5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课  标  要  求

【课标要求】《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求：借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义，能画出正弦函数与余弦函数的图象，体会数形结合的思想方法，为研究三角函数的性质奠定基础。

【内容分析】本节课选自人教A版《普通高中教科书·数学·必修 第一册》第五章“三角函数”，是5.4节“三角函数的图象与性质”的第一课时。在此之前，学生已经学习了任意角和弧度制、三角函数的概念、同角三角函数的基本关系以及诱导公式，三角函数借助单位圆定义，这为本节课“利用单位圆画图象”提供了直接的方法支撑。教科书从单位圆上点的纵坐标出发，通过“等分角—作正弦线—平移描点—光滑连线”的几何作图过程，得到正弦函数在区间上的图象，再利用终边相同的角的同名三角函数值相等，把图象延拓到整个实数集；随后借助诱导公式，把余弦函数的图象与正弦函数的图象联系起来。本节课承前启后：既完善了研究函数图象的一般方法，又为下一课时研究正弦函数、余弦函数的性质奠定基础。

【教材分析】教科书突出单位圆的“生成”作用：让角连续变化，用正弦线的竖直坐标刻画单位圆上点的纵坐标，直观呈现“数”与“形”的融合。“五点法”是本课时的核心技能，通过确定五个关键点快速画出简图，体现了抓住关键、以简驭繁的思想。教学中应让学生充分经历作图过程，在动手操作中理解图象的来龙去脉。

【学情分析】学生已能用单位圆定义三角函数，会求特殊角的三角函数值，并掌握了诱导公式；在学习二次函数、指数函数等内容时，积累了画函数图象的基本经验。但本节课首次遇到“角连续变化”的情形，需要把“单位圆上的点”与坐标系中的点对应起来，学生对“正弦线平移得到图象上的点”这一转化过程理解起来有困难；同时，学生习惯用角度看待角，对横轴用弧度数（实数）刻画的合理性缺乏体会。教学中宜借

助动态演示与亲手作图突破难点。

教  学  目  标

【德育特色】

1.借助摩天轮等生活情境抽象出数学问题，体会数学与生活的联系，激发探究兴趣，涵养理性精神。

2.在动手作图与合作交流中养成严谨求实、规范作图、精确表达的科学态度。

【知识技能】

1.能借助单位圆中的正弦线理解图象的作法，明确图象上点的横、纵坐标的含义；

2.掌握“五点法”，能准确写出五个关键点，并用光滑曲线画出与在区间上的简图；

3.理解的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，了解把区间上的图象沿横轴向左、向右平移，延拓得到上图象的方法。

【核心素养】

1.数学抽象：从单位圆上点的纵坐标随角的变化中抽象出正弦函数的图象；

2.逻辑推理：利用诱导公式说明正弦函数、余弦函数图象之间的联系，体会化归与转化；

3.直观想象：通过观察正弦曲线、余弦曲线的特征，发展识图与作图能力；

4.数学运算：准确计算关键点坐标，规范描点、连线。

【教学重点】用“五点法”作出正弦函数、余弦函数在区间上的图象。

【教学难点】理解单位圆上的点与图象上的点的对应关系，掌握正弦线平移转化的作图原理。

教  学  过  程

教 学 内 容 及 活 动

设计意图

及时长

【情境导入】

1.教师展示摩天轮的图片（图1），提出问题：摩天轮匀速转动时，轿厢离地面的高度是怎样变化的？这类“周而复始、循环往复”的现象，可以用怎样的函数来刻画？

2.追问：在单位圆中，角的终边与单位圆交于点，点的纵坐标就是。若让角连续变化，把每个角对应的点在坐标系中描出来，会得到怎样的图形？

3.引出课题：本节课我们以单位圆为工具，亲手画出正弦函数、余弦函数的图象。

以学生熟悉的摩天轮情境引出“纵坐标随角连续变化”的问题，让学生感知研究三角函数图象的必要性，自然过渡到新课。

（3分钟）

图1　摩天轮示意图

【探究新知】

一、正弦函数在区间上的图象

探究1：如何借助单位圆，画出在区间上的图象？

师生共同完成作图（图2、图3）：

第一步，在单位圆中，将圆心角从 0 到十二等分。角的终边与单位圆交于点，过点向横轴作垂线，垂足为，则有向线段叫做角的正弦线，；

第二步，在横轴上从原点起向右截取长度为（约6.28）的一段，并把这一段十二等分，各分点自左向右依次对应的值为，，，…，，；

第三步，把单位圆中各角对应的正弦线向右平移，使它们的起点分别落在横轴的各等分点上，这些正弦线的终点就是函数图象上的点；

第四步，当单位圆上的点按角增大的顺序旋转一周时，图象上的点相应地从左向右移动，用光滑的曲线把这些点连接起来，就得到在区间上的图象。

图2　单位圆中的正弦线

通过“等分—作正弦线—平移—连线”的完整作图过程，让学生理解图象的生成原理，突破本课难点；“五点法”由精确作图简化而来，体会抓住关键、以简驭繁的思想。

（12分钟）

例1巩固“五点法”，并借助图象平移关系发展直观想象。

（4分钟）