江苏省徐州市2026—2027学年九年级上学期期中考试数学模拟试题（三）

徐州市2026—2027学年度第一学期期中考试 九年级数学模拟试题（三） （时间：90分钟　满分：140分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方程 的解是 A. B. C. D. 【解析】 ，，∴ 。 【答案】C 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是 A. B. C. D. 【解析】 A 中 ，有两个不相等的实数根；B 中 ；C 中 ；D 中 。 【答案】A 3. 已知反比例函数 的图像经过点 ，则当 时， 的值为 A. B. C. D. 【解析】 ，∴ ，当 时 。 【答案】B 4. 若点 、 都在反比例函数 的图像上，则 A. B. C. D. 无法确定 【解析】 ∵ ，图像在第一象限，在该支上 随 增大而减小，∴ 。 【答案】A 5. 如图， 是 ⊙O 的直径，点 在 ⊙O 上。若 ，则 的度数为 A. B. C. D. 【解析】 同弧 所对的圆心角是圆周角的 2 倍，∴ 。 【答案】C 6. 正三角形的内切圆半径 与外接圆半径 的比为 A. B. C. D. 【解析】 正三角形中内心与外心重合，且 ，∴ 。 【答案】B 7. 若一个圆锥的侧面积为 ，母线长为 5，则它的底面半径为 A. B. C. D. 【解析】 由 得 ，∴ 。 【答案】C 8. 如图， 是 ⊙O 的弦，，⊙O 的半径为 5，点 是 ⊙O 上一动点，则 △ 面积的最大值为 A. B. C. D. 【解析】 作 于 ，则 ，。 点 到 的最大距离为 ，∴ 。 【法二】用面积公式 ，而 ，故 （当 为弧 的中点时取等号）。 【答案】A 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程 的解是＿＿＿＿＿＿。 【解析】 ，∴ 。 【答案】 10. 若反比例函数的图像经过点 ，则它的表达式为＿＿＿＿＿＿。 【解析】 ，∴ 。 【答案】 11. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 【解析】 ，∴ 。 【答案】 12. 正十边形的每个内角为＿＿＿＿＿＿度。 【解析】 。 【答案】 13. 若一个圆锥的底面半径为 3，高为 4，则它的全面积为＿＿＿＿＿＿。 【解析】 母线 ，∴ 全面积 。 【答案】 14. 若正三角形的边长为 6，则它的外接圆半径为＿＿＿＿＿＿。 【解析】 正三角形的高 ，外接圆半径 。 【答案】 15. 如图，直线 与反比例函数 的图像交于点 ， 轴于点 。若 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 【解析】 设 ，则 ，∴ ，，，∴ 。 【答案】 16.如图，正方形 的边长为 ，点 是边 的中点，点 是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 。当 最小时， 的长是＿＿＿。 【解析】正方形 的边长为 ，点 是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 ，因此动点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆周上，如图所示： 最小值对应的线段为 ，连接 ，如图所示： 在 Rt△ 中，，正方形 的边长为 ，点 是边 的中点，则 ，，根据勾股定理可得 。 当 、、 三点共线时， 最小为 。 接下来，求 的长：连接 ，如图所示 根据翻折可知 ，，设 ，则根据等面积法可知 ，即 ，整理得 ，解得 【答案】 三、解答题（本大题共9小题，共94分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题8分）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）（用配方法）。 【解析】 （1），∴ 。 （2），∴ 。 （3），∴ 。 （4），，，∴ 。 【答案】；；； 18. （本题8分）已知 与 成反比例，且当 时，。 （1）求 与 的函数表达式； （2）当 时，求 的值； （3）当 时，求 的值。 【解析】 （1）设 ，把 ， 代入得 ，∴ 。 （2）当 时，。 （3）由 得 。 【答案】；； 19. （本题10分）用长为 20 m 的篱笆围成一个一面靠墙的矩形花园（墙长为 12 m），若花园的面积为 48 m²，求花园的长和宽。 【解析】 设与墙垂直的一边长为 m，则与墙平行的一边长为 m。 由题意 ，整理得 。 ∴ ，。 当 时，平行边为 12 m（不超过墙长 12 m，符合）；当 时，平行边为 8 m（符合）。 答：花园的长为 12 m、宽为 4 m，或长为 8 m、宽为 6 m。 【答案】长为 12 m、宽为 4 m，或长为 8 m、宽为 6 m。 20. （本题10分）如图， 是 ⊙O 的直径，弦 于点 ，，。 （1）求证：； （2）求 ⊙O 的半径； （3）求 的长。 【解析】 （1）∵ 是直径，，∴ （垂径定理）。 （2）连接 ，设半径为 ，则 ，。 在 Rt△ 中 ，解得 。 （3），，∴ 。 【答案】； 21. （本题10分）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点，与 轴交于点 。 （1）求 的值及一次函数的表达式； （2）求点 的坐标及 △ 的面积； （3）直接写出不等式 的解集。 【解析】 （1）∵ 在反比例函数图像上，∴ 。 把 、 代入 得 ，，解得 ，，∴ 。 （2）令 得 ，∴ ，。 ∴ 。 （3） 或 。 【答案】；，； 或 22. （本题10分）如图，⊙O 是 △ 的内切圆，与 、、 分别相切于点 、、。 （1）求证：，，； （2）若 ，，，求 、、 的长。 【解析】 （1）由切线长定理，从圆外一点引出的两条切线长相等，∴ ，，。 （2）设 ，，，则 ，，。 三式相加得 ，∴ 。 ∴ ，即 ；，即 ；，即 。 【答案】，， 23. （本题10分）如图，点 在反比例函数 的图像上， 轴于点 ，点 在 轴正半轴上。 （1）求 的值； （2）若 △ 的面积为 6，求点 的坐标； （3）求 △ 的面积。 【解析】 （1）∵ 在 上，。 （2）设 （）。，解得 ，故 。 （3），点 到直线 的距离为 3，。 【答案】；； 24. （本题10分）如图， 是 ⊙O 的直径，点 在 ⊙O 上，，。点 从点 出发，沿 以每秒 1 个单位的速度向点 运动，设运动时间为 秒（）。 （1）求 的长及 ⊙O 的半径； （2）当 为何值时，△ 是等腰三角形？ （3）当 为何值时， 的长最小？最小值是多少？ 【解析】 （1）∵ 为直径，∴ ，∴ ，半径为 5。 （2）①若 ，则 ； ②若 ，则点 在 的垂直平分线上。设 ，，，由 得 ，∴ ； ③若 ，则 ，，∴ （ 对应点 ，舍去）。 综上， 或 6 或 7.2。 （3）当 时 最小，此时 是点 在 上的射影，，∴ ，。 【法二】作 于 。∵ ，∴ ，；由 △ ∽ △ 得 ，∴ 。 （2）①当 时 ；②当 时，点 在 的垂直平分线上，取 的中点 ，则 ，△ ∽ △，∴ ，即 ； ③当 时，在 Rt△ 中 ，∴ （ 对应点 ，不合题意，舍去）。故 或 6 或 7.2。 （3） 的最小值就是点 到 的距离 ，此时 与 重合，。 【答案】，半径 5； 或 或 ；，最小值为 4.8 25.（本题10分）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． 【背景问题】（1）如何求点和点的坐标呢！根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决： 解：联立两表达式得到方程组， 把①代入②中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得：（请你继续完成解题过程） 【深入探究】（2）若将一次函数的图像向下平移个单位，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点： 【知识应用】（3）点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度． 【拓展延伸】（4）点是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点关于原点对称的点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第四象限．在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形．在点的运动过程中等腰直角三角形是否能成为直线的关联三角形？若能，直接写出此时点坐标；若不能，请说明理由． 【解析】（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． ∴联立两表达式得到方程组， 把①代入②中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得， ， 解得：， ∴，， 经检验，，是原方程的解 ∴点，； （2）∵一次函数解析式为， ∴将一次函数的图像向下平移个单位的解析式为， ∴联立两表达式得到方程组得， 解得：， ∵直线与双曲线有且只有一个交点 ∴， 解得：，， ∴当 或 时，直线与双曲线有且只有一个交点； （3）如图所示， ∵点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时， 由（2）可得当时，与在第三象限有1个交点即点， ∵ 解得： 将代入得，， ∴ ∴； （4）依题意，在第一象限，在第三象限，在第四象限，经过一、二、四象限， 则不存在， ∴当时，则，如图所示， 过点，分别作坐标轴的垂线，垂足分别为，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又，， ∴， ∴ ∴，， 设，则 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 【答案】（1）点，；（2）当 或 时，直线与双曲线有且只有一个交点；（3）；（4） 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市2026—2027学年度第一学期期中考试 九年级数学模拟试题（三） （时间：90分钟　满分：140分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方程 的解是 A. B. C. D. 2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是 A. B. C. D. 3. 已知反比例函数 的图像经过点 ，则当 时， 的值为 A. B. C. D. 4. 若点 、 都在反比例函数 的图像上，则 A. B. C. D. 无法确定 5. 如图， 是 ⊙O 的直径，点 在 ⊙O 上。若 ，则 的度数为 A. B. C. D. 6. 正三角形的内切圆半径 与外接圆半径 的比为 A. B. C. D. 7. 若一个圆锥的侧面积为 ，母线长为 5，则它的底面半径为 A. B. C. D. 8. 如图， 是 ⊙O 的弦，，⊙O 的半径为 5，点 是 ⊙O 上一动点，则 △ 面积的最大值为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程 的解是＿＿＿＿＿＿。 10. 若反比例函数的图像经过点 ，则它的表达式为＿＿＿＿＿＿。 11. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 12. 正十边形的每个内角为＿＿＿＿＿＿度。 13. 若一个圆锥的底面半径为 3，高为 4，则它的全面积为＿＿＿＿＿＿。 14. 若正三角形的边长为 6，则它的外接圆半径为＿＿＿＿＿＿。 15. 如图，直线 与反比例函数 的图像交于点 ， 轴于点 。若 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 16.如图，正方形 的边长为 ，点 是边 的中点，点 是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 。当 最小时， 的长是＿＿＿。 三、解答题（本大题共9小题，共84分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题10分）解下列方程： （1）； （2）（用配方法）。 18. （本题8分）已知 与 成反比例，且当 时，。 （1）求 与 的函数表达式； （2）当 时，求 的值； （3）当 时，求 的值。 19. （本题8分）用长为 20 m 的篱笆围成一个一面靠墙的矩形花园（墙长为 12 m），若花园的面积为 48 m²，求花园的长和宽。 20. （本题8分）如图， 是 ⊙O 的直径，弦 于点 ，，。 （1）求证：； （2）求 ⊙O 的半径； （3）求 的长。 21. （本题10分）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点，与 轴交于点 。 （1）求 的值及一次函数的表达式； （2）求点 的坐标及 △ 的面积； （3）直接写出不等式 的解集。 22. （本题10分）如图，⊙O 是 △ 的内切圆，与 、、 分别相切于点 、、。 （1）求证：，，； （2）若 ，，，求 、、 的长。 23. （本题10分）如图，点 在反比例函数 的图像上， 轴于点 ，点 在 轴正半轴上。 （1）求 的值； （2）若 △ 的面积为 6，求点 的坐标； （3）求 △ 的面积。 24. （本题10分）如图， 是 ⊙O 的直径，点 在 ⊙O 上，，。点 从点 出发，沿 以每秒 1 个单位的速度向点 运动，设运动时间为 秒（）。 （1）求 的长及 ⊙O 的半径； （2）当 为何值时，△ 是等腰三角形？ （3）当 为何值时， 的长最小？最小值是多少？ 25.（本题10分）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． 【背景问题】（1）如何求点和点的坐标呢！根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决： 解：联立两表达式得到方程组， 把①代入②中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得：（请你继续完成解题过程） 【深入探究】（2）若将一次函数的图像向下平移个单位，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点： 【知识应用】（3）点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度． 【拓展延伸】（4）点是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点关于原点对称的点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第四象限．在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形．在点的运动过程中等腰直角三角形是否能成为直线的关联三角形？若能，直接写出此时点坐标；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $