4.4.3 不同函数增长的差异 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一年级

学科

数学

教师

课题

4.4.3 不同函数增长的差异

教学

目标

数学抽象

通过具体实例与函数值表格，比较一次函数、指数函数、对数函数增长的差异，抽象概括出“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”三类增长模式的特点。

逻辑推理

借助图象观察与表格数据分析，经历“观察—归纳—概括”的过程，得出存在一个，当时，的结论，发展逻辑推理素养。

数学运算

通过计算具体函数值、比较函数值的大小，体会用数据刻画增长快慢的方法，提高数学运算素养。

直观想象

在同一平面直角坐标系中绘制三类函数的图象，借助图象直观感知不同函数增长的差异，发展直观想象素养。

教学

重难点

1.重点：借助图象与表格，比较一次函数、指数函数、对数函数增长的差异，归纳三类函数模型增长的特点。

2.难点：从增长速度的角度理解“指数爆炸”“对数增长”的实际意义，并能根据增长差异选择合适的函数模型。

教学过程

环节

教师活动

学生活动

导入

新课

教师：多媒体展示情境材料：

“2026年，人工智能应用加速落地。某数据机构跟踪了三款软件产品的用户规模变化——甲款智能助手上线后，用户规模成倍增长，短短数月用户数突破千万；乙款传统办公软件的用户规模每年稳定增加500万；丙款成熟的电信支撑系统升级后，用户满意度持续提升，但提升得越来越慢。”

教师提问：这三种增长有什么不同？能否用我们学过的一次函数、指数函数、对数函数，为它们分别找到合适的数学模型？

设计意图：以2026年人工智能产业背景创设情境，引发认知冲突，引出本节课的研究问题——不同函数增长的差异。

学生阅读情境材料，联系本章所学的一次函数、指数函数、对数函数展开讨论，尝试用“增长快慢”描述三种变化的差异，初步感受研究函数增长差异的必要性。

新课讲授

一、三类函数

增长的差异

教师：布置探究任务：在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象（如图1），并利用计算器完成函数值表格。

学生动手绘制图象、填写表格，分组讨论并汇报观察结论。

教师：引导学生从图象与表格两个角度观察：当逐渐增大时，三个函数的函数值分别怎样变化？它们的增长速度有什么不同？

学生：动手画图、列表，小组交流观察结果，尝试用自己的语言描述三类函数增长的差异。

设计意图：让学生经历“画图象—列表格—比差异”的探究过程，从直观与数据两个层面感知三类函数增长的差异。

图1　函数的图象

函数值表格如下：

教师：结合图象与表格，引导学生归纳三类函数增长的差异：

（1）的图象是上升的直线，自变量每增加1个单位，函数值增加2个单位，增长速度保持不变，形象地称为“直线上升”；

（2）的图象随的增大逐渐变“陡”，函数值的增长速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”；

（3）的图象随的增大逐渐趋于平缓，函数值的增长速度越来越慢，形象地称为“对数增长”。

知识归纳：三类函数模型增长的差异（a>1，k>0）

一般地，存在一个，当时，有。

新课讲授

二、幂函数增长

的差异与

模型选择

教师：追问：幂函数（n>0）的增长速度，与上述三类函数相比处于什么位置？引导学生观察与的图象（如图2），并完成例3。

教师：引导学生归纳模型选择的经验：描述增长速度变化很快的现象，常选用指数函数模型；要求不断增长，但又不会增长过快、不会增长到很大的现象，常选用对数函数模型；描述匀速增长的现象，常选用一次函数模型。

学生观察图2，比较两条曲线上下位置的变化，归纳幂函数增长的特点；结合导入情境与例题，总结三类函数模型的选择依据。

例题

探究

例1　下列函数中，当充分大时，增长速度最快的是（　　）

A．　　B．　　C．　　D．

答案　D

解析　一次函数匀速增长，呈“直线上升”；对数函数增长最慢；幂函数的增长速度介于对数函数与指数函数之间；指数函数的增长速度越来越快，当充分大时，将大大超过其余三个函数。故选D。

例2　三个变量，，随变量的变化情况如下表：

则与呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是（　　）

A．，，　　B．，，　　C．，，　　D．，，

答案　C

解析　对：因为恒成立，即，故呈幂函数型变化；对：逐一代入验证可知，随的增大，函数值急剧增长且增长速度越来越快，故呈指数型变化；对：逐一代入验证可知，函数值虽然增大，但增长速度越来越慢，故呈对数型变化。所以呈对数型、指数型、幂函数型变化的变量依次是，，，故选C。