第20讲 三角函数的图像与性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第20讲 三角函数的图像与性质 模块一 正余弦函数的“五点法” 模块二 正余弦函数的性质应用 3 模块三 正切函数的性质应用 11 课后作业 附解析 13 目标双一流 领先高考培优课程 第20讲 三角函数的图像与性质 课堂思维碰撞 1.掌握图象画法：熟练掌握用“五点法”画出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的简图，并能通过图 象平移得到整个定义域上的正弦曲线和余弦曲线。 2.熟悉函数性质：准确掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调区 间及对称性（对称轴与对称中心）。 3.熟练性质应用：能利用三角函数的图象与性质解决比较大小、求最值、求单调区间以及解简单三角不 等式等综合问题。 模块一 正余弦函数的“五点法” 正弦、余弦函数的图象与“五，点法” >五点法作图：在[0,2π]上，正弦函数y=snX的五个关键点为： 1 目标双一流 领先高考培优课程 0.01.(,、(,0，〔3，-1.2,01. >图象平移：余弦函数y=cosX的图象可由正弦函数y=sinX的图象向左平移乃个单位长度得到。 纳 回【例】 f(x)=sinxl (多选)已知函数 ,则() A.f(x)的最大值为1 Bf)在2,0上是增函数 c为f 的一个周期 D.f0,2 上有两个零点 【答案】AC 画 y=sinx 【解析】作出函数 图象，如图： 3π2π f(x)=曰sinx 0 根据图象可知：f(x)的最大值为1，故A正确，f(x)在2上是减函数，故B错误， f(x) 为 的一个周期，故C正确， f(x)[0,2π 在 上有三个零点，故D错误，故选：AC ☐回【练习1) 已知函数f(,)=2sinx+1 2 目标双一流 领先高考培优课程 3 2 0 π32元 (1) 请用五点法画出函数()在[0,2上的图像（先列表，再画图）， 【答案】 0 个 2 2 2π 321 sinx 0 -1 0 0 π3/2玩x 2sinx+1 -2 模块二 正余弦函数的性质应用 知识点睛 三大三角函数的性质对比（核心重点！） 3 目标双一流 领先高考培优课程 性质/函数 y=sinx y=COSX y=tanx 图象 定义域 R R {x|x≠+，k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 增区间： 增区间： 在每一个开区间 -号+2a受+2 [-π+2km,2k 单调性 (-+,+k) 减区间： 减区间： 上单调递增 π+2k] 受+2， [2km,n+2k] 对称轴：X=乃+m 对称轴：X=k 无对称轴 对称性 对称中心：(km,0） 对张中心：（受+，0） 对称中心： k,0 (注：以上所有k∈Z 【小蛛一下】（单边1.下列函教中，既足偶函教，又在区问(0，+0）上是增函鼓的为 A.y=COSx B.y=2 C.y=lgx D.y= 【答案】D 【解折】Ay=0sX,是偶函数，但是在整个(0，+0）上有增有减.故不满足题意 B,y=2* 不是偶函数，不合题意.C,不是偶函数，不合题意 4 目标双一流 领先高考培优课程 D,既是偶函教，在(0，+)上也足增西教，符合题意.故答案为D (多选)2函数f(x)=sinx+e 的零点所在区间可以是（) A.（元，0) B.（-2m,-π) c.（-3m,-2π) n.(4m,-3m) 【答案】AC 【解折】由f()=sinr+e=0 sinr=-e*, 作出函数y=Sinr与函数y=-e的图象如图， 由图可知 区间（π，0）和（3沉，-2m)上存在零点 故选：AC. 纳 1.利用正余弦函数的有界性，借助sinX+c0s2X=1,可将函数中的变量统一成six或cosz,再换元分 折最值：egyx∈R,t=sinx,t∈[-1,1] 回【例2】 /0 是知函数f()=cos2x+sinr,则f(x)在L02上的值域为. 5 目标双一流 领先高考培优课程 【答案】 f(x)=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx 【解析】由 、x∈a 令1=sinx,10,川，则原西数转化为二次函数=子+1+1,1e[0, 1=2e0, 又该二次函数开口向下，且对称轴为 1 当=0时，y=1:当=l时，y=l,即m=1 0, 「π7π X 【练习2】当L6’6]时，函数y=3-3sinx-2cos2x的最小值是 【答案】- 1 8 函数 y=3-3sinx-2cosx=2sinx-3sinx+1=2sinx- 21 4 8 .-------------.-------------.--- 1 sinx= 故当 4时，函数y取得最小值为8，故答案为：8 6 目标双一流 领先高考培优课程 y=asinx+b 间【练习3】 (多选)若 的最大值为3，最小值为1，则b的值可以为() A.2 B.-2 C.0 D.-1 【答案】AB 【屏1当0>0时，刘g1不8之所以的=2 当a<0时， a+b=1, b=3,得b=2，所以ab三2：综上所述，ab=±2，故选： 2.针对f(x)=Sin(⊙X+p型函数，求单调区间，对称轴，对称中心，零点，值域时，一殷采用换元 法，令t=ox+p,ft)=sint,来求解。 ☐回【例3】 （4)求函数f(:)的单调递增区间： π3π (2)求函数f(x)在4'4」上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值. (kEZ) ,晋有总小5.号有大位2 2a-子s2x-名s2a+keZ→m-名xsa+5ke2 【解析】(1)由2 6 商西数了闪内单司E特区同[红名：+骨引ce2 3 > 目标双一流 领先高考培优课程 π3π π4π (2)令2r 61,因 x∈ t∈ 44」，所以33， ππ π4π 因 函数g()=2sint在3’2单调递增，在2'3」单调递减， x[及.周}-5引-28餐）5，g=-80-2. t=4n 因此当3时.即当4时，函数了因有最小信石 7三2时.即当时，函数了风了 ☐回【练习4) 已知商数/()=2inx+1,求y=/2x+ 的单调递增区间， +1 k∈Z 【答案】 12 囼 【解析】由y=f 3*1, 2x+}=2如2x 因为y=sinx的单调递增区间为 元一号2阮大灭 2_,kEZ, 所以令2s2x+s2h+ -5π≤xSkm+ 3 ,k∈Z,解得 12 12,keZ, 8 目标双一流 领先高考培优课程 所以少 3的单调递增区间为 经Sπ杯+ 129 k∈Z 【练习5】 (单透)函数f()=sin 3x+图象的一个对称中心是() A. (,0 B.（12 n（ 【答案】D 3x+"=km,k EZ 【解析】令 4 ax=- ,解得123 (0 当大三0时；二二2；所以函数图象的一个对称中心是二20故选D 0间 y=3sinx+ 【练习6】 求函数 x∈[0，π]的单调减区间 【答案】 【解析】令t=X+子y=Si血1的单调递减区间为号+2≤t≤3亚+2k,ke乙， 4 侧+2m≤x+子3+2红，keZ,解得经+2a≤x≤5平+2，keZ, 42 取k=0,得递减区间 9 目标双一流 领先高考培优课程 0间 2x- 【练习7】 函数f6)=2cos 4的单调递减区间为. g 【答案】 a++ke 8 y=coSx [2kπ2kπ+π](k∈Z) 【解析】因为函数 的单调递减区间为 2km≤2x- 令 ≤2km+ ,k∈乙，解得： ≤x≤km+ 5π kπ+ 8 8,k∈Z, 所以函数 f(x)=2cos 2r引 单调递减区间为尔+区，a+1∈Z) 8 8 故答案为： a+a+ 2) 【练习8】 2知)-2n分-到 （)求函数（的最大值，并求出x为何值时， f(取得最大值： （2)求函数f)在【2,2河]上的单调增区间； ③)若xe[0,2n],求f(y值城 【答案】 1)x=3严+4m, (x) 的最大值为2：(2) π3π 时， 223 目 [-2,2] 【解析】 当时x-晋-受+2ak∈Z.即x妥+4a,keZ.国的最大值为2 2 10 目标双一流 领先高考培优课程 ②)令是+2如x子受2，得受+46≤xs+4k,keZ, 设A-2,2B子+4+4 k∈Z 所以AnB=-交，3n 2’2 f(x)[-2π，2π 即函数 在 上的单调增区间为一2,2】 (3)由 2时子 根据正弦函数图象可知sin e要4 所以f(x)e|-2,2 3.逼到选择题可以直接代入法判断对称轴、对称中心、单调区间，不需要直接求解； 回【例4】 (多选)已知函数 f()=sinx+3 则下列结论正确的是() A付)图象关于点3对称 B.f(x)图象关于直线x=3对称 c若f(:)=1,f(x,)=-1,则k-的最小值为2 D主)克，则5=4-e2列 9 【答案】BC 【解析】对于选项AB:因为f +π 3 =sin 6 3 =1为最大值， 0 所以了)图象不天于点（写0）风对存，关于直线-骨对称，板人销误，B正骑： 11 目标双一流 领先高考培优课程 I 2r=4r 对于选项C:因为f(x)的最小正周期 2 若()=1，f(3)=-1,可知×1为最大值点，为最小值点， 所以-x的最小值为2 =2 ,故C正确； 对于选n,*)=如合+到引. 1 之+=2k+下。2xz 3 6或2+ 31 6,keZ, 所以七4hm- 3或x,=4h+兀，k∈Z,故D错误： 故选：BC 【练习9】 多选)已知资=m2xxeR). 则下列说法正确的是() 5π A.f(x)的最小正周期为元 x= B.f(x)的图象关于直线12对称 c.f(x) (,0 图象关于点(12 中心对称 D.f()在0,3)上单调递增 【答案】ABD 囼 折】对于A,了)的最小正周期T=2=元，故A正确 12 目标双一流 领先高考培优课程 5π 2x-ππ 5π X= 32,所以f(x)的图象关于直线 X= 对于B,当12时， 12对称，故B正确： 对打C,当=.2骨牙 x3=一2，所以f(x)的图象不关于点 0 中心对称，故C错： 特r.0)所.2-骨（引，o到 上单调递增，故D正确 故选：ABD 【练习10】 摩套)数)-m(2x+o侧<小)s后)卡宽，则0的 值为( π π 5π 6 A. B.6 C.6 D.6 【答案】A 囼 【解析】由题意得， 6 是函数f(x)的最大值， 6 -1 得3 +2kkeZ.9=名+2xeZ,又<，p- 2 6 6 故选：A 模块三 正切函数的性质应用 13 目标双一流 领先高考培优课程 热点 型 归纳 回【例5】 《单选)己已知点(a,0)(a>0)是函数'=anX一3)图象的一个对称中心，则a的最 小值为() π π 4π A.4 B.2 c. D.3 【答案】C y=tan(x- 3的对称中心横坐标满足 元_kc,keZ 【解析】根据正切函数的性质， -3=2 即y=tan(x- 3 的对称中心是( 3+2,0k∈z πkπ ,k∈Z 32 又a>0,则k=0时a最小，最小值是3，即0=3. 故选：C f(x)=2025tan ππ 回【练习11) (单选)已知函数 4@r+o>0区回6'3上单调，则0 的取值范围为( A.(0,1] 喝) 14 目标双一流 领先高考培优课程 【答案】D 【解析】由y=2025tanr的定义域为 (e) ππ 6’3时， @x+ 39 633+3, Or+≥km-T 63 结合正切函数的单调性可知 +s+，解得 0r,π 33 ω [-5ez☑ .1 6k-5<3k+ 由 、11 2可知6，由0>0可知2>0，必 3k+ 6 -<k< 即6 6,而k∈Z,故k只能为0或1， 女=0.喻o>0a0cak=1所，1后o,Teoo[月 故选：D 间r练习12】 若点(a,b)a>0)为运数=amx-2）+ 33的图象的一个对称中心，则 a+b 的最小值为一 π 【答案】2 囼 【解析】由X- 晋-受k∈z,有x=否+任keZ 2π，kππ 因此函数=anx-3 十 3的图象的对称中心为32’3(k∈Z) 15 目标双一流 领先高考培优课程 a= 2π+kmb= 而a>0,则32,3，kZ,k≥-1,4+6=4@ 2,k∈Z,k≥-1， 所以a+b的最小值为2故答案为：2. 课后作业 一、选择题（概念辨析，夯实基础) 1.用“五点法”画函数y=snx在[0,2π]上的简图时，下列哪个点不是关键点() A(受) B.（π，0) D.（2π，0) 2.函数y=cosX的图象的一条对称轴是() A水=乃 2 B.X=T C.x=I 4 D.X=3I 2 3.下列不等式中，成立的是() A sinsin 5π 2元 B.cos cos 7 C.tan 3<tan 2 D.sin xcos 4 3 6 3 二、填空题（精准运算，规范表达） 4.函数y=sinx在区间[0,2π]上的单调递减区间是 5.函数y=2sinx+1取得最大值时，自变量x的集合是 6函数y=tan(2x-牙)的定义域是 16 目标双一流 领先高考培优课程 三、解答题（逻辑推理，综合应用） 7.不通过求值，比较下列各组数的大小，并说明理由： (1)sin2z与sin 1:(2)cos 7亚与co 5π 5 40 8.求函数f(x)=sn(2x+乃)的单调递增区间、对称轴方程和对称中心坐标。 3 【作业解析】 一、选择题 1. 【答案】c。解析：“五点法”的五个关健点横丝标依次为0，号，，，2。C选项的横坐标 2,m,2 3兀不在其中。 2.【答案】B。解析：余弦函数y=Cosx的对称轴方程为x=k（k∈Z)。当k=1时， X=π是一条对称轴。 3【答案】A。解析：A选项中，4和都在（受，）内，而y=snX在此区间单调递 4π<5π 威，因为77所以sin4几>6in,A正确。B选项中，y=cosx在0，π单调递减 7 行2受故cs骨*os子 2开，8错误。c选项中，an3=1,am2”-3,因为 5 4 3 -1>-3,c错。D选项中，sin及=， sπ_1 62 cos 32两者相等，D错误。 二、填空题 4.【答案】 受1。解折：根据正法福数的生质，在0,2上，岛致在号1上单调 递减。 17 目标双一流 领先高考培优课程 5.【答案】(x|x=+2,k∈Z}。解析：当sinx=1时，y取得最大值3。此时 x=+2m(ke2. 6【答案】{xx≠3+，k∈Z引。解析：令2x-乃≠+a(kEZ,解得 82 42 2x≠3+m,即X≠3T+(k∈2。 82 三、解答题 7.【解析】 (1)因为 2刀和3π互补，所以相等。 （公利用等导公式化简：Qos7石=o0s+晋=-oms吾cos5=cos+子1=-c0 6 6 4 49 因为y=c0sx在0，受》上单河滋减。且君异所以c0s名cas异 6 两边同乘-1变号，得-C0SF<-Cos4,即cos 6. 7IL<COS- π 6 4 8. 【解析】 令=2x+学则fx)=sn. 求单调递增区间： 由-+2≤ts+2(k∈Z),得：-+2km≤2x+5≤+2m 2 32 解得： 5设+k≤x≤是+a(keZ. 12 18 目标双一流 领先高考培优课程 ,亚+k](k∈Z)。 所以单调递增区间为「-5+k,1门 求对称轴方程： 令t=+a(k∈Z),即2x+5=+kM。 32 解得：X=乃+匹(k∈Z。 122 所以对称轴方程为X=石+ 122 (k∈Z)。 求对称中心坐标： 令t=km(k∈Z),即2x+=a。 3 解得：x=-严+ 62 (k∈Z)。 所以对指中心坐标为吾*经.0)（长∈刀： 19 目标双一流高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第20讲 三角函数的图像与性质 模块一 正余弦函数的“五点法” 模块二 正余弦函数的性质应用 3 模块三 正切函数的性质应用 课后作业 9 目标双一流 领先高考培优课程 第20讲 三角函数的图像与性质 课堂思维碰撞 1.掌握图象画法：熟练掌握用“五点法”画出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的简图，并能通过图 象平移得到整个定义域上的正弦曲线和余弦曲线。 2.熟悉函数性质：准确掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调区 间及对称性（对称轴与对称中心）。 3.熟练性质应用：能利用三角函数的图象与性质解决比较大小、求最值、求单调区间以及解简单三角不 等式等综合问题。 模块一 正余弦函数的“五点法” 正弦、余弦函数的图象与“五，点法” >五点法作图：在[0,2π]上，正弦函数y=snX的五个关键点为： 1 目标双一流 领先高考培优课程 0.01.(,、(,0，〔3，-1.2,01. >图象平移：余弦函数y=cosX的图象可由正弦函数y=sinX的图象向左平移个单位长度得到。 纳 回【例1】 f(x)=sinx (多选)已知函数 ,则( A.f(x)的最大值为1 c元为 的一个周期 D.fy左[0,2m 在 上有两个零点 【练习1】 已知函数f(x)=2sinx+1 2 1-- 0元3红2元 -1-2 2 -2 ()诗用“五点法"画出函数(：在[0,2列]上的图像（先列表，再画图）； 2 目标双一流 领先高考培优课程 模块二 正余弦函数的性质应用 识 三大三角函数的性质对比（核心重点！） 性质/函数 y=sinx y=cOsx y=tanx 图象 2 定义域 R R {x|x≠+km,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 增区间： 增区间： 在每一个开区间 【受+2a资 +2k 单调性 [-π+2k,2k】 （-受+，受+k 减区间： 减区间： 上单调递增 π+2k] 贤+2， [2k,π+2k] 3 目标双一流 领先高考培优课程 性质/函数 y=sinx y=COSX y=tanx 对称轴：X=+km 对称轴：X=kπ 无对称轴 对称性 对称中心：（k,0) 对称中心：(+k,0 2 对称中心：受，0) (注：以上所有k∈Z) 【小练一下】（单选）1，下列函教中，既是偶函教，又在区问(0，+0）上是增函教的为 A.y=coSx B.y=2 C.y=lgx D.y= (多选)2函数f(x)=sinr+e 的零点所在区间可以是() A（-π，0) B.（-2,-π) c.（-3π，-2) D.（4，-3) 热 纳 1.利用正余弦函数的有界性，倩助sinX+c0s2X=1,可将函数中的变量统一成si或cosz,再换元分 析最值：egHx∈R,t=sinx,t∈[-1,1] 回【例2】 已L高改f=ox+s,对z月上的值减为 4 目标双一流 领先高考培优课程 「π7π 【练习2】当L66时，函数y=3-3sinx-2cos2x的最小值是 ☐间【练习3】 （多选)若y=asint+b 的最大值为3，最小值为1，则b的值可以为() A.2 B.-2 C.0 D.-1 2.针对f(X)=si(OX+p)型函数，求单调区间，对称轴，对称中心，零点，值域时，一殷采用换元 法，令t=⊙x+p,ft)=sint,来求解。 回【例3】 数f()=2sm2r-引 (山)求函数f()的单调递增区间： 元3元 (2)求函数∫(x)在4'4」上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值. 目标双一流 领先高考培优课程 回【练习4) 已知数了)=2simx+1,=f2x+到 的单调递增区间 回 【练习5】 (单选)函数f(r)=sin3x+元 4图象的一个对称中心是() A. n( 间 【练习6】 求函数y=3sinx+ 4, x∈[0，元]的单调减区间 0回 【练习7】 6 目标双一流 领先高考培优课程 【练习8】 u=2sn}引 (I)求函数f(的最大值，并求出x为何值时，f()取得最大值， (2)求函数()在[-2,2河]上的单调蹈区间， 3)若x∈[0,2x],求f()值域 3.逼到选择题可以直接代入法判断对称轴、对称中心、单调区间，不需要直接求解； 回【例4】 则下列结论正确的是() 0 A.f(x)图象关于点3 对称 B了()图象关于直线-骨对称 c.若f)=Lf(,)=-1,则5-的最小值为2 Dx)-,4-号e☑ 0回 【练习】 (多走)已知两数)=如2-否水eR).则下列说法正确的是() 目标双一流 领先高考培优课程 5π A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线12对称 X= (0 c.f(x) 图象关于点(12’ 中心对称 Df)a0写到引上单调路 0间 【练习10】 (单选)已知函数 f()-sin(2x+g)0ol<r).f()s 恒成立，则p的 值为() c.c 5π A.6 B.6 D 6 模块三 正切函数的性质应用 热点题 纳 回【例5】 （单连)已知点a0a>0)是居数=-司图象的-个对精中心，则a的最 小值为() π 元 4π A.4 B.2 D.3 8 目标双一流 领先高考培优课程 (单选)已知函数f(:)小=20251an ππ 间【练习) 在区间6’3上单调，则0 的取值范围为() A(0,] 引[)吲 ☐间【练习12】 若点(a,b)a>0>为丽数=anx-27+ 33的图象的一个对称中心，则 a+b 的最小值为一 9 目标双一流 领先高考培优课程 课后作业 一、选择题（概念辨析，夯实基础） 1.用“五点法”画函数y=snx在[0,2π]上的简图时，下列哪个点不是关键点() A受山 B.(,0) c3n,2) 4’2 D.（2π，0 2.函数y=CosX的图象的一条对称轴是() AX=乃 B.X=π C.x=I 4 D.x=3I 2 3.下列不等式中，成立的是() A sin 4>sin 5x 7 7 B.Cos I 2π 5 C.tan tan- π π 4 3 D.sin ,L7c053 6 二、填空题（精准运算，规范表达） 4.函数y=sinx在区间[0,2π]上的单调递减区间是 5.函数y=2sinx+1取得最大值时，自变量x的集合是 6函数y=tan(2x-及)的定义域是 4 三、解答题（逻辑推理，综合应用) 7.不通过求值，比较下列各组数的大小，并说明理由： 1)sin2r与sin in (cos 7π与co 5π 5 4° 10 目标双一流 领先高考培优课程 8.求函数f(x)=sin2x+兀)的单调递增区间、对称轴方程和对称中心坐标。 11 目标双一流