江苏省徐州市2026—2027学年九年级上学期期中考试数学模拟试题（一）

徐州市2026—2027学年度第一学期期中考试 九年级数学模拟试题（一） （时间：90分钟　满分：140分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是 A. B. C. D. 【解析】 A 含分式，是分式方程；B 中 可能为 0，不一定是一元二次方程；C 整理得 ，是一元一次方程；D 整理得 ，符合定义。 【答案】D 2. 用配方法解方程 ，配方后所得的方程是 A. B. C. D. 【解析】 ，两边同加 4 得 ，即 。 【答案】A 3. 已知反比例函数 的图像经过点 ，则 的值为 A. B. C. D. 【解析】 。 【答案】B 4. 若点 、、 都在反比例函数 的图像上，则 、、 的大小关系是 A. B. C. D. 【解析】 分别代入得 ，，，故 。 【法二】，图像在一、三象限，同一支上 随 增大而减小，故 ；又 ，所以 。 【答案】C 5. 如图， 是 ⊙O 的直径，点 、 在 ⊙O 上。若 ，则 的度数为 A. B. C. D. 【解析】 ∵ 为直径，∴ ，∴ 。 又 与 都对着弧 ，∴ 。 【法二】 所对弧 为 ，则弧 为 ，故 。 【答案】A 6. 若正六边形的边长为 4，则它的面积为 A. B. C. D. 【解析】 正六边形可分为 6 个边长为 4 的正三角形，。 【答案】C 7. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【解析】 ，∴ 。 【答案】B 8. 如图， 是 ⊙O 的直径，，点 在 ⊙O 上，， 为弧 的中点，点 是直径 上一动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 【解析】 作点 关于 的对称点 ，由圆的对称性知 在 ⊙O 上，且 。于是 ，当 为 与 的交点时取最小值 。 ∵ ，∴ 弧 所对圆心角 ；又 为弧 的中点，∴ ，由对称得 ，∴ 。 又 ，∴ 在 Rt△ 中 ，即最小值为 。 【法二】以 为原点、 所在直线为 轴建系，则 ，，由对称得 。 过 作 轴的垂线，过 作 轴的平行线，两线交于 ，则 ，。 在 Rt△ 中，，∴ ，即最小值为 。 【答案】D 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程 的解是＿＿＿＿＿＿。 【解析】 ，，∴ 。（注意：不能两边同除以 ） 【答案】 10. 已知反比例函数 ，在它图像的每一支上， 都随 的增大而减小，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 【解析】 由性质知 ，∴ 。 【答案】 11. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ＿＿＿＿＿＿。 【解析】 ，∴ 。 【答案】 12. 一个圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则这个圆锥的侧面积为＿＿＿＿＿＿。 【解析】 侧面积 。 【答案】 13. 如图，、 分别切 ⊙O 于点 、，，，则 ⊙O 的半径长为＿＿＿＿＿＿。 【解析】 连接 、。∵ 切 ⊙O 于 ，∴ 。由切线长定理， 平分 ，∴ ，∴ 。 设 ，则 ，在 Rt△ 中 ，∴ ，。 【答案】 14. 如图， 是 ⊙O 的直径，弦 于点 ，，，则 的长为＿＿＿＿＿＿。 【解析】 连接 。由垂径定理 ，又 ，∴ 在 Rt△ 中 。 【答案】 15. 已知 ⊙O 的半径为 5，弦 ，，，则 与 之间的距离为＿＿＿＿＿＿。 【解析】 作 于 ， 于 。 ，。 当 、 在圆心同侧时，距离为 ；在圆心两侧时，距离为 。故填 1 或 7。 【法二】面积法：连 、，由 可得同样的弦心距 4 和 3，再分同侧、异侧讨论。 【答案】1 或 7 16. 如图，在矩形 中，，，点 在矩形内部，且 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿。 【解析】 ∵ ，∴ 点 在以 为直径的圆上。设 的中点为 ，则 。 连接 ，在 Rt△ 中 。 ，当 在线段 上时取等号，∴ 最小值为 2。 【法二】设 的中点为 ，由 得 ，即点 在半径为 3 的 ⊙ 上。以 为圆心、 为半径作 ⊙，两圆有公共点 ，圆心距 。由两圆有公共点的条件 得 ；当两圆内切（切点在 上）时 。∴ 最小值为 2。 【答案】 三、解答题（本大题共9小题，共84分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题10分）解下列方程： （1）； （2）； 【解析】 （1），∴ 。 （2），∴ 。 18. （本题8分）已知反比例函数 的图像经过点 。 （1）求 的值； （2）若点 、 也在这个函数的图像上，比较 与 的大小； （3）当 时，直接写出 的取值范围。 【解析】 （1）∵ 图像过 ，∴ ，∴ ，即 。 （2），，∴ 。 （3）当 时 ；当 时 。∵ 在第三象限内 随 增大而减小，∴ 。 【答案】；； 19. （本题8分）某商店销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 60 元时，每月可售出 200 件。市场调查发现：售价每降低 1 元，每月可多售出 20 件。若商店希望每月销售这种商品的利润为 4000 元，且尽可能让利于顾客，则售价应定为每件多少元？此时每月销售多少件？ 【解析】 设每件降价 元，则每件利润为 元，每月销售 件。由题意 。 整理得 ，即 ，∴ 。 ∵ 要尽可能让利于顾客，∴ 取 。此时售价 （元），销售 （件）。 答：售价应定为每件 50 元，此时每月销售 400 件。 【答案】售价应定为每件 50 元，此时每月销售 400 件。 20. （本题8分）如图， 是 ⊙O 的弦， 于点 ，交 ⊙O 于点 。 （1）求证：； （2）若 ，，求 ⊙O 的半径。 【解析】 （1）连接 、。∵ ，，∴ （等腰三角形三线合一）。 （2）设半径为 ，则 ，。 在 Rt△ 中 ，解得 。 【法二】由垂径定理 ，设 ，则 ，在 Rt△ 中 ，得 ，半径 。 【答案】(2) 5 21. （本题10分）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点，与 轴交于点 。 （1）求 、 的值； （2）求一次函数的表达式及点 的坐标； （3）求 △ 的面积； （4）直接写出不等式 的解集。 【解析】 （1）∵ 在 上，∴ ；点 也在图像上，∴ 。 （2）把 、 代入 得 ，，解得 ，，∴ 。令 得 ，∴ 。 （3）。 （4）（此时一次函数的图像在反比例函数图像的上方）。 【答案】；，；； 22. （本题10分）如图，在 △ 中，，以 为直径的 ⊙O 交 于点 ，过点 作 于点 。 （1）求证： 是 ⊙O 的切线； （2）若 ，，求 的长。 【解析】 （1）连接 、。∵ 为直径，∴ ，即 。 又 ，∴ （三线合一）。∵ ，∴ 是 △ 的中位线，∴ 。 ∵ ，∴ ，且 在 ⊙O 上，∴ 是 ⊙O 的切线。 （2）∵ ，∴ 。在 Rt△ 中 。 ∵ ，∴ （面积法），即 ，∴ 。 【答案】 23. （本题12分）如图，已知 ⊙O 及圆外一点 ，，⊙O 的半径为 3。 （1）用直尺和圆规过点 作 ⊙O 的两条切线 、（、 为切点，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求切线 的长； （3）求四边形 的面积。 【解析】 （1）连接 ，以 为直径作 ⊙，与 ⊙O 交于 、 两点，连接 、，则 、 即为所求的两条切线（图略）。 理由：∵ 为 ⊙ 的直径， 在 ⊙ 上，∴ （直径所对的圆周角是直角），即 。又 在 ⊙O 上，故 是 ⊙O 的切线。 （2）在 Rt△ 中，，，由勾股定理 。 （3）由对称性 ，且 ，。∴ 。 【答案】； 24. （本题10分）如图，矩形 的顶点 在 轴正半轴上， 在 轴正半轴上，反比例函数 的图像经过边 的中点 ，并与边 交于点 。 （1）若点 的坐标为 ，求 的值及矩形 各顶点的坐标； （2）求点 的坐标； （3）求 △ 的面积。 【解析】 （1）∵ 在反比例函数图像上，∴ 。 ∵ 是 的中点， 的纵坐标为 3，横坐标为 2，∴ 边所在直线为 ，且 的横坐标为 ，故 ，，，。 （2）点 在边 上，横坐标为 4；又 在 上，故 ，。 （3）。 矩形面积 ；；；。 ∴ 。 【答案】，；； 25. （本题10分）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是△ABC外一动点（点B，点E位于AC异侧），连接CE，AE． (1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当△ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数； (2)当∠AEC=135°时， ①如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明； ②如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出△CEF面积的最大值． 【解析】 (1)解：∵∠BCA=90°，BC=AC，点D是AB的中点， ∴∠CDA=90°，CD=AB=DA， ∵△ADE是等边三角形， ∴DE=DA，∠DEA=∠EDA=60°， ∴DC=DE，∠CDE=∠CDA-∠EDA=90°-60°=30°， ∴∠DEC=（180°-∠CDE）=×（180°-30°）=75°， ∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=75°+60°=135°； (2)解：①线段BE，CE，EA之间的数量关系为：BE=CE+EA，理由如下： 过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H，如图2所示： 则∠CEH=180°-∠AEC=180°-135°=45°， ∴△ECH是等腰直角三角形， ∴CH=CE，HE=CE， ∵∠BCA=∠ECH=90°， ∴∠ACH=∠BCE， 在△ACH和△BCE中， ， ∴△ACH≌△BCE（SAS）， ∴BE=AH=HE+EA=CE+AE； ②取AB的中点O，连接OC，如图3所示： ∵∠BCA=90°，BC=AC， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∵O是AB的中点， ∴OC⊥AB，OC=OA=AB=（AF+BF）=×（1+7）=4， ∴OF=OA-AF=4-1=3， 在Rt△COF中，由勾股定理得：CF==5， ∵CF是定值， ∴点E到CF的距离最大时，△CEF面积的面积最大， ∵∠AEC=135°， ∴∠ABC+∠AEC=180°， ∴A、B、C、E四点共圆， ∵∠BCA=90°， ∴AB是圆的直径，AB的中点O是圆心， 过点O作ON⊥CF于N，延长ON交圆O于点E， 此时点E到CF的距离最大，△CEF面积的面积最大， ∵S△OCF=OC•OF=CF•ON， ∴， ∵OE=OC=4， ∴EN=OE-ON=4-=， ∴△CEF面积的面积最大值为：CF•EN=×5×=4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市2026—2027学年度第一学期期中考试 九年级数学模拟试题（一） （时间：90分钟　满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是 A. B. C. D. 2. 用配方法解方程 ，配方后所得的方程是 A. B. C. D. 3. 已知反比例函数 的图像经过点 ，则 的值为 A. B. C. D. 4. 若点 、、 都在反比例函数 的图像上，则 、、 的大小关系是 A. B. C. D. 5. 如图， 是 ⊙O 的直径，点 、 在 ⊙O 上。若 ，则 的度数为 A. B. C. D. 6. 若正六边形的边长为 4，则它的面积为 A. B. C. D. 7. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 如图， 是 ⊙O 的直径，，点 在 ⊙O 上，， 为弧 的中点，点 是直径 上一动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 方程 的解是＿＿＿＿＿＿。 10. 已知反比例函数 ，在它图像的每一支上， 都随 的增大而减小，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 11. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 ＿＿＿＿＿＿。 12. 一个圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则这个圆锥的侧面积为＿＿＿＿＿＿。 13. 如图，、 分别切 ⊙O 于点 、，，，则 ⊙O 的半径长为＿＿＿＿＿＿。 14. 如图， 是 ⊙O 的直径，弦 于点 ，，，则 的长为＿＿＿＿＿＿。 15. 已知 ⊙O 的半径为 5，弦 ，，，则 与 之间的距离为＿＿＿＿＿＿。 16. 如图，在矩形 中，，，点 在矩形内部，且 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共9小题，共84分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题10分）解下列方程： （1）； （2）； 18. （本题8分）已知反比例函数 的图像经过点 。 （1）求 的值； （2）若点 、 也在这个函数的图像上，比较 与 的大小； （3）当 时，直接写出 的取值范围。 19. （本题8分）某商店销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 60 元时，每月可售出 200 件。市场调查发现：售价每降低 1 元，每月可多售出 20 件。若商店希望每月销售这种商品的利润为 4000 元，且尽可能让利于顾客，则售价应定为每件多少元？此时每月销售多少件？ 20. （本题8分）如图， 是 ⊙O 的弦， 于点 ，交 ⊙O 于点 。 （1）求证：； （2）若 ，，求 ⊙O 的半径。 21. （本题10分）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点，与 轴交于点 。 （1）求 、 的值； （2）求一次函数的表达式及点 的坐标； （3）求 △ 的面积； （4）直接写出不等式 的解集。 22. （本题10分）如图，在 △ 中，，以 为直径的 ⊙O 交 于点 ，过点 作 于点 。 （1）求证： 是 ⊙O 的切线； （2）若 ，，求 的长。 23. （本题12分）如图，已知 ⊙O 及圆外一点 ，，⊙O 的半径为 3。 （1）用直尺和圆规过点 作 ⊙O 的两条切线 、（、 为切点，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求切线 的长； （3）求四边形 的面积。 24. （本题10分）如图，矩形 的顶点 在 轴正半轴上， 在 轴正半轴上，反比例函数 的图像经过边 的中点 ，并与边 交于点 。 （1）若点 的坐标为 ，求 的值及矩形 各顶点的坐标； （2）求点 的坐标； （3）求 △ 的面积。 25. （本题10分）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，点E是△ABC外一动点（点B，点E位于AC异侧），连接CE，AE． (1)如图1，点D是AB的中点，连接DC，DE，当△ADE为等边三角形时，求∠AEC的度数； (2)当∠AEC=135°时， ①如图2，连接BE，用等式表示线段BE，CE，EA之间的数量关系，并证明； ②如图3，点F为线段AB上一点，AF=1，BF=7，连接CF，EF，直接写出△CEF面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $