期中模拟卷全册高频考点题型归纳与满分必刷题2026-2027学年九年数学上册苏科版

2026-2027学年九年数学上册期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-3章（苏科2024版）。 一﹑单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．平面内，若⊙O的半径为2，OP=3，则点P在（　　） A． 内 B． 上 C． 外 D．以上都有可能 3．下列命题错误的是（　　） A．圆是轴对称图形 B．三角形的内心到它三边的距离相等 C．等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 4．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．－1 5．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为(    ) A．10 B．8 C．6 D．4 6．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（　　 ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8.如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二﹑填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．方程的解是______． 10．若点在反比例函数的图象上，则的值是________． 11．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是________． 12．若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 13．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 16．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连．若，则的最小值为_____． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分)解方程 (1) (2) 18．（8分)已知电路的电压（单位：）、电流（单位：）、电阻（单位：）之间有如下关系：．该电路的电压为． (1)写出电流（单位：）关于电阻（单位：）的函数表达式； (2)如果该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流如何变化？ 19．（8分)有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑感染． (1)求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； (2)若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染的电脑是否超过100台？ 20．（8分)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21．（6分)如图，的弦、相交于点，．求证：． 22．（10分)已知：如图，是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（10分)综合与实践 如图，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量    (1)依据实验得出与的对应点，请你在本题图中画出函数图像，并求出函数解析式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 24．（10分)如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 25．（10分)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求M的最值． 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若，则M有最______值，为______． (2)解决实际问题：二十四中学准备在校园里利用院墙再围三面栅栏，形成一个矩形花圃．如图，院墙长20米，栅栏总长40米（栅栏必须用完）．如何设计可以使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？ 26．（12分)定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． (1)【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． (2)【探索本质】如图1，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． (3)【理解应用】如图2，的半径为，弦．是上一点，为的“完美三角形”，请直接写出所有可能的值． 27．（12分)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年数学上册期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：初三上第1-3章（苏科2024版）。 一﹑单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义 ． 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的方程，叫做一元二次方程，其一般形式为(为常数，)，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意； C、当时，方程为，不是一元二次方程，此选项不符合题意； D、是一元二次方程，此选项符合题意； 故选：D ． 2．平面内，若⊙O的半径为2，OP=3，则点P在（　　） A． 内 B． 上 C． 外 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案． 【详解】解：由题意，得d=3，r=2． ∵d＞r， ∴点P在⊙O外. 故选C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 3．下列命题错误的是（　　） A．圆是轴对称图形 B．三角形的内心到它三边的距离相等 C．等弧所对的圆心角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的特点，三角形内心的性质，圆周角及其推论逐项判断即可作答． 【详解】A项，圆是轴对称图形，说法正确，是真命题，不符合题意； B项，三角形的内心到它三边的距离相等，说法正确，是真命题，不符合题意； C项，等弧所对的圆心角相等，说法正确，是真命题，不符合题意； D项，等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的特点，三角形内心的性质，圆周角及其推论的知识，掌握相关考点知识是解答本题的关键． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．－1 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ∴， 即a的取值范围是且． ∴整数a的最大值为0． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键． 5．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为(    ) A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】由OC与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，由OA与OD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB=2AD即可求出AB的长． 【详解】解：∵OC⊥AB， ∴D为AB的中点，即AD=BD=0.5AB， 在Rt△AOD中，OA=5，OD=3， 根据勾股定理得：AD=4 ∴AB=2AD=8． 故选B． 【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 6．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阴影部分的面积等于扇形BD面积O减去S弓形OD面积计算即可． 【详解】由折叠可知， S弓形AD=S弓形OD，DA=DO， ∵OA=OD， ∴AD=OD=OA， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠AOD=60°，∠DOB=30°， ∵AD=OD=OA=4， ∴CD=2， ∴S弓形AD=S扇形ADO-S△ADO= ， ∴S弓形OD=， 阴影部分的面积=S扇形BDO-S弓形OD= 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键． 7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合；观察图象，一次函数图象位于反比例函数图象下方的自变量的取值范围即是不等式的解集． 【详解】解：由图象知，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， 故不等式的解集为：或； 故选：C． 8.如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形性质推出，点在以点为圆心，为半径的半圆上，取的中点，连接，由勾股定理得，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求出的最小值即为的值． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， 取的中点，则， 即点在以点为圆心，为半径的半圆上， 连接， 在中，，， 由勾股定理得， 根据圆的性质与三角形三边关系得， 当、、共线时，取得最小值，如下图： 此时最小值为，选项符合题意． 二﹑填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 9．方程的解是______． 【答案】， 【分析】直接利用因式分解法求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴或， 即，， 故答案为：，； 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 10．若点在反比例函数的图象上，则的值是________． 【答案】 【分析】利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，代入已知点坐标即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 点P的横纵坐标满足函数解析式， 将，代入得， ． 11．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是________． 【答案】2 【分析】先利用反比例函数k的几何意义求出两个反比例函数对应与坐标轴围成的矩形面积，再根据大矩形的面积等于两个小矩形面积之和求出，最后结合反比例函数所在象限确定k的符号，计算得到k的值． 【详解】解：如图，令与y轴的交点为点M，则四边形和四边形均为矩形． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积为． ∵矩形的面积为6， ∴矩形的面积为：． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积等于， 即 又∵点D在第一象限，k为正数， ∴． 12．若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】将所求代数式通分变形为含两根之和、两根之积的形式，结合一元二次方程根与系数的关系求出对应值，代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴将，代入， 可得． 13．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 【答案】 【分析】将阴影部分平移构成一个完整的矩形，再由矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：如图所示： ． 14．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】利用三角形外心的性质找到圆心，由网格计算出半径． 【详解】解：如图，点即为圆心， 由网格可知，， ∴的外接圆的半径为． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 【答案】或 【分析】可转化为，观察图象即可求解． 【详解】解：可转化为， 由图象可知，的解集为或． 16．如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连．若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是确定动点的运动轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，连接、，先由圆周角定理，得 ，为等腰直角三角形，得到，进而得到点D在点为圆心，为半径的上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接、， ∵以为直径的，A为弧中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则， 解得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点为圆心，为半径的上运动， 在等腰直角中，同理得， 在中，， ∴， ∵ ∴当C、D、三点共线时，CD取的最小值，最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分)解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了用因式分解法和配方法求解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用因式分解法和配方法求解一元二次方程的方法和步骤． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ，或 解得，，． （2）解： 配方得 ，． 18．（8分)已知电路的电压（单位：）、电流（单位：）、电阻（单位：）之间有如下关系：．该电路的电压为． (1)写出电流（单位：）关于电阻（单位：）的函数表达式； (2)如果该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流如何变化？ 【答案】(1) (2)电流从减小到 【详解】（1）解：根据得到，变形． （2）解：当时，；当时，； ∴该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流从减小到． 19．（8分)有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑感染． (1)求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； (2)若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染的电脑是否超过100台？ 【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑 (2)三轮传播后，被感染的电脑超过100台 【分析】（1）设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑，根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，三轮传播后，感染病毒的电脑数为：，比较大小解答即可． 【详解】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑， 根据题意，得， ， 解得或（电脑数量不能为负数，舍去） 故， 故每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑； （2）解：根据题意，三轮传播后，感染病毒的电脑数为：（台）， ， 故三轮传播后，被感染的电脑超过100台． 20．（8分)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：在方程中， ，，， ∴， ∵， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】（1）利用根的判别式进行证明； （2）利用根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：在方程中， ，，， ∴， 代入得， ， 解得． 21．（6分)如图，的弦、相交于点，．求证：． 【答案】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【详解】连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，然后通过等弧所对的圆周角得到，最后由等角对等边即可求证． 【分析】略． 22．（10分)已知：如图，是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆心角，弦，弧之间的关系，证明即可； （2）根据圆的性质，三角形内角和，圆心角，弦，弧之间的关系，解答即可． 【详解】（1）略． （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 的度数为． 23．（10分)综合与实践 如图，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量    (1)依据实验得出与的对应点，请你在本题图中画出函数图像，并求出函数解析式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像，根据图像可得y是关于x的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离为，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点连线，函数图像如图所示， 由图象可得y与x之间是反比例函数关系， 设， 当时，， ，即， ； （2）解：当时，代入得，， 解得， 当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是. （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离为， ，， 解得：． 在移动前托盘B中的砝码质量为. 24．（10分)如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴即， ∵， ∴， ∴，即为中点； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证； （2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 25．（10分)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求M的最值． 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若，则M有最______值，为______． (2)解决实际问题：二十四中学准备在校园里利用院墙再围三面栅栏，形成一个矩形花圃．如图，院墙长20米，栅栏总长40米（栅栏必须用完）．如何设计可以使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)大，2； (2)矩形中，垂直院墙的边的长度为，平行院墙的边的长度为，最大面积 【分析】（1）按照题干中给出的配方法作答即可； （2）设垂直院墙边长米，则平行院墙边长米，求出x的取值范围，表示出矩形的面积，最后按照凑配的方法，求出最值即可作答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，M有最大值； （2）解：设垂直院墙边长米，则平行院墙边长米， 即，则有：， 矩形面积， ∵， ∴当时，，平行院墙那一边的边长（米）， 答：矩形中，垂直院墙的边的长度为，平行院墙的边的长度为，最大面积． 26．（12分)定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． (1)【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． (2)【探索本质】如图1，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． (3)【理解应用】如图2，的半径为，弦．是上一点，为的“完美三角形”，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)①③ (2)①；② (3)9，15，21 【分析】（1）设的内心关于边的对称点恰好在上，证明，可得，，由为的内心，可得，，由四边形内接于，可得，可得当为其外接圆的“完美三角形”时，有一个内角为，即可得结论； （2）①连接，，，，同理（1）即可得； ②连接，，过点作于点，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）分，，三种情况，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设的内心关于边的对称点恰好在上， 由对称可得，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴当为其外接圆的“完美三角形”时，有一个内角为， ∴当三角形为等边三角形和有一个角为的直角三角形时，一定是的“完美三角形”，故①③符合． （2）解：①如图，连接，，，， 由对称可得，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ②如图，连接，，过点作于点，则， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的半径为． （3）解：由（2）可知，有一个角为， 当时，如图，连接，，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴； 当时，过点作交延长线于点，则，， ∴； 当时，如图， 同理当时，其对边， ∴当时，其对边； 同理，若，则其对边，与已知不符合，故不存在； 综上所述，所有可能的值为9，15，21． 27．（12分)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为或； ②存在，或或． 理由如下： ∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E， ∴设，， ∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； 当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时； ∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【分析】（1）先把代入求出m，再把点B坐标代入反比例函数解析式，即可得到结论； （2）①解方程得到，在中，令，进而求得，设，由，根据三角形的面积公式列方程求解； ②设，根据平行四边形的对角线中点交于一点列方程组求解，再验证明求得的E点是否在反比例函数上，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：①解得或， ∴， 在中，令，则， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $