第14讲 代数式的值（2大题型共51题+解题技巧）--2026-2027学年人教版七年级数学上册同步讲义系列

第14讲 代数式的值 学习目标 1、会把具体数值代人代数式进行计算. 2、能够用代数式解决实际问题. 核心素养： 运算能力 应用意识 抽象能力 知识结构 知识点一 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 注意：除用数值代替字母外，原来的运算符号和数都不能改变. 提醒：(1)代数式中的字母可以取不同的数值，但所取数值必须使代数式本身和实际数量有意义. (2) 当式子中有乘法运算，其中的字母用数值代替时，省略“”的要补齐，“”要改为“” . 【基础练习1-1】（26-27七年级·全国·暑假作业）当，时，求的值 【答案】16 【分析】直接代入a、b值求解即可． 【详解】解：当，时， 原式． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·上海·期中）当，时，________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值；将和代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 求代数式的值的方法 知识点二 求代数式的值,一般有三种方法：直接代人法、间接代人法和整体代人法. 1、直接代人法：当已知字母的取值，直接代人求结果. 2、间接代人法：通过其他条件，求出字母的取值，然后代人求结果. 3、整体代人法：已知关于字母的代数式，不能或不容易求出字母的取值，经过变形，利用整体代人求结果. 注意：(1)当式子中的字母用负数代替时，要给负数添上括号； (2)当式子中有乘方运算，且底数中的字母要用负数或分数来代替时，要添上括号. 【基础练习2-1】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）已知，则多项式的值为______． 【答案】2032 【分析】本题运用整体代入法代入已知条件计算求解 【详解】解：∵， ∴ 【基础练习2-2】（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】 (1)2026 (2)51 (3)32 【分析】本题考查了整体代换思想在代数式求值中的应用，涉及等式变形、代数式化简等知识．解题的关键是将所求代数式转化为含已知等式的形式，通过整体代入简化计算． （1）由已知等式求出的值，直接代入所求式． （2）提取公因式将代数式转化为含的形式，代入求值． （3）通过等式变形，将所求式用已知等式表示，消去未知项计算结果． 【详解】（1）解：由，移项得． 将代入，得： 故答案为：2026； （2）解：已知，对代数式化简： 代入，得：； （3）解：已知 ①，②． 对①式变形得：③；对②式变形得：④ 将③④代入 ． 题型1 已知字母的值求代数式的值 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 【答案】 (1)， (2)， 【详解】（1）解：当时， ； ． （2）解：当，时， ； ． 【变式练习1-1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得， 将，代入 ． 【变式练习1-2】（25-26七年级上·全国·阶段检测）若，，且那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、平方根的定义以及有理数的减法运算，熟练掌握根据条件筛选变量的可能值是解题的关键． 先根据绝对值和平方的定义求出、的可能值，再结合的条件筛选出符合的组合，最后计算的值． 【详解】解：∵ ∴或 ∵ ∴或 ∵ ∴当时，、均不成立，故不符合条件； 当时，成立，成立． ∴符合条件的组合为：； 当时，； 当时， ∴的值为或 故选：． 直接代入求代数式值的步骤 第一步：确定需要代替的字母. 第二步：用对应字母的数值代替代数式中的字母.第三步：按照代数式中的运算关系进行计算. 间接代入求值的步骤 (1)根据条件，求出字母的取值；(2)将数值代入代数式；(3)计算出结果. 题型2 已知式子的值求代数式的值 【典例】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）若，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，数轴，相反数，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．首先求得的值，利用相反数，倒数的定义求出与的值，代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为， ∴，，， ∴． 【变式练习2-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】通过对所求代数式进行变形，将已知条件整体代入，逐步化简求值．本题主要考查代数式的化简求值，熟练掌握通过变形将已知条件整体代入的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值．由得到，把原式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 1. 1、整理已知：把已知条件化为“某整体 = 数值”的形式。 2. 2、观察待求式：找出待求式中与已知整体结构相同的部分。 3. 3、变形待求式：通过提分组、拆项、变号等方式，把待求式“凑”成含已知整体的形式。 4、整体代入：用已知整体的值替换待求式中的对应部分，计算即可。 5、检验：代入后检查是否还有无法确定的字母，若仍有残留，说明变形不彻底，需要重新调整。 题型3 由程序流程图求代数式的值 【典例】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入的x的值为1，y的值为时，输出的结果为_______． 【答案】3 【分析】此题考查了代数式求值问题的理解和掌握．首先根据已知一个数值转换机的示意图，逐步列出代数式并化简，最后表示出输出的结果的代数式，然后代入求值． 【详解】解：根据已知一个数值转换机的示意图可得： ， 把，代入得： ， 故答案为：3． 【变式练习3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，若输入的数x为非负整数，最后输出的结果为156，则开始输入的数x的值可能为________． 【答案】0或或或 【分析】根据题意进行分类讨论即可求解. 【详解】当输入第一次就直接输出结果时，，所以； 当输入第二次就直接输出结果时，，所以； 当输入第三次就直接输出结果时，，所以； 当输入第四次就直接输出结果时，，所以； 当输入第五次就直接输出结果时，，所以，不符合题意，舍去此种情况． 