精品解析：天津市西青区为明中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2026—2027学年第一学期10月份学情调研九年级数学试卷 （满分120分，时长100分钟） 一、基础知识（共36分，每题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 5. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若方程的一个实数根为，则的值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 7. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（　　　） A. 向左平移6个单位 B. 向右平移6个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 9. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为( ) A. 或1 B. 或3 C. D. 3 11. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共18分，每题3分） 13. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 15. 若抛物线的顶点在轴上，则的值是_________． 16. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的25元/件降到16元/件，则平均每次降价的百分率为_____． 17. 已知方程的两根分别为和，则的值等于__________． 18. 如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是_____． 三、解答题（共66分） 19. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 22. 已知二次函数经过点，顶点坐标． （1）求抛物线解析式； （2）在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象； （3）利用函数图象直接写出： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______． 23. 某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数． （1）试求与之间的关系式（直接写出自变量取值范围） （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出三角形的面积 （3）将轴下方的二次函数图像沿着轴翻折到轴的上方，与轴上方的二次函数图像一起形成一个“w”形状的新图像，与新图像有三个公共点，求的值．（请直接写出答案） 25. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求的值及抛物线的顶点坐标； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）连接直线，在直线上面的抛物线上找一点，使面积最大，并求出最大面积？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期10月份学情调研九年级数学试卷 （满分120分，时长100分钟） 一、基础知识（共36分，每题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义回答即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，， ∴顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键． 3. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可． 【详解】方程， 整理得：， 配方得：，即， 故选A． 4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0或2 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 5. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握方程有两个实数根即判别式 是解决本题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，首先确保二次项系数不为零，再计算判别式使其非负，联立得到a的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即， 化简得：， 解得， ∴得的取值范围为且． 故选：C． 6. 若方程的一个实数根为，则的值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意，根据方程的根满足方程，进而将代入方程得，再整体代入即可得解． 【详解】解：方程的一个实数根为， ． ． ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并理解是关键． 7. 已知抛物线为常数，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依次排列为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（　　　） A. 向左平移6个单位 B. 向右平移6个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【详解】解：y=（x+2）（x﹣4）=（x﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）． y=（x﹣2）（x+4）=（x+1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）． 所以将抛物线y=（x+2）（x﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y=（x﹣2）（x+4）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 9. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设邀请 队参赛，根据“计划安排21场比赛，”可列出方程，解出即可． 【详解】解：设邀请 队参赛，根据题意得： ， 解得： 或 （不合题意，舍去） 答：邀请7队参赛． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 10. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为( ) A. 或1 B. 或3 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据根的情况得出判别式为非负数，求出的范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入，然后解方程求出的值，再结合的范围求解即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根 ∴， ∴， 由题可知， ， 代入，得 ， 化简为， ， ，， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和跟的判别式，熟练运用根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． 11. 二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，上述结论中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得出：，，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，得出正确选项． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 故①正确； 由图象可知，当时，， ∴， 故②正确； ∵对称轴为直线， ∴， 即， 故③正确； ∵抛物线经过点，其对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一交点为， ∴不等式的解集是， 故④正确； ∵抛物线经过点， ∴是的一个根， ∵对称轴是直线， ∴另一个根为， 故⑤错误 ∴正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题（共18分，每题3分） 13. 若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得：． 故答案为：2． 14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则，是解题的关键． 15. 若抛物线的顶点在轴上，则的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在轴上，得到对称轴为0，解方程即得． 【详解】∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点在轴上，熟练掌握对称轴为，是解决问题的关键． 16. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的25元/件降到16元/件，则平均每次降价的百分率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得：25（1﹣x）2＝16， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）． 故答案为：20%． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 17. 已知方程的两根分别为和，则的值等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由根与系数的关系找出，，直接代入数据即可得出结论． 【详解】解：方程的两根分别为出，， ，， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出，是解题的关键． 18. 如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线交轴于点得，由对称轴为直线得，从而确定二次函数解析式，求出二次函数与轴的交点即可得到答案． 【详解】解：抛物线交轴于点， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线解析式为：， 令，即， 解得：，， 抛物线的开口向下， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，根据条件求出函数解析式，采用数形结合思想求解是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：． 【小问2详解】 解：这里， ， ， 解得：． 【小问3详解】 解：整理得：， 这里， ， ， 解得：． 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）（平行于）的矩形花圃．如果要围成面积为的花圃，的长是多少？ 【答案】的长为 【解析】 【分析】根据“围成面积为的花圃”列出一元二次方程，求解一元二次方程，并使求的得解使小于等于． 【详解】解：设花圃的一边为， 根据题意可知，， 整理得，， 解此方程得，， 当时，； 当时，，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】(1)根据建立不等式即可求解； (2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可． 【详解】解：(1)由题意可知，， 整理得：， 解得：， ∴的取值范围是：． 故答案为：． (2)由题意得：， 由韦达定理可知：，， 故有：， 整理得：， 解得：， 又由(1)中可知， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根． 22. 已知二次函数经过点，顶点坐标． （1）求抛物线解析式； （2）在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象； （3）利用函数图象直接写出： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）已知顶点坐标，可设顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）由对称轴及点可确定抛物线与轴的另一个交点坐标，再分别令，，求出对应的值，然后画出图象即可； （3）①根据图象与轴的交点坐标，可确定时，的取值范围；②令，求出对应的值，根据图象与轴的交点坐标以及顶点坐标即可得解． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标， ∴设抛物线解析式为， ∵二次函数经过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可知，对称轴为直线， ∵二次函数经过点， ∴二次函数与轴的另一个交点为， 对于， 当时，， 当时，， 画出这个函数的大致图象如答图； 【小问3详解】 解：观察函数图象可知： ①当时，的取值范围是； ②当时，， ∴当时，的取值范围是． 23. 某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数． （1）试求与之间的关系式（直接写出自变量取值范围） （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售价格定为元时，才能使每月获得最大利润，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法即可求解； （2）由：总利润总收入总成本，设获得利润为元，可得，进行配方即可求解． 【小问1详解】 解：设，由题意得 ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设获得利润为元，由题意得 ， ∴当时， 取最大值，（元）． 答：销售价格定为元时，才能使每月获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数应用中的利润问题，理解利润中的等量关系式是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出三角形的面积 （3）将轴下方的二次函数图像沿着轴翻折到轴的上方，与轴上方的二次函数图像一起形成一个“w”形状的新图像，与新图像有三个公共点，求的值．（请直接写出答案） 【答案】（1） （2）三角形的面积为 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，把、代入列方程组求解； （2）先求出点坐标，得到长度，以为底、为高，用三角形面积公式计算； （3）先求出翻折后下方图像对应的函数解析式，直线与新图像有3个公共点分为两种情况：①直线经过；②直线和翻折后的抛物线相切，分别计算． 【小问1详解】 解：把，代入： ，解得， 二次函数表达式:． 【小问2详解】 解：令，， 因式分解， 解得，， ，，， ． 【小问3详解】 解：原抛物线：，顶点， 轴下方部分沿轴翻折到上方，翻折后的解析式： ， 新图像由两部分组成： ；，或， 直线和新图像有3个公共点，分两种： ①直线经过， 把代入，，解得； ②直线与翻折后的抛物线相切， 联立方程： ， 整理得：， ∴， 解得， 综上，的值为或． 25. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）求的值及抛物线的顶点坐标； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）连接直线，在直线上面的抛物线上找一点，使面积最大，并求出最大面积？ 【答案】（1）， 顶点坐标为 （2） （3），最大面积为 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线解析式中，可求得值，然后将抛物线化为顶点式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据点、关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点坐标； （3）过点作轴交于点， 设点，则点，其中，进而可表示出， 由二次函数的性质求解最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，点的坐标为， ∴将点的坐标代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴点、关于抛物线的对称轴对称， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 连接交抛物线对称轴于点，如图，则此时的值最小， ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点， 设点，则点，其中， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴此时点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $