专题01 相似三角形 专项练习 2026--2027学年人教版九年级数学下册

专题01 相似三角形 5大高频考点概览（提高版） 考点01 比例线段与比例的性质 考点02 相似三角形的判定 考点03 相似三角形的性质 考点04 图形的位似 考点05 相似三角形的应用与综合 考点01 比例线段与比例的性质 1．若 ，则 ________． 【答案】 【解析】设 （），则 ，，。代入得 。 连比问题一律先设公共比值 再代入，切忌把分子、分母的各项直接相加减；代入后 必然约去，结果与 的取值无关。 2．已知 ，且 ，则 ________． 【答案】 【解析】由等比性质，当 时 ，故 。 也可设 ，，，由 得 ，同样得到 。 3．点 是线段 的黄金分割点，且 ，若 ，则 ________， ________． 【答案】； 【解析】由黄金分割的定义， 是 与 的比例中项，即 。 故 ，。 若题设改为 ，则两长互换，切忌不辨大小直接套用。 4．如图，直线 ，直线 、 分别与三条平行线交于点 、、 和点 、、．若 ，，，则 ________， ________． 【答案】； 【解析】由平行线分线段成比例定理，。 设 ，，则 ，，故 ，。 5．若 ，且 ，则 的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】 【解析】应用等比性质的前提是各分母之和不为零，因此必须对 分类讨论。 当 时，； 当 时，，。故选 C。 6．已知 ，且 ，则 ________． 【答案】 或 【解析】当 时，由等比性质得 ； 当 时，，故 。 两式结构相同但结果相差一个因子，关键在于分母之和是否为零，漏解是本题最主要的失分点。 7．若 ，且 ，求 的值． 【答案】 或 【解析】设三个比式的值为 ，则 ，，。三式相加得 。 若 ，则 ，从而 ，，，原式 。 若 ，则 ，，，原式 。 综上，所求值为 或 。 8．如图，在 中，点 在 上，点 在 上，，， 与 交于点 ．求 与 ． 【答案】， 【解析】求 ：过 作 ，交 于 。由 得 ，相似比为 ，故 。 设 ，，则 ，，故 。又 ，故 ，得 ，即 。 求 ：过 作 ，交 于 。由 得 ，相似比为 ，故 。 设 ，，则 ，，故 。由 得 ，故 ，即 。 9．已知 ，其中 、、 两两不相等，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】设比值为 ，则 ，，。 三式相加得 。 条件“两两不相等”保证三个分母均不为零，比值 才有意义；证明的关键是把“连比相等”转化为“各自等于同一个 倍”。 10．在 中，点 在 上，且 ， 是 的中点，求 ． 【答案】 【解析】 与 的高相同（均为 到 的距离），故面积比等于底边比：。 是 的中点， 与 的高相同（均为 到 的距离），故 ，即所求比为 。 考点02 相似三角形的判定 1．如图，在 中，，，，，则 ________． 【答案】 【解析】由 得 ，相似比为 。 故 ，。 2．下列条件中，不能判定 与 相似的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】 【解析】A 符合“两角分别相等”；B 符合“两边成比例且夹角相等”；D 符合“三边成比例”；三者都能判定相似。 C 中成比例的两边 、 的夹角是 ，而 、 的夹角是 ，给出的却是 ，属于“两边成比例、其中一边的对角相等”的错位条件，不能判定相似。故选 C。 3．如图， 是等边三角形，、 分别是 、 上的点，点 在 上，且 ．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】由 为等边三角形得 。 由平角得 ，又 ，故 。 在 中，，与上式比较得 。 于是 与 有两组角分别相等（，），故 。 本题是“一线三等角”的基本模型：三个 角共顶点于一条直线上，则两侧三角形必然相似。 4．如图，在 中，， 于点 ．写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对加以证明． 【答案】，， 【解析】三对三角形两两相似。以 与 为例：（公共角），，故 。 同理 是 与 的公共角，且 ，故 。 由相似的传递性得 ，也可直接由 证得。 该图即“母子型”基本图形，由对应边成比例可直接推出 、、 这三条结论。 5．如图，正方形 的边长为 ， 是 的中点，点 在 上，且 ．求证：，并求 的度数． 【答案】证明见解析； 【解析】由题意 ，，，，且 。 ，，故 ，又 ，所以 。 由相似得 ，而 ，故 。 所以 。 6．在 中，，，点 在 上，，点 在 上．若 与 相似，求 的长． 【答案】 或 【解析】两三角形有公共角 ，相似时分两种情况讨论，切不可因“对应”二字想当然。 情形一：，则 ，即 ，得 。 情形二：，则 ，即 ，得 。 两个值都满足 ，故 的长为 或 。 7．在 中，点 在 上，点 在 上，且 ，，，，求 的长． 【答案】 【解析】在 与 中， 为公共角，，故 。 于是 ，即 ，得 。 书写对应关系时要盯住“相等的角所对的边”，本题 与 是对应角，故 与 对应。 8． 是由 绕点 旋转得到的，其中点 的对应点为 ，点 的对应点为 ．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】由旋转的性质得 ，，，且旋转角 。 于是 （两者都等于旋转前后对应边之比），又 ， 由“两边成比例且夹角相等”得 。 此即“手拉手”模型：共顶点的两个等腰三角形，顶角相等时，两底角所在三角形相似。 9．如图，在 中，， 于点 ，，．求 、、、 的长． 【答案】，，， 【解析】由勾股定理 。 由面积法 ，得 。 由 得 ，故 ；同理 ，且 可作校验。 10．如图，在 中， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．求 与 ． 【答案】， 【解析】过 作 ，交 于 。由 得 ，相似比为 ，故 ，。 由 得 ，故 ，从而 ，即 是 的中点。 在 中，，故 ，相似比为 ，得 ，即 。 又由该相似比得 ，而 ，故 ，即 。 考点03 相似三角形的性质 1．两个相似三角形的相似比为 ，则它们的周长比为 ________，面积比为 ________． 【答案】； 【解析】相似三角形的周长比等于相似比，故为 ；面积比等于相似比的平方，故为 。 这一组结论必须与“对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于相似比”一起记牢。 2．两个相似三角形的面积比为 ，其中较小三角形的周长为 ，则较大三角形的周长为 ________，对应边上的高之比为 ________． 【答案】； 【解析】面积比 开方得相似比 ，故周长比也为 。 较小三角形的周长为 ，设较大三角形周长为 ，则 ，得 。 对应边上的高之比等于相似比，即 。 3．已知 ，相似比为 ，若 ，则 ________． 【答案】 【解析】面积比等于相似比的平方，即 。 故 。 4．如图，，若 ，，求 ． 【答案】 【解析】。 由 得 ，面积比 ，故相似比为 。 于是 ，即 。 5．如图，、 是 的两条中线，交于点 ．求 ，并求 ． 【答案】； 【解析】、 分别是 、 的中点，所以 ，，故 ，相似比为 。 由相似比得 ，即 ，故 。又 是 的中点， 到 的距离是 到 距离的 ，所以 到 的距离是 到 距离的 ，即 。 由 的面积比为 得 。 6．如图，，，则 ________． 【答案】 【解析】由 得 ，故 与 的相似比为 ，面积比为 。 设 ，则 ，，所求比为 。 7．两个相似三角形的对应角平分线之比为 ，面积之差为 ，求这两个三角形的面积． 【答案】 与 【解析】对应角平分线之比等于相似比，故相似比为 ，面积比为 。 设两三角形面积分别为 、，由 得 。 故两三角形面积分别为 与 。 8．如图，，且 ，求 ． 【答案】 【解析】设 ，则 ，。 由相似得 ，故 。 设 ，则 ，，所以 ，即 。 9．如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 与 交于点 ．求 ． 【答案】 【解析】由 得 ，相似比为 ，故 ，且 。 与 的高相同（均为 到 的距离），面积比等于底边比 ，即 。 设 ，则 ，，三者之比为 。 10．在 中，， 边上的高为 ，矩形 的边 在 上，顶点 、 分别在 、 上．若四边形 是正方形，求它的边长． 【答案】 【解析】设正方形的边长为 ，则 ， 到 的距离为 ，故 的边 上的高为 。 由 得 ，故 ，即 。 解得 ，即正方形边长为 。 一般地，若底为 、高为 ，内接正方形边长为 ；本题 ，故为 。 考点04 图形的位似 1．在平面直角坐标系中，以原点 为位似中心，把 放大为原来的 倍．若点 的坐标为 ，则点 的对应点坐标为 ________． 【答案】 或 【解析】以原点 为位似中心、把图形放大为原来的 倍时，对应点与原图形可能位于原点的同侧，也可能位于原点的两侧。 同侧时，对应点坐标为 ；两侧时，对应点坐标为 。题目未指明位似图形的位置，两种情形都要保留。 2．两个位似图形的位似比为 ，则它们的面积比为 ________． 【答案】 【解析】位似图形一定是相似图形，位似比就是相似比，故面积比为相似比的平方，即 。 3．如图， 与 是以点 为位似中心的位似图形，且 ，若 ，求 及两三角形的周长比． 【答案】，周长比为 【解析】由位似图形的性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，故位似比为 。 面积比等于位似比的平方，即 ，故 。 周长比等于位似比，即 。 4．已知 的三个顶点为 、、， 的三个顶点为 、、．判断这两个三角形是否位似；若是，求出位似中心的坐标与位似比． 【答案】是位似图形；位似中心为 ，位似比为 【解析】由 ， 得对应边之比为 ，三边之比均为 ，故两三角形相似，相似比为 。 若两三角形位似，则各组对应点的连线必交于同一点，该点即位似中心。直线 经过 、，表达式为 ；直线 经过 、，表达式为 。联立解得 ，，故位似中心为 。 由 ， 得 。再验证第三组对应点：从 到 的横向距离为 、纵向距离为 ，各乘 得 、，故 的对应点为 ，恰为点 。所以两三角形位似，位似中心为 ，位似比为 。 5．已知 、，以原点 为位似中心，把线段 放大为原来的 倍得到线段 ，求 的长． 【答案】 【解析】由勾股定理 。 位似变换把线段放大为原来的 倍（对应点与原点在同侧或两侧，长度都变为原来的 倍），故 。 6．在平面直角坐标系中， 与 关于原点 位似，两图形分居原点两侧，且 ．若 、，求 、 的坐标，并说明两图形对应边之间的位置关系． 【答案】，；对应边互相平行 【解析】以原点为位似中心，位似比为 且对应点分居原点两侧时，对应点的横、纵坐标分别是原来的 倍。 故 ，。两图形的对应边互相平行、方向相反，对应边之比为 。 7．以点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，使对应点 、 分别在射线 、 上．若 、，求 、 的坐标． 【答案】， 【解析】对应点 在射线 上，说明 与 位于位似中心 的同一侧，且 ，即从 到 的横向、纵向距离，都是从 到 的 倍。 从 到 ：横向距离为 ，纵向距离为 。各乘 得 与 ，故 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 。 从 到 ：横向距离为 ，纵向距离为 。各乘 得 与 ，故 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 。 8．把一个周长为 、面积为 的三角形按位似比 缩小，得到的新三角形的周长为 ________，面积为 ________． 【答案】； 【解析】按位似比 缩小，即相似比为 ，新三角形与原三角形的周长比为 ，故周长为 。 面积比等于相似比的平方，即 ，故面积为 。 考点05 相似三角形的应用与综合 1．如图，在同一时刻，高 的标杆 的影长 ，旗杆 的影长 ．求旗杆 的高度． 【答案】 【解析】同一时刻太阳光线平行，故 。 于是 ，即 ，得 。 此类“影长法”的前提是光线平行、标杆与旗杆均垂直于地面，缺一不可。 2．小明在平地上放一面平面镜，量得他到镜子的水平距离为 ，镜子到楼房的水平距离为 ，小明的眼睛离地面 ．求楼高． 【答案】 【解析】由光的反射定律，入射角等于反射角，故小明眼睛、镜面点与楼顶三点构成的两个直角三角形相似。 设楼高为 ，则 ，得 。 注意水平距离应从镜面点分别量到人与楼，而非人与楼的总距离。 3．如图，在矩形 中，，，点 从点 出发沿 以每秒 个单位的速度向点 运动．当 时，求点 运动的时间 （单位：）． 【答案】 【解析】设 ，则 。由矩形的性质得 ，。 由 得 ，即 ，故 ，解得 。 此时 ，两三角形全等（相似比为 ），也满足题意；若把对应关系写成 ，则得 ，无实数解，说明该对应方式不成立。 4．如图，在 中，，，，点 从点 沿 以每秒 个单位的速度向点 运动，同时点 从点 沿 以每秒 个单位的速度向点 运动．当 与 相似时，求 （单位：）． 【答案】 或 【解析】运动 秒后 ，，故 （，且 ，即 ）。两三角形有公共角 ，需按对应关系分类。 情形一：，则 ，即 ，解得 。 情形二：，则 ，即 ，解得 。 两个值均落在 内，故 或 。 5．如图，矩形 中 ，，沿 折叠，使点 与点 重合，求折痕 的长． 【答案】 【解析】折叠后 与 重合，则折痕 是 的垂直平分线，故 且过 的中点 。 由勾股定理得 ，故 。又 ，，所以 ，得 ，即 ，故 。 求 的位置：由折叠得 。设 ，则 ，，由 解得 ，故 ，。 再过 作 于 ，则 ，，故 。 6．如图，等边三角形 的边长为 ，点 在 上，，点 在 上，且 ，求 的长． 【答案】 【解析】由 及 ，得 ；在 中 ，故 。 于是 ，相似对应关系为 ，。 故 ，即 ，得 。 7．已知 ，，，，， 与 交于点 ，求点 到 的距离． 【答案】 【解析】由 、 得 ，故 ，相似比为 。 由相似比得 ，故 。 过 作 于 ，则 ，故 ，，所以 。 8．在 中，，，点 在 上， 交 于 ， 交 于 ．求四边形 的周长． 【答案】 【解析】由 得 ，故 ，即 。 由 同理得 ，且四边形 是平行四边形，故 ，。 由 得 ，故四边形 的周长 ，与点 的位置无关。 9．在正方形 中， 是 的中点， 是 上一点，且 ．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】设正方形边长为 ，则 ，，，。 ，，又 ，故 。 由相似得 ，而 ，故 。 所以 ，即 。 10．在 中，点 、 分别在 、 上，，且 ，求 ． 【答案】 【解析】由 得 。 由 得 ，故 。 设 ，则 ，，所以 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形 5大高频考点概览（提高版） 考点01 比例线段与比例的性质 考点02 相似三角形的判定 考点03 相似三角形的性质 考点04 图形的位似 考点05 相似三角形的应用与综合 考点01 比例线段与比例的性质 1．若 ，则 ________． 2．已知 ，且 ，则 ________． 3．点 是线段 的黄金分割点，且 ，若 ，则 ________， ________． 4．如图，直线 ，直线 、 分别与三条平行线交于点 、、 和点 、、．若 ，，，则 ________， ________． 5．若 ，且 ，则 的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 6．已知 ，且 ，则 ________． 7．若 ，且 ，求 的值． 8．如图，在 中，点 在 上，点 在 上，，， 与 交于点 ．求 与 ． 9．已知 ，其中 、、 两两不相等，求证：． 10．在 中，点 在 上，且 ， 是 的中点，求 ． 考点02 相似三角形的判定 1．如图，在 中，，，，，则 ________． 2．下列条件中，不能判定 与 相似的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. 3．如图， 是等边三角形，、 分别是 、 上的点，点 在 上，且 ．求证：． 4．如图，在 中，， 于点 ．写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对加以证明． 5．如图，正方形 的边长为 ， 是 的中点，点 在 上，且 ．求证：，并求 的度数． 6．在 中，，，点 在 上，，点 在 上．若 与 相似，求 的长． 7．在 中，点 在 上，点 在 上，且 ，，，，求 的长． 8． 是由 绕点 旋转得到的，其中点 的对应点为 ，点 的对应点为 ．求证：． 9．如图，在 中，， 于点 ，，．求 、、、 的长． 10．如图，在 中， 是 的中点，点 在 上，且 ， 与 交于点 ．求 与 ． 考点03 相似三角形的性质 1．两个相似三角形的相似比为 ，则它们的周长比为 ________，面积比为 ________． 2．两个相似三角形的面积比为 ，其中较小三角形的周长为 ，则较大三角形的周长为 ________，对应边上的高之比为 ________． 3．已知 ，相似比为 ，若 ，则 ________． 4．如图，，若 ，，求 ． 5．如图，、 是 的两条中线，交于点 ．求 ，并求 ． 6．如图，，，则 ________． 7．两个相似三角形的对应角平分线之比为 ，面积之差为 ，求这两个三角形的面积． 8．如图，，且 ，求 ． 9．如图，在平行四边形 中， 是 的中点， 与 交于点 ．求 ． 10．在 中，， 边上的高为 ，矩形 的边 在 上，顶点 、 分别在 、 上．若四边形 是正方形，求它的边长． 考点04 图形的位似 1．在平面直角坐标系中，以原点 为位似中心，把 放大为原来的 倍．若点 的坐标为 ，则点 的对应点坐标为 ________． 2．两个位似图形的位似比为 ，则它们的面积比为 ________． 3．如图， 与 是以点 为位似中心的位似图形，且 ，若 ，求 及两三角形的周长比． 4．已知 的三个顶点为 、、， 的三个顶点为 、、．判断这两个三角形是否位似；若是，求出位似中心的坐标与位似比． 5．已知 、，以原点 为位似中心，把线段 放大为原来的 倍得到线段 ，求 的长． 6．在平面直角坐标系中， 与 关于原点 位似，两图形分居原点两侧，且 ．若 、，求 、 的坐标，并说明两图形对应边之间的位置关系． 7．以点 为位似中心，把 放大为原来的 倍，使对应点 、 分别在射线 、 上．若 、，求 、 的坐标． 8．把一个周长为 、面积为 的三角形按位似比 缩小，得到的新三角形的周长为 ________，面积为 ________． 考点05 相似三角形的应用与综合 1．如图，在同一时刻，高 的标杆 的影长 ，旗杆 的影长 ．求旗杆 的高度． 2．小明在平地上放一面平面镜，量得他到镜子的水平距离为 ，镜子到楼房的水平距离为 ，小明的眼睛离地面 ．求楼高． 3．如图，在矩形 中，，，点 从点 出发沿 以每秒 个单位的速度向点 运动．当 时，求点 运动的时间 （单位：）． 4．如图，在 中，，，，点 从点 沿 以每秒 个单位的速度向点 运动，同时点 从点 沿 以每秒 个单位的速度向点 运动．当 与 相似时，求 （单位：）． 5．如图，矩形 中 ，，沿 折叠，使点 与点 重合，求折痕 的长． 6．如图，等边三角形 的边长为 ，点 在 上，，点 在 上，且 ，求 的长． 7．已知 ，，，，， 与 交于点 ，求点 到 的距离． 8．在 中，，，点 在 上， 交 于 ， 交 于 ．求四边形 的周长． 9．在正方形 中， 是 的中点， 是 上一点，且 ．求证：． 10．在 中，点 、 分别在 、 上，，且 ，求 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $