专题10二元一次方程组认识及解法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题10二元一次方程组认识及解法知题通关讲义 知识点01:二元一次方程基础概念 1. 二元一次方程定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判断条件（缺一不可） (1)含有且只有两个未知数 (2)未知数最高次数为1 (3)是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组及解 1.二元一次方程组定义 由两个共含两个未知数的二元一次方程联立组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：方程组内方程可以一个二元、一个一元，只要整体只有 2 个未知数，仍为二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程的x、y），叫做二元一次方程组的解。 3.方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 (4).易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点 03 实际问题列二元一次方程组步骤 1.审题：找出题目中两组独立等量关系； 2.设两个未知数x、y； 3.根据两条等量关系，分别列出二元一次方程； 4.联立两个方程，写出方程组大括号。 例：苹果、梨共 20 斤，苹果比梨多 4 斤 知识点04：代入消元法 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点05：加减消元法（考试主流解法） 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点06：两种解法对比表（老师加分亮点） 1. 二元一次方程判定条件掌握不全 提醒：二元一次方程需同时满足三个条件：含两个未知数、含未知数的项次数为1、等式为整式形式，缺一不可判定。 2. 混淆未知数次数与项的次数 提醒：二元一次方程要求含未知数的项次数为1，并非两个未知数次数相加为1，概念辨析极易出错。 3. 混淆二元一次方程的解与方程组的解 提醒：单个二元一次方程存在无数组解；二元一次方程组的解为两个方程的公共解，通常仅有唯一一组。 4. 误以满足单个方程的值作为方程组的解 提醒：方程组的解必须同时满足组内两个方程，仅符合其中一个方程的数值，不是方程组的解。 5. 代入消元法变形等式时符号出错 提醒：移项变形必须严格变号，变形后的式子只能代入另一方程，不可代回原方程造成恒等无效计算。 6. 加减消元法扩倍时遗漏常数项 提醒：方程整体同乘系数时，含未知数项与常数项需同步扩倍，禁止仅对未知数项进行倍数运算。 7. 加减消元作差运算时整体符号出错 提醒：两方程相减消元时，被减方程所有项整体变号，不可局部变号，避免计算偏差。 8. 求解方程组漏求未知数，解题不完整 提醒：二元方程组含两个未知数，必须全部求解，不可求出单一未知数即终止解题。 9. 求解后未代入原方程组核验解 提醒：计算结果需代入两个原始方程验证，同时成立，方可确定为方程组的有效解。 题型 考察方向 难度 题型一 二元一次方程的定义 ★ 题型二 二元一次方程的解 ★ 题型三 判断是否是二元一次方程组 ★ 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 ★ 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 ★★ 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 ★★ 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 ★★ 题型八 代入消元法 ★ 题型九 加减消元法 ★ 题型十 二元一次方程组的特殊解法 ★★★ 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 ★★★ 题型十二 构造二元一次方程组求解 ★★ 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 ★★★ 题型十四 方程组相同解问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 二元一次方程的定义 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二 二元一次方程的解 4．已知是方程的一个解，那么m的值为（     ） A． B．2 C． D．3 5．已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（     ） A．19 B．29 C． D．1 6．观察表格数据，可知方程组的解为（     ） A． B． C． D． 题型三 判断是否是二元一次方程组 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 8．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 9．下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 10．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 11．已知关于，的二元一次方程的解如表1，关于，的二元一次方程的解如表2，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） 表1 0 1 2 3 3 表2 0 1 2 3 A． B． C． D． 12．关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 13．若方程组的解为，则的值为（   　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 15．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（　　） A． B． C． D． 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 16．在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 17．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 18．“圭表”是中国古代重要的天文观测仪器，由“圭”（水平尺）和“表”（垂直立杆）组成，用于测日影定节气，通常圭长比表长多5尺．某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺．设表长为尺，圭长为尺，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 19．如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 20．如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点落在点处，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是（ ） A． B． C． D． 21．如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______．    题型八 代入消元法 22．把方程变形，用含的式子表示，可得__________． 23．若方程组的解是，则的值是（     ） A． B． C． D． 24．已知方程的两个解是，，则这个方程是________． 题型九 加减消元法 25．已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 26．如果，那么__________． 27．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型十 二元一次方程组的特殊解法 28．已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 29．如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 30．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 31．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 32．以下是小亮解方程组的过程，其中开始出现错误的是第______步，错因是_________________． 33．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 题型十二 构造二元一次方程组求解 34．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 35．已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为______． 36．已知关于，的二元一次方程中，若无论取何值，方程都有一个公共解，则方程的这个公共解为（    ） A． B． C． D． 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 37．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（     ） A．3 B．2 C．1 D．-2 38．已知，若，则的值为______． 39．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 题型十四 方程组相同解问题 40．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（   ） A．3 B．1 C．7 D． 41．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 42．已知关于，的方程组与有相同的解，则等于（     ） A． B． C． D． 解答题 1．解方程组： (1) (2) 2．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 3．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 5．在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； 6．某家具厂需要生产一批桌子，一张桌子由1个桌面和4条腿组成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产桌面的个数比桌腿的个数少12个，且每天6个工人生产的桌面与5个工人生产桌腿的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产桌面和桌腿各多少个？ (2)现共有52名工人，应如何分配工人才能使每天生产的桌面和桌腿都组装成桌子？ 7．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10二元一次方程组认识及解法知题通关讲义 知识点01:二元一次方程基础概念 1. 二元一次方程定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 2. 三大判断条件（缺一不可） (1)含有且只有两个未知数 (2)未知数最高次数为1 (3)是整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数） 3. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组解。 知识点02:二元一次方程组及解 1.二元一次方程组定义 由两个共含两个未知数的二元一次方程联立组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 补充：方程组内方程可以一个二元、一个一元，只要整体只有 2 个未知数，仍为二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程的x、y），叫做二元一次方程组的解。 3.方程组解的三种情况 对于方程组 ： ①若 ，则有唯一解； ②若 ，则无解 ③若 ，则有无数组解。 (4).易错考点：已知解反向求参数、根据定义求字母取值（期末高频小题） 知识点 03 实际问题列二元一次方程组步骤 1.审题：找出题目中两组独立等量关系； 2.设两个未知数x、y； 3.根据两条等量关系，分别列出二元一次方程； 4.联立两个方程，写出方程组大括号。 例：苹果、梨共 20 斤，苹果比梨多 4 斤 知识点04：代入消元法 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点05：加减消元法（考试主流解法） 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 知识点06：两种解法对比表（老师加分亮点） 1. 二元一次方程判定条件掌握不全 提醒：二元一次方程需同时满足三个条件：含两个未知数、含未知数的项次数为1、等式为整式形式，缺一不可判定。 2. 混淆未知数次数与项的次数 提醒：二元一次方程要求含未知数的项次数为1，并非两个未知数次数相加为1，概念辨析极易出错。 3. 混淆二元一次方程的解与方程组的解 提醒：单个二元一次方程存在无数组解；二元一次方程组的解为两个方程的公共解，通常仅有唯一一组。 4. 误以满足单个方程的值作为方程组的解 提醒：方程组的解必须同时满足组内两个方程，仅符合其中一个方程的数值，不是方程组的解。 5. 代入消元法变形等式时符号出错 提醒：移项变形必须严格变号，变形后的式子只能代入另一方程，不可代回原方程造成恒等无效计算。 6. 加减消元法扩倍时遗漏常数项 提醒：方程整体同乘系数时，含未知数项与常数项需同步扩倍，禁止仅对未知数项进行倍数运算。 7. 加减消元作差运算时整体符号出错 提醒：两方程相减消元时，被减方程所有项整体变号，不可局部变号，避免计算偏差。 8. 求解方程组漏求未知数，解题不完整 提醒：二元方程组含两个未知数，必须全部求解，不可求出单一未知数即终止解题。 9. 求解后未代入原方程组核验解 提醒：计算结果需代入两个原始方程验证，同时成立，方可确定为方程组的有效解。 题型 考察方向 难度 题型一 二元一次方程的定义 ★ 题型二 二元一次方程的解 ★ 题型三 判断是否是二元一次方程组 ★ 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 ★ 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 ★★ 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 ★★ 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 ★★ 题型八 代入消元法 ★ 题型九 加减消元法 ★ 题型十 二元一次方程组的特殊解法 ★★★ 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 ★★★ 题型十二 构造二元一次方程组求解 ★★ 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 ★★★ 题型十四 方程组相同解问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 二元一次方程的定义 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按整式方程、未知数个数、含未知数项的次数的顺序逐一筛选． 【详解】解：选项中， 的分母含未知数，不是整式方程，故不符合要求； 选项、中，与均只含1个未知数，且中含未知数的项的最高次数为2，故不符合要求； 选项中，是整式方程，含2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程定义． 2．下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次根据未知数个数、含未知数项的次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，属于二元一次方程； B. 不是整式方程，不属于二元一次方程； C. 含有3个未知数，不属于二元一次方程； D. 中含未知数的项的次数为2，不属于二元一次方程． 3．已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有2个未知数，含未知数项的最高次数为1，逐个分析即可． 【详解】解：逐个判断各式子：① 不是等式，不属于方程，不符合要求； ② 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； ③ 中项的次数为2，不符合一次的要求，不符合； ④ 含有三个未知数，不符合二元的要求，不符合； ⑤ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程； ⑥ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程；因此符合要求的二元一次方程共2个． 题型二 二元一次方程的解 4．已知是方程的一个解，那么m的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】把方程的解代入原方程，得到关于字母的一元一次方程，求解得到的值，选出对应选项． 【详解】解：是方程的解， ， 解得 5．已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（     ） A．19 B．29 C． D．1 【答案】C 【分析】利用整体代入思想，先求出的值，再代入变形后的代数式计算． 【详解】解：∵是关于x、y的方程的解， ∴， 整理得， ∴． 6．观察表格数据，可知方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值就是方程组的解，只需观察表格找到两个方程中x取值相同y也相同的一组值即可． 【详解】∵二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的两个方程， ∴需要找到对同一个x，两个方程对应同一个y的一组值， 观察表格可知，当时，方程对应的，方程对应的y也为， 所以方程组的解为． 题型三 判断是否是二元一次方程组 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断，二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，所有方程都是整式方程，且每个方程中未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、第一个方程中未知数次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组共含两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，符合题意； C、方程组共含三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 8．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确； B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误； C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误； D、x2是二次的，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键. 9．下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 10．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解的概念，可通过加减消元法求解二元一次方程组，消去y后求x，再代入求y． 【详解】解：∵方程组为， 将两方程相加，得， 解得 将代入，得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：A． 11．已知关于，的二元一次方程的解如表1，关于，的二元一次方程的解如表2，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） 表1 0 1 2 3 3 表2 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格找出二元一次方程和的公共解，即可解答． 【详解】解：由表可知，是二元一次方程和的公共解， ∴关于的二元一次方程组的解是． 12．关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解”，分析表格中数据即可获得答案． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解， ∴对比表1与表2的对应值， 当时，两表的值均为， 即为方程组的解． 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 13．若方程组的解为，则的值为（   　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 得，， ∴． 14．关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，求出和的值，再代入所求式子计算算术平方根即可． 【详解】解：把代入原方程组，得 ， 解得：， 将代入，得：． 15．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解的定义和解二元一次方程组的方法，把方程组的解代入方程组，解关于的方程组，即可求出的值． 【详解】解：根据题意可得， 即， 两个方程相减得到, 把代入可得, 故选：． 题型六 根据实际问题列二元一次方程组 16．在一次爱心捐助活动中，八年级（1）班40名同学共捐款275元，已知同学们捐款的面额只有5元、10元两种，求捐5元和10元的同学各有多少名？若设捐5元的同学有x名，捐10元的有y名，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意直接列方程组即可． 【详解】解：∵八年级（1）班共有40名同学， ∴； 又∵八年级（1）班共捐款275元， ∴． ∴所列方程组为． 17．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则列方程组是_____． 【答案】 【分析】根据总马匹数和总瓦数两个等量关系，即可列出对应的方程组． 【详解】解：设小马有匹，大马有匹．由题意可得 ． 18．“圭表”是中国古代重要的天文观测仪器，由“圭”（水平尺）和“表”（垂直立杆）组成，用于测日影定节气，通常圭长比表长多5尺．某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺．设表长为尺，圭长为尺，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“通常圭长比表长多5尺”和“测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺”列出两个方程即可解答． 【详解】解：设表长为尺，圭长为尺， ∵通常圭长比表长多5尺， ∴； ∵某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺． ∴． 综上，． 题型七 根据几何图形列二元一次方程组 19．如图，一幅宣传画的四周镶嵌宽度为m的花边，镶好后整幅作品的周长比宣传画的周长多16，面积比宣传画的面积大32，则宣传画的周长是(   ) A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实际问题与二元一次方程组，设宣传画的一边长为x，另一边长为y，根据等量关系列出方程组，根据矩形的周长公式即可求解，找准等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设宣传画的一边长为x，另一边长为y， 则， ， 故选：B． 20．如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点落在点处，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据由将正方形的一角折叠，折痕为，点落在点处，比大的等量关系即可列出方程组． 【详解】解：设和的度数分别为和， 由题意可得：， 故选：D． 21．如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______．    【答案】75 【分析】由正方形的性质可得，再消去，，建立一元一次方程即可. 【详解】解：由题意可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题的关键. 题型八 代入消元法 22．把方程变形，用含的式子表示，可得__________． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得． 23．若方程组的解是，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：将代入， 得， 由①得， 代入②中，得， ， ， ， 则． 24．已知方程的两个解是，，则这个方程是________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将已知的方程的两个解代入方程中得二元一次方程组，解方程组即可得a，b的值，将a，b代入方程即可． 【详解】解：把，代入方程中得：， 解得：， ∴这个方程是：． 题型九 加减消元法 25．已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【分析】观察方程组系数特点，将两方程相加后整体求解的值． 【详解】解： ，得． 两边同时除以5，得． 26．如果，那么__________． 【答案】 【分析】根据非负数之和为 0，得到二元一次方程组，解出x、y的值，再代入计算． 【详解】解：，，且， ，得， ， ． 把代入①，得． ∴． ∴． 27．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据消元的结果可得，据此逐一验证即可． 【详解】解：∵ 要利用消去， ∴项的系数和为，即， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； 当时，，故C不符合题意； 当时，，故D符合题意． 题型十 二元一次方程组的特殊解法 28．已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先分别求出，，然后利用因式分解转化为求解． 【详解】 将①式与②式相加： ∴ 用②式减去①式： ∴ ∴ 故选B． 29．如果关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，用整体的思想，将待求解方程变形，让新方程组中方程各项系数与已知方程组一致，从而求解． 【详解】解：把方程组变形可得， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得， 故选：A． 30．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组中的和分别看作整体，对应原方程组的和，再解关于，的一次方程即可得到结果． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， 方程组的解是， ，， 解得， 题型十一 二元一次方程组的错解复原问题 31．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 32．以下是小亮解方程组的过程，其中开始出现错误的是第______步，错因是_________________． 【答案】 一 移项没有变号 【分析】根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：解方程的正确步骤为： ， 由①得：， 将③代入②得：， 解得： 代入③得：， ∴原方程组的解为． 33．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【详解】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 题型十二 构造二元一次方程组求解 34．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 35．已知正实数，，，，满足，，如图是以，，，为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意由图形1得，联立方程组，解得，，由方程组得，即可得，从而可得图2阴影部分的面积． 【详解】解：根据题意得图1阴影部分的面积为， ∴， ∵正实数，，，，满足，， ∴联立方程组得， 解得，， 由方程组得 ∴， ∴， ∴图2阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 36．已知关于，的二元一次方程中，若无论取何值，方程都有一个公共解，则方程的这个公共解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果当取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论取何值，都不影响方程，即含的项的系数相加为． 【详解】解：方程整理得：， 则， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，由于可取任何数，要想让当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，就需让含的项的系数相加为，此时即可得到关于和的方程组．正确理解题意是解题的关键． 题型十三 已知二元一次方程组的解的情况求参数 37．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则的值是（     ） A．3 B．2 C．1 D．-2 【答案】B 【分析】利用二元一次方程组的解的定义，将解代入原方程，依次求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组的解是， ∴ 将，代入方程得： ， 解得， 再将，代入方程得： ， 解得， ∴. 38．已知，若，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，结合已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 由得：， 整理得：， ， ， 解得． 39．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 题型十四 方程组相同解问题 40．如果方程组的解与方程组的解相同，则的值是（   ） A．3 B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为，，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过联立方程求解的值． 【详解】解：由题意可知，两个方程组的解相同，即它们的解为，， 那么将，代入 得到， ①②，得， 化简得：， 两边同时除以7，得：． 故选：B． 41．关于的方程组与方程组有相同的解，则___________ 【答案】3 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 42．已知关于，的方程组与有相同的解，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个方程组有相同的解，说明，满足两个方程组中不含，的两个方程，先求出，的值，再代入含，的方程得到关于，的方程组，求解得到，后计算即可． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴，满足方程组， 解得， 把代入， 得， 解得， ． 解答题 1．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解为． （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 2．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴， 把代入，得， 把代入，得， 联立， 得：， ∴． 3．小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：，最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为________； (2)利用轮换对称解法解方程组 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为； （2）解： 得， ∴， 得， 得，解得， 把代入⑦得，解得， ∴原方程组的解为． 4．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未看错方程来组建新的关于，的方程解题． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ， 解得：， 同理乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 可得：， 解得：， ． 5．在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接按规则将二元一次方程组的系数和常数项按顺序填入矩阵即可； （2）先根据矩阵写出对应的二元一次方程组，再将已知的解代入方程组，即可求出和的值． 【详解】（1）解： 根据题目给出的矩阵定义，二元一次方程组写成矩阵形式为； （2）解：矩阵对应的二元一次方程组为， 将代入方程组得： ， 解得： ． 6．某家具厂需要生产一批桌子，一张桌子由1个桌面和4条腿组成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产桌面的个数比桌腿的个数少12个，且每天6个工人生产的桌面与5个工人生产桌腿的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产桌面和桌腿各多少个？ (2)现共有52名工人，应如何分配工人才能使每天生产的桌面和桌腿都组装成桌子？ 【答案】(1) 工厂每人每天平均生产桌面60个，桌腿72个 (2) 每天应分配12名工人生产桌面，40名工人生产桌腿，可使每天生产的桌面和桌腿都组装成桌子 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程组，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设工厂每人每天平均生产桌面x个，桌腿y个，结合题意列二元一次方程组求解即可； （2）设每天应分配a名工人生产桌面，则有名工人生产桌腿，结合题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产桌面x个，桌腿y个， ∴， 解得，， ∴工厂每人每天平均生产桌面60个，桌腿72个； （2）解：设每天应分配a名工人生产桌面，则有名工人生产桌腿， ∵一张桌子由1个桌面和4条腿组成， ∴， 解得，， ∴， ∴每天应分配12名工人生产桌面，40名工人生产桌腿，可使每天生产的桌面和桌腿都组装成桌子． 7．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $