第1讲：集合与常用逻辑用语讲义【考点梳理+九大题型+高分演练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第1讲：集合与常用逻辑用语 题型一：集合的含义和表示 2 题型二：集合的基本关系 3 题型三：集合的基本运算 4 题型四：集合的应用 5 题型五：集合新定义 7 题型六：充分条件和必要条件 8 题型七：逻辑语言的参数问题 9 题型八：集合的参数问题 9 题型九：逻辑用语和集合的综合问题 10 知识点一．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋ Z Q R 知识点二.集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点三．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 知识点四．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点五　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点六　含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一：集合的含义和表示 【例1】．下列五个关系式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】①是自然数集，0是自然数，则，故正确. ②是有理数集，是有理数，则，故错误. ③是含有元素0的集合，不含任何元素，不相等，故错误.④空集是任何集合的子集，故正确. ⑤一个集合是自身的子集，故正确.所以错误命题有②和③，共2个. 【变式1】．下列表达式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，集合的元素是数字，集合不是集合的元素，故C错误； 对于D，，故D正确. 【变式2】．设，集合，，若，则______. 【答案】0 【详解】因且，故，则、、中有一个为. 又，由知，故或. 若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 故，，. 由，若，则集合，不满足集合元素的互异性，舍去； 则，则，，，满足集合元素的互异性，符合； 故，又，所以−. 题型二：集合的基本关系 【例2】．已知集合，，若，则实数不可能取（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】集合，而， 当时，，满足，因此； 当时，，由，得或，因此或， 所以实数可能取，不能取2. 【变式1】．已知集合｜−，｜，若⫋，则实数的取值范围为______. 【答案】− 【详解】由⫋得⊆且， 由⊆得−且，即−， 此时的区间长度是，的区间长度是， 所以满足，所以−. 【变式2】．设集合满足，则满足条件的所有的数目为______. 【答案】 【详解】由题意知中必含有和和可以选也可不选， 则满足条件的所有的数目相当于集合的子集的个数=16. 题型三：集合的基本运算 【例3】．已知集合 ，． (1)当 时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，所以．当 时，，所以． （2）由，得，所以，且，解得，即的取值范围是． 【变式1】．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则或， 而，所以． （2）由，得．当时，满足，则，解得；当时，由，得，所以a的取值范围为． 【变式2】．已知集合， (1)求； (2)求． 【答案】(1). (2) 【详解】（1）由题可得，. （2）由，得或 所以. 题型四：集合的应用 【例4】．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．只参加400米比赛的有3人 B．只参加100米比赛的有2人 C．三项比赛都参加的有2人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】C 【详解】记“参加100米比赛同学”，“参加400米比赛同学”，“参加1500米比赛同学”， 不妨用表示集合的元素个数，则由集合的容斥原理： 设三个项目都参加的人数为，即, 由题意， ，解得，即三项都参加的有人，正确； 计算只参加各项目人数： 只参加100米比赛人数：，错误； 只参加400米比赛人数：，错误； 只参加1500米比赛人数：，错误. 【变式1】．如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） (注：图中阴影部分为集合与的交集，但排除集合的部分) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分位于集合和的交集内部，但位于集合的外部. 因此表示为 . 【变式2】．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 题型五：集合新定义 【例5】．已知集合A，B，定义集合且.若，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合,,再由定义求出集合. 【详解】易得 且. 故选：B 【变式1】．设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【答案】C 【详解】依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于， 因此中每个元素只能属于集合中的一个， 即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况， 所以所有优集的个数为27. 故选：C 【变式2】．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】由于0不能作除数，所以，A正确；由性质①，取可得，B正确； 因为，所以，由性质①，即，C正确； 假设若，则，取可得与矛盾，D错误. 故选：D 题型六：充分条件和必要条件 【例6】．“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】先解不等式，因式分解得，解得或， 记命题，命题或， 若成立，则或必定成立，即（充分条件）， 若或成立（例如），推不出成立，即⇏（（不必要条件）， 所以是充分不必要条件. 【变式1】．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设命题为：；设命题为：，先解不等式：由，移项得，即， 该不等式等价于，解得；再解不等式：由，解得， 因为命题和命题的解集完全相同，即，所以“”是“”的充分必要条件. 【变式2】．若是实数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】等价于或.，必要性成立；推不出，例如，满足，不满足，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件 题型七：逻辑语言的参数问题 【例7】．命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】是，. 【变式1】．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B．< C． D．> 【答案】A 【详解】“，”为真命题，即该一元二次不等式有实数解， 只需对应的一元二次方程根的判别式， 即，解得. 【变式2】．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题， 故，解得. 题型八：集合的参数问题 【例8】．已知集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】.因为，，所以， 因此实数的取值范围是. 【变式1】．已知 ：，：，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【详解】：；： 或 ， 由 得 ，所以 ，即 ； 此时 显然推不出 （如 ），符合“不必要”， 所以 ． 【变式2】．已知集合，若，则实数的取值范围是________________________． 【答案】 【详解】由题意，方程无实数根，则需满足：，解得.故实数的取值范围是. 题型九：逻辑用语和集合的综合问题 【例9】．设集合， 命题p：，命题q：. (1)若p是q的充要条件，求实数m的值； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. (3)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知，. 若是的充要条件，则， 所以，解得（符合的条件）. 故实数的值为. （2）若是的充分条件，则. 因为，所以，即集合非空. 要使，需满足， 解得. 故实数的取值范围是. （3）若是的必要不充分条件，则  ，即且. 要使，需满足， 解得（已知）. 又因为，所以. 综上，实数的取值范围是. 【变式1】．已知集合，． (1)当时，求； (2)若命题“，”与“，”都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，，或， ； （2），，， 又，，所以，，解得． 【变式2】．设全集，集合，，其中. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得或，且， 当时，可得，解得，符合题意， 当时，可得，解得， 综上可得. （2）因或，故，因为，故，即. 而由“”是“”的必要不充分条件，可得为的真子集，故， 解得.所以实数的取值范围为 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，，得. 2．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，当且仅当时，取等号， 当时，，但， 故“”是“”的充分不必要条件． 3．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因为，且存在实数，使得成立， 所以. 4．若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式，则有， 当时，可化为， 因为命题：，是真命题，所以，恒成立， 所以，其中，当时，，当且仅当时等号成立， 所以，故的取值范围是. 5．命题 ，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题的否定为. 6．设有限集，，定义，对称差△−∪−，则△中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，−，△，共个元素. 7．已知集合，.若中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 由中恰有个整数，则或， 解得或，即实数的取值范围是. 8．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义，可得：若则必有， 但不一定能推出，对应集合关系就是是的真子集，即. 集合，集合，要让真包含于： 当时， ，此时的所有元素都在中，且中存在小于的元素不属于，满足； 当时，中会存在大于等于的元素不在内，无法满足； 当时，的所有元素都属于，且中存在元素不属于，满足. 综上，的取值范围是. 9．已知集合，对于集合中的所有实数，则使不等式恒成立的的取值范围可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 即当时，恒成立， 即恒成立，故或，即或恒成立， 因为，所以，故或. 二、多选题 10．设集合 ，，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合集合的包含关系以及集合的运算即可求解. 【详解】已知集合，， 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，，不是，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 12．下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A,即或. 取,此时成立但不成立,即不能推出. 又取,此时成立但不成立,即不能推出,故既不是的充分条件,也不是的必要条件,A错误. 对于B,由可得,即能推出. 取,此时成立但不成立,即不能推出,所以是的必要不充分条件,B正确. 对于C,即,等价于,与等价,所以由能推出,由也能推出,是的充要条件,C错误. 对于D,即,也就是,等价于. 由可得,即能推出. 取,此时成立但不成立,即不能推出,所以是的必要不充分条件,D正确. 13．下列说法正确的是（     ） A．命题“，”为真命题 B．对实数，是的充分条件 C．命题“，”的否定是“，” D．对非空集合，是的充分不必要条件 【答案】ACD 【详解】选项A：因为， 因此不等式对任意实数恒成立，该全称命题为真命题，A正确； 选项B：举反例，取，满足，但， 因此，充分性不成立，B错误； 选项C：特称命题的否定规则为：①将存在量词改为全称量词，②否定结论， 因此原命题“”的否定是“”，C正确； 选项D：充分性：若，且为非空集合， 假设，则，与矛盾， 因此假设不成立，所以，充分性成立； 必要性：取，满足，但，必要性不成立. 因此是的充分不必要条件，D正确. 14．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 三、填空题 15．若集合只有1个元素，则a的取值集合是________________________________． 【答案】 【详解】当时，原式为，解得，符合题目要求；当时，因为只有一个元素故，解得， 故a的取值集合是. 16．若命题：“，”是真命题，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为，为真命题， 因为时，命题显然不成立， 所以，， 解得， 所以实数的取值范围是. 17．已知命题 ：，：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ______． 【答案】 【详解】由 得，记，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 故只需（当时仍是的真子集）， 所以的取值范围是． 18．设有限集，，定义差集，对称差.若，，则______. 【答案】 【分析】按定义先求、，再求并. 【详解】，，则. 四、解答题 19．已知集合，． (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时， ， 所以或， ， 所以 （2）由，得 因为集合为非空集合，且， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 20．设全集，集合，非空集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，解得，故. 集合为非空集合，则，解得. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，解得. 综上,. 故实数的取值范围为. （2） 若“，则”是真命题，则. ，解得. 又因为集合为非空集合，，所以. 故实数的取值范围为. 21．设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式有解． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、中有且只有一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）若命题为真命题，则 ①当时，不等式化为，成立； ②当时，，解得； 结合①②可得时，为真命题． （2）若命题为真命题，即，不等式有解， 令，易知在上单调递增，最大值为， 则，所以； 设集合，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为． 所以实数的取值范围为或． 22．（1）求不等式的解集. （2）求不等式的解集. （3）设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立，若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围. 【答案】 （1）；（2）；（3） 【详解】（1）不等式，解得， 所以所求解集为. （2）不等式，则，解得或， 所以所求解集为. （3）当时，，由对任意，不等式恒成立， 得，则，解得，因此命题；不等式， 当时，， 由存在，使得不等式成立，得，因此命题， 由命题p与命题q一真一假，得真假，即，或假真，即， 所以实数m的取值范围是. 23．设，函数．若对每个，都有，则称f满足条件P．记，． (1)下表给出一个函数f．判断它是否满足条件P，并写出集合E，T． x 1 2 3 4 5 6 7 2 1 3 6 7 4 5 (2)设f满足条件P． （i）证明． （ii）证明集合E中元素的个数为奇数． 【详解】（1）对每个逐一验证， ，， ， ，， ，， 所有均满足，因此该函数满足条件P， 集合，仅满足，故 ，因此. (2)（i） 任取，由的定义，，即， 由条件P，， 假设，则，代入得，与矛盾， 因此，即，故； 任取，令， 由条件P，， 假设，则，即，与（）矛盾，故，即， 因此存在使得，故， 所以. （ii）由（i）可知，是集合上的函数，且对任意，同时满足： （条件P）；（的定义）. 因此中的元素可两两配对：对任意，与构成一个二元组.若两个二元组相交，则由可知它们相同，故每个二元组包含2个不同元素，且所有二元组互不相交、覆盖全部，故必为偶数， 又，7是奇数，因此， 奇数减偶数仍为奇数，故集合中元素的个数为奇数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：集合与常用逻辑用语 题型一：集合的含义和表示 2 题型二：集合的基本关系 3 题型三：集合的基本运算 3 题型四：集合的应用 4 题型五：集合新定义 4 题型六：充分条件和必要条件 5 题型七：逻辑语言的参数问题 5 题型八：集合的参数问题 5 题型九：逻辑用语和集合的综合问题 6 知识点一．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋ Z Q R 知识点二.集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点三．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 知识点四．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点五　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点六　含量词的命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 题型一：集合的含义和表示 【例1】．下列五个关系式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】．下列表达式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．设，集合，，若，则______. 题型二：集合的基本关系 【例2】．已知集合，，若，则实数不可能取（　　） A．0 B．1 C． D．2 【变式1】．已知集合｜−，｜，若⫋，则实数的取值范围为______. 【变式2】．设集合满足，则满足条件的所有的数目为______. 题型三：集合的基本运算 【例3】．已知集合 ，． (1)当 时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【变式2】．已知集合， (1)求； (2)求． 题型四：集合的应用 【例4】．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．只参加400米比赛的有3人 B．只参加100米比赛的有2人 C．三项比赛都参加的有2人 D．只参加1500米比赛的有3人 【变式1】．如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） (注：图中阴影部分为集合与的交集，但排除集合的部分) A． B． C． D． 【变式2】．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 题型五：集合新定义 【例5】．已知集合A，B，定义集合且.若，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式1】．设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【变式2】．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型六：充分条件和必要条件 【例6】．“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．若是实数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型七：逻辑语言的参数问题 【例7】．命题：，，则是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B．< C． D．> 【变式2】．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D． 题型八：集合的参数问题 【例8】．已知集合，，若，则实数的取值范围是______. 【变式1】．已知 ：，：，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______． 【变式2】．已知集合，若，则实数的取值范围是________________________． 题型九：逻辑用语和集合的综合问题 【例9】．设集合， 命题p：，命题q：. (1)若p是q的充要条件，求实数m的值； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. (3)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【变式1】．已知集合，． (1)当时，求； (2)若命题“，”与“，”都是真命题，求实数的取值范围． 【变式2】．设全集，集合，，其中. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 一、单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若命题：，是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．命题 ，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．设有限集，，定义，对称差△−∪−，则△中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，.若中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，对于集合中的所有实数，则使不等式恒成立的的取值范围可能为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 10．设集合 ，，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 12．下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（     ） A．命题“，”为真命题 B．对实数，是的充分条件 C．命题“，”的否定是“，” D．对非空集合，是的充分不必要条件 14．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 三、填空题 15．若集合只有1个元素，则a的取值集合是________________________________． 16．若命题：“，”是真命题，则实数的取值范围是____________. 17．已知命题 ：，：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ______． 18．设有限集，，定义差集，对称差.若，，则______. 四、解答题 19．已知集合，． (1)当时，求； (2)若集合为非空集合且，求实数的取值范围． 20．设全集，集合，非空集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 21．设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式有解． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、中有且只有一个是假命题，求实数的取值范围． 22．（1）求不等式的解集. （2）求不等式的解集. （3）设命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立，若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围. 23．设，函数．若对每个，都有，则称f满足条件P．记，． (1)下表给出一个函数f．判断它是否满足条件P，并写出集合E，T． x 1 2 3 4 5 6 7 2 1 3 6 7 4 5 (2)设f满足条件P． （i）证明． （ii）证明集合E中元素的个数为奇数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $