕州·期末）如图所示，轻绳下端系一小球（可看作质点），上端固定在点。在点正下方点有一根钉子，两点的距离为轻绳长度的倍。现将小球向左拉开微小角度，由静止释放，此后运动过程中轻绳与竖直方向的夹角始终小于，从小球第1次通过最低点开始计时，至第41次经过最低点用时30s。不计空气阻力，当地重力加速度，则轻绳的长度约为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】从小球第一次通过最低点开始计时，小球第41次经过最低点用时30s，所以有 根据题意 解得 故选C。 20．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图是游乐场常见的秋千的示意图，图中绳长为L，轻绳与水平固定杆的夹角为α，在秋千做小角度自由摆动时（未坐人），座椅每次经过最低点的时间间隔可表示为（已知重力加速度为g）（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】座椅做单摆运动，竖直方向摆长为，故单摆周期 座椅每次经过最低点的时间间隔 故选D。 21．（2026·福建福州第一中·质量检测）如图所示，三根细线在点处打结，、端固定在同一水平面上，使，，已知线长，点系着一个小球，其表面包有一小块橡皮泥。让小球在垂直纸面内振动，小球可视为质点且做极小角度摆动，重力加速度大小为，则周期　　　　　　。当小球运动到最低点时橡皮泥脱落（不考虑单摆摆长的变化及这一极短暂过程小球速度的变化），此后单摆周期　　　　　　（填“变大”、“变小”或“不变”），单摆振幅　　　　　　（填“变大”、“变小”或“不变”）。 【答案】①     ② 不变    ③ 不变 【详解】[1]根据题意可知，让小球垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，由几何关系可得，等效摆长为 则周期 [2]当小球运动到最低点时橡皮泥脱落，不考虑单摆摆长的变化，则单摆周期不变。 [3]设小球能够到达最高点的高度为，运动到最低点时速度为，由机械能守恒定律有 解得 当小球运动到最低点时橡皮泥脱落，不考虑这一极短暂过程小球速度的变化，则小球能够到达最高点的高度不变，可知，单摆振幅不变。 22．（25-26高二下·陕西渭南韩城·期中）如图所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，当地的重力加速度为g，求单摆的摆动周期。 【答案】 【详解】单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，根据牛顿第二定律有 此时摆球的视重为 所以单摆的等效重力加速度为 则单摆的摆动周期为 【B 能力提升题】 23．（24-25高二下·安徽天一·联考）图1是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图2是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中F的最大值。已知小球质量m=0.1kg，小球的直径d=1.0cm，取重力加速度，取9.8，不计细线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 小球重力势能的变化周期是2s B. 细线的长度是0.99m C. 当t=1.25s时小球的加速度为0 D. 等于0.965N 【答案】D 【详解】AB．单摆每经过最低点动能最大，势能最小，细线拉力最大，由图2可知两次经过最低点的时间间隔是1s，小球重力势能变化周期是1s，单摆的周期是2s，根据单摆的周期公式，得摆长L=1.0m 小球的直径d=1.0cm，细线的长度，故AB错误； C．当t=1.25s时细线拉力最大，小球位于最低点，有向心加速度，故C错误； D．设单摆最大摆角为θ，最低点速度大小为v，则有，， 解得 故D正确。 故选D。 24．（25-26高二下·河北雄安新区部分·月考）（多选）如图甲所示，将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行，让秋千以小摆角自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的图像如图乙所示，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. 秋千摆动的周期为 B. 时，秋千的回复力最大 C. 秋千摆动的过程中，回复力由重力沿运动方向的分力提供 D. 该地的重力加速度大小为 【答案】AC 【详解】A．由图乙可知，加速度在、、时刻为零，在中间时刻最大。单摆运动中，在最高点速度为零，向心加速度 在最低点速度最大，向心加速度最大。且向心加速度方向始终指向悬点（垂直于运动轨迹切线，即垂直于水平放置的手机平面），大小非负。故图乙表示向心加速度随时间的变化。从到，秋千从一侧最高点运动到另一侧最高点，经历半个周期，即 解得，故A正确； B．时刻，处于和的中间，对应秋千经过最低点（平衡位置）。此时位移为零，回复力为零，故B错误； C．单摆摆动过程中，回复力是由重力沿圆弧切线方向（即运动方向）的分力提供的，故C正确； D．由单摆周期公式 可得 解得，故D错误。 故选AC。 25．（25-26高二上·四川达州·月考）惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在之间做简谐运动，摆角为。摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、、均已知。下列说法正确的是（       ） A. 单摆次全振动的时间为 B. 单摆从A点摆至点所需的时间为 C. 多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立 D. 多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立 【答案】C 【详解】AB．单摆在运动过程中，A、C两位置摆线的拉力最小，根据图2可知，相邻两个摆线拉力最小的位置的时间间隔为半个周期，可知，单摆次全振动的时间为 故AB错误； CD．根据单摆周期公式有 可知，多次改变斜面倾角，只要得出就可以验证该结论成立，故C正确，D错误。 故选C。 26．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图所示，光滑圆弧轨道的圆心为O′、最低点为O，A、B点关于O点对称，∠AO′O＜5°。将小球（小球半径远小于圆弧轨道半径）拉至A点由静止释放，小球经2 s第一次运动至B点，取重力加速度大小g＝10 m/s2，π2＝10，则圆弧轨道的半径为　　　　　　　　　m，小球经过O点时的加速度　　　　　　　　　（填“为”或“不为”）0。 【答案】① 4    ② 不为 【详解】[1] 小球的运动可近似看成简谐运动，小球从A点由静止释放经2 s第一次运动至B点。则 得 又周期为 得 [2] 小球经过O点时具有向心加速度，故加速度不为0。 【C 拓展培优题】 27．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A. 摆长为，起始时刻速度最大 B. 摆长为，起始时刻速度为零 C. 摆长为，、点的速度相同 D. 摆长为，、点的速度相同 【答案】C 【详解】根据题图可知，单摆的周期，结合单摆的周期公式可得单摆的摆长，起始时刻，单摆的位移最大，加速度最大，速度为零，、两点速度大小相等，方向相反，、两点速度相同，A、B、D错误，C正确。 28．（2022·海南·高考真题）在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为（     ） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4 【答案】C 【详解】由振动图像可知甲乙两个单摆周期之比为 T甲：T乙 = 0.8：1.2 = 2：3 根据单摆周期公式 可得 则甲、乙两个单摆的摆长之比为 L甲：L乙 = T甲2：T乙2 = 4：9 故选C。 29．（2026·河南·高考真题）将一单摆的摆球拉开一个小角度后释放，单摆摆动的振幅为，周期为。若将此摆移到月球上，拉开相同的角度，则摆球的振动图像可能正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】根据单摆周期公式可知，当移到月球上后，重力加速度减小，单摆的周期变大；摆长不变，拉开相同的角度，振幅不变。 故选B。 30．（2022·浙江·高考真题）图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A后释放，小球在O点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是（　　） A. 甲图中的小球将保持静止 B. 甲图中的小球仍将来回振动 C. 乙图中的小球仍将来回摆动 D. 乙图中的小球将做匀速圆周运动 【答案】B 【详解】AB．空间站中的物体处于完全失重状态，甲图中的小球所受的弹力不受失重的影响，则小球仍将在弹力的作用下来回振动，A错误，B正确； CD．图乙中的小球在地面上由静止释放时，所受的回复力是重力的分量，而在空间站中处于完全失重时，回复力为零，则小球由静止释放时，小球仍静止不动，不会来回摆动；也不会做匀速圆周运动，若给小球一定的初速度，则小球在竖直面内做匀速圆周运动，C、D错误。 故选B。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 单摆（分层作业） 目录 【A 基础达标题】 一、单摆模型与回复力 二、单摆的运动状态与振动图像 三、单摆的周期与周期公式 四、等效单摆 【B 能力提升题】 【C 拓展培优题】 【A 基础达标题】 一、单摆模型与回复力 1．（25-26高二上·四川资阳·开学考）单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　） A. 单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B. 单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定 C. 当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D. 单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 2．（25-26高二上·黑龙江桦南县·期末）如图所示为一位同学正在荡秋千的简图，当秋千荡至最高点时绳与竖直方向的夹角为。忽略运动中空气对人的阻力，人可视为质点，人在秋千上摆动时可以简化为单摆。下列说法正确的是（　　） A. 当秋千荡至最高点时，绳中的张力为0 B. 当秋千经过最低点时，人处于平衡状态 C. 增大，秋千摆动的周期也将增大 D. 换另一位质量更大的同学荡秋千时，秋千摆动的周期不变 3．（25-26高二下·四川眉山第一中·阶段检测）（多选）关于单摆，下列说法中正确的是（　　） A. 单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，其中是摆线与竖直方向之间的夹角，g为重力加速度 B. 单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C. 单摆的摆球在平衡位置时（最低点）的加速度为零 D. 单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）单摆在小角度范围内摆动，摆球0时刻从最高点由静止释放，摆动过程中动能和重力势能随时间变化的图像如图所示，虚线表示摆球　　　　　　　　的变化（选填“动能”或“重力势能”），在至时间内，小球受到的回复力　　　　　　　　（选填“增大”或“不变”或“减小”）。 二、单摆的运动状态与振动图像 5．（25-26高二上·山东日照实验·阶段检测）把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，已知绳子等长且不可伸长，二人均可看成质点，则下列说法正确的是（g取10m/s2）（　　） A. 图中b点对应荡秋千时的最低点，此时回复力为零 B. 小王荡秋千时，其周期大于6.28s C. 小明荡到图中对应的b点时，动能最小 D. 该秋千的绳子长度约为5m 6．（25-26高二下·广东广州·期中）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，最大摆角小于，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A. 小球摆动时的回复力来源为重力和绳拉力的合力 B. 若小球质量变大，摆动周期将会减小 C. 从到的过程中，摆球的回复力先减小后增大 D. 2.1s末和2.9s末，小球的势能和速度均相同 7．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）清明节荡秋千是我国的传统习俗，如图所示。秋千由踏板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆。等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A. 经过最低点时“摆球”处于平衡状态 B. “摆球”偏离最低点位移为x时，回复力 C. 偏离最低点运动的过程中，“摆球”的机械能逐渐增大 D. 经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的振幅将增大 8．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）一摆长为99.5cm的单摆悬点不动时，振动图像如图中实线所示，若把悬点固定在竖直运动的某电梯中，振动图像如图中虚线所示。取π2=9.87，下列说法正确的是（　　） A. 电梯向上做匀加速运动 B. 电梯向下做匀减速运动 C. 电梯的加速度大小约为1.95m/s2 D. 电梯的加速度大小约为1.87m/s2 9．（25-26高二下·河南方城县·调研测试）一条较长细线下面挂一个小球就可构成一个单摆。单摆在竖直平面内自由摆动，其做简谐运动的图像如图所示。则下列说法正确的是（　　） A. 该单摆的频率为2Hz B. 该单摆的摆长大约为2m C. 根据图中的数据不能估算出它摆动的最大摆角 D. 若将此单摆从山脚移到山顶，单摆的周期将会变大 10．（24-25高二下·陕西礼泉县·期中）（多选）如图所示，一根较长的细线一端固定，另一端系上沙漏，装置底部有一可以向前移动的长木板。当沙漏左右小幅度摆动时，漏斗中的沙子均匀流出，同时匀速拉动长木板，漏出的沙子在板上形成一条正弦曲线。在曲线上有两个位置P和Q。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. 若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在Q点开始计时 B. 随着沙子从漏斗中流出，沙漏摆动的周期将变小 C. 位置P处的沙层比Q处的沙层薄一些 D. 为在木板上形成更多完整的正弦曲线，应该适当减小拉动速度 三、单摆的周期与周期公式 11．（24-25高二上·贵州遵义·期末）下列有关摆长的说法正确的是（       ） A. 摆长等于摆线的长度 B. 摆长越长越好 C. 摆长是摆线长度和小球直径之和 D. 摆长是摆线长度和小球半径之和 12．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒盟·阶段检测）云端彩虹秋千位于重庆云阳龙缸景区，高度108米，2020年获吉尼斯世界纪录认证为世界最高框架秋千，某游客以小于摆角体验秋千时，下列说法正确的是（        ） A. 游客负重增加时，摆动周期会缩短 B. 秋千摆长缩短，其摆动周期也会缩短 C. 秋千摆至最低点时，游客处于平衡状态 D. 秋千摆至最高点时游客速度、加速度均为零 13．（25-26高二下·陕西渭南大荔县·阶段检测）周期是2 s的单摆叫秒摆。地面上某秒摆的摆长为l，振幅为A，被火星探测器携带至火星表面，已知火星表面的重力加速度为0.4g（g为地球表面的重力加速度）。如果在火星表面，仍然保持该秒摆的周期是2 s，则可以（　　） A. 仅将摆长调整为2.5l B. 仅将摆长调整为0.4l C. 仅将振幅调整为2.5A D. 仅将振幅调整为0.4A 14．（26-27高二上·广西河池东兰县·阶段检测）某单摆在地球上做振幅为A的简谐运动时，周期为T。若将该单摆放到重力加速度为地球表面的星球表面做振幅为的简谐运动时，其周期为（        ） A.  B. 3T C.  D. 4T 15．（24-25高二下·天津武清区·月考）（多选）用一轻绳和体积足够小的小球制成单摆，让其在赤道附近的竖直平面内做简谐运动，测得其振动周期为。则下列判断正确的是（　　） A. 若将装置移至北极，测得的周期 B. 若减小小球摆角，测得的周期 C. 若小球质量加倍，测得的周期仍为 D. 若轻绳长度加倍，测得的周期变为 16．（25-26高三上·上海·期中）摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。图示为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则（　　） A. 摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B. 摆钟在太空实验室内可以正常使用 C. 该摆钟从北京带到上海，为使走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动 D. 该摆钟在夏季走时准确，到冬季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动 17．（24-25高二下·四川内江·期末）如图，老式摆钟的摆锤可视为单摆，摆长为，当地的重力加速度为。摆钟的秒针、分针、时针均绕中心做匀速圆周运动，摆锤的最大摆角小于5°。下列说法正确的是（　　） A. 秒针的角速度是时针的360倍 B. 若将摆钟移到月球上，摆钟走得更慢，需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟 C. 摆锤在最低点时速度最大，加速度为零 D. 若把摆钟置于加速上升的电梯中，摆钟走得更慢 18．（24-25高二下·河南洛阳·期中）一同学在探究单摆的运动规律时，测得单摆30次全振动所用的时间为60s。已知当地的重力加速度m/s2。则下列说法正确的是（　　） A. 该单摆做简谐运动时，重力就是回复力 B. 该单摆的摆长约为1.44m C. 若把该单摆摆球的质量减小为原来的一半，则其振动的周期为s D. 若把该单摆放在月球上，则其摆动周期变大 四、等效单摆 19．（25-26高二上·山东枣庄滕州·期末）如图所示，轻绳下端系一小球（可看作质点），上端固定在点。在点正下方点有一根钉子，两点的距离为轻绳长度的倍。现将小球向左拉开微小角度，由静止释放，此后运动过程中轻绳与竖直方向的夹角始终小于，从小球第1次通过最低点开始计时，至第41次经过最低点用时30s。不计空气阻力，当地重力加速度，则轻绳的长度约为（　　） A.  B.  C.  D.  20．（25-26高二上·江苏扬州·期中）如图是游乐场常见的秋千的示意图，图中绳长为L，轻绳与水平固定杆的夹角为α，在秋千做小角度自由摆动时（未坐人），座椅每次经过最低点的时间间隔可表示为（已知重力加速度为g）（　　） A.  B.  C.  D.  21．（2026·福建福州第一中·质量检测）如图所示，三根细线在点处打结，、端固定在同一水平面上，使，，已知线长，点系着一个小球，其表面包有一小块橡皮泥。让小球在垂直纸面内振动，小球可视为质点且做极小角度摆动，重力加速度大小为，则周期　　　　　　。当小球运动到最低点时橡皮泥脱落（不考虑单摆摆长的变化及这一极短暂过程小球速度的变化），此后单摆周期　　　　　　（填“变大”、“变小”或“不变”），单摆振幅　　　　　　（填“变大”、“变小”或“不变”）。 22．（25-26高二下·陕西渭南韩城·期中）如图所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，当地的重力加速度为g，求单摆的摆动周期。 【B 能力提升题】 23．（24-25高二下·安徽天一·联考）图1是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图2是与力传感器连接的计算机所显示的图像，其中F的最大值。已知小球质量m=0.1kg，小球的直径d=1.0cm，取重力加速度，取9.8，不计细线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A. 小球重力势能的变化周期是2s B. 细线的长度是0.99m C. 当t=1.25s时小球的加速度为0 D. 等于0.965N 24．（25-26高二下·河北雄安新区部分·月考）（多选）如图甲所示，将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行，让秋千以小摆角自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的图像如图乙所示，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A. 秋千摆动的周期为 B. 时，秋千的回复力最大 C. 秋千摆动的过程中，回复力由重力沿运动方向的分力提供 D. 该地的重力加速度大小为 25．（25-26高二上·四川达州·月考）惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在之间做简谐运动，摆角为。摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中、、均已知。下列说法正确的是（       ） A. 单摆次全振动的时间为 B. 单摆从A点摆至点所需的时间为 C. 多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立 D. 多次改变摆角，只要得出就可以验证该结论成立 26．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图所示，光滑圆弧轨道的圆心为O′、最低点为O，A、B点关于O点对称，∠AO′O＜5°。将小球（小球半径远小于圆弧轨道半径）拉至A点由静止释放，小球经2 s第一次运动至B点，取重力加速度大小g＝10 m/s2，π2＝10，则圆弧轨道的半径为　　　　　　　　　m，小球经过O点时的加速度　　　　　　　　　（填“为”或“不为”）0。 【C 拓展培优题】 27．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A. 摆长为，起始时刻速度最大 B. 摆长为，起始时刻速度为零 C. 摆长为，、点的速度相同 D. 摆长为，、点的速度相同 28．（2022·海南·高考真题）在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为（     ） A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4 29．（2026·河南·高考真题）将一单摆的摆球拉开一个小角度后释放，单摆摆动的振幅为，周期为。若将此摆移到月球上，拉开相同的角度，则摆球的振动图像可能正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  30．（2022·浙江·高考真题）图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O拉到A后释放，小球在O点附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是（　　） A. 甲图中的小球将保持静止 B. 甲图中的小球仍将来回振动 C. 乙图中的小球仍将来回摆动 D. 乙图中的小球将做匀速圆周运动 / 学科网（北京）股份有限公司 $