江苏省南京市2026—2027学年苏科版九年级数学上册期中考试模拟卷（第1章～3章）

江苏省南京市2026—2027学年苏科版九年级数学 上册期中考试模拟卷（第1章～3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，先去括号，然后移项，合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 2．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的值判断时的增减性，结合的取值范围求出的取值范围，即可得到最大整数值． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴， ∴的最大整数值为． 3．如图，A，B，C，D是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据得出，进而求出． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】直接根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， ∵， ∴， 解得， 由得， 的取值范围是且． 5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B不符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C均不符合题意，D符合题意． 6．如图，中，弦直径，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边对等角及平行线的性质计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， 的度数是． 7．当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的可能是（     ） A．4 B．6 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据图象求出反比例函数的解析式结合性质直接求解即可得到答案； 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图象得过点，代入得， ，，即：， ∵， ∴，即， 观察四个选项，选项B符合题意． 8．如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 二、填空题（共20分） 9．造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，问彩色纸带的宽度多少米？若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，根据题意列方程为________________________． 【答案】 【分析】先数清楚横向、纵向彩带的条数，算出四块海报拼在一起形成的大矩形的长和宽，再利用“四块海报总面积大矩形面积”列出方程即可． 【详解】解：由题意得四幅海报的长为，宽为， 每幅海报面积均为， 根据题意可列方程为． 10．已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________ 【答案】2027 【分析】根据一元二次方程根的定义推导等量关系，得到，然后对所求代数式提取公因式变形，整体代入计算． 【详解】解：将代入方程，可得： 观察代数式，提取公因数2可得： 将整体代入上式计算： ． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，通过求三边垂直平分线的交点得到圆心坐标是解题的关键． 三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标． 【详解】解：如图所示： 分别作出与的垂直平分线交于点，则的横坐标为4，纵坐标为4， ∴△ABC的外接圆的圆心坐标为 故答案为：． 12．已知，，在反比例函数的图象上．若，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据三点在反比例函数上的坐标关系，结合的条件确定比例系数k的符号，再利用反比例函数在对应象限的增减性比较与的大小． 【详解】解：将三个点的坐标代入反比例函数， 可得，，， ， ， ， 解得， 当时，反比例函数的图象位于第二、第四象限， 且在每个象限内，随的增大而增大， 点、的横坐标、均为正数， 因此两点都在第四象限的函数分支上， ， ． 13．已知点在反比例函数的图象上，则代数式的最小值为__________． 【答案】 【分析】将点代入反比例函数解析式得到，展开目标代数式并代入化简，通过配方结合平方的非负性求最小值． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得，即，且． 将代入上式，得 对该式配方得 ∵ 平方项具有非负性，即 ∴ 当时，， ∴ 代数式的最小值为． 14．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 15．如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 【答案】 【分析】先连接，根据圆内接四边形的性质得到，再结合已知条件得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 点，，，，在上， ∴四边形是圆内接四边形， ，即． ， ， 即所对的圆周角度数为． 16．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 17．如图，正八边形内接于，连接，若的半径为2，则的面积为_____． 【答案】 【分析】连接，过点作于点先求出，再求出，则，即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作于点 ∵多边形是正八边形， ， 的半径为是的直径， ，， ． 18．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象位置得出的初步范围，再结合一元二次方程有实数根的条件得到的完整取值范围，找出所有符合条件的整数求和即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数不能为，且根的判别式大于等于 即，得， ， 解得， 综上可得的取值范围是，且， ∴满足条件的整数为， 所有满足条件的整数的值之和为． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解： 解得：，； （2） ，， 解得：，； （3） 或， 解得： 20．如果y与成反比例，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）利用待定系数法求出y与x之间的函数表达式； （2）把代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， ∵当时，， ，解得， 关于x的函数解析式为； （2）解：当时，，解得． 检验：当时，， 是该分式方程的解， 的值为0． 21．如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为． (1)填空：________，________（用含的代数式表示），的取值范围为_______． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，线段的和差表示解答即可． （2）根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得，运动的时间为后，，， ，， ，， ， 运动都停止运动， ． （2）解：根据矩形，得， ， ， 整理，得， 解得， ， 不满足范围，舍去， ， 当时，的面积为． 22．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以、为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为_________． (2)若关于的一元二次方程的衍生点为，且点在直线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可作答； （2）根据点在直线上，可知衍生点的横纵坐标相等，即可得一元二次方程有两个相等的根，再根据方程的判别式即可作答． 【详解】（1）解： ， 即：，， ∴，， ∴衍生点坐标为； （2）解：∵点在直线上， ∴衍生点的横纵坐标相等， ∴一元二次方程有两个相等的根， ∴方程的判别式等于0， ∴， 解得：． 23．码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 【答案】(1) (2)100吨 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，再根据图象，即可解答． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的表达式为， 根据题意，得，解得， 这个反比例函数的表达式为． （2）解：当时，． 由图象可知当时，． 答：平均每天至少要装载100吨货物． 24．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径．如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O；（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为3cm，求这个圆形截面的半径． 【答案】(1) 如图，点O即为所求： (2) 【分析】本题考查了尺规作图-垂直平分线和圆心的作法，垂径定理及勾股定理． （1）任取一条弦，分别作，的垂直平分线交点即为圆心，根据尺规作图的步骤和方法做出图即可； （2）连接，设于点E，交弧于点D，利用垂径定理求出，设半径为，则，再根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，设于点E，交弧于点D， ∴， 由题意，得， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 25．仍是双曲线吗？ (1)从出发： ①函数的图象是中心对称图形，对称中心是________； ②将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的表达式为________； ③将的图象关于直线轴对称，所得图象对应的表达式为________． (2)向行进： 设函数的图象为曲线． ①曲线可以由哪个函数的图象平移得到？请写出平移的方案； ②曲线可以由哪个函数的图象轴对称得到？请写出轴对称的方案； (3)一般化思考： 一般地，函数（常数，，，为互不相等的正数，分子分母没有公因式）的图象（记作曲线）仍是双曲线，且可以由对应的反比例函数的图象变换得到． ①曲线的对称中心的坐标为________； ②若曲线的每段双曲线都满足随的增大而增大，则，，，应满足的条件为________． 【答案】(1)①；②；③； (2)①曲线可以由反比例函数平移得到，平移方案是：由反比例函数向右平移个单位，向上平移个单位得到曲线；②曲线可以由函数轴对称得到，轴对称方案是：将函数的图象关于直线对称，可得到函数曲线 (3)①；②； 【分析】（1）①依据反比例函数的图象性质，直接写出对称中心； ②利用函数图象平移左加右减，上加下减的规律求出平移后的解析式； ③设出变换后图象上点的坐标，利用点关于直线对称的坐标关系，代入原函数求出解析式． （2）①对分式解析式分离常数，化为的形式，反向确定原反比例函数以及平移方案； ②分离常数变形后，找到一个函数，仅通过一次轴对称变换得到曲线． （3）①对分离常数，确定渐近线，求出对称中心坐标； ②根据反比例型函数的增减性，由反比例部分系数符号列出满足的不等关系． 【详解】（1）解：①的对称中心为； ②将的图象先向右平移个单位长度，得，再向上平移个单位长度，得； ③设是变换后图象上一点，其关于直线的对称点为， ∵该点在上． ∴，即； （2）解：① ， ∴曲线可以由反比例函数平移得到，平移方案是：由反比例函数向右平移个单位，向上平移个单位得到曲线． ②设点是函数的图象关于直线对称的函数的图象上一点， 则点是函数的图象上一点， ∴， ∴函数的图象关于直线对称的函数的表达式为， ∴曲线可以由函数轴对称得到，轴对称方案是：将函数的图象关于直线对称，可得到函数曲线． （3）解：①∵， ∴对称中心： ②∵双曲线每一段上随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于0，即． 26．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 【答案】（1）2或4（2）（3）（4） 【分析】（1）分点在圆内和圆外讨论求解即可； （2）根据材料可直接得解； （3）由题易知点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，结合材料求解即可； （4）延长交延长线于点，易证（），可得，则根据直角三角形斜边中线可知，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，则，当且仅当、、三点共线时取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）当点在圆内时，由图2知，，当点在圆外时，由图1知，， 故答案为：或； （2）连接， 由题意可知当点、、依次共线时，，为最小值， 在中，， ， ， 故答案为：； （3），为中点， ， 由折叠的性质可知， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图， 当、、依次共线时，为最小值， 连接， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ∵为中点， ， ， ， 即的最小值为； （）延长交延长线于点， ， ， ， ， ， （）， ， ， 则在中，为斜边中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 则，当且仅当、、三点共线时取等， ， 最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、点的轨迹等问题，正确找出动点轨迹是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市2026—2027学年苏科版九年级数学 上册期中考试模拟卷（第1章～3章） （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、选择题（共16分） 1．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，A，B，C，D是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．如图，中，弦直径，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．当三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长满足时，底边上的高的可能是（     ） A．4 B．6 C．12 D．13 8．如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，问彩色纸带的宽度多少米？若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，根据题意列方程为________________________． 10．已知为一元二次方程的一个根，则代数式的值为________ 11．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，则外接圆的圆心坐标为___________． 12．已知，，在反比例函数的图象上．若，则______．（填“”“”或“”） 13．已知点在反比例函数的图象上，则代数式的最小值为__________． 14．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 15．如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为________． 16．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 17．如图，正八边形内接于，连接，若的半径为2，则的面积为_____． 18．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1) (2) (3) 20．如果y与成反比例，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 21．如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为． (1)填空：________，________（用含的代数式表示），的取值范围为_______． (2)当为何值时，的面积为？ 22．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以、为横坐标和纵坐标得到点，则称为该一元二次方程的衍生点． (1)方程的衍生点坐标为_________． (2)若关于的一元二次方程的衍生点为，且点在直线上，求的值． 23．码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 24．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径．如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请找出截面的圆心O；（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） (2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为3cm，求这个圆形截面的半径． 25．仍是双曲线吗？ (1)从出发： ①函数的图象是中心对称图形，对称中心是________； ②将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象对应的表达式为________； ③将的图象关于直线轴对称，所得图象对应的表达式为________． (2)向行进： 设函数的图象为曲线． ①曲线可以由哪个函数的图象平移得到？请写出平移的方案； ②曲线可以由哪个函数的图象轴对称得到？请写出轴对称的方案； (3)一般化思考： 一般地，函数（常数，，，为互不相等的正数，分子分母没有公因式）的图象（记作曲线）仍是双曲线，且可以由对应的反比例函数的图象变换得到． ①曲线的对称中心的坐标为________； ②若曲线的每段双曲线都满足随的增大而增大，则，，，应满足的条件为________． 26．【问题情境】如图、图，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离． 【直接运用】 （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为___________； （2）如图，在中，，，，点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是___________． 【构造运用】 （3）如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连结，请求出长度的最小值． 【综合运用】 （4）如图5，正方形中，，动点M、N分别在边AB、AD上，且始终保持，，垂足为G，则的最小值为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $