2026-2027学年浙教版九年数学上册期中模拟卷1

2026-2027学年九年数学上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-3章（浙教科2024版）。 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数解析式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知⊙O 的半径为 3，点 A 与点 O 的距离为 5，则点 A 与⊙O 的位置关系是（   ） A．点A在⊙O 内 B．点A在⊙O 上 C．点A在⊙O 外 D．不能确定 3．将二次函数y＝x2＋2x＋3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2＋k的形式，结果为（    ） A．y＝（x＋1）2＋2 B．y＝（x﹣1）2＋2 C．y＝（x＋1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2 4．下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（    ） A．春暖花开 B．水中捞月 C．百步穿杨 D．瓮中捉鳖 5．下列各点中，抛物线经过的点是（     ） A． B． C． D． 6．如图，中，弦直径，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 8．如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为．则这钢梁圆弧的半径长为（     ） A． B． C． D． 9．掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分．小林是一个数学爱好者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为轴，脚所在的位置为坐标原点，建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如图所示．小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离的相关数据记录如表： 0 1 2 3 4 … 3 … 若小林掷实心球的场地为水平地面，实心球运动路径为抛物线，则小林这次掷实心球的成绩为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．经过不在同一条直线上的三个点可以确定____________个圆． 12．一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 13．将抛物线先向右平移3个单位 ，再向上平移4个单位 ，得到的抛物线是_____________． 14．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 15．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 16．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 18．（8分）如图，在中，，，求的度数． 19．（8分）某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ (2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数． 20．（8分）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 21．（10分）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 22．（10分）求证：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 已知：___________________；求证：___________________ 23．（10分）在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：厘米）与时间t（单位：秒）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在秒时膝盖高度为0厘米（脚踝处），在秒时高度为32厘米，在秒时高度为0厘米． (1)求高度h与时间t之间的函数关系式； (2)求膝盖能达到的最大高度及对应的时间； (3)若研究人员设定机器人需要在高度等于24厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年数学上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-3章（浙教科2024版）。 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数解析式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据：形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 2．已知⊙O 的半径为 3，点 A 与点 O 的距离为 5，则点 A 与⊙O 的位置关系是（   ） A．点A在⊙O 内 B．点A在⊙O 上 C．点A在⊙O 外 D．不能确定 【答案】C 【分析】由点与圆的距离可得点与圆的位置关系. 【详解】解：点 A 与点 O 的距离为 5>3,则点A与⊙O的位置关系是:点A在圆外. 故选C. 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆心的距离d, 当d>r时, 点在圆外; 当d=r时, 点在圆上; 当d<r时, 点在圆内. 3．将二次函数y＝x2＋2x＋3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2＋k的形式，结果为（    ） A．y＝（x＋1）2＋2 B．y＝（x﹣1）2＋2 C．y＝（x＋1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2 【答案】A 【分析】加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：y＝x2＋2x＋3＝（x2＋2x＋1）＋2＝（x＋1）2＋2， 即y＝（x＋1）2＋2． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，主要是配方法和平方数非负数的应用． 4．下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（    ） A．春暖花开 B．水中捞月 C．百步穿杨 D．瓮中捉鳖 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A、春暖花开，是必然事件，故A不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，故B符合题意； C、百步穿杨，是随机事件，故C不符合题意； D、瓮中捉鳖，是必然事件，故D不符合题意． 故选：B． 5．下列各点中，抛物线经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，，故A不符合； 当时，，故B符合； 当时，，故C不符合； 当时，，故D不符合． 6．如图，中，弦直径，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边对等角及平行线的性质计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， 的度数是． 7．如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举随机闭合两个开关的所有可能情况，分析每种情况下的电路通断及灯泡发光情况，利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中能让两个灯泡同时发光的情况为同时闭合，，有种情况， ∴能让两个灯泡同时发光的概率为． 8．如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为．则这钢梁圆弧的半径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把拱高与跨径化归到同一个直角三角形里：设圆心为 、半径为 ，则半弦长 、圆心到弦 的距离 ，由勾股定理列方程即可求 ． 【详解】解：如图，设钢梁圆弧所在圆的圆心为 ，半径为 ，则 ，． ∵ 是拱高， 是跨径， ∴ ，，且点 是 的中点， ∴ ． ∵ 、、 三点在同一条直线上， ∴ ． 在 中，， ∴ ． ∴ ． ∴ ，解得 ． ∴ 这钢梁圆弧的半径长为 ． 9．掷实心球时，实心球的行进路线是抛物线的一部分．小林是一个数学爱好者，他将自己某次掷实心球的过程用视频记录下来后，把实心球的行进路线涂画于纸上，并以球的初始位置所在的竖直直线为轴，脚所在的位置为坐标原点，建立了平面直角坐标系（球的初始位置在脚的正上方），如图所示．小林将脱手后实心球的行进高度与水平距离的相关数据记录如表： 0 1 2 3 4 … 3 … 若小林掷实心球的场地为水平地面，实心球运动路径为抛物线，则小林这次掷实心球的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数解析式，取其与x轴正半轴交点的横坐标即可． 【详解】解：设实心球运动路径为， 根据表格可知， 解得：， ∴实心球运动路径为， 当时， 解得（舍去）， ∴小林这次掷实心球的成绩为． 10．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．经过不在同一条直线上的三个点可以确定____________个圆． 【答案】1 【分析】核心条件为不在同一条直线上的三个点，结合确定圆的条件判断可确定的圆的数量． 【详解】解：根据确定圆的基本规则，不在同一条直线上的三个点，有且只有一个圆同时经过这三个点，因此可以确定1个圆． 12．一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 【答案】 【详解】解：∵盒子中装有20颗蓝色幸运星，35颗红色幸运星，15颗黄色幸运星， ∴盒中幸运星的总数量为颗， ∵随机摸出1颗幸运星时，所有等可能的结果共70种， 其中摸到红色幸运星的结果有35种， ∴摸到红色幸运星的概率为． 13．将抛物线先向右平移3个单位 ，再向上平移4个单位 ，得到的抛物线是_____________． 【答案】 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位 ，再向上平移4个单位 ，得到的抛物线是． 14．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 15．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据 计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 16．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 【答案】②③ 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；当时，，即抛物线与轴交于点，由图像可知，，据此即可判断②；利用函数的最大值即可判断③；利用抛物线上点到对称轴的距离和函数值的大小即可判断④． 【详解】解：由二次函数的图像可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴， ∴，， 即，故①错误； 当时，，即抛物线与轴交于点， 由图像可知，， ∴ 解得，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数t，总成立， 即对任意实数t，总成立，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 当时，，此时，故④错误． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值； (2)若点在该函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）得到，然后将代入即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ∴； （2）解：∵ ∴ 将代入得，． 18．（8分）如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】由得到弧所对的圆周角，再根据三角形内角和，用求出两个底角之和，平分得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 19．（8分）某中学数学学科节活动中，七年级某兴趣小组在一个不透明的袋子中装有3个红球和9个白球，每个球除颜色外都相同． (1)从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ (2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，求从袋中取走白球的个数． 【答案】(1) (2)5个 【分析】（1）摸到红球的概率为袋中红球的总数除以袋中所有球的总数； （2）由题意可得，从袋中取走白球的数量和又放入红球的数量相等，用概率计算出改变后袋中红球的数量，然后减去原来红球的数量，就可得出从袋中取走白球的数量． 【详解】（1）解：不透明的袋子中一共有个球，其中红球有3个，故从袋中任意摸出一个球，摸到红球的概率； （2）解：要使从袋中任意摸出一个球是红球的概率是，则袋中红球应有个， 红球增加了个， 由题意可得，取走白球的个数为红球增加的个数，故从袋中取走了5个白球． 20．（8分）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 【答案】(1) 解：如图，点O即为所求； (2)7.5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆心的位置的确定，勾股定理： （1）作的垂直平分线交的延长线于点O，即可； （2）连接，设圆的半径为r，则，，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 设圆的半径为r，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即圆的半径为 21．（10分）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 22．（10分）求证：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 已知：___________________；求证：___________________ 【答案】已知：如图，弧所对的圆周角是，圆心角是． 求证：． 证明： 当圆心在上时，如图①， ， ， 又， ； 当在圆心在圆周角的内部时，如图②，作直径， 同①可得，， ， ∴； 当圆心在圆周角的外部时，如图③，作直径， 同理，， ． 综上所述：. 【详解】略 23．（10分）在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：厘米）与时间t（单位：秒）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在秒时膝盖高度为0厘米（脚踝处），在秒时高度为32厘米，在秒时高度为0厘米． (1)求高度h与时间t之间的函数关系式； (2)求膝盖能达到的最大高度及对应的时间； (3)若研究人员设定机器人需要在高度等于24厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 【答案】(1) (2)膝盖能达到的最大高度为32厘米，对应的时间为秒 (3)在上升过程中0.5秒和下降过程中1.5秒触发闪光，时间间隔为1秒 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是； （1）根据待定系数法求解即可； （2）把（1）中函数关系式化为顶点式即可求解； （3）把代入（1）中函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数关系式为． 把，； ，；，分别代入得：， 解得：， ∴函数关系式为：； （2）解： ，抛物线开口向下，最大高度出现在顶点处， 膝盖能达到的最大高度为32厘米，对应的时间为秒； （3）解：当时，， 解得，， 其中秒对应上升过程，秒对应下降过程． 时间间隔为：秒 答：在上升过程中0.5秒和下降过程中1.5秒触发闪光，时间间隔为1秒 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)P点坐标为，最大值为； (3)存在，满足条件的M点坐标为，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点P作轴于点F，交于点E，根据题意得出，利用待定系数法确定直线解析式为，设，，确定，结合图象利用，列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得出对称轴为，，再由等腰三角形分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图象利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）过点P作轴于点F，交于点E， ∵， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， ∵， ， 解得， ∴ 根据题意设，， ∴， 由图象得：， ∴， 整理得：， ， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点坐标为； （3）存在， 由（1）得， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况分析： ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， ∴， ， ， 解得：， ∴M点的坐标为或， ②当时，则为的垂直平分线， ∴M与E重合， ∴M点的坐标为； ③当时，如图，设M点的坐标为， 则， ， 解得：， ∴M点的坐标为， 综上可知，满足条件的M点共四个，其坐标为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $