上海市闵行区2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1．用符号或填空：_______． 2．已知集合，若，则_______． 3．不等式的解集为_______． 4．“或”的否定形式为_______． 5．若，则_______（填“>”或“<”） 6．将（其中）化为有理数指数幂的形式为_______． 7．已知方程的两个根为、，则_______． 8．满足的集合M的个数为_______个． 9．若直角三角形斜边长等于10，则直角三角形面积的最大值为_______． 10．若，，则______________（用a，b的代数式子表示） 11．设关于x的方程（a，）解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则_______． 12．对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．若，则“”是“”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 14．用反证法证明命题“a，，若可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（ ） A．a，b中至多有两个能被5整除 B．a，b都能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a，b都不能被5整除 15．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．以下四个命题中，正确的有（ ）个． ①存在，以及，使得； ②存在，以及，使得； ③存在，以及，使得； ④存在，以及，使得． A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知集合，，，． （1）求； （2）求． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知关于x的不等式的解集为M． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求实数k的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：℃），则经过t分钟后，温度T满足，其中为室温，h为参数．为观察制冷杯的降温效果，小侯把一杯75℃的茶水放在25℃的房间，10分钟后茶水降温至50℃ （1）若欲将这杯茶水继续降温至40℃，至少还需要多少分钟？（精确到个位） （2）某企业生产制冷杯每月的成本（万元）由两部分构成：①固定成本（与产品的数量无关）20万元；②材料成本：万元，其中x（万套）为每月产品的产量．则当每月产量为多少时，平均每万套的成本最低？最低为多少？ 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知一元二次方程（a，b，，）的两个实根为，． （1）若，，，求的值； （2）若，，用反证法证明，中至少有一个大于等于2； （3）若，，求y的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 若有限个正整数组成的集合A中至少有两个元素，且对于任意的x，，都有，则称A为“自返集合”． （1）判断是否为“自返集合”，说明理由； （2）若双元素集M为“自返集合”，且，求所有满足条件的集合M； （3）求所有满足条件的“自返集合”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1．； 2．； 3．； 4．“且”； 5．>； 6．； 7．4； 8．3； 9．25； 10．； 11．； 12．． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．A； 14．D； 15．B； 16．D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1），， 则； （2），则， 得或，得或，则， 则，则． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）当时，原不等式为，即， 可得，解得，即x的取值范围为． （2）当时，解得或， 若，则的解为，不符合题意， 若时，原不等式为，解为R，符合题意． 当时，不等式的解集为R，则需满足， 化简可得，解得或． 综上，实数k的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解：（1）由题意可得，解得， 设经过t分钟，这杯茶水由50℃降温至40℃，则， 解得， 故欲将这杯茶水继续降温至40℃，至少还需要8分钟． （2）设平均每一万套所需的成本费用为y万元， 则有， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月产量20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解：（1）当，，时，化为， 则两个实根，由韦达定理可得：，则， 则． （2）证明：假设，都小于2，因为，，，且a与b异号， 的两个实根，，由韦达定理可得：， 则与同正，且此时，则， 因为，都小于2，，这与矛盾， 故假设不成立，所以，中至少有一个大于等于2． （3），， 则可化为：， 因为一元二次方程（a，b，，）有两个实根， ，且，即， 则，解得或， y的取值范围为． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解：（1）不是为“自返集合”，理由：假设，，则，故不是为“自返集合”． （2）假设，则另一个元素为y，因为， 若解得不符合题意； 若解得（符合题意）或（不符合题意） 所以此时 假设则另一个元素为x，因为， 若解得符合题意； 若解得不符合题意 所以此时 （3）若满足条件的“自返集合”，只有两个元素，仿照（2）讨论，可得满足“自返集合”的有 当“自返集合”有两个以上的元素时，设最小的元素为b，最大元素为a，第二大的元素为n， 所以有，是“自返集合”中的元素，所以 若，与已知矛盾，故 解得，显然a与n不可能同时为整数，故该假设不成立 所以“自返集合”不可能有两个以上的元素； 故所有满足的“自返集合”为 学科网（北京）股份有限公司 $