综上，的值可能为或或或. 故答案为：或或或. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解解题的运算程序，根据题意进行分类讨论，列出方程求解. 【变式练习3-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】 (1) (2)输出的值为 【分析】本题考查程序框图与代数式求值： （1）根据程序框图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． 所以用含的代数式表示输出的结果为． （2）解：当输入的值为时，输出的值为． 1. 1、把输入值代入第一步运算，得到中间结果； 2. 2、将中间结果代入下一步运算，逐步推进； 3. 3、每完成一轮运算后，对照程序中的判断条件，看结果是否满足输出条件； 4. 4、若满足，输出结果；若不满足，将当前结果作为新的输入，回到第一步重新执行。 题型4 求代数式值的综合运用 【典例】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示． (1)用含a、b、c的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求S的值． 【答案】 (1) (2)28 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）把，，，代入求值即可． 【详解】（1）解： 由题意得：； （2）解：当，，时， ∴． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·广东清远·期末）七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案： 方案一：每人收费60元； 方案二：固定基础费用500元，然后再每人收费40元． (1)若学生人数为x，请分别用含x的代数式表示方案一和方案二的费用； (2)当学生人数为30时，哪种方案的费用更优惠？ 【答案】 (1)方案一的费用为元；方案二的费用为元； (2)方案二更优惠 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合学生人数为x，以及方案一和方案二的收费方式进行列式，即可作答． （2）分别算出当学生人数为30时，方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：∵学生人数为x， ∴方案一的费用为元；方案二的费用为元； （2）解：由（1）得方案一的费用为元；方案二的费用为元； 当时，则（元）， （元）， ∵， ∴当学生人数为30时，方案二的费用更优惠． 【变式练习4-2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为元/本、元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含的代数式表示，则____________； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值，则____________； 【答案】 【分析】（1）根据数量关系列代数式即可； （2）根据（1）的式子，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）甲、乙两种书的进价分别为元/本、元/本，购进本甲种书和本乙种书，共付款元， ∴， 故答案为：； （2）甲、乙两种书的进价分别为元/本、元/本，共购进本甲种书及本乙种书， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据数量关系列代数式，科学计算法的表示，代入求出运算的综合，掌握以上知识是解题的关键． 题型5 数字类规律探索 【典例】（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）观察数列：第2026个数是___________． 【答案】 【分析】观察数列得到符号和绝对值的变化规律，根据规律计算第2026个数． 【详解】解：观察数列可得：符号规律：第奇数个数为正，第偶数个数为负；绝对值规律：第个数的绝对值为； ∵2026是偶数， ∴第2026个数的符号为负， 计算绝对值：， ∴第2026个数是． 【变式练习5-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）将从1开始的自然数按如图所示的规律排列，例如：位于第3行、第4列的数是12，则根据此规律可知，位于第40行、第6列的数是________． 【答案】1595 【分析】根据所给自然数的排列方式，发现每行的第一列数是对应行数的平方，据此可解决问题． 【详解】解：由题意得，第行、第1列的数为，且每一行从左到右逐渐变小，且折线内部的数为个 当时，， ∴第40行、第1列的数为1600，且这一行一共有个数， ∴位于第40行、第6列的数是． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）观察下列各式： (1)用你发现的规律填空：__________， (2)写出第个式子：_____ (3)用你发现的规律计算：． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． （1）由题干得到规律求解即可； （2）由题干得到规律求解即可； （3）利用上述发现的规律将原式化为，再进行乘法计算． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：； （2）解：由题干可得，第个式子： （3）解： 题型6 图形类规律探索 【典例】（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有个点，第②个图形中共有个点，第③个图形中共有个点，按此规律，第⑦个图形中共有点的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图形可得第个图形中共有个点 ，再把代入计算即可求解． 【详解】解：∵第①个图形中共有个点； 第②个图形中共有个点， 第③个图形中共有个点， ， ∴第个图形中共有个点 ， 当时，点的个数为： ， ∴第⑦个图形中共有点的个数是． 【变式练习6-1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图所示，某餐厅中1张桌子可坐8人，按照下图方式将桌子拼在一起，n张桌子拼在一起可坐的人数为________． 【答案】 【分析】先计算1张、2张、3张桌子拼在一起可坐的人数，观察人数随桌子数量增加的规律，即可得出结果． 【详解】解：由图形可得： 1张桌子可坐人数为：， 2张桌子可坐人数为：， 3张桌子可坐人数为：， … 张桌子可坐人数为：． 【变式练习6-2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 【答案】（1）；（2），；（3）2025 【分析】本题考查了图形规律，有理数的混合运算，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键． （1）根据空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数即可求解； （2）根据题干即可写出一个算式；即可写出规律； （3）运用规律将原式化为，再进行求解． 【详解】解：（1）由题意得，∵图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， ∴图③中得到的式子为：． 故③中得到的算式为：， 故答案为：； （2）由（1）知，满足要求的算式为：． 发现的规律为：； 故答案为：，； （3）由上述规律可知， ， 故答案为：2025． 综合检测 一．选择题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）当时，代数式的值是（　　） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查求代数式的值，将代入代数式直接计算即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 2．（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）若，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的化简求值，能根据非负数的性质求出x，y的值，是解题的关键，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零则每个部分必须为零. 【详解】∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴ . 故选：D. 3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义和倒数的定义可知、，整体代入求值即可． 【详解】解：，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 将，代入则， 可得： ． 4．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）按下面的程序计算，若输入，则输出结果是（   ） A．105 B．107 C．109 D．111 【答案】B 【分析】本题考查程序计算问题，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．当输入3时计算的结果为，故返回第二次运算，得到，故返回第三次运算，输出得到结果． 【详解】解：第一次运算：当时，， 第二次运算：当时，， 第三次运算：当时，， 故选：B． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：）．经过实验，发现与的关系满足（）．若小球从离地面的高处自由下落，则小球落地所用的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入求解即可． 【详解】解：将，代入，得， 整理得 ， ． 6．（25-26七年级上·云南昭通·期末）按一定规律排列的数：，则这列数的第10个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律； 观察数列的分子和分母的规律，分子符号交替，绝对值为奇数序列；分母为项数的平方加1，由此得出表达式，代入计算即可． 【详解】解：分子规律：第n项分子为 ， 分母规律：第n项分母为 ， 则. 当时， 分子：， 分母：， ， 故选D． 7．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②．第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，则第18个图案需要用矩形的个数为（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】B 【详解】解：第1个图案用了3个矩形，上面一层有1块，下面一层有2块， 第2个图案用了5个矩形，上面一层有2块，下面一层有3块， 第3个图案用了7个矩形，上面一层有3块，下面一层有4块， ， ∴第n个图案，上面一层有n块，下面一层有块， 当时，共有（块） ． 8．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），自左至右用正整数列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若第（为正整数）个珠子是黑色珠子，则它的标数为； 结论Ⅱ：当取第个，第个，第个三个珠子（为正整数）时，它们标数之和能被整除． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化类，掌握图形的摆放规律是正确解答的关键． 结论Ⅰ：利用列举法，发现规律进而得出结论； 结论Ⅱ：求出这三个珠子上标数的和，再判断是否是3的倍数即可． 【详解】解：结论Ⅰ：第1个黑色的珠子上的标数是，第2个黑色的珠子上的标数是，第3个黑色的珠子上的标数是，第4个黑色的珠子上的标数是，……第m个黑色的珠子上的标数是， 因此结论Ⅰ是正确的； 结论Ⅱ：∵ ∴第个，第个，第个三个珠子（k为正整数）时，它们标数之和能被3整除． 因此结论Ⅱ正确； 故选：A． 二．填空题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）当，时，代数式的值是___． 【答案】108 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接将和代入代数式进行计算即可． 【详解】解：当， 时， ， 故答案为：108． 10．（25-26七年级上·河北沧州·期中）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．根据绝对值的非负性和平方的非负性，和为零则每个部分均为零，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如果，则代数式的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，运用整体思想是关键． 先将代数式变形为，再代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）程序问题中的框图算法源于我国古代数学著作《九章算术》．如图，当输入x的值是1时，根据程序，第1次输出结果是8，第2次输出结果是4，……，第2025次输出结果是________． 【答案】8 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键． 分别求出，，，时输出的值，找到规律即可求解． 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是，…， ∴从第次开始，每次输出的结果，，，循环出现， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·吉林辽源·期末）如图所示，一个窗户被装饰布挡住了一部分，其中窗户的长与宽的比是，装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是，那么当时，这个窗户未被遮挡的部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式和求值，解题的关键是这个窗户未被遮挡的部分的面积窗户面积圆的面积列式求值． 【详解】解：依题意得，当时，圆的直径都是， 这个窗户未被遮挡的部分的面积是：． 故答案为：． 14．（26-27七年级上·陕西·期中）将正整数1，2，3，4，5，6，……，按如下数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示14，则2024用数对表示为___． 【答案】 【分析】第m行的数字最大为，通过计算确定2024所在的行数和列数即可求出． 【详解】解：由数阵可知：第m行的数字最大为， ∵，，且， ∴2024在第45行， 第45行为奇数行， ∵奇数行数字从大到小排列，该行第一个数字为2025，第二个数字为2024， ∴2024位于第2个， 用数对表示为． 15．（2026年陕西西安市碑林区翱翔中学九年级阶段性教学诊断 数学试卷）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个正方形，第②个图案中有5个正方形，第③个图案中有7个正方形，…，按此规律，则第⑩个图案中，正方形的个数是________． 【答案】 21 【分析】观察可知，第①个图案中有个正方形，后一个图案比前一个图案多个正方形，据此进行作答即可． 【详解】解：第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， ∴第个图案中有个正方形， ∴第⑩个图案中正方形的个数为个正方形． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为______． 【答案】16 【分析】给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得，然后把代入即可计算． 【详解】解：给赋值使﹐则， 解得， 给赋值使，则， ∴， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键． 三．解答题 17．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2)1 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ； 18．（26-27七年级上·北京·期中）若，，且，求的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义和，即可求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解： ，， ，， ， 与异号， 当，时，； 当，时，． 即的值为或． 19．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图是一个数值转换机示意图． (1)用含x，y的代数式表示输出的结果； (2)当，时，求输出的结果． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，程序流程图与代数式求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用． （1）根据数值转换机写出代数式即可； （2）将，代入（1）中的代数式，计算后得出结果． 【详解】（1）解：用含x，y的代数式表示输出的结果为； （2）解：当，时， 原式 ． 20．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则= ． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由原等式可得出，整体代入中求值即可； （2）由原等式可得出，将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由得：， 则； （2）解：由得：， 则； 21．（26-27七年级上·全国·课后作业）设圆锥的高为，底面半径为，体积为． (1)写出圆锥体积的公式； (2)若圆锥的高为，底面半径为，求圆锥的体积．（取3.14，结果精确到0.01） 【答案】 (1) (2)圆锥的体积约是 【分析】（1）直接回忆圆锥体积的标准公式，明确公式中对应高、底面半径的变量即可． （2）首先确定已知的高和底面半径的数值，以及给定的π的取值，将数值代入圆锥体积公式中．按照运算优先级计算式中各部分的数值，最后根据精确到0.01的要求对计算结果进行四舍五入处理． 【详解】（1）解：圆锥体积公式． （2）解：． 答：圆锥的体积约是． 22．（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第5个等式即可； （2）观察可知，相差为2的两个正整数的积与1的和等于较小的正整数与1的和的平方，据此可得答案； （3）先把每个小括号内的式子通分，再根据（2）所求把对应分数的分子进行替换，进行约分即可得到答案． 【详解】（1）解：依照上述规律，第5个式子为， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可知，第n个式子为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 23．（25-26七年级上·山东济南·期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，…，，根据图示我们可以知道： 第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；…， 前n次取走后，还剩______，即______． (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：； (3)求的值． 【答案】 (1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类变化规律问题，乘方的应用，数形结合思想， 对于（1），根据前三次变化规律可得答案； 对于（2），仿照（1）分别求出第n次截取后剩余，再用总数1减去剩余可得答案； 对于（3），仿照（2）解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴； （3）解：如图 ∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 24．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， 即：． 【解决问题】（1）取，则可知_________． （2）利用取特殊值法求的值． （3）利用取特殊值法求的值． 【拓展延伸】（4）探求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）． 【分析】本题考查了代数式求值，采用特殊值法求代数式的值是解题的关键． （1）把代入中即可求值； （2）把代入中即可求值； （3）把代入中即可求值； （4）结合（2）、（3）中的结果即可求出的值． 【详解】解：（1）当时，； 故答案为：； （2）当时， ， ， （3）当时， ， ， （4）由（2）知， 由（3）知， ①+②得：， ， ， ． 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）将正整数1至2023按照从左到右的顺序填入下面表格中：    规定：表示第行第个数，如表示第3行第2个数是20，记作． (1) ； (2)若，则 ， ； (3)将表格中的“”型格子看成一个整体并可以平移，所覆盖的4个数之和能否等于113？如果能，求出4个数中的最小数；如果不能，请说明理由； (4)用含的代表式表示 ． 【答案】 (1) (2)； (3)所覆盖的4个数之和能等于113，最小数为 (4) 【分析】本题考查的是数字的规律探究，一元一次方程的应用，掌握“从具体到一般的探究方法，再利用探究的规律解决问题”是解题的关键． （1）观察表格中的数据，根据数据的变化可求出的值； （2）根据数据的变化，找出所在的位置； 由数的变化，找出m，n的值； （3）设这个数中的最小数为，其余个数可表示为，列方程解题即可. （4）由数的变化，写出的值． 【详解】（1）解：∵前面行一共有个数， ∴第行的第个数为，则第行的第个数为, 即 故答案为：； （2）， ∴是第行的第个数, 故答案为: ； . （3）设这个数中的最小数为，则其余个数可表示为依题意，得： ， 解得：， 答：所覆盖的4个数之和能等于113，最小数为； （4）根据题意，可得 故答案为：． 中考真题 1．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 2．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为，然后问题可求解． 【详解】解：∵第1种如图①有1个碳原子和个氢原子，化学式为； 第2种如图②有2个碳原子和个氢原子，化学式为； 第3种如图③有3个碳原子和个氢原子，化学式为； ……； ∴第n种有n个碳原子和个氢原子，化学式为， ∴第2026种化合物的化学式为． 3．（2026·四川德阳·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如下图，其中的，，，，…，是数学家排列的六边形数．根据以上信息，这列六边形数中第项的数是，第项的数是，以此类推，第项的数是_______． 【答案】 【分析】根据图示，分别找出每个图形中序号与图形中数量关系，用代数式表示即可． 【详解】解：第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； 第个图，有个顶点，即，第项的数是； ∴第个图，顶点个数为：； 令，则； ∴第项的数是． 4．（2024·浙江·中考真题）仔细观察下列等式： 第一个： 第二个： 第三个： 第四个： …… (1)请你写出第六个等式：________； (2)请写出第n个等式：________（用含字母n的等式表示）； (3)运用上述规律，计算：． 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题考查的是数字的变化类题型，根据题中所给出的式子找出规律是解答此题的关键． （1）根据题目中的式子，可以发现数字的变化特点，从而写出第6个等式 （2）根据题目中等式的变化规律，可以写出第n个等式 （3）根据所求式子的特点和（2）中的结果，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：第一个： 第二个： 第三个： 第四个： 第五个： ∴第六个：， 故答案为： （2）解：第一个：，即 第二个：，即 第三个：，即 第四个：，即 ∴第个等式应该是 （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 代数式的值 学习目标 1、会把具体数值代人代数式进行计算. 2、能够用代数式解决实际问题. 核心素养： 运算能力 应用意识 抽象能力 知识结构 知识点一 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 注意：除用数值代替字母外，原来的运算符号和数都不能改变. 提醒：(1)代数式中的字母可以取不同的数值，但所取数值必须使代数式本身和实际数量有意义. (2) 当式子中有乘法运算，其中的字母用数值代替时，省略“”的要补齐，“”要改为“” . 【基础练习1-1】（26-27七年级·全国·暑假作业）当，时，求的值 【基础练习1-2】（25-26七年级上·上海·期中）当，时，________． 求代数式的值的方法 知识点二 求代数式的值,一般有三种方法：直接代人法、间接代人法和整体代人法. 1、直接代人法：当已知字母的取值，直接代人求结果. 2、间接代人法：通过其他条件，求出字母的取值，然后代人求结果. 3、整体代人法：已知关于字母的代数式，不能或不容易求出字母的取值，经过变形，利用整体代人求结果. 注意：(1)当式子中的字母用负数代替时，要给负数添上括号； (2)当式子中有乘方运算，且底数中的字母要用负数或分数来代替时，要添上括号. 【基础练习2-1】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）已知，则多项式的值为______． 【基础练习2-2】（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：已知，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则________； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 题型1 已知字母的值求代数式的值 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 【变式练习1-1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）已知与互为相反数，求的值． 【变式练习1-2】（25-26七年级上·全国·阶段检测）若，，且那么的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 直接代入求代数式值的步骤 第一步：确定需要代替的字母. 第二步：用对应字母的数值代替代数式中的字母.第三步：按照代数式中的运算关系进行计算. 间接代入求值的步骤 (1)根据条件，求出字母的取值；(2)将数值代入代数式；(3)计算出结果. 题型2 已知式子的值求代数式的值 【典例】（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）若，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为，求的值． 【变式练习2-1】（24-25七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知，则的值为_____． 1. 1、整理已知：把已知条件化为“某整体 = 数值”的形式。 2. 2、观察待求式：找出待求式中与已知整体结构相同的部分。 3. 3、变形待求式：通过提分组、拆项、变号等方式，把待求式“凑”成含已知整体的形式。 4、整体代入：用已知整体的值替换待求式中的对应部分，计算即可。 5、检验：代入后检查是否还有无法确定的字母，若仍有残留，说明变形不彻底，需要重新调整。 题型3 由程序流程图求代数式的值 【典例】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入的x的值为1，y的值为时，输出的结果为_______． 【变式练习3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，若输入的数x为非负整数，最后输出的结果为156，则开始输入的数x的值可能为________． 【变式练习3-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 1. 1、把输入值代入第一步运算，得到中间结果； 2. 2、将中间结果代入下一步运算，逐步推进； 3. 3、每完成一轮运算后，对照程序中的判断条件，看结果是否满足输出条件； 4. 4、若满足，输出结果；若不满足，将当前结果作为新的输入，回到第一步重新执行。 题型4 求代数式值的综合运用 【典例】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示． (1)用含a、b、c的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求S的值． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·广东清远·期末）七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案： 方案一：每人收费60元； 方案二：固定基础费用500元，然后再每人收费40元． (1)若学生人数为x，请分别用含x的代数式表示方案一和方案二的费用； (2)当学生人数为30时，哪种方案的费用更优惠？ 【变式练习4-2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为元/本、元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元． （1）用含的代数式表示，则____________； （2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值，则____________； 题型5 数字类规律探索 【典例】（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）观察数列：第2026个数是___________． 【变式练习5-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）将从1开始的自然数按如图所示的规律排列，例如：位于第3行、第4列的数是12，则根据此规律可知，位于第40行、第6列的数是________． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）观察下列各式： (1)用你发现的规律填空：__________， (2)写出第个式子：_____ (3)用你发现的规律计算：． 题型6 图形类规律探索 【典例】（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有个点，第②个图形中共有个点，第③个图形中共有个点，按此规律，第⑦个图形中共有点的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式练习6-1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图所示，某餐厅中1张桌子可坐8人，按照下图方式将桌子拼在一起，n张桌子拼在一起可坐的人数为________． 【变式练习6-2】（25-26七年级上·江西吉安·期中）【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 综合检测 一．选择题 1．（2025七年级上·全国·专题练习）当时，代数式的值是（　　） A． B． C．2 D．6 2．（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）若，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）若，互为相反数，，互为倒数，则 的值为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）按下面的程序计算，若输入，则输出结果是（   ） A．105 B．107 C．109 D．111 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：）．经过实验，发现与的关系满足（）．若小球从离地面的高处自由下落，则小球落地所用的时间为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·云南昭通·期末）按一定规律排列的数：，则这列数的第10个数是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②．第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，则第18个图案需要用矩形的个数为（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 8．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）有一串白黑相间的珠子，按如图所示的规律排列（即每相邻两个黑色珠子之间有且只有两个白色珠子），自左至右用正整数列对每个珠子进行标记，凡白色珠子标数符号取正；凡黑色珠子标数符号取负．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若第（为正整数）个珠子是黑色珠子，则它的标数为； 结论Ⅱ：当取第个，第个，第个三个珠子（为正整数）时，它们标数之和能被整除． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 二．填空题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）当，时，代数式的值是___． 10．（25-26七年级上·河北沧州·期中）若，则的值为______． 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如果，则代数式的值等于___________． 12．（2025七年级上·全国·专题练习）程序问题中的框图算法源于我国古代数学著作《九章算术》．如图，当输入x的值是1时，根据程序，第1次输出结果是8，第2次输出结果是4，……，第2025次输出结果是________． 13．（25-26八年级上·吉林辽源·期末）如图所示，一个窗户被装饰布挡住了一部分，其中窗户的长与宽的比是，装饰布由一个半圆和两个四分之一圆组成，圆的直径都是，那么当时，这个窗户未被遮挡的部分的面积是______． 14．（26-27七年级上·陕西·期中）将正整数1，2，3，4，5，6，……，按如下数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右第行第个数字，如表示14，则2024用数对表示为___． 15．（2026年陕西西安市碑林区翱翔中学九年级阶段性教学诊断 数学试卷）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个正方形，第②个图案中有5个正方形，第③个图案中有7个正方形，…，按此规律，则第⑩个图案中，正方形的个数是________． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为______． 三．解答题 17．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 18．（26-27七年级上·北京·期中）若，，且，求的值． 19．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图是一个数值转换机示意图． (1)用含x，y的代数式表示输出的结果； (2)当，时，求输出的结果． 20．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则= ． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 21．（26-27七年级上·全国·课后作业）设圆锥的高为，底面半径为，体积为． (1)写出圆锥体积的公式； (2)若圆锥的高为，底面半径为，求圆锥的体积．（取3.14，结果精确到0.01） 22．（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 23．（25-26七年级上·山东济南·期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．我们刚学过的《从面积到乘法公式》就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形的，，，…，，根据图示我们可以知道： 第一次取走后还剩，即； 前两次取走后还剩，即； 前三次取走后还剩，即；…， 前n次取走后，还剩______，即______． (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示计算：； (3)求的值． 24．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， 即：． 【解决问题】（1）取，则可知_________． （2）利用取特殊值法求的值． （3）利用取特殊值法求的值． 【拓展延伸】（4）探求的值． 25．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）将正整数1至2023按照从左到右的顺序填入下面表格中：    规定：表示第行第个数，如表示第3行第2个数是20，记作． (1) ； (2)若，则 ， ； (3)将表格中的“”型格子看成一个整体并可以平移，所覆盖的4个数之和能否等于113？如果能，求出4个数中的最小数；如果不能，请说明理由； (4)用含的代表式表示 ． 中考真题 1．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 2．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子和4个氢原子，化学式为；第2种如图②有2个碳原子和6个氢原子，化学式为；第3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学式为…按照这一规律，第2026种化合物的化学式为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川德阳·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如下图，其中的，，，，…，是数学家排列的六边形数．根据以上信息，这列六边形数中第项的数是，第项的数是，以此类推，第项的数是_______． 4．（2024·浙江·中考真题）仔细观察下列等式： 第一个： 第二个： 第三个： 第四个： …… (1)请你写出第六个等式：________； (2)请写出第n个等式：________（用含字母n的等式表示）； (3)运用上述规律，计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $