精品解析：天津市西青区大寺中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年九年级（上）数学第（3）次质量监测卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，是随机事件的是（　　） A. 向空中抛一枚硬币，不向地面掉落 B. 温度降到以下，纯净的水结冰 C. 度量多边形的外角和，结果是 D. 射击运动员射击一次，命中10环 2. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 4. 把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 若、是一元二次方程的两根，则的值为（ ）． A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(　　) A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 11. 如图，若点D是等边三角形的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮的次数 投中的次数 投中的频率 这名球员投篮一次，投中的概率约是______（精确到）． 14. 某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为___________． 15. 如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为_______. 16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 17. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上．若，，则阴影部分的面积为_______________． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点，且都在同一个圆上． （Ⅰ）圆直径的长度等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线，并简要说明点D的位置是如何找到的 ． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 解下列方程． （1）x（3x＋2）＝6（3x＋2） （2）3x2－2x－4＝0 四、解答题：本题共6小题，共5分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知二次函数的解析式为． （1）写出该二次函数图象的开口方向，并通过计算说出它的对称轴和顶点坐标； （2）直接写出当时的取值范围． 21. 如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的墙一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． （1）用含有的代数式表示为______； （2）若矩形花圃的面积为，求边的长． （3）当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 22. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． （1）直接判断与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 23. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 24. 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）完成填空：线段与的数量关系是___________； （2）当时， ①求的大小； ②若为的中点，连接，直接表示与的数量关系． 25. 已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）若是抛物线上点与点之间的动点（不包括点），求面积最大值，并求出此时的点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）数学第（3）次质量监测卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，是随机事件的是（　　） A. 向空中抛一枚硬币，不向地面掉落 B. 温度降到以下，纯净的水结冰 C. 度量多边形的外角和，结果是 D. 射击运动员射击一次，命中10环 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解：A、硬币受重力必然掉落，为不可能事件，故A错误，不符合题意； B、水在以下必然结冰，为必然事件，故B错误，不符合题意； C、多边形外角和恒为，不可能，为不可能事件，故C错误，不符合题意； D、射击命中10环可能发生也可能不发生，是随机事件，故D正确，符合题意； 故选：D． 2. 不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个红球，3个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为； 故选：D． 3. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 4. 把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则解答即可． 本题考查了抛物线的平移，熟练掌平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据左加右减，上加下减的平移原则，得． 故选：C． 5. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算． 【详解】圆锥的侧面积. 故选B 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 6. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可以采用列表法或树状图求解：可以得到一共有9种情况，一辆向右转，一辆向左转有2种结果数，根据概率公式计算可得． 【详解】画“树形图”如图所示： ∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种， ∴一辆向右转，一辆向左转的概率为； 故选Ｃ． 【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与总情况数之比求解 7. 从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】试验发生包含的基本事件可以列举出共4种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共1种，根据概率公式得到结果． 【详解】解：∵试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm）；（1cm，3cm，6cm）；（1cm，5cm，6cm）；（3cm，5cm，6cm），共4种； 而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm），共1种； ∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏， 8. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断根的情况即可． 【详解】一元二次方程中，，，， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 9. 若、是一元二次方程的两根，则的值为（ ）． A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义进行判断． 【详解】由一元二次方程根与系数的关系知：，，从而 故选：C 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程（a≠0）的两根时，，，也考查了判别式的意义． 10. 如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(　　) A. 50 B. 52 C. 54 D. 56 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边的和相等， 所以四边形的周长为： 故选B. 点睛：圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边的和相等. 11. 如图，若点D是等边三角形的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质，证明是等边三角形，再根据角度之间的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， 是等边三角形， 若，则， 而的度数无法确定，则无法确定，即A选项错误； 是等边三角形， ， 若，则，即是中点， 而点D是等边三角形的边上任意一点，即B选项错误； 是等边三角形， ，即C选项正确； 是等边三角形， ， 若，则， ， 而的度数无法确定，则无法确定，即D选项错误； 故选：C 12. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键．由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ， ， 故①正确； ②对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ， 故②正确； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ， 故③错误； ④， ， ， ， ， ， ，， ， 故④错误； 故正确的有2个， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮的次数 投中的次数 投中的频率 这名球员投篮一次，投中的概率约是______（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为． 故答案为：． 14. 某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用一元二次方程解决增长率问题，解题关键是列出方程并求解． 根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为，则年教育经费为万元， 根据题意得． 两边除以得， 开平方得（取正值）， 所以， 即年平均增长率为． 故答案为：． 15. 如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形， ， ，且， 是等边三角形，且边长， ∴， ∴， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：． 16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 17. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上．若，，则阴影部分的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及圆周角定理，熟知圆周角定理及扇形的面积公式是解题的关键．连接，，由的度数得出的度数，再将阴影部分的面积转化为扇形的面积，最后根据扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点，且都在同一个圆上． （Ⅰ）圆直径的长度等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线，并简要说明点D的位置是如何找到的 ． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）如图，取格点，连接，交于点，作直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、圆的切线的判定、三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （Ⅰ）结合网格特点，利用勾股定理求解即可得； （Ⅱ）取格点，连接，交于点，作直线即为所求．理由是：取格点，连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，即，再根据三角形的中位线定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得． 【详解】解：（Ⅰ）由网格可知，， 所以圆直径的长度等于， 故答案为：． （Ⅱ）理由：如图，取格点，连接，交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴点是对角线的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵是圆的直径， ∴是圆的切线． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 解下列方程． （1）x（3x＋2）＝6（3x＋2） （2）3x2－2x－4＝0 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 四、解答题：本题共6小题，共5分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知二次函数的解析式为． （1）写出该二次函数图象的开口方向，并通过计算说出它的对称轴和顶点坐标； （2）直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后问题可求解； （2）令求出函数图象与轴的交点坐标，再结合图象的开口方向即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：把二次函数化为顶点式得：， ∴，即开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：令，则有， 解得：， 由（1）可知：开口向下， ∴当时，则的取值范围是． 21. 如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的墙一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． （1）用含有的代数式表示为______； （2）若矩形花圃的面积为，求边的长． （3）当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当矩形花圃的面积最大时，的长是，矩形花圃面积的最大值是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数最值的应用， （1）由题意结合矩形的周长即可得出结论； （2）由矩形花圃面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题； （3）先用含的代数式表示出矩形花圃的面积，再根据二次函数的最值求解即可； 解题的关键是：（1）利用矩形的周长公式，找出关于的关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）建立矩形的面积关于的二次函数关系式，根据二次函数的最值求解． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，（符合题意）； 答：边的长； 【小问3详解】 ∵矩形花圃的面积： ， 又∵， ∴当时，矩形花圃的面积有最大值，最大值是， 答：当矩形花圃的面积最大时，的长是，矩形花圃面积的最大值是． 22. 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，半径，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离），连接． （1）直接判断与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】（1） （2）19.4m 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键： （1）根据垂径定理即可得出结论； （2）利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）设主桥拱半径为R， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 答：这座石拱桥主桥拱半径为． 23. 已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． （1）如图①，求的大小； （2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】（1） （2）3， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 24. 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）完成填空：线段与的数量关系是___________； （2）当时， ①求的大小； ②若为的中点，连接，直接表示与的数量关系． 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；②延长到N，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，． 将线段绕点顺时针旋转得到， ， ． ． ，， ． 在和中 ． ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①是等边三角形， ，． ，， ． ． 由（1）可知， ． ． ，理由如下∶延长到N，使，连接，， 为的中点， ． 四边形为平行四边形． 且． 由（1）可知：， ， ． ， ． ． 在和中， ， ，． 为正三角形， ． ． 25. 已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）若是抛物线上点与点之间的动点（不包括点），求面积最大值，并求出此时的点坐标． 【答案】（1） （2） 面积最大值为，此时点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的几何应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）如图，设点，过点作轴于点交于点，求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点坐标，即可得到的长，最后根据求出与的函数关系式，根据函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设点，过点作轴于点交于点， ∵， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴，        ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $