4.5.3.1 函数模型的应用（第一课时)教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 4.5.3.1 函数模型的应用（一) 设计时间 授课时间 课标要求 1.内容要求： (1) 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。 (2) 结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解 “对数增长”“直线上升”“指数爆炸” 等术语的现实含义。 (3) 收集、阅读现实生活、生产或者经济领域中的数学模型，体会人们如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义。 (4) 理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题，经历实际问题→数学建模→求解模型→检验模型→回归实际的完整建模流程。 2.学业要求： 能够在实际情境中，选择合适的函数模型，运用指数、对数函数的性质解决简单实际问题；会借助计算工具处理数据，对模型结果进行检验，判断模型是否合理；提升数学建模、数据分析、数学运算核心素养，体会数学的应用价值。 教材分析 指用数学解决实际问题时，经常需要解方程，但从现实问题中抽象出的方程往往难以求出准确解.从实用角度考虑，也不需要准确解，只需要达到一定精度的近似解即可.因此有必要研究如何求满足一定精确度的方程近似解. 前面已经研究过“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”，因此类比“一元二次方程bx+c=0有实根⟺ 一元二次函数有零点⟺ 一元二次函数的图象与x轴有公共点”，可以得出“方程f(x)=0有实数解⟺ 函数y=f(x)有零点⟺ 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点”，于是可将求方程实数解的问题转化为求函数零点的问题.这是一个从特殊到一般的过程，是培养学生数学抽象素养的载体. 函数有零点，直观上看是函数图象穿过x轴，将之转化为代数语言就是函数零点存在定理.从逻辑的角度看函数零点存在定理，设条件p“函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有f()f(b)<0"，条件q“函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点”，那么p⇒q,qp，即p是q成立的充分不必要条件.函数零点存在定理只能判断函数零点存在，而不能判断函数有几个零点或者不存在零点.理解函数零点存在定理的过程是培养学生思维严谨性的好载体. 依据函数零点存在定理，可以判断函数零点存在的区间，并借助于二分法不断地缩小零点存在的范围，直到符合精度的要求.其一般的操作步骤是： 首先，按照函数零点存在定理，找到存在零点的一个区间，比如（a,b)；第二步，计算中点的函数值，依据函数零点存在定理确定第一次二分之后零点存在的一个区间或；第三步，继续进行第二步的操作，直到满足精确度的要求. 利用二分法求方程近似解时的重复性和程序性体现了算法思想，体现了按照明确步骤解决问题的重要性.可以结合具体问题抽象出解决此类问题的程序框图，使得算法的思想更加直观明确.在二分的过程中，不断缩小的零点存在区间，体现了逼近思想.在这个过程中有助于培养学生的算法思想和数学运算素养.在具体求解过程中常常具有构造性，也是培养学生创新思维的过程. 学习二分法，还因为它是最简单的一种分割法，而且容易建立前后两步之间的迭代关系，保证一定的收敛速度，利于算法的实现. “精确度”是用来判断是否可以结束“二分”的标准，它不同于“精确到”.精确度是指近似值与其准确值x的接近程度，当|-x|<ε时，就说它的精确度是ε.一般做法是：对于数值x，如果要获得它满足精确度ε的近似值，就可以找一个包含x的区间[,b]，使得|-b|<ε即可.“精确度”是用准确值所在领域的半径刻画近似程度，“精确到”使用准确值的数位刻画近似值的近似程度.在精确度ε限制下近似值为所在区间中的任意值，即近似值有无数个；满足“精确到”的近似值是唯一的. 函数的另一个应用是利用函数建立模型解决实际问题，分为两个方面.一方面是应用已知的函数模型解决实际问题，比如利用马尔萨斯提出的自然状态下的人口增长模型分析人口的增长变化，利用指数函数型模型解决碳14含量的相关问题等．另一方面是根据问题的条件建立函数模型解决实际问题，比如，哪种投资方案更好，哪种奖励方案更适宜等.本单元中函数应用突出“指数型”和“对数型”函数模型的建模能力.这是提升学生数学建模素养的载体. 一般而言，对于一个具体的实际问题，可以用于刻画其数量关系、变化规律的函数类型是不唯一的，应根据实际问题的需要进行权衡，并需要借助一定的数学工具对含糊的拟合优度进行判断.基本初等函数都是某一类运动变化现象的数学抽象，是理想化的.现实事物的运动变化往往不是那么单一，其增长方式是丰富多彩的，根据实际情况选择相应的函数类型，有时就需要“分段处理”，即建立分段函数模型.这些方面的研究，在后续可以逐步完善. 学情分析 直观上看，当连续函数的图象穿过x轴时，存在零点.将这种直观感知用符号语言表达出来却是难点，原因是想不到这种转化.为破解此难点，教学中要通过“问题＋情境”引导学生经历函数零点存在定理的探索发现过程.用好教科书中设计的“探究”活动，结合二次函数的图象进行观察分析，多画几个二次函数，引导学生归纳零点存在时哪些因素在变化，哪些因素不变，从而抽象出定理，并利用正反例证让学生理解定理给出的是零点存在的充分不必要条件. 二分法容易操作，但是将之一般化抽象出一个程序框图，以揭示其中的算法思想有一定困难.为此，可以先依据二分法的定义和操作步骤解决具体的求方程近似解问题，再通过教师讲解和阅读教科书的方式，将求解过程用程序框图表示出来，并通过教师介绍，了解框图中符号的含义.“精确度”的理解也是一个难点，而且容易与“精确到”混淆，为此要结合具体例子进行解释，通过与“精确到”比较帮助学生理解. 函数的应用是老大难问题.难在需要根据背景信息分析数量及其关系并将之转化为函数问题，再一个困难是对得出的函数模型是否能用于描述实际问题变化规律的判断.另外，同一个实际问题可以建立不同类型的函数模型刻画其中的变化规律，哪一个更适合？要做出选择，这也是学生欠缺的.为破解此难点，在应用已有模型解决实际问题的例子中，要加强运算，用函数模型的运算结果解释实际问题；在选择模型解决实际问题的例子中，要通过问题引导学生分析其增长情况，并借助计算工具画出函数图象，据此选择模型，建立模型解决实际问题. 单元教学目标 1.能类比“一元二次方程有实根一元二次函数有零点一元二次函数的图象与x轴有公共点”，得出“方程f(x)=0有实数解函数 有零点函数 的图象与x轴有公共点”，能用函数观点看方程，能将方程问题转化为函数零点问题.结合二次函数图象的特点，概括零点存在的条件，得出零点存在判定定理，能举例说明定理条件的充分不必要性. 2.能结合具体实例说明二分法的定义和操作步骤，能画出二分法的程序框图，并能借助计算工具求具体函数的零点，能举例说明区间内的每一个值都是满足精确度的近似解. 3.针对具体的问题情境，能利用所给的函数模型通过运算求出参数，确定模型，并利用它描述或解释实际问题；能通过分析实际问题中变量增长方式的差异，选择适合的函数作为数学模型解决问题. 单元教学重点 难点 1.教学重点：函数的零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的方法与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程. 2.教学难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题. 单元课时分配 本单元分4课时： 第1课时，函数的零点与方程的解； 第2课时，用二分法求方程的近似解； 第3课时，函数模型的应用（1)； 第4课时，函数模型的应用（2)． 第三课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，在实际情境中，会用已知的函数模型刻画现实问题的变化规律. 拓展性目标：★★ 通过任务二，进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，回顾本节课内容，梳理用已知的函数模型刻画现实问题的变化规律的思路，并构建思维导图. 课时学习重难点 教学重点：用函数模型解决实际问题的过程． 教学难点：用函数模型分析和解决实际问题． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 一、创设情境，提出问题： 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画.对于一个实际问题，如何利用已有模型或者选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 二、目标一：学生能在实际情境中，会用已知的函数模型刻画现实问题的变化规律. 例3. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型 其中t表示经过的时间，y0 表示 t=0 时的人口数，r表示人口的年平均增长率. （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为 55196万 和 67207万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型. （2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符． （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？ 任务一：学生能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 问题1： （1）马尔萨斯人口增长模型中各个量的含义是什么？哪个量是参数？针对我国人口数据，如何确定其中的参数？具体人口增长模型是什么？ （2）阅读第（2）问，如何比较所得模型与实际人口数据是否相符？ （3）求解第(3)问，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？ 答： （1）马尔萨斯人口增长模型中共有5个量：表示 t=0 时的人口数，e是自然对数的底数，r表示人口的年平均增长率，t表示经过的时间，y表示经过时间t后的人口数. 其中参数是、r. 据题意，我国1950年末的人口总数为55196万，所以当t=0时， 设1950~1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有， 由计算工具得, r≈0.021876． 因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为 ，t∈[0,9]. （2）根据模型算出1951~1958年各年末的人口总数，并要去查阅国家统计局网站公布的实际人口总数，可以通过比较这两组数据检验所得模型与实际人口数据是否相符. 分别取t=1,2,⋯,8,由可得我国在1951~ 1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年各年末的实际人口总数，如下表所示. 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 实际人口总数／万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994 计算所得人口总数／万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 从数据上看，所得模型与实际人口数据基本相符. 根据表4.5-5中的数据，画出实际人口总数数据对应的散点图，再在同一直角坐标系中画出函数,t∈[0,9]的图象，如图4.5-12 图4.5-12 观察可知，散点基本在函数t∈[0,9]图象上下浮动，并且紧密贴合着函数图象.由此可以得出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. （3）将y=130000代入，由计算器得t≈39.15．所以按照问题1中的模型增长，大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿． 在1950~1959年我国人口增长处于自然状态．因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．人口增长不是自然状态. 评估一：学生能应用函数模型进行预测，与现实情况进行比较 （小组合作）练习：已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%;1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%． （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？ （2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ 答： 由题意得，在模型 中， （1）①设人口是1650 年的 2 倍的时间为t1， ∵=2，=5，r=0.3%=0.003， ∴ 2= ,即 0.003t1=, ∴t1231 ，则年，年时世界人口是1650年的2倍。 ②设人口是1970 年的 2 倍的时间为t2， ∵=2，=36，r=2.1%=0.021， ∴ 2= ,即 0.021t2=, ∴t233 ，则年，年时世界人口是年的2倍。 （2）模型预测 1881 年人口达到 10 亿，但现实1850 年前就超过 10 亿；模型预测 2003 年人口达到 72 亿，但现实 2004 年还没到 72 亿。 看法：马尔萨斯人口模型是指数增长模型，它假设增长率恒定不变。但现实中人口增长率会受战争、疾病、粮食、科技、生育观念等因素影响，不会一直不变。所以这个模型只适合短期人口预测，时间跨度很大时，预测结果会和实际偏差很大。 三、目标二：学生进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 例4. 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此大坝大概是什么年代建成的？ 任务二：学生能熟练应用函数模型刻画现实问题的变化规律. 问题2： （1） 这个大单元的学习就是始于这个问题．刻画这个变化规律的函数模型是什么？ （2） 上述模型中各个量的实际意义分别是什么？哪些是参数？如何确定？ （3）如何求解这个问题？ 答： （1） 选择指数型函数模型，且k≠0;>0，且≠1)来刻画碳14的衰减规律． （2） 函数模型中有4个量：y,k,,x.是变化率，比如年增长率或衰减率，x表示经过的时间，k表示初始含量，y表示经过时间x后的含量.其中k、是参数.k根据题意确定．可以根据碳14的半衰期进行计算． （3）解：设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型： ，且k≠0;0<p<1;x≥0) 根据碳14的半衰期为5730年，将和x=5730代入上式可得 于是 所以 由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2％可知， 即 解得 由计算器得 x≈4912. 因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的． 评估二：学生能完成练习，进一步理解函数模型的应用 练习： 1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？ 答：设样本中碳 14 初始量为，经过年后残余量为。 碳14半衰期5730年，衰变模型： 根据题意： 消去，得 由计算器得 x≈3851 由，即大约公元前 1893 年。 四、目标三：学生能回顾本节课内容，梳理用已知的函数模型刻画现实问题的变化规律的思路，并构建思维导图 任务三：学生能构建思维导图. 思考：本节课解决了两个实际问题．回顾这两个问题的求解过程，梳理用已知的函数模型刻画现实问题的变化规律的思路，并构建思维导图。 答： 学生可以辨别出函数模型中的变量与参数. 教师可以引导学生考虑用函数图象进行检验，只要学生想到这一点了，具体的检验办法是容易想到的，即画出函数图象，并画出将1950~1959年的实际人口总数的散点图，比较它们的接近程度． 对于增长不符的情况，教师提示社会背景，学生可以猜到答案，可以通过相互交流完善，之后教师再加以点拨：在用已知的函数模型刻画实际问题时，要注意模型的使用条件. 学生自主思考，小组讨论核对答案，讨论对模型计算结果与现实结果差距的原因的看法，最后形成小组答案，上台展示。 对于第（2）问的 小组答案可能不同，只要言之有理皆可。 学生回忆前面学习过的相关内容，知道要选择指数型函数模型。教师引导学生类比例3，进行分析． 学生自主思考，书写求解过程， 上台展示。 学生先自己总结，然后展示交流，教师完善. 通过利用马尔萨斯人口模型解决实际问题，进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具． 通过问题1引导学生经历利用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型的思维过程．引导学生阅读题设，寻找进行比较的方法． 引导学生理解函数模型是有适用条件的.通过这些问题提升学生分析问题的能力和理想精神. 再次用已知的函数模型解决实际问题，体会数学模型在刻画现实世界中的变化规律时的作用，通过问题2引导学生进行复习，寻找碳14衰减满足的函数模型．类比例3引导学生分析函数模型中各个量的含义，并求出其中的参数，确定函数模型，之后完整地求解问题. 通过思考带领学生梳理总结已知函数模型求解实际问题，充实函数的应用，以便学生形成一个整体的认知． 课堂小结 1.用已知的函数模型刻画现实问题； 2.函数模型求解实际问题的思路与注意事项。 学生作业 1.基础性作业：教科书第150页练习第1、2、3题； 答案： 1. (１)根据马尔萨斯人口增长模型,对于1650年,＝５亿 ,ｒ ＝0.003∴５. 要使世界人口是1650年的2倍, 则10亿,∴10＝５, 解得 ｔ≈231年, ∴1881年的世界人口是1650年的２倍. 同理,对于1970年,＝36亿,r＝0.021, ∴36.令72亿, 则72=36 ,解得ｔ≈33年, ∴约2003年的世界人口是1970年的2倍. (２)根据实际情况,对于1650年得到的结 论,公式中的增长速度要小于实际的增长速 度,而对于1970年得到的结论,公式中的增长速度要大于实际的增长速度.可见近几十 年,各国为控制人口增长而采取了一定的措施,已经有了一定成效,或者此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况. ２.设野兔基数为m,增长率为,则ｍ(1+)21=２ｍ, ∴ (1+)21=２,∴1+＝. 设1万只野兔增长到1亿只野兔需要t个月,依题意, 有10８＝104()ｔ , 解得ｔ≈279,∴≈23.25(年). ∴1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要24年. ３.能.设样本中碳14的初始量为k,衰减率为p(０<ｐ<１),经过x 年后,残余量为y. 根据问题的实际意义,可选择如下模型:y＝k(1-p)x(ｋ∈Ｒ,且ｋ≠０,０<ｐ<１,ｘ≥０).由碳14的半衰期为5730年,得 k(1-ｐ)5730＝ ｋ,于是1-ｐ＝, 所以y＝k( )x . 由样本中碳14的残余量约为初始量的62.76%, k( )x =62.76%k. 解得x＝ 0.6276. 由计算工具得 ｘ≈3851. 因为1959年之前的3851年是公元前1892年,所以推理二里头遗址大概是公元前1892年建成的 2.提升性作业：教科书第155~156页习题4.5第6、9、10题; 答案： 6.设复制次数为n,则2×２ｎ＝64×1024,∴ｎ=15, 15×３=45(分) ∴ 开机后45分,该病毒会占据64MB内存. 9. Ｃ 3.拓展性作业:教科书第156页习题4.5第10题. 10.解：设应在病人注射这种药tｈ后再向病人的血液补充这种药. 依题意,可得500 ≤ 2500(1-20％)t≤1500, 整理得 ≤ （ ≤ ∴ ≤ｔ≤ ∴ ２.３≤ｔ≤７.２. ∴ 应在用药后2.3ｈ至7.2ｈ再向病人的血液补充这种药. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $