第20讲 实际问题与一元一次方程（15大题型共88题+解题技巧）--2026-2027学年人教版七年级数学上册同步讲义系列

第20讲 实际问题与 一元一次方程 学习目标 1、掌握用一元一次方程解决实际问题的一般方法. 2、能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理. 核心素养： 模型观念 应用意识 运算能力 知识结构 知识点一 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 步骤 【例】七年级（3)班组织45名学生搬花盆，其中男生每人搬8盆，女生每人搬6盆,若一共搬了320盆，则女生有多少人? 以上面的实际问题为例，说明列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 一般步骤 对应示例 第一步：审，即弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系. 第二步：设，即设未知数，并用式子表示出其他相关量. 第三步：列，即根据相等关系列出方程. 第四步：解，即解方程，求出未知数的值. 第五步：检，即检验所得未知数的值是不是所列方程的解,是否符合题意. 第六步：答,即根据题意写出答案. 分析：由题意可知，学生总数是固定的，且男生搬的花盆数+女生搬的花盆数=320. 解：设女生有x人，则男生有()人. 由题意，得. 解方程，得. 当时， =120+200=320, 故是方程的解，且符合实际问题. 答：女生有20人. 点拨：列方程解应用题的关键是审题，找出问题中的相等关系，并根据相等关系列出方程. 【基础练习1-1】（2025·河北沧州·一模）《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（   ） A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变 C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变 【基础练习1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的填空： 一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以八折（即按标价的）优惠卖出，结果每件仍获利元，这种服装每件的成本是多少元？ 我们知道，每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件服装的成本价为元，那么每件服装的标价为_________元；每件服装的实际售价为___________元； 每件服装的利润为____________元. 由此，列出方程_________________. 解这个方程，得______________. 因此每件服装的成本价是___________元. 列一元一次方程解决实际问题的常见类型 类型 知识点二 常见题型 题中涉及的数量及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 关系 —— —— 弄清“倍数”关系及“多少”关系等 行 程 问 题 相遇 问题 快者走的路程十 慢者走的路程= 原来相距的路程 注意始发时 间和地点 追及 问题 快者走的路程一 慢者走的路程= 原来相距的路程 —— 配套问题 —— 若件甲产品与件乙产品配套，则甲产品的数量=乙产品的数量 —— 工程问题 参与此项工作的 所有对象所完成 的工作量之和等 于总工作量 般设总工作量为1 销售问题 找出利润或利润 率之间的关系 打几折就是按原价的百分之几十出售 行船问题 顺流航行速度=船在静水中的速度+水流速度； 逆流航行速度=船在静水中的速度-水流速度 顺水路程=逆水路程 抓住两地之间路程不变，水速不 变，船在静水中的速度不变的特点考虑相等关系 比赛积分问题 总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分 比赛场数=胜场数+负场数+平场数 弄清楚比赛中胜、平、负一场的积分 【基础练习2-1】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）某家具厂有名工人，每名工人每天可以加工张桌子或把椅子．已知张桌子需要搭配把椅子才能组成一套家具，怎样安排加工桌子和椅子的人数才能不造成浪费？此时每天可以生产多少套家具？ 【基础练习2-2】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 题型1 配套问题 【典例】（26-27七年级上·吉林·期中）某车间有工人60人，每人每天可加工甲种零件15个或乙种零件10个．如图，3个甲种零件和2个乙种零件配成一套．为使每天加工的甲、乙两种零件恰好配套，应安排多少人加工甲种零件？ 【变式练习1-1】（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【变式练习1-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用含的代数式分别表示裁剪出的侧面个数为_____，底面的个数为_____．（要求写出化简后的结果） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. A、B的数量比是，A的总数量×＝B的总数量×． 题型2 工程问题 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）某地为打造绿地公园，现有一段河道整治任务由，两个工程队完成．工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入一起完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？ (1)根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下： 小明：； 小红：． 请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容． 小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ． (2)A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程） 【变式练习2-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【变式练习2-2】（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ (1)基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； (2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； (3)见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 题型3 销售盈亏问题 【典例】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为多少元？ 【变式练习3-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1元，数量少了5本．设第一批单价为x元． (1)用含x的代数式表示两批进货数量； (2)若第一批单价为4元，求两次一共购进笔记本多少本． 【变式练习3-2】（2026·江西抚州·二模）2026年1月1日起，江西接续实施消费品以旧换新政策，覆盖汽车、家电、数码等多类消费品．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买______价格更低；（填序号） ①售价12.8万元的新能源乘用车；②售价13万元的2.0L燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均在最高补贴范围内，且补贴后的实际花费相等，若A车的销售价格比B车高3千元，请你求出A车和B车的销售价格各是多少万元． 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 (1)商品利润＝商品售价-商品成本价 (2)商品利润率＝ (3)商品销售额＝商品销售价×商品销售量 (4)商品的销售利润＝（销售价-成本价）×销售量 (5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 题型4 比赛积分问题 【典例】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【变式练习4-1】（26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【变式练习4-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 相等关系：(1)比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； (2)比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 题型5 方案选择问题 【典例】（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【变式练习5-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为． (1)每个足球的售价是多少元？ (2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有的利润．每个篮球的进价是多少元？ (3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【变式练习5-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． (1)若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ (2)若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ (3)在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 借助方程先求出相等的情况。再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 题型6 数字问题 【典例】（2025七年级上·全国·专题练习）一个两位数，已知它的个位数字是十位数字的．如果把这个两位数的十位数字与个位数字调换位置，那么所得的新数与原数的和是，求这个两位数是多少． 【变式练习6-1】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）观察下面有规律排列三行数： (1)第一行数中，第个数是 ，第个数是 ． (2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题： ①第二行数中，第个数是 ，第三行数中，第个数是 ； ②取每行数的第个数，计算这三个数的和是 ； ③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的个数的和为，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由． 【变式练习6-2】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）某数学兴趣小组开展“探究商品条形码中的秘密”综合实践活动，通过网上收集素材研究，整理如下： 探究商品条形码中的秘密 素材 商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和最后一位校验码构成，从左至右其前3位、第4至7位、第8至12位、最后一位分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”，其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性 计算 如图1： （1）计算条形码从左至右13位数字中偶数位数字的和：； （2）计算条形码从左至右13位数字中奇数位数字（除最后一位数字）的和：； （3）计算：； （4）取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即．    发现 d与c的差就是校验码，即 解决问题： (1)某商品条形码中前12位为，求最后一位校验码是什么数字． (2)如图2，某商品条形码中从左至右的第7位数字磨损不可见，求出第7位数字．    (1)多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。十位数可表示为， 百位数可表示为。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 (2)连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 题型7 几何问题 【典例】（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，一个长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去宽为的长条，剩下的长方形面积是原长方形面积的，求原长方形纸片的宽． 【变式练习7-1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 【变式练习7-2】（2026·陕西西安·三模）中国是风筝的故乡，春秋末期墨子“斫木为鹞”，鲁班改进为竹制“木鸢”，东汉造纸术后出现纸鸢；五代李邺加装竹笛，风动发声如筝，得名风筝．今天聪明的小瑞准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的6倍，门条比单根膀条短，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 利用几何图形的性质（周长、面积、体积、角度关系等）列出方程，然后通过解方程求出未知量。 核心解题思路：“数形结合” 1.用“方程”表示“图形”：将几何问题中的未知量（如边长、角度）设为未知数。 2.用“图形”找出“等量关系”：利用几何图形的公式或性质，找到一个包含未知数的等式。 3.解“方程”得到“答案”：解这个一元一次方程，得到未知数的值，也就是几何问题的答案。 题型8 和差倍分问题 【典例】（26-27七年级上·重庆·阶段检测）妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答） 【变式练习8-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式练习8-2】（2026·北京房山·二模）自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 关键词识别问题类型 和差倍分问题内部可以细分为四种子类型，每一种都有对应的“信号词”和基本关系式。 1.差关系 关键词：“共”“合计”“总和”“比……多”“比……少”“相差”。 基本关系式：甲+乙 = 和，甲−乙 =差。 2.倍数关系 关键词：“是……的几倍”“多几倍”“扩大到原来的  倍”。 基本关系式：甲=×乙。 题型9 阶梯收费问题 【典例】（26-27七年级上·吉林·期中）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实行“阶梯水价”，收费标准如下表： 每户每月用水量 单价 不超过吨的部分 元/吨 超过吨的部分 元/吨 (1)小明家9月份用水12吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份缴水费63元，求小明家月份的用水量． 【变式练习9-1】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 【变式练习9-2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 分段计费问题解题思路1.明确分段区间2.明确不同区间的计费标准3.分区间讨论计算 题型10 行程问题 【典例】（26-27七年级上·吉林·期中）甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 【变式练习10-1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【变式练习10-2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）甲、乙周末骑自行车去郊外游玩，甲从A地出发沿直线匀速前往B地，乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地，甲的速度比乙的速度的2倍少8千米/小时，他们出发30分钟后，甲追上乙． (1)求甲和乙的速度； (2)若甲追上乙后，甲的速度立即提高3千米/小时快速到达B地，到达B地后休息12分钟，再沿原路以提速后的速度返回，乙仍按原速前往B地，结果两人在距离B地2千米处再次相遇，求A，B两地的距离． 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． (1)直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． (2)直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． (3)环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． (4)环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 题型11 比例分配问题 【典例】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 【变式练习11-1】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【变式练习11-2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 题型12 日历问题 【典例】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，． (1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____． (2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 【变式练习12-1】（25-26七年级上·广东江门·期中）生活与数学 (1)吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是________； (2)玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是________； (3)若干个偶数按每行8个数排成下图： ①图中方框内的9个数的和与正中间的数的关系是______________________________________________； ②托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由． 【变式练习12-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______； （注：用含n的代数式表示c和d．）    活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等； （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则m是_____，n是_____； （4）若方框选取的数中最小的数是t，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是_____（用含t的代数式表示g）．    关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 题型13 古代问题 【典例】（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【变式练习13-1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 【变式练习13-2】（24-25七年级上·山东济南·期末）在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 题型14 动点问题 【典例】（26-27七年级上·吉林·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． (1)用含的式子表示点、点表示的数； (2)当为何值时，、两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)当为何值时，、两点相距个单位长度？ 【变式练习14-1】（26-27七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和最小时，此时距离之和的最小值为__________； (3)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (4)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 【变式练习14-2】（24-25七年级上·吉林·期中）如图，在中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点时停止运动．设点运动的时间是秒． (1)______． (2)当点在运动时，用含的代数式表示的长． (3)请直接写出当为何值时，的面积等于6． 关键技巧：分类讨论——动点问题的“分水岭” 动点问题中，点的位置往往不确定，这是必须分类讨论的根本原因。常见需要分类的情形包括： · (1)动点在定点左侧还是右侧（影响距离公式中谁减谁）； · (2)两点相遇前还是相遇后（影响距离的表达方式，是“和”还是“差”）； · (3)动点是否已经折返或到达端点（运动方向发生变化）。 操作原则：先根据可能的运动阶段或位置关系，划分出互不重叠的区间，在每个区间内分别写出该阶段适用的位置表达式和距离表达式，再列方程求解。解出 后，必须回代检查它是否落在当前分类的前提范围内，不在该范围内的解要舍去。 题型15 其他问题 【典例】（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）要配制浓度的盐水克，需浓度为和浓度为的盐水各多少克？（用方程解） 【变式练习15-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）物理学“杠杆原理”为：动力动力臂阻力阻力臂（如图①），数学实验社团在活动课上用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验，如图②，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂钩码，每个钩码质量是，若，，挂4个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．求所挂重物的质量． 【变式练习15-2】（25-26七年级下·北京东城·期末）2026年全国低碳日定于6月17日，活动主题为“绿色转型，全民同行”，鼓励全民共同参与低碳行动．“碳足迹”是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算“碳足迹”，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，采取低碳生活的方式，减少碳排放量，同时也可以通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡． 下表是小明同学查询相关资料计算出一家三口某月的“碳足迹”： 序号 种类 消耗量 碳排放系数 碳排放量（） 1 家庭用电 93.6 2 自来水 8t 7.28 3 天然气 25.92 4 牛肉 135 5 国际长途飞行 720 6 应季蔬菜 24 (1)若一棵树每年吸收大约，则根据上表至少需要________棵树一年才能抵消该月使用天然气产生的碳排放量；（结果保留整数） (2)小明家本月购买牛肉和应季蔬菜共，这两种食材产生的总碳排放量为．求小明家本月购买牛肉和应季蔬菜各多少千克？ (3)为了抵消国际长途飞行的碳排放量，小明计划调整家中空调的使用方案．已知1.5匹家用空调制冷模式每小时碳排放量约，制热模式每小时碳排放量约，小明家夏季（120天）每天开8小时，冬季（90天）每天开6小时，其余季节不开空调．他计划在夏季和冬季都将每日空调使用时长减少相同的时间．请通过计算说明：他能否在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量？ 综合检测 一、单选题 1．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）课外阅读课上，老师将一批书分给各小组，若每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，问有几个小组？若设有个小组，则依题意列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）小丁今年5岁，妈妈30岁，（　　）年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． A．30 B．20 C．10 D．不可能 3．（25-26七年级上·全国·期末）某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 4．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 5．（25-26七年级上·江西南昌·期末）甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，则完成该工程还需要（    ） A．3天 B．5天 C．8天 D．10天 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期末）《九章算术》中记载：“今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．今欲衰偿之，问各出几何？”其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿谷子共5斗．羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人各应赔多少？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．2斗 8．（25-26七年级上·河南信阳·期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒（）．下列结论正确的是（    ） A．当时，的值为 B．当的距离为个单位长度时，的值为或 C．运动过程中，线段的中点表示的数为 D．当时，点表示的数为，点表示的数为 二、填空题 9．（2026·陕西渭南·一模）中国古代数学著作《九章算术》中有一题，对其改编如下：“现有一根均匀金锤，若截去三尺，剩下的共重四斤；若截去五尺，剩下的共重二斤，问该金锤每尺重多少斤？”若设该金锤每尺重x斤，则可列方程为________． 10．（26-27七年级上·重庆·开学考试）某超市批发辣椒、西红柿、洋葱共930千克，其中西红柿的重量是洋葱的2倍，辣椒的重量比洋葱的一半还多20千克，问西红柿批发了_____千克． 11．（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数（如图阴影部分），若移动“十”字形状后所得五个数之和为，那么该“十”字形状中正中间的数为_____． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了________个零件． 13．（24-25七年级上·山东济宁·期末）一件商品的标价是100元，打八折出售后可获利，这件商品的进价是_______元． 14．（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 15．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 16．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的、两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在、第二次相遇前，当动点、在轨道上相距时，则_________________． 三、解答题 17．（25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测）七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 18．（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 19．（25-26七年级下·河南周口·期中）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 20．（25-26七年级上·广东广州·期中）将连续的奇数，，，，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数． (1)数表中从小到大排列的第9个数是，第个数是_______，第个数是_______，第个数是_______； (2)数排在数表中的第_______行，从左往右数第_______个数； (3)若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于、吗？如果能，请写出框中数字的值． 21．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 22．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）学校买了张桌子和把椅子，共花了元．已知每张桌子的价钱是每把椅子的倍，每张桌子和每把椅子各多少元？ 23．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 24．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）学校组织学生到太仓金仓湖秋游，景区的旅游路线示意图如下，其中B、D为景点，A为景区出入口，C为路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小明从A出发，以2千米/时的速度沿路线游览，每个风景点的逗留时间均为0.4小时，游览回到A处时共用了3.4小时． (1)求C、D间的路程： (2)若小明出发0.8小时后，小新从A出发以3千米/时的速度把照相机送给小明（小新在景点不逗留），那么小新最快用多长时间能遇见小明？ 25．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 26．（2026七年级上·北京·专题练习）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 27．（25-26七年级上·四川南充·期末）年，南充全市新增注册登记新能源汽车2万辆以上，新增充电桩不低于5千个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费2元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费元． (1)若小王在该充电桩充电小时，需支付费用 元． (2)若小王在该充电桩充电（）小时，需支付费用 元（用含有的代数式表示）． (3)小王每周在该充电桩充电一次，某月，小王第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用18元，则小王第一周和第二周各充电多少小时？ 28．（25-26七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情境： 学校给学生编制的“身份识别条形码”共有位数字（均为之间的自然数），它是由位数字代码和最后1位校验码构成，具体结构如图1，其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验“身份识别条形码”中前位数字代码的正确性，具体算法说明如下： 步骤1：计算前位数字中从左到右偶数数位数字的和，记为； 步骤2：计算前位数字中从左到右奇数数位数字的和，记为； 步骤3：计算，记为； 步骤4：取大于等于的最小整的倍数，记为； 步骤5：计算的结果即为校验码． 例如：在图1中，因为前位数字是， 所以，． 所以，，，即图1中校验码的数字是3． 问题解决： (1)某同学的“身份识别条形码”为04220250618□，则方框中校验码的数字为______． (2)如图2，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，用字母x表示这个数字，请你通过计算，确定这位同学的班级代码． (3)如图3，这位同学的班级代码和学号代码中被污损的数字相同，校验码的数字是学号代码被污损数字的2倍．请你直接写出这位同学的“身份识别条形码”． 29．（26-27七年级上·江苏南京·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，可以让表示“数”的“点”可视化．如图，将一条数轴在原点O和点A处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，两点之间的“折线距离”定义为这两点表示的数之差的绝对值．如：点B与点C的“折线距离”为：，并可表示为． 动点分别从点同时出发，点P以1个单位/秒的初始速度沿着折线数轴向其正方向运动，当运动到段时，速度变成原速的；点Q以1个单位/秒的初始速度沿着折线数轴向其负方向运动，当运动到段时，速度变成原速的2倍．其余段点速度不变，设运动时间为t秒． (1)【概念理解】 如图①，若点A表示的数为10． ①当时，______； ②若时，______；（用含t的代数式表示） (2)【深入研究】 如图②，若点A表示的数为． ①当时，______；（用含m的代数式表示） ②直接写出的值及对应t的范围（用含的代数式表示） 30．（25-26七年级下·福建泉州·期末）实践与探究 【主题】如何从饮水机接收适宜温度的温水喝？ 【背景】如图1是某品牌的饮水机，饮水机装有开水、温水两个按钮，水流速度及温度如图2所示． 【实践用具】 容积为的水杯． 【查阅资料】 查阅相关资料得知： ①开水和温水混合时会发生热传递，开水释放的热量等于温水吸收的热量，且满足等量关系：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． ②饮水适宜温度是（包括与）． 【实践操作】 先从饮水机接收温水的时间为，后接收开水，直至盛满容积为的水杯为止（接水期间不计热损失，也不考虑水溢出的情况）． 【问题解决】 (1)按上述操作，水杯中温水的体积是________，开水的体积是________；（用含的代数式表示） (2)假设盛满水时，水杯中水的温度恰好是，求此时的值； (3)若要使盛满水杯后，符合饮水适宜温度，则直接写出：接收温水时间的取值范围． 中考真题 1．（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建·中考真题）由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和．一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金____________克． 4．（2026·江苏宿迁·中考真题）一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 5．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为______． 6．（2026·江苏镇江·中考真题）1942年，新四军在我市创办了敌后第一家银行——惠农银行．其发行的“惠农币”作为苏南根据地早期的货币，为以茅山地区为中心的苏南抗日根据地的巩固和发展作出了一定贡献．用1元、5元、10元三种面额的“惠农币”16张，共计58元购买一批物资，其中5元面额的纸币张数是10元面额纸币张数的3倍，求10元面额的纸币张数． 7．（2026·湖南长沙·中考真题）某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔．请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题． 信息1 文具店的销售方式： ①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元； ②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元． 信息2 B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元． 信息3 这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔． (1)求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？ (2)该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？ 8．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 9．（2026·湖南·中考真题）我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 实际问题与 一元一次方程 学习目标 1、掌握用一元一次方程解决实际问题的一般方法. 2、能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理. 核心素养： 模型观念 应用意识 运算能力 知识结构 知识点一 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤 步骤 【例】七年级（3)班组织45名学生搬花盆，其中男生每人搬8盆，女生每人搬6盆,若一共搬了320盆，则女生有多少人? 以上面的实际问题为例，说明列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 一般步骤 对应示例 第一步：审，即弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系. 第二步：设，即设未知数，并用式子表示出其他相关量. 第三步：列，即根据相等关系列出方程. 第四步：解，即解方程，求出未知数的值. 第五步：检，即检验所得未知数的值是不是所列方程的解,是否符合题意. 第六步：答,即根据题意写出答案. 分析：由题意可知，学生总数是固定的，且男生搬的花盆数+女生搬的花盆数=320. 解：设女生有x人，则男生有()人. 由题意，得. 解方程，得. 当时， =120+200=320, 故是方程的解，且符合实际问题. 答：女生有20人. 点拨：列方程解应用题的关键是审题，找出问题中的相等关系，并根据相等关系列出方程. 【基础练习1-1】（2025·河北沧州·一模）《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（   ） A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变 C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设有辆车，根据乘车的总人数不变，可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有辆车， 根据“若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车”可得乘车的总人数为； 根据“若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘”可得乘车的总人数为． 再根据乘车的总人数不变列出方程． 故选：B． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的填空： 一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以八折（即按标价的）优惠卖出，结果每件仍获利元，这种服装每件的成本是多少元？ 我们知道，每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件服装的成本价为元，那么每件服装的标价为_________元；每件服装的实际售价为___________元； 每件服装的利润为____________元. 由此，列出方程_________________. 解这个方程，得______________. 因此每件服装的成本价是___________元. 【答案】 【分析】根据题意可得每件衣服的标价、售价、利润关于x的代数式，根据售价-标价=利润列出方程求解即可． 【详解】每件服装的标价为：(1+40%)x， 每件服装的实际售价为：(1+40%)x×80%， 每件服装的利润为：(1+40%)x×80%−x， 列出方程：(1+40%)x×80%−x=15， 解方程得：x=125， 因此每件服装的成本价是125元. 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找出等量关系. 列一元一次方程解决实际问题的常见类型 类型 知识点二 常见题型 题中涉及的数量及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 关系 —— —— 弄清“倍数”关系及“多少”关系等 行 程 问 题 相遇 问题 快者走的路程十 慢者走的路程= 原来相距的路程 注意始发时 间和地点 追及 问题 快者走的路程一 慢者走的路程= 原来相距的路程 —— 配套问题 —— 若件甲产品与件乙产品配套，则甲产品的数量=乙产品的数量 —— 工程问题 参与此项工作的 所有对象所完成 的工作量之和等 于总工作量 般设总工作量为1 销售问题 找出利润或利润 率之间的关系 打几折就是按原价的百分之几十出售 行船问题 顺流航行速度=船在静水中的速度+水流速度； 逆流航行速度=船在静水中的速度-水流速度 顺水路程=逆水路程 抓住两地之间路程不变，水速不 变，船在静水中的速度不变的特点考虑相等关系 比赛积分问题 总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分 比赛场数=胜场数+负场数+平场数 弄清楚比赛中胜、平、负一场的积分 【基础练习2-1】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）某家具厂有名工人，每名工人每天可以加工张桌子或把椅子．已知张桌子需要搭配把椅子才能组成一套家具，怎样安排加工桌子和椅子的人数才能不造成浪费？此时每天可以生产多少套家具？ 【答案】 安排名工人加工桌子，名工人加工椅子才能不造成浪费；此时每天可以生产套家具． 【分析】设加工桌子的工人数为，分别根据每人每天的加工量，计算出每天生产的桌子总数和椅子总数；因为1张桌子要搭配4把椅子，所以椅子总数等于桌子总数的4倍时没有浪费，据此列方程求解加工两类家具的人数；求出桌子总数后，即可得到每天生产的家具套数． 【详解】解：设安排名工人加工桌子，名工人加工椅子， 由题意可得： 解得 ∴（名）， （套）， 答：安排名工人加工桌子，名工人加工椅子才能不造成浪费；此时每天可生产套家具． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人，为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒，该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】应安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B 【分析】首先分析配套的数量关系，大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成，要使盲盒正好配套，需满足：生产的盲盒A总数量=生产的盲盒B总数量．据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设安排x名工人生产盲盒A，则安排名工人生产盲盒B． 根据题意，得 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 题型1 配套问题 【典例】（26-27七年级上·吉林·期中）某车间有工人60人，每人每天可加工甲种零件15个或乙种零件10个．如图，3个甲种零件和2个乙种零件配成一套．为使每天加工的甲、乙两种零件恰好配套，应安排多少人加工甲种零件？ 【答案】应安排人加工甲种零件 【分析】设安排人加工甲种零件，则加工乙种零件的有人，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设安排人加工甲种零件，则加工乙种零件的有人， 每天加工甲种零件个，乙种零件个， 根据题意列方程得， 解得， 答：应安排人加工甲种零件． 【变式练习1-1】（25-26七年级上·河南开封·阶段检测）某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． 【变式练习1-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用含的代数式分别表示裁剪出的侧面个数为_____，底面的个数为_____．（要求写出化简后的结果） (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1) (2)60个 【分析】本题考查了用一元一次方程解决实际问题，列代数式，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键． （1）由张用方法，就有张用方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）根据裁剪出的侧面和底面恰好全部用完得出方程，解方程求出的值，求出侧面的总数就可以求出结论． 【详解】（1）解：侧面个数：个； 底面个数：个； 故答案为：． （2）解：由题意，得． 解得：． （个）． 答：若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子． 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. A、B的数量比是，A的总数量×＝B的总数量×． 题型2 工程问题 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）某地为打造绿地公园，现有一段河道整治任务由，两个工程队完成．工程队单独整治该河道要16天才能完成；B工程队单独整治该河道要24天才能完成．现在A工程队单独做6天后，B工程队加入一起完成剩下的工程，问A工程队一共做了多少天？ (1)根据题意，小明、小红两名同学分别列出尚不完整的方程如下： 小明：； 小红：． 请根据小明、小红两名同学所列的方程思考，并补全空白括号里的内容． 小明同学所列不完整的方程中的空白括号里该填 ，小红同学所列方程中的空白括号里该填 ． (2)A工程队一共做了多少天？（写出完整的解答过程） 【答案】(1)1， (2)A工程队一共做了12天 【分析】（1）根据总量为单位“1”和B工程队的工作时间即可求解； （2）设A工程队一共做了天，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设A工程队一共做了天， 根据题意，得， 解得． 答：A工程队一共做了12天． 【变式练习2-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快．某社区在一次改造中，预算施工费用为万元，计划由甲、乙两队先后接力施工天完成．已知甲队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，乙队单独施工完成此次改造需要天，每天的施工费用为万元，请通过计算说明预算施工费用是否够用？ 【答案】 预算施工费用够用，实际总施工费用为万元 【分析】以总工作量为等量关系列一元一次方程，求出甲、乙两队的施工天数，再计算总费用与预算对比． 【详解】解：将此次改造的总工作量看作单位，设甲队施工天，则乙队施工天， ∵甲队单独施工完成此次改造需要天，乙队单独施工完成此次改造需要天， ∴甲队单日完成总工作量的，乙队单日完成总工作量的， ∵两队总工作量为， ∴， 解得， 乙队施工天数：（天）， 总施工费用：（万元）， ∵， ∴ 预算施工费用够用． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·四川广元·期末）2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． (1)基本相等关系：工作量＝工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝； (2)当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1； (3)见的相等关系为总工作量＝各部分工作量之和． 题型3 销售盈亏问题 【典例】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为多少元？ 【答案】该商品每件的进价为元． 【分析】设该商品每件的进价为x元，结合售价、进价与利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品每件的进价为x元， 根据题意得，， 解得， 答：该商品每件的进价为元． 【变式练习3-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1元，数量少了5本．设第一批单价为x元． (1)用含x的代数式表示两批进货数量； (2)若第一批单价为4元，求两次一共购进笔记本多少本． 【答案】(1)第一批：本；第二批：本 (2)一共45本 【分析】（1）设第一批单价为x元，则第二批单价为元，设第一批购进了本，则第二批购进了本，进一步即可得到答案； （2）设第一批购进了本，则第二批购进了本，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设第一批单价为x元，则第二批单价为元，设第一批购进了本，则第二批购进了本， ∴， 解得：， ∴， ∴第一批进货数量为（本），则第二批进货数量为（本）. （2）解：∵第一批单价为4元， ∴第二批单价为5元， 设第一批购进了本，则第二批购进了本， ∴， 解得：， ∴， ∴两次一共购进笔记本本. 【变式练习3-2】（2026·江西抚州·二模）2026年1月1日起，江西接续实施消费品以旧换新政策，覆盖汽车、家电、数码等多类消费品．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的 15000元 (1)按照以旧换新补贴标准，购买______价格更低；（填序号） ①售价12.8万元的新能源乘用车；②售价13万元的2.0L燃油乘用车 (2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均在最高补贴范围内，且补贴后的实际花费相等，若A车的销售价格比B车高3千元，请你求出A车和B车的销售价格各是多少万元． 【答案】(1)① (2)A车的销售价格是13.5万元，B车的销售价格是13.2万元 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元．根据题意列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：万万，万， 万万，万． 万万， 按照以旧换新补贴标准，购买①价格更低． （2）解：设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元． 根据题意，可列方程为 ． 解得． （万元）． 答：A车的销售价格是13.5万元，B车的销售价格是13.2万元． 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 (1)商品利润＝商品售价-商品成本价 (2)商品利润率＝ (3)商品销售额＝商品销售价×商品销售量 (4)商品的销售利润＝（销售价-成本价）×销售量 (5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 题型4 比赛积分问题 【典例】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ① 根据信息填表（用含有x的式子表示）； 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)① 场次（场） 每场得分（分） 积分（分） 胜 3 平 1 ②，胜6场，平3场 (2)解：设这支球队胜场，则平场， 由题意得， 解得， 因为场数不是整数，故不符合题意， 所以这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【分析】（1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可； ②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①略 ②由题意得， 解得， ∴ 所以胜6场，平3场； （2）略 【变式练习4-1】（26-27七年级上·湖南湘西·开学考试）在2026年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的足球比赛．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，A队老师参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了多少场？ 【答案】 这支球队胜了9场 【分析】以总得分为等量关系，结合胜平场数的数量关系列方程求解胜场数即可． 【详解】解：设这支球队胜了场， ∵ 共参加15场比赛，负了4场， ∴ 平的场数为场， ∵ 胜一场记3分，平一场记1分，总得分29分， ∴ ， 解得 ， 答：这支球队胜了9场． 【变式练习4-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 相等关系：(1)比赛总场数＝胜场数＋平场数＋负场数； (2)比赛总得分＝胜场总得分＋平场总得分＋负场总得分． 题型5 方案选择问题 【典例】（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 【变式练习5-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为． (1)每个足球的售价是多少元？ (2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有的利润．每个篮球的进价是多少元？ (3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【答案】(1)100元 (2)90元 (3)学校应该选择方案二购买 【分析】（1）根据篮球售价与足球售价的百分比关系，列方程，求解足球售价； （2）第二问先计算两次打折后的篮球售价，再根据利润率关系列方程求解篮球进价； （3）第三问先根据总数量和比例求出篮球足球的个数，再分别计算三种优惠方案下的总费用，比较大小后得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每个足球的售价是元， 依题意，， 解得， 即每个足球的售价是元； （2）解：设每个篮球的进价是元， 则两次打折后篮球的实际售价：（元）； 根据题意得， 解得， ∴每个篮球的进价是90元． （3）解：∵总数量共90个，篮球与足球个数比为， 因此篮球个数为 （个）； 足球个数为（个）； 原价总费用为（元）， 方案一：总费用打九折，总费用为（元）； 方案二：40个足球可赠送篮球个数为（个）； 需要付费的篮球个数为 （个） 总费用为 （元） 方案三：超过2000元的部分为（元） ， ∴可满减33次，即满减总金额为（元） ∴总费用为 （元） ∵， ∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买． 【变式练习5-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． (1)若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ (2)若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ (3)在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)单独租用甲客车需要4辆，单独租用乙客车需要5辆 (2)租用甲客车2辆，乙客车2辆 (3)（2）条件下总租车费用为1080元，不存在更省钱的租车方案 【分析】本题是一元一次方程的实际应用，属于方案选择问题； （1）利用总人数除以单车载客量，结合车辆数为正整数的要求取整得到结果； （2）设未知数，根据总载客量等于总人数列一元一次方程求解； （3）先计算给定方案的总费用，再枚举所有满足载客要求的方案，比较费用判断是否存在更省钱的方案． 【详解】（1）解：∵，车辆数为正整数， ∴单独租用甲客车需要辆； ∵，车辆数为正整数， ∴单独租用乙客车需要辆； （2）解：设租用甲客车辆，则租用乙客车辆， 根据恰好坐满140人，列方程得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 则， 即租用甲客车2辆，乙客车2辆； （3）解：在（2）的条件下，即租用甲客车2辆，乙客车2辆的总费用：（元）； 方案1：租0辆甲，5辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案2：租1辆甲，4辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案3：租3辆甲，1辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案4：租4辆甲，0辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 对比所有方案可知，1080元为最低费用，因此不存在更省钱的租车方案． 借助方程先求出相等的情况。再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 题型6 数字问题 【典例】（2025七年级上·全国·专题练习）一个两位数，已知它的个位数字是十位数字的．如果把这个两位数的十位数字与个位数字调换位置，那么所得的新数与原数的和是，求这个两位数是多少． 【答案】 【分析】本题考查了列方程解决问题的方法，找到等量关系是解题的关键．根据题意，设十位上的数字为未知数，则个位上的数字是，此时这个数是：；两位数的十位数字与个位数字调换后，即十位上是，个位上是，则此时的数是：．将两个数相加等于，运用等式基本性质可得出答案． 【详解】解：设这个两位数的十位数字是，则个位上的数字是， ， ， ， ， ， ， 则这个两位数是：， 答：这个两位数是． 【变式练习6-1】（26-27七年级上·湖北恩施·期中）观察下面有规律排列三行数： (1)第一行数中，第个数是 ，第个数是 ． (2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题： ①第二行数中，第个数是 ，第三行数中，第个数是 ； ②取每行数的第个数，计算这三个数的和是 ； ③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的个数的和为，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②；③这四个数中最左边的数为 【分析】（1）根据已知数据都是前一个数乘2得到的，再利用第奇数个系数为负求解即可； （2）①根据第二行的数比第一行的数小1，第三行的数等于第二行的数乘以，即可求解； ②根据第一行的第个数为，第二行的数为，第三行的数为，可得，再进行求解即可； ③设第二行最左边的数为，则其第二个数为，第三行第一个数为，第二个数为，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第个数是，第个数是； （2）解：①由题意得，， 第二行数中，第个数是，第三行数中，第个数是； ②第一行的第个数为，第二行的数为，第三行的数为， 第一行的第个数为，第二行的第个数为，第三行的第个数为， ； ③存在框住的个数的和为， 设第二行最左边的数为，则其第二个数为，第三行第一个数为，第二个数为， ， 解得， ， 这四个数中最左边的数为． 【变式练习6-2】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）某数学兴趣小组开展“探究商品条形码中的秘密”综合实践活动，通过网上收集素材研究，整理如下： 探究商品条形码中的秘密 素材 商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和最后一位校验码构成，从左至右其前3位、第4至7位、第8至12位、最后一位分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”，其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性 计算 如图1： （1）计算条形码从左至右13位数字中偶数位数字的和：； （2）计算条形码从左至右13位数字中奇数位数字（除最后一位数字）的和：； （3）计算：； （4）取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即．    发现 d与c的差就是校验码，即 解决问题： (1)某商品条形码中前12位为，求最后一位校验码是什么数字． (2)如图2，某商品条形码中从左至右的第7位数字磨损不可见，求出第7位数字．    【答案】(1)5 (2)4 【分析】（1）根据新定义求解； （2）设从左至右，第七位数字为x，根据新定义求出a，表示出b，c，再根据x的取值范围得出d的值，然后列方程求解． 【详解】（1）解：某商品条形码中前12位为， ∴，， ， 取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即， ∴， ∴最后一位校验码是什么数字为5． （2）解：设从左至右，第七位数字为x，依题意有： ， ， ， 因为d取大于或等于c且为10的整数倍的最小数，x为0到9之间的整数， ∴或， 由图2条形码知，最后一位校验码为9， ∴或， 解得（不合题意，舍去）或． 即第7位数字是4． (1)多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。十位数可表示为， 百位数可表示为。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 (2)连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 题型7 几何问题 【典例】（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，一个长方形纸片的长为，在这张纸片的长和宽上各剪去宽为的长条，剩下的长方形面积是原长方形面积的，求原长方形纸片的宽． 【答案】原长方形纸片的宽是 【分析】本题考查一元一次方程的应用，注意计算的准确性．设原长方形纸片的宽是，由题意即可建立方程求解． 【详解】解：设原长方形纸片的宽是， 由题意得： 解得：； 答：原长方形纸片的宽是． 【变式练习7-1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 【答案】 【分析】设容器内水将升高，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设容器内水将升高，由题意，得： 解得， 答：容器内水将升高． 【变式练习7-2】（2026·陕西西安·三模）中国是风筝的故乡，春秋末期墨子“斫木为鹞”，鲁班改进为竹制“木鸢”，东汉造纸术后出现纸鸢；五代李邺加装竹笛，风动发声如筝，得名风筝．今天聪明的小瑞准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的6倍，门条比单根膀条短，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】设头部高为，则胸腹高为，尾部高为，由此可表示出总高、单根膀条、门条长、图1中的，由建立方程即可求解． 【详解】解：设头部高为，则胸腹高为，尾部高为，总高为，单根膀条，门条长，，； 由图１得：， 即， 解得：， 则总高为， 答：这只风筝的骨架的总高为． 利用几何图形的性质（周长、面积、体积、角度关系等）列出方程，然后通过解方程求出未知量。 核心解题思路：“数形结合” 1.用“方程”表示“图形”：将几何问题中的未知量（如边长、角度）设为未知数。 2.用“图形”找出“等量关系”：利用几何图形的公式或性质，找到一个包含未知数的等式。 3.解“方程”得到“答案”：解这个一元一次方程，得到未知数的值，也就是几何问题的答案。 题型8 和差倍分问题 【典例】（26-27七年级上·重庆·阶段检测）妈妈去超市买香蕉和苹果一共花了45元，买苹果的钱数是买香蕉钱数的2.6倍，请问妈妈买香蕉花了多少元？（列方程解答） 【答案】 妈妈买香蕉花了12.5元 【分析】设买香蕉的钱数为未知数，根据总花费的等量关系列方程求解． 【详解】解:设妈妈买香蕉花了元，则买苹果花了元， 由题意得 解得: 答：妈妈买香蕉花了12.5元． 【变式练习8-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式练习8-2】（2026·北京房山·二模）自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 【答案】满足，理由见解析 【分析】设充电车位的数量为x个，根据“平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为”求出充电车位和普通车位的个数，再求出充电车位配建比例即可． 【详解】解：满足，理由如下： 设充电车位的数量为x个，普通车位的数量为个， 则， 解得， 则， 所以车位的总数为． ∵且， ∴充电车位数量满足“指南”要求． 关键词识别问题类型 和差倍分问题内部可以细分为四种子类型，每一种都有对应的“信号词”和基本关系式。 1.差关系 关键词：“共”“合计”“总和”“比……多”“比……少”“相差”。 基本关系式：甲+乙 = 和，甲−乙 =差。 2.倍数关系 关键词：“是……的几倍”“多几倍”“扩大到原来的  倍”。 基本关系式：甲=×乙。 题型9 阶梯收费问题 【典例】（26-27七年级上·吉林·期中）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实行“阶梯水价”，收费标准如下表： 每户每月用水量 单价 不超过吨的部分 元/吨 超过吨的部分 元/吨 (1)小明家9月份用水12吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份缴水费63元，求小明家月份的用水量． 【答案】(1)应缴水费元 (2)月份用水吨 【分析】（1）因为已知用水量为吨，先判断其处于哪个阶梯区间，再分别计算各区间内水量对应的费用，求和即可得到总水费． （2）先求出每月用水量不超过15吨时的最高水费，推出小明家用水量超过15吨．设用水量为x吨，根据阶梯计费规则列方程求解． 【详解】（1）解：因为小明家9月份用水12吨，不超过15吨，故按每吨元计费：（元）． 答：应缴水费元． （2）解：用水吨时水费为（元）．因为，所以月份用水超过吨． 设月份用水吨（），则． 解得． 答：月份用水吨． 【变式练习9-1】（26-27七年级上·江苏泰州·期中）为引导居民错峰用电，某市对居民生活用电实行峰谷分时电价： 峰时段（）电价为元/千瓦时； 谷时段（—次日）电价为元/千瓦时． (1)小明家6月份用电150千瓦时，若全部按谷时段电价计算，应付电费__________元； (2)小明家7月份共用电210千瓦时，其中峰时段用电x千瓦时，用含x的代数式表示7月份应付的电费，并化简； (3)若小明家7月份共付电费95.8元，求7月份峰时段、谷时段各用电多少千瓦时． 【答案】(1)57 (2)元 (3)峰时段80千瓦时，谷时段130千瓦时 【分析】（1）将谷时段的电价乘以用电量即可； （2）根据“总电费=峰时段电费+谷时段电费”列式并化简； （3）结合（2）求出峰时段的用电量，再将总电量210千瓦时减去峰时段的用电量即可求出谷时段的用电量． 【详解】（1）解：（元）， 答：应付电费57元． （2）解：峰时段用电x千瓦时，则谷时段用电千瓦时， 所以7月份应付电费为（元）． （3）解：由（2）可得，解得． 谷时段用电（千瓦时）． 答：7月份峰时段用电80千瓦时，谷时段用电130千瓦时． 【变式练习9-2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分三种情况讨论：当时，不符合题意；当时，得到，求出；当时，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 分段计费问题解题思路1.明确分段区间2.明确不同区间的计费标准3.分区间讨论计算 题型10 行程问题 【典例】（26-27七年级上·吉林·期中）甲、乙两地相距300千米．一辆轿车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米；同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行驶40千米（如图）． (1)两车出发几小时后相遇？ (2)两车出发几小时后相距40千米？ 【答案】(1)3小时后相遇 (2)出发小时或小时后两车相距40千米 【分析】（1）设两车出发x小时后相遇，根据题意列方程求解即可； （2）设两车出发x小时后相距40千米，根据题意分为相遇前和相遇后进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设两车出发x小时后相遇， 由题意得， 解得， 答：3小时后相遇； （2）解：设两车出发x小时后相距40千米， 由题意得，相遇前： 解得； 相遇后：， 解得． 答：出发小时或小时后两车相距40千米． 【变式练习10-1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）为备战济宁马拉松比赛，小彬和小强每天坚持在学校的环形跑道上跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑．如果两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 【答案】 【分析】设经过两人首次相遇，两人在跑道上相距处，同时“背对背”出发，方向相反，相对速度为速度之和，首次相遇时，总路程等于跑道周长减去，即可列出方程进行求解． 【详解】解：设经过两人首次相遇， 根据题意，得， 解得． 答：经过两人首次相遇． 【变式练习10-2】（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）甲、乙周末骑自行车去郊外游玩，甲从A地出发沿直线匀速前往B地，乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地，甲的速度比乙的速度的2倍少8千米/小时，他们出发30分钟后，甲追上乙． (1)求甲和乙的速度； (2)若甲追上乙后，甲的速度立即提高3千米/小时快速到达B地，到达B地后休息12分钟，再沿原路以提速后的速度返回，乙仍按原速前往B地，结果两人在距离B地2千米处再次相遇，求A，B两地的距离． 【答案】(1)甲的速度是12千米/小时，乙的速度是10千米/小时 (2)A，B两地的距离为22千米 【详解】（1）解：设乙的速度是x千米/小时，则甲的速度是（2x﹣8）千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝10， ∴2x﹣8＝2×10﹣8＝12（千米/小时）． 答：甲的速度是12千米/小时，乙的速度是10千米/小时； （2）设A，B两地的距离为y， 根据题意得：， 解得：y＝22． 答：A，B两地的距离为22千米． 基本相等关系：路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度． (1)直线形相遇问题：甲走的路程＋乙走的路程＝两地之间的路程． (2)直线形追及问题：快者走的路程＝慢者走的路程＋两人初始路程差； 快者走的路程＝慢者先走的路程＋慢者后走的路程． (3)环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间＝；第 n次相遇时，二者合走了n圈． (4)环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走1圈；追及所用时间＝；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈． 题型11 比例分配问题 【典例】（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）甲便民服务点有工作人员25人，乙便民服务点有工作人员18人，现有20名志愿者前来支援．要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍，应怎样分配前来的志愿者？ 【答案】分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设分配x名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点，根据“要使甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的2倍”列出方程，求解即可． 【详解】解：设分配名志愿者到甲便民服务点，则分配名志愿者到乙便民服务点． 根据题意得：， 解得， ． 答：分配17名志愿者到甲便民服务点，分配3名志愿者到乙便民服务点． 【变式练习11-1】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【答案】A种商品元，B种商品元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设这两种商品的原价分别是元和元，列出比例式子，即可求解． 【详解】解：设这两种商品的原价分别是元和元， 解得：， ∴元，元； ∴A种商品元，B种商品元． 【变式练习11-2】（24-25七年级上·陕西延安·期末）在清冰雪劳动中，某武警部队出动兵力人参加三条街道的清冰雪劳动，其中街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街道和街道的清冰雪劳动，并且参加街道清冰雪的人数是参加街道清冰雪人数的． (1)求参加街道清冰雪劳动的有多少人？ (2)求参加街道和街道清冰雪劳动的各有多少人？ 【答案】(1)参加街道清冰雪劳动的有人； (2)参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次方程的实际应用，解题关键是根据题意，找准等量关系，列出正确的方程式． （1）根据分式乘法的运算，用总人数乘以街道清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的分率即可求解； （2）设参加街道的清冰雪劳动有人，参加街道清冰雪的人数为人，由（1）可得参加街道清冰雪劳动的为人，根据总数为人列方程，即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 答：参加街道清冰雪劳动的有人； （2）解：设参加街道的清冰雪劳动有人，那么参加街道清冰雪的人数为人， ， 解得，， ， 答：参加街道清冰雪劳动的有人，参加街道清冰雪劳动的有人． 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 题型12 日历问题 【典例】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，这是2026年1月的月历表，用如图2所示的“”字型去框出月历表中的五个数，设这五个数由小到大依次为，，，，． (1)若设所表示的数为14，则表示的数为_____． (2)这五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)22 (2)不能，理由如下： 解：设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∵这五个数的和为93， ∴， 解得 是整数 此情况不成立，即这五个数的和不可能是93． 【分析】（1）观察月历表可得表示的数比所表示的数大8，由此即可得； （2）设所表示的数为，则所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由月历表可知，表示的数比所表示的数大8， ∵所表示的数为14， ∴表示的数为； （2）略． 【变式练习12-1】（25-26七年级上·广东江门·期中）生活与数学 (1)吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是________； (2)玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是________； (3)若干个偶数按每行8个数排成下图： ①图中方框内的9个数的和与正中间的数的关系是______________________________________________； ②托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由． 【答案】(1)3 (2)14 (3)① 9倍；②不可能 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和数字变化的规律，关键找出规律、列方程是解答本题的关键． （1）先根据日历上的数据规律，设第一个数是x，其他的数为，然后列一元一次方程求解即可； （2）根据日历上的数据规律，设第一个数是a，其他的数为，然后列一元一次方程求解即可； （3）①通过计算可以得出结论；②根据①的规律，设中间的数是t，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一个数是x，其他的数为， 则，解得． 故答案为：3． （2）解：设第一个数是a，其他的数为， 则，解得， 则． 故答案为：14． （3）解：①， 故答案为：9个数的和是中间的数的9倍； ②不可能，理由如下： 根据①的规律，设中间的数是t， 则，解得0， ∵50是最左边第1列上的数， ∴不可能存在． 【变式练习12-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______； （注：用含n的代数式表示c和d．）    活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等； （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则m是_____，n是_____； （4）若方框选取的数中最小的数是t，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是_____（用含t的代数式表示g）．    【答案】（1）12；17；（2）；；（3）5；4；（4） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据日历的特点求解即可； （2）根据日历的特点求解即可； （3）根据题意可得方程，，解方程即可得到答案； （4）根据日历的特点表示出其它8个数，再根据“幻方”的特点可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，； （2）由题意得，； （3）由题意得，， ∴， ∴； （4）∵方框选取的数中最小的数是t， ∴其它8个数分别为， ∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等， ∴， ∴， ∴． 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 题型13 古代问题 【典例】（25-26七年级下·福建泉州·期中）列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． 【变式练习13-1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 【答案】(1)填表如下： 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)解：设有两银子． 根据题意得 ∴ ∴ ∴ 则 ∴有个人，有两银子． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先结合每人分9两，得出每人分银子总量，银子总量为，再列出方程，进行计算，即可作答． （2）理解题意，设有两银子，再列出方程，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∴， ∴， 解得， ∴ ∴有个人，有两银子． （2）略 【变式练习13-2】（24-25七年级上·山东济南·期末）在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰，实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略． 【题目】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．” 译文是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 【直观分析】（1）设快马天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整： 【解决问题】（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题． 【答案】（1）如图所示：（2）快马20天可以追上慢马． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意画图表示即可； （2）设快马x天可以追上慢马，根据慢马先行的路程快慢马速度之差快马行走天数，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）设快马x天可以追上慢马， 由题意，得， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 题型14 动点问题 【典例】（26-27七年级上·吉林·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． (1)用含的式子表示点、点表示的数； (2)当为何值时，、两点相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)当为何值时，、两点相距个单位长度？ 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为 (2)秒时两点相遇，相遇点表示的数是 (3)秒或秒时，、两点相距个单位长度 【详解】（1）解：点表示的数为：， 点表示的数为：； （2）解：根据题意得， 解得， 相遇点表示的数是； （3）解：根据题意得， 或， 解得或． 【变式练习14-1】（26-27七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和最小时，此时距离之和的最小值为__________； (3)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (4)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数． 【答案】(1)点N所对应的数为1． (2)4． (3)点P所对应的数是或1.5． (4)点P，Q对应的数为或． 【分析】（1）因为数轴上右边的点对应的数比左边大，已知点N在M右侧且距离M为4个单位，所以用M对应的数加上距离即可得到N对应的数． （2）根据两点之间线段最短，如果点P在M、N之间，那么P到M、N的距离之和等于M、N两点的距离，此时距离之和最小，直接利用M、N的间距求解． （3）设点P对应的数为，根据数轴上两点距离公式，，，因为距离和为5，所以列含绝对值的方程，分在M左侧、N右侧两种情况去绝对值求解． （4）先设Q运动的时间为秒，因为P先出发5秒，所以P的运动时间为秒，根据向左运动的数的变化规律：初始数减去运动速度乘时间，分别写出秒后P、Q对应的数；再根据两点距离为2，列绝对值方程，分Q还没追上P、Q追上P之后两种情况求解，最后代入得到对应点的数． 【详解】（1）解：数轴上右侧的数比左侧大，点M对应，N在M右侧4个单位， ∴N对应的数为：． 答：点N对应的数是1． （2）解：根据数轴性质：若点P在M、N两点之间（含M、N），P到M、N的距离之和恰好等于M、N两点间的线段长度；若P在M左侧或N右侧，距离之和都会大于的长度． ∵长度为4， ∴距离之和的最小值为． （3）解：设点P对应的数为，由两点距离公式得， 分两种情况讨论： P在点M左侧（）： 方程化简为， 解得； P在点N右侧（）： 方程化简为， 解得． 综上，点P对应的数为或． （4）解：设Q出发后运动了秒． ∵P先出发5秒，已经向左走了个单位， ∴P此时对应的数为； Q从N（对应1）出发向左运动，对应的数为． 根据两点距离为2列方程，即： 当时，， 此时P对应，Q对应； 当时，， 此时P对应，Q对应． 因此结果为：点P对应、点Q对应，或点P对应、点Q对应． 【变式练习14-2】（24-25七年级上·吉林·期中）如图，在中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点时停止运动．设点运动的时间是秒． (1)______． (2)当点在运动时，用含的代数式表示的长． (3)请直接写出当为何值时，的面积等于6． 【答案】(1)4 (2) (3)t的值为或4或6或时，的面积等于6 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据点是的中点，求出即可； （2）分P在E的左侧和右侧两种情况讨论即可； （3）分P在，，，上讨论即可． 【详解】（1）解：∵点是的中点，， ∴； （2）解：P在上运动的时间为， P从C运动到E需要， P从C运动到B需要， 当P在E的左侧时，即，； 当P在E的右侧时，即，； 综上分析可知：； （3）解：当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时，过点E作于G， ∵， ∴， 即， 解得， 根据题意，得， 解得； 综上，当t的值为或4或6或时，的面积等于6． 关键技巧：分类讨论——动点问题的“分水岭” 动点问题中，点的位置往往不确定，这是必须分类讨论的根本原因。常见需要分类的情形包括： · (1)动点在定点左侧还是右侧（影响距离公式中谁减谁）； · (2)两点相遇前还是相遇后（影响距离的表达方式，是“和”还是“差”）； · (3)动点是否已经折返或到达端点（运动方向发生变化）。 操作原则：先根据可能的运动阶段或位置关系，划分出互不重叠的区间，在每个区间内分别写出该阶段适用的位置表达式和距离表达式，再列方程求解。解出 后，必须回代检查它是否落在当前分类的前提范围内，不在该范围内的解要舍去。 题型15 其他问题 【典例】（26-27七年级上·浙江湖州·阶段检测）要配制浓度的盐水克，需浓度为和浓度为的盐水各多少克？（用方程解） 【答案】需浓度为的盐水克，浓度为的盐水克． 【分析】设需浓度为的盐水克，则需要浓度为的盐水克，根据配制前后盐水中盐的质量相等列方程，解方程即可求出答案． 【详解】解：设需浓度为的盐水克，则需要浓度为的盐水克， 根据题意可得， 解得 ∴， 答：需浓度为的盐水克，浓度为的盐水克． 【变式练习15-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）物理学“杠杆原理”为：动力动力臂阻力阻力臂（如图①），数学实验社团在活动课上用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验，如图②，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂钩码，每个钩码质量是，若，，挂4个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．求所挂重物的质量． 【答案】 【分析】设所挂重物的质量为，利用动力动力臂阻力阻力臂建立方程求解即可. 【详解】解：设所挂重物的质量为． 根据题意，得． 解得． 答：所挂重物的质量为． 【变式练习15-2】（25-26七年级下·北京东城·期末）2026年全国低碳日定于6月17日，活动主题为“绿色转型，全民同行”，鼓励全民共同参与低碳行动．“碳足迹”是指一个人或一个家庭的活动产生的二氧化碳排放量．通过计算“碳足迹”，我们可以更好地了解自己的生活方式对环境的影响，采取低碳生活的方式，减少碳排放量，同时也可以通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡． 下表是小明同学查询相关资料计算出一家三口某月的“碳足迹”： 序号 种类 消耗量 碳排放系数 碳排放量（） 1 家庭用电 93.6 2 自来水 8t 7.28 3 天然气 25.92 4 牛肉 135 5 国际长途飞行 720 6 应季蔬菜 24 (1)若一棵树每年吸收大约，则根据上表至少需要________棵树一年才能抵消该月使用天然气产生的碳排放量；（结果保留整数） (2)小明家本月购买牛肉和应季蔬菜共，这两种食材产生的总碳排放量为．求小明家本月购买牛肉和应季蔬菜各多少千克？ (3)为了抵消国际长途飞行的碳排放量，小明计划调整家中空调的使用方案．已知1.5匹家用空调制冷模式每小时碳排放量约，制热模式每小时碳排放量约，小明家夏季（120天）每天开8小时，冬季（90天）每天开6小时，其余季节不开空调．他计划在夏季和冬季都将每日空调使用时长减少相同的时间．请通过计算说明：他能否在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量？ 【答案】(1) (2)小明家本月购买牛肉，购买应季蔬菜 (3)能 【分析】（1）用天然气的总碳排放量除以单棵树一年的吸收量，将结果向上取整即可得到所需树的数量； （2）设出一种食材的购买质量，结合总质量得到另一种食材的质量，根据总碳排放量列一元一次方程求解即可； （3）设每日减少的空调使用时长为，表示出一年内减少的总碳排放量，计算得到最大减少量，与飞行碳排放量比较即可得出结论． 【详解】（1）解：已知该月天然气碳排放量为，一棵树每年吸收， 可得：， 树的数量为正整数，且需抵消全部碳排放， 因此向上取整得至少需要棵树； （2）解：设小明家本月购买牛肉，则购买应季蔬菜， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：小明家本月购买牛肉，购买应季蔬菜； （3）解：设夏季和冬季每日减少的空调使用时长为， 冬季原每日空调使用时长为，因此， 一年内减少的总碳排放量为：， 当取最大值时，总减少碳排放量为：， 已知国际长途飞行的碳排放量为， ∵， ∴小明可以通过减少空调使用抵消全部飞行产生的碳排放量， 答：小明能在一年内通过减少空调使用，抵消全部飞行产生的碳排放量． 综合检测 一、单选题 1．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）课外阅读课上，老师将一批书分给各小组，若每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，问有几个小组？若设有个小组，则依题意列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据书的总数不变列出方程即可． 【详解】解：设有个小组， ∵每小组本，还剩余本；若每小组本，则还缺本，且书的总数不变， ∴． 2．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）小丁今年5岁，妈妈30岁，（　　）年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． A．30 B．20 C．10 D．不可能 【答案】B 【分析】设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍，根据x年后妈妈的年龄是小丁的2倍，列出方程求解即可， 【详解】解：设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍， 根据题意可得方程：， 解得， ∴20年后妈妈的年龄是小丁的2倍． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 3．（25-26七年级上·全国·期末）某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 【答案】A 【分析】根据题意将加工大齿轮的工人人数与加工小齿轮的工人人数表示出来，再根据“加工的小齿轮数量是加工的大齿轮数量的2倍”求解即可． 【详解】解：设每天加工大齿轮的工人有人，加工小齿轮的工人有人， 由题意列式为， 解得． 4．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据答错与未答题数的倍数关系设未知数，结合总得分列方程求解． 【详解】解：设未答题数为道，则答错题数为道，答对题数为道， 根据题意可得， 解得：， 故答对题数为． 5．（25-26七年级上·江西南昌·期末）甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合作，则完成该工程还需要（    ） A．3天 B．5天 C．8天 D．10天 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．设还需要x天完成，根据题意可得出：(甲队的工作效率+乙队的工作效率)×时间+甲队先做5天的工作量，由此可列出方程求解． 【详解】解：设还需要x天完成，依题意得： ， 解得：， ∴还需要3天完成， 故选：A． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】火车匀速行驶，通过隧道的总路程为隧道长度加火车自身长度，根据路程速度时间的关系，可先求出火车速度，再计算火车长度． 【详解】解：设火车速度为米/秒，火车长度为米， ∵火车从车头进入入口到车尾离开出口行驶的总路程为隧道长加火车自身长度， ∴根据题意可得：， 两式相减得：，解得：米/秒， 将代入，得：． ∴火车长度为． 7．（25-26七年级上·陕西西安·期末）《九章算术》中记载：“今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．今欲衰偿之，问各出几何？”其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿谷子共5斗．羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人各应赔多少？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．2斗 【答案】A 【分析】本题根据三者食量的比例关系设未知数，利用总赔偿量列一元一次方程求解，再计算牛主人与羊主人赔偿量的差值即可． 【详解】解：设羊主人应赔偿谷子斗， ∵羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半， ∴马主人赔偿斗，牛主人赔偿斗， ∵总赔偿谷子共斗， ∴， 解得， ∴牛主人赔偿， ∴牛主人比羊主人多赔偿斗． 8．（25-26七年级上·河南信阳·期末）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为．点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点从出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒（）．下列结论正确的是（    ） A．当时，的值为 B．当的距离为个单位长度时，的值为或 C．运动过程中，线段的中点表示的数为 D．当时，点表示的数为，点表示的数为 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的动点问题，由，，可得，即可判断；运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，即得，再解方程即可判断；由中点坐标公式可判断；把代入和计算可判断，综上即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：、由题意得，，， ∴， ∴对任意均有，该选项结论不正确； 、由题意得，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当时， 解得或，该选项结论不正确； 、∵运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∴线段中点表示的数为，该选项结论不正确； 、当时，点表示的数为，点表示的数为，该选项结论正确； 故选：． 二、填空题 9．（2026·陕西渭南·一模）中国古代数学著作《九章算术》中有一题，对其改编如下：“现有一根均匀金锤，若截去三尺，剩下的共重四斤；若截去五尺，剩下的共重二斤，问该金锤每尺重多少斤？”若设该金锤每尺重x斤，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设该金锤每尺重x斤，根据截去三尺，剩下的共重四斤；截去五尺，剩下的共重二斤，列出方程即可． 【详解】解：设该金锤每尺重x斤，根据题意得： ； 10．（26-27七年级上·重庆·开学考试）某超市批发辣椒、西红柿、洋葱共930千克，其中西红柿的重量是洋葱的2倍，辣椒的重量比洋葱的一半还多20千克，问西红柿批发了_____千克． 【答案】520 【分析】设洋葱批发了千克，根据三种蔬菜总重量和各重量的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设洋葱批发了千克，则西红柿批发了千克，辣椒批发了千克， 根据题意，可列方程， 解得， 则， 所以西红柿批发了520千克． 11．（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数（如图阴影部分），若移动“十”字形状后所得五个数之和为，那么该“十”字形状中正中间的数为_____． 【答案】 【分析】设正中间的数为，依次表示出其他四个数，构造方程并求解即可． 【详解】解：设正中间的数为， 观察日历可得，上下两个数分别为和，左右两个数分别为和， 根据题意，可列方程：， 解得． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了________个零件． 【答案】24 【分析】本题考查了列方程解应用题，设未知数，利用等量关系列方程是解题的关键. 【详解】解：设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得： ， 解得：， ， 故答案为： ． 13．（24-25七年级上·山东济宁·期末）一件商品的标价是100元，打八折出售后可获利，这件商品的进价是_______元． 【答案】 【分析】根据题意得到等量关系：实际售价标价进价，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这件商品的进价为元，根据题意列方程得： ， 解得：， ∴这件商品的进价是元． 14．（25-26七年级上·广东深圳·期末）为了庆祝劳动节，宣扬劳动光荣的中华民族优秀传统，某网店为了吸引顾客，推出下列优惠措施，受到顾客的好评．优惠措施如下： 购物款不超过200元不享受优惠； 购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； 购物款超过600元一律享受八折优惠， 某顾客第一次从该网店购物花了168元人民币，第二天又花了423元从该网店购物，如果该顾客一次性购买以上商品，可以节省_____元 【答案】80.6 【分析】先确定第一次购物的原价，再确定第二次购物的原价，分、两种情况分别计算出购买的实际款数，然后计算两次购物原价总和，判断总和对应的优惠档位，按照对应折扣算出一次性购买的应付款，用两次分开购买的总付款减去一次性购买的应付款，得到节省的金额． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第一次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：． ②第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为，那么依题意有， 解得：（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为（元），超过了600元． 因此一次性购买可以按照8折付款：（元），（元） 综上所述，他可以节省80.6元． 15．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设实际用水量为x吨，根据收费标准列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴该居民这个月实际用水超过15吨， 设实际用水量为x吨， 依题意，得， 即， 整理得， 解得， 因此． 故答案为：22． 16．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的、两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在、第二次相遇前，当动点、在轨道上相距时，则_________________． 【答案】0.5或2或8或9.5 【分析】根据题意确定动点、的相对速度及初始位置关系，可知初始在前方处，计算第一次和第二次相遇的时间以确定的取值范围，根据两点间距离为分情况列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，动点的速度为，动点的速度为，则、的相对速度为， 根据圆形轨道两点间距离定义，初始时刻在逆时针方向前方处， 、第一次相遇时，比多运动，所需时间， 、第二次相遇时，比多运动，所需时间， 因为在、第二次相遇前， 所以分以下情况： 当在前方时（含多圈情况）， 比多运动的总距离为或， 即或， 解得或； 当在前方时，即在前方时（含多圈情况）， 比多运动的总距离为或， 即或， 解得或， 综上所述，的值为或或或， 故答案为：或或或． 三、解答题 17．（25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测）七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 【答案】3条船，36人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该班租了x条船，根据“每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班租了x条船， 根据题意得：， 解得：， ∴该班一共有教师和学生:人， 答：该班租了3条船，该班一共有教师和学生36人． 18．（25-26七年级上·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 19．（25-26七年级下·河南周口·期中）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【答案】 他答对了19道题 【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． 20．（25-26七年级上·广东广州·期中）将连续的奇数，，，，…，按照一定的规律排成如图，图中的T字框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数． (1)数表中从小到大排列的第9个数是，第个数是_______，第个数是_______，第个数是_______； (2)数排在数表中的第_______行，从左往右数第_______个数； (3)若将T字框上下左右移动，框住的四个数的和能分别等于、吗？如果能，请写出框中数字的值． 【答案】(1)，， (2)， (3)和为不能，和为可以，框中的数字分别是，，， 【分析】（１）找规律，先找到每个数与其位置之间的关系，再代入计算即可； （２）先根据（1）的结论确定是第几个数，因为数表每行有个数，所以用该数的序号除以，根据商和余数判断所在行与列的位置； （３）设T字框中某一位置的数为未知数，根据T字框内数的排列规律表示出其余三个数，推导四个数的和的表达式；如果和分别等于、，那么列方程求解未知数，再验证未知数是否符合数表规律以及T字框的位置要求． 【详解】（1）解：第1个奇数是，第2个奇数是，以此类推，第个奇数的表达式为，代入计算：第个数是，第个数是； （2） 是奇数，令，解得，即是第个奇数； 观察数表可知每行固定排列5个奇数，，说明前行已经排完个奇数，第个奇数是第行的第个数，因此在第行从左往右第个位置； （3） 设T字框第二行单独的数为，根据数表相邻数的规律：左右相邻数差，上下相邻数差，可得框住的另外三个数分别为、、， 四个数的和为：； 若和为：令，解得，是第个奇数，，说明在第行的最右侧（第列），无法满足T字框“上排个数、下排个数在中间数正下方”的排列要求，因此和不能等于； 若和为：令，解得，是第个奇数，，说明在第行第列，符合T字框下排单独数的位置要求，对应的四个数为、、，即、、、． 21．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）一张长方形纸片． 步骤1：如图1，将一张长为、宽为的长方形纸片的四个角分别剪去边长为的小正方形． 步骤2：将剩下部分折成如图2所示的一个无盖长方体盒子． (1)若，则折成的无盖长方体盒子的体积为_____； (2)若折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的3倍，求该无盖长方体盒子的体积． 【答案】(1)4000 (2) 【分析】（1）根据无盖长方体盒子的体积等于底面长方形的长乘以宽的结果乘以其高，根据求出长方体盒子的底面长方形的长和宽，以及其高即可得到答案； （2）无盖长方体盒子的底面的长为，宽为，根据关键描述语“底面长方形的长是宽的3倍”列出方程并解答；然后由长方体的体积公式求其体积即可． 【详解】（1）解：当时， 此时，折成的无盖长方体盒子的体积； （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的底面的长为，宽为， ∴， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为． 答：该无盖盒子的体积为． 22．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）学校买了张桌子和把椅子，共花了元．已知每张桌子的价钱是每把椅子的倍，每张桌子和每把椅子各多少元？ 【答案】 每张桌子元，每把椅子元 【分析】设每把椅子元，则每张桌子元，根据买张桌子和把椅子共花了元列一元一次方程求解． 【详解】解：设每把椅子元，则每张桌子元， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每张桌子元，每把椅子元． 23．（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 24．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）学校组织学生到太仓金仓湖秋游，景区的旅游路线示意图如下，其中B、D为景点，A为景区出入口，C为路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．小明从A出发，以2千米/时的速度沿路线游览，每个风景点的逗留时间均为0.4小时，游览回到A处时共用了3.4小时． (1)求C、D间的路程： (2)若小明出发0.8小时后，小新从A出发以3千米/时的速度把照相机送给小明（小新在景点不逗留），那么小新最快用多长时间能遇见小明？ 【答案】(1)0.6千米 (2)0.8小时 【分析】（1）先计算各路线行走及在景点逗留需要的时间，然后根据游览回到A处时共用了3.4小时，可求出C、D间需要的时间，再由速度为2千米/时可得出C、D间的距离； （2）需要分类讨论．①小新依着原路追赶，②小新走A→C后，与小明相向而行，分别列出方程，解出时间，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：，，三段用时：（小时），景点停留时间：（小时），共计用时（小时）， ∴用时（小时）， ∴C、D间的距离为（千米）； （2）解：方案一：小新依着原路追赶，设小新花了x小时， 则，解得：； 方案二：小新走后，再与小明相向而行，设小新花了y小时， 则，解得：， ∵， ∴小新最快用0.8小时遇见小明． 答：小新最快用0.8小时遇见小明． 25．（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． (1)你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ (2)小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 【答案】(1)运动鞋单价为元，书包单价为元． (2)甲、乙两家商场都可以选择，乙商场更省钱． 【分析】（1）根据两种商品的单价和与倍数关系，设未知数列一元一次方程求解． （2）分别计算甲、乙商场购买两样物品的最低花费，与元比较后判断可选商场及更省钱的方案． 【详解】（1）解：设书包的单价为元，则运动鞋的单价为元． 由题意得 ， 解得 ， ∴运动鞋单价为 （元）． （2）解：计算甲商场最低花费： ∵甲商场每满元返元购物券， ∴优先购买单价高的运动鞋以获取更多购物券． ∵运动鞋单价元，包含个元，可返购物券 （元）． 用90元购物券购买书包，需额外支付 （元）． ∴甲商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 甲商场可选择； 计算乙商场花费： ∵乙商场全场八折， ∴乙商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 乙商场可选择； ∵ ， ∴ 乙商场更省钱． 综上所述，甲、乙两家商场都可以选，乙商场更省钱． 26．（2026七年级上·北京·专题练习）某商场经销，两种商品，种商品每件进价元，售价元；种商品每件售价元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元，但不超过元 按总售价打九折 超过元 其中元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠 (1)每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进，两种商品共件，恰好总进价为元，则该商场购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行优惠促销活动，按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，元 (2)购进种商品件 (3)元或者元 【分析】（1）种商品的利润率用“利润率”直接计算，将上述公式变形后，可得“”，代入公式即可求解种商品每件进价． （2）可以设购进种商品件，则购进种商品件，由于总进价是元，根据等量关系列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，打折前购物金额超过元，但不超过元，打折前购物金额超过元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，每件种商品利润率为， 种商品每件进价为元， 故每件种商品利润率为，种商品每件进价为元． （2）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得，， 去括号，得， 整理，得， 解得， 答：该商场购进种商品件． （3）解：设小华打折前应付款为元， 打折前购物金额超过元，但不超过元，此时按总售价打九折， 由题意得， 解得； 打折前购物金额超过元，此时元部分打八折优惠，超过元的部分打七折优惠， 可列方程， 去括号，得， 解得， 答：小华在购物打折前的总金额为元或者元． 27．（25-26七年级上·四川南充·期末）年，南充全市新增注册登记新能源汽车2万辆以上，新增充电桩不低于5千个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费2元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费元． (1)若小王在该充电桩充电小时，需支付费用 元． (2)若小王在该充电桩充电（）小时，需支付费用 元（用含有的代数式表示）． (3)小王每周在该充电桩充电一次，某月，小王第一周和第二周在该充电桩共充电10小时（第一周充电时长超过6小时），共支付充电费用18元，则小王第一周和第二周各充电多少小时？ 【答案】(1) (2) (3)小王第一周充电小时，第二周充电小时. 【分析】（1）充电小时不超过4小时，直接用时长乘单价2，算出费用 5 元． （2）充电时长大于 4 小时，前 4 小时收费，超出部分小时收费，合并化简得到代数式． （3）设第一周充电小时，第二周小时，已知，第一周代入，再分第二周是否超过 4 小时列方程，解得，第二周为 2 小时． 【详解】（1）解：∵ ， ∴按照每小时 2 元收费． ∴ 费用：（元）． （2）解：∵ ，前 4 小时每小时 2 元，超过 4 小时的部分小时每小时 1.5 元． ∴ 费用： ． （3）解：设第一周充电小时，则第二周充电小时， 由题意得 ，所以，第一周费用使用． 分情况讨论第二周充电时长： 情况一：，即第二周按 2 元每小时收费． 第二周：，，符合条件． 情况二：，第二周也用， ， ，等式不成立，此情况舍去． 答：第一周充电 8 小时，第二周充电 2 小时． 28．（25-26七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情境： 学校给学生编制的“身份识别条形码”共有位数字（均为之间的自然数），它是由位数字代码和最后1位校验码构成，具体结构如图1，其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验“身份识别条形码”中前位数字代码的正确性，具体算法说明如下： 步骤1：计算前位数字中从左到右偶数数位数字的和，记为； 步骤2：计算前位数字中从左到右奇数数位数字的和，记为； 步骤3：计算，记为； 步骤4：取大于等于的最小整的倍数，记为； 步骤5：计算的结果即为校验码． 例如：在图1中，因为前位数字是， 所以，． 所以，，，即图1中校验码的数字是3． 问题解决： (1)某同学的“身份识别条形码”为04220250618□，则方框中校验码的数字为______． (2)如图2，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，用字母x表示这个数字，请你通过计算，确定这位同学的班级代码． (3)如图3，这位同学的班级代码和学号代码中被污损的数字相同，校验码的数字是学号代码被污损数字的2倍．请你直接写出这位同学的“身份识别条形码”． 【答案】(1) (2)这位同学的班级代码是 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给定义分别计算出、，即可得到答案； （2）先根据题意求出，则，再由是的整倍数，且，即可求解； （3）设这个数字为，根据题意求出，再由是的整倍数，且，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∵大于等于的最小整的倍数， ∴， ∴， 即方框中校验码的数字为． （2）解：由题意得，某同学的“身份识别条形码”为， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵是的倍数， ∴， 可得， ∴这位同学的班级代码是． （3）解：令代码中被污损的数字为，则校验码的数字为， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 因为校验码为，， 故：， 故， ∵是的倍数， 当时，得（不符合题意）， 当时，得， 故代码中被污损的数字为， ∴这位同学的“身份识别条形码”为． 29．（26-27七年级上·江苏南京·期中）数轴是学习有理数的一种重要工具，可以让表示“数”的“点”可视化．如图，将一条数轴在原点O和点A处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，两点之间的“折线距离”定义为这两点表示的数之差的绝对值．如：点B与点C的“折线距离”为：，并可表示为． 动点分别从点同时出发，点P以1个单位/秒的初始速度沿着折线数轴向其正方向运动，当运动到段时，速度变成原速的；点Q以1个单位/秒的初始速度沿着折线数轴向其负方向运动，当运动到段时，速度变成原速的2倍．其余段点速度不变，设运动时间为t秒． (1)【概念理解】 如图①，若点A表示的数为10． ①当时，______； ②若时，______；（用含t的代数式表示） (2)【深入研究】 如图②，若点A表示的数为． ①当时，______；（用含m的代数式表示） ②直接写出的值及对应t的范围（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)①；②当时，；当时，；当时， 【分析】（1）确定点P到O、A、C的时间，确定点Q到A、O、B的时间，进而根据时间可确定点P、Q位于“折线数轴”的位置，最后可求得； （2）确定点P到O、A、C的时间，确定点Q到A、O、B的时间； ①确定点P、Q表示的数，由“折线距离”即可求解； ②分当时；当时；当时三种情况考虑即可． 【详解】（1）解：A表示10：， 关键时间： P到O用，到A用，到C用； Q到A用，到O用，到B用． ①当时， P在段表示的数为； Q在段表示的数为． 则． ②当时， P在段表示的数为； Q在段表示的数为． ． （2）解：点A表示数， 关键时间： P到；到；到． Q到；到；到． 由可得顺序：． ①因为，两人必在P位于位于的时段内相遇， 此时． 则点P表示的数为，点Q表示的数为． 当时，则， 即． ， ②当时，； 当时，； 当时，． 30．（25-26七年级下·福建泉州·期末）实践与探究 【主题】如何从饮水机接收适宜温度的温水喝？ 【背景】如图1是某品牌的饮水机，饮水机装有开水、温水两个按钮，水流速度及温度如图2所示． 【实践用具】 容积为的水杯． 【查阅资料】 查阅相关资料得知： ①开水和温水混合时会发生热传递，开水释放的热量等于温水吸收的热量，且满足等量关系：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． ②饮水适宜温度是（包括与）． 【实践操作】 先从饮水机接收温水的时间为，后接收开水，直至盛满容积为的水杯为止（接水期间不计热损失，也不考虑水溢出的情况）． 【问题解决】 (1)按上述操作，水杯中温水的体积是________，开水的体积是________；（用含的代数式表示） (2)假设盛满水时，水杯中水的温度恰好是，求此时的值； (3)若要使盛满水杯后，符合饮水适宜温度，则直接写出：接收温水时间的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意先得出水杯中温水的体积是，进一步可得开水的体积； （2）根据开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，列方程求解即可； （3）根据题意先得出的边界值，再根据越大水温越低，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，温水的流速为，接收温水的时间为， 水杯中温水的体积是， 开水的体积是． （2）解：根据题意可得，开水降低的温度为，温水升高的温度为． 开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度， ， 解得，． （3）解：当混合温度为时， 根据题意可得，， 解得，； 由（2）可知，当混合温度为时，， 又饮水适宜温度是（包括与），且越大水温越低， ． 答：的取值范围是． 中考真题 1．（2026·江苏南通·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 2．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 3．（2026·福建·中考真题）由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和．一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金____________克． 【答案】60 【分析】设这件金银饰品中含金克，则含银克，根据浸没水中后弹簧测力计总示数等于金的示数与银的示数之和，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件金银饰品中含金克，则含银克， 根据题意列方程得： 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 4．（2026·江苏宿迁·中考真题）一家商店因换季将某种服装打折进行销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，则每件服装的标价是____________元． 【答案】 【分析】根据服装进价不变的等量关系，设标价为元，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的标价是元，根据题意，得 ， 解得：， 即每件服装的标价是元． 5．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为______． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 6．（2026·江苏镇江·中考真题）1942年，新四军在我市创办了敌后第一家银行——惠农银行．其发行的“惠农币”作为苏南根据地早期的货币，为以茅山地区为中心的苏南抗日根据地的巩固和发展作出了一定贡献．用1元、5元、10元三种面额的“惠农币”16张，共计58元购买一批物资，其中5元面额的纸币张数是10元面额纸币张数的3倍，求10元面额的纸币张数． 【答案】10元面额的纸币张数为2张 【分析】设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为，再根据等量关系“共58元”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设10元面额的张数为x，则5元面额的张数为，1元面额的张数为， 由题意可得：， ， ， ， ． 答：10元面额的纸币张数为2张． 7．（2026·湖南长沙·中考真题）某校书法兴趣小组计划到文具店一次性购买A，B两种型号的毛笔．请你根据下面表格中提供的信息，解答相关问题． 信息1 文具店的销售方式： ①一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过的部分每支的价格比零售价低0.5元； ②一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过的部分每支的价格比零售价低1元． 信息2 B型毛笔的零售价比A型毛笔的零售价每支高1元，购买2支A型毛笔和3支B型毛笔共需花费28元． 信息3 这个书法兴趣小组共有30名同学，每人需要买1支A型毛笔和2支B型毛笔． (1)求这家文具店A，B型毛笔的零售价每支分别是多少元？ (2)该书法兴趣小组本次购买A，B两种型号的毛笔共需花费多少元？ 【答案】(1)A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元 (2)共需花费460元 【分析】（1）根据A、B型毛笔零售价的数量关系和购买指定数量的总费用，列一元一次方程求解； （2）先计算需购买的A、B型毛笔总数量，再结合分段优惠规则分别计算费用，求和得到总花费． 【详解】（1）解：设A型毛笔的零售价为每支元，则B型毛笔的零售价为每支元， 由题意得， 解得， ， 答：A型毛笔零售价每支5元，B型毛笔零售价每支6元； （2）解：需购买A型毛笔数量：（支），需购买B型毛笔数量：（支）， ， 购买A型毛笔的费用为（元）； ， 购买B型毛笔的费用为（元） ； 总费用：（元） ． 答：本次购买两种型号的毛笔共需花费460元． 8．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 9．（2026·湖南·中考真题）我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 【答案】第一代治沙人的治沙面积为万亩 【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3倍还多5万亩”，列方程求解即可． 【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩， 根据题意得 ， 解得， 答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩． 学科网（北京）股份有限公司 $