4.4.3 不同函数增长的差异（教学设计）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

科  目

数学

年  级

高一

主备教师

课  型

新授课

课时数

1

授课教师

设计主题

4.4.3 不同函数增长的差异

设计时间

授课时间

课标要求

1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

2.知道对数函数 与指数函数互为反函数(>0,≠1 ).

3.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.

教材分析

我们知道，对数函数是指数函数的反函数，它所研究的问题自然也是指数函数“反过来的问题”.例如，指数函数刻画了死亡生物体内碳14的含量 随时间 变化而变化的规律，据此可以确定任意一个时刻 死亡生物体内碳14的含量．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它的死亡时间呢？也就是要解决由的值去求 的值的问题.

由指数函数的单调性（以及连续性）可知，任给一个∈(0,+∞)，都有唯一确定的 ∈R与之对应，所以 是 的函数，以符号记之.因为对数函数与指数函数互为反函数，不难想象，对数函数的性质反映了指数函数性质.所以，对于对数函数的研究，无论从函数的定义还是图象与性质，都要考虑如何根据这种关系，利用指数函数的已有结论得出对数函数的相应结论，而不是去简单重复指数函数的研究过程，这样也能把这个内容处理得简洁明快而且富有数学内涵.当然，像学习指数函数一样，这里也要强调利用对数的运算性质.

指数函数概念是通过比较指数函数与一次函数增长差异的实例引入，建立函数之后就可以借助于函数的图象与性质，通过分析函数而得知现实问题的变化规律.因此接下来研究不同函数增长的差异是有必要的.

一次函数是线性增长，其增长规律是学生熟悉的，因此可以将一次函数作为参照，通过分别将指数函数、对数函数与一次函数比较理解“指数爆炸”、“对数增长”、“直线上升”.在研究的过程中，可以先从具体函数的比较开始，再抽象出一般结论.

学情分析

对数函数是高中阶段学生学习的第三个基本初等函数，学生已经具备了较好的函数认知基础.但是因为对数函数的学习是在其反函数-指数函数得到完整研究的基础上展开的，要借助对数与指数的内在联系，利用指数函数研究对数函数，这是学生以往经验中没有的，所以从这个角度说，学生会遇到一些困难.也就是说，这里的困难主要来自看问题的观点、研究问题的方法.教学中，要通过对数与指数的内在联系，采取适当的教学手段（例如列表对照、将图象画在同一个坐标系中进行比较等），借助指数函数认清对数函数的对应关系.强调通过代数运算的方法研究对数函数的性质，在对数函数作图时也要注意引导学生把它与指数函数的图象联系起来，使学生在借助指数函数研究对数函数的过程中领会这种研究方法的特点.

对三类函数增长速度进行比较是学生之前没有接触过的，对“增长速度”的理解、如何进行增长速度的比较等方面缺乏经验，造成学习的难点.为此，教师可以引导学生从具体函数出发，通过函数图象、代数运算数形结合地展开研究.同时，要借助计算工具的作图、计算功能，引导学生从函数图象上观察当自变量x的值不断增大时函数图象的走势，通过运算观察三种函数值随自变量的不断增大时的增长趋势，形成“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的具体感受.5

单元教学目标

1.由实例，利用指数运算与对数运算的关系得出对应关系，并能利用函数概念和指数函数确定这种对应关系也是函数，从而形成对数函数的概念.能类比指数函数的研究，充分利用指数函数与对数函数的关系，展开对数函数的研究.能利用对数函数解决简单的实际问题.

2.能说出对数函数与指数函数之间的特殊关系，知道对数函数与指数函数互为反函数，且≠1).

3.能结合具体实例，借助计算工具，通过数形结合的方法比较对数函数、一次函数、指数函数的增长差异，能用具体例子说明“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义.

单元教学重点

难点

1.教学重点：对数函数的概念、图象和性质，不同函数增长的差异.

2.教学难点：对数函数性质的归纳；对“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的理解.

单元课时分配

本单元分3课时：

第1课时，对数函数的概念；

第2课时，对数函数的图象和性质；

第3课时，不同函数增长的差异.

第三课时

课时学习目标

基础性目标：★

通过任务一，结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较、一次函数与指数函数增长速度的差异.

拓展性目标：★★

通过任务二，结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数与一次函数增长速度的差异.

挑战性目标: ★★★

通过任务三，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异.理解“对数增长”，“直线上升”与“指数爆炸”等术语的现实含义.

课时学习重难点

教学重点：不同函数增长的差异．

教学难点：对“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的理解．

课时学习评价

教学过程

教师活动

学生活动

教学效果

一、创设情境，提出问题：

在学习指数函数时，我们就已经感受到一次函数和指数函数刻画的实际问题的增长方式存在很大的差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.本节课，我们就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.

由于一次函数的增长规律大家已经比较熟悉了，它在整个定义域上的变化率恒定，即为定值，所以我们以它为参照，先分别研究一次函数与指数函数、一次函数与对数函数增长的差异，最后再比较三类函数的增长差异.

二、目标一：学生结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较一次函数与指数函数增长速度的差异.