精品解析：江苏宿迁市泗阳县部分校2026-2027学年九年级上学期期中数学测试卷

宿迁市泗阳县2026-2027学年九年级上学期期中数学测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-3章第5节． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题 本题共10小题，每小题4分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. 3， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可． 【详解】解：∵ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为． 2. 已知的直径为，点在内，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点在内， ∴， 四个选项中，符合要求． 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像在第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数为， ． ∴图象位于第二、四象限，选项B错误． 将代入解析式，得， ∴图象不经过点，选项A错误． 当时，随的增大而增大，选项C错误． 当时，随的增大而增大，选项D正确． 4. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接计算的度数． 【详解】解：， ． 5. 如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：是的直径，， ，，， ， 由于的位置不确定，与的长度没有必然的相等关系， 所以不成立， 则下列结论中错误的是B． 6. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C、B在x轴上，点D在y轴上，若的面积为6，则k的值是（ ） A. 1 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作于点E，设，根据，建立方程求出k的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点E，设， ∵四边形为平行四边形， ∴轴，即 ∴， ∴ ∴． 7. 在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴． 8. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（ ）． A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形. 【详解】根据题意得：， 所以， 所以为直角三角形，. 故选：. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根.也考查了勾股定理的逆定理. 9. 如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用勾股定理求出，最后根据，据此计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，，， ， ∵， ∴， ， ，解得：． 故选：B． 10. 如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由，可得，可得，即反比例函数解析式为，再验证点的坐标即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， A、当时，，则点在反比例函数的图象上，故选项符合题意； B、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； C、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； D、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程，即可得出的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得，即， 解得． 12. 已知点在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，直接把点代入反比例函数，即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解的定义和根与系数的关系得到，则可求出，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 14. 已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． 15. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接， 如图所示：由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 故答案为：13． 16. 将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线性质的应用，连接，，根据题意得到，则根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：连接，， 由题意得，， 圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B， ，， ∴ ∴ ∴，即圆形玉佩的半径为， 故答案为： 17. 已知一元二次方程（）（其中a，b，c为有理数）有两个不相等的实数根，其中一根为，则另一根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程系数，，均为有理数，已知根是含的无理数，根据根与系数的关系，两根之和与两根乘积都为有理数，因此另一根需抵消已知根的无理部分，推导得另一根． 【详解】解：设方程另一根为， ∵，，为有理数，， ∴根据根与系数的关系，是有理数，也是有理数， 要使和为有理数，中必须含抵消无理项，设，为有理数， 则， ∵乘积为有理数，无理项的系数必须为0， ∴，解得， ∴， ∴方程的另一个根为． 18. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，连接，根据垂径定理及弧中点性质推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用含角的直角三角形性质求出和的长，即可求解 ． 【详解】解：延长交于点，连接，， ∵， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ． ∵， ∴， ∴点关于的对称点为点，即， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 设的半径为，则， ∵， ∴ ， ∴，解得 ， ∴． 在中，，， ∴ ， ∴ ， 即的最小值是． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，然后利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意的实数k，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个根满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：将原方程整理为一般形式得， ∵， 又∵对任意实数，， ∴，即， ∴对于任意的实数，该方程总有两个不相等的实数根. （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）将方程化为一元二次方程一般形式，计算判别式，结合平方的非负性证明判别式恒正； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，联立已知等式求出方程的根，进而求解.  【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系，得，， 联立， 解得， 代入，得，解得. 21. 如图，点为直线外一点，作．使经过点，与直线相切于点Q； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】 作法：①连接，作其垂直平分线m． ②过Q作直线，交m于O． ③以O为圆心、为半径作． 【解析】 【分析】依据圆的切线性质，因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以首先过点Q作直线l的垂线，圆心O必然在该垂线上．因为圆要同时经过点A和点Q，所以圆心O到A、Q两点的距离相等，因此圆心O在的垂直平分线上．上述两条直线的交点即为圆心O，确定O点后，以O为圆心、（或）的长为半径作圆，即可得到满足条件的． 【详解】作法：①连接，作其垂直平分线m． ②过Q作直线，交m于O． ③以O为圆心、为半径作． 证明：因为O在线段的垂直平分线上，所以， 即点A在上． 又因为，且Q在圆上，所以l与相切于Q．所作圆符合要求． 22. 如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，过作于F，连接，进一步结合含的直角三角形的性质与勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过作于F，连接，如图所示： ∴， ∵， ， ，， ∵， ， . 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求∆的面积． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）把代入，求出m，把代入反比例函数解析式，求出n，把A、B的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可求出一次函数解析式； （2）求出直线AB与x轴的交点，根据三角形的面积公式求出即可； 【详解】解：（1）将代入反比例函数得，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴反比例函数解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴点B的坐标为， 将点代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）设与轴相交于点C， 令，解得， 所以，点C的坐标为， 所以，， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． 24. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，BC是的直径，D为的中点，过点D作的切线交BA的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD， ∵DE为的切线， ． ∵D为的中点， ． ， ． ， ． ， ； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质. （1）连接OD，由切线知，证明，根据平行线的性质即可证明； （2）过点D作于点F，证明，得到，证明，得到，再由求出的值，即可求出的半径 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F， ， ． ， ， ． ∵D为的中点， ， ． ∵在和中，， ， ． ， ， ， ∴的半径为． 25. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃； （2）求全天的温度y与时间之间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用． （1）根据图象设正比例函数解析式为，根据图象可知函数解析式．再利用待定系数法即可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 【小问1详解】 设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 直线， 当时， 恒定温度为：． 【小问2详解】 由（1）可知：正比例函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：， 【小问3详解】 当时，， ， 当时，， ， 在20时时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 26. 完成以下小题： （1）如图1，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为，与相等吗？为什么？，请证明； （2）如图2，的半径为（为定值），、是的弦，且，垂足为，当点在弦上运动时，的值是否改变，若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）解：． 证明如下： ， ∴， 是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）不会改变，定值为 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理及其推论，结合等角的余角相等求证即可； （2）连接并延长交与相交于点，连接，如图所示，由（1）中结论、直径所对的圆周角是直角及勾股定理求解即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：不变，这个定值为． 连接并延长与相交于点，连接，如图所示： 由（1）知， ∴， 是的直径， ∴， 在中，由勾股定理可得①；在中，由勾股定理可得②， ∴由①②可得， 在中，由勾股定理可得， 的半径为（为定值）， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿迁市泗阳县2026-2027学年九年级上学期期中数学测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-3章第5节． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题 本题共10小题，每小题4分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. 3， C. ， D. ， 2. 已知的直径为，点在内，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像经过点 B. 图像在第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 4. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作，使点C、B在x轴上，点D在y轴上，若的面积为6，则k的值是（ ） A. 1 B. C. D. 6 7. 在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（ ）． A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 9. 如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若是方程的一个根，则的值为__________． 12. 已知点在反比例函数的图象上，则________． 13. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则________． 14. 已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是________． 15. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 16. 将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为________ 17. 已知一元二次方程（）（其中a，b，c为有理数）有两个不相等的实数根，其中一根为，则另一根为_________． 18. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意的实数k，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个根满足，求k的值． 21. 如图，点为直线外一点，作．使经过点，与直线相切于点Q； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 22. 如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求∆的面积． 24. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，BC是的直径，D为的中点，过点D作的切线交BA的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的半径． 25. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这个恒温系统设定的恒定温度为多少℃； （2）求全天的温度y与时间之间的函数关系式； （3）若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 26. 完成以下小题： （1）如图1，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为，与相等吗？为什么？，请证明； （2）如图2，的半径为（为定值），、是的弦，且，垂足为，当点在弦上运动时，的值是否改变，若不变，请求出这个定值；若改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